- 53 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/05(月) 00:42:35.34 ]
- 命題
K を有限体（過去スレpart4の681）とする。
過去スレpart4の686より |K| は素数冪 q = p^m である。
L/K を有限次拡大とする。
n = [L ： K]（過去スレpart4の560）とする。
ψ：L → L をFrobenius自己準同型（過去スレpart1の220）とする。
このとき L/K はGalois拡大（過去スレpart4の844）であり
Aut(L/K)（過去スレpart4の847）は ψ^m で生成される位数 n の巡回群である。
証明
>>52より L は X^(q^n) - X の K 上の最小分解体（過去スレpart4の542）である。
よって、過去スレpart4の876より L/K は正規拡大（過去スレpart4の844）である。
X^(q^n) - X は分離的（過去スレpart4の694）であるから L/K はGalois拡大である。
φ = ψ^m とおく。
α ∈ L のとき φ(α) = α^(p^m) = α^q である。
φ：L → L は単射であり L は有限集合であるから φ は全単射である。
よって、φ は L の自己同型である。
>>52より K は X^q - X の根全体と一致する。
よって、φ は K の元を動かさない。
よって、φ ∈ Aut(L/K) である。
>>52より L は X^(q^n) - X の根全体と一致する。
よって、φ^n = 1 である。
過去スレpart1の332より L の乗法群 L^* は巡回群である。
α ∈ L^* をその生成元とする。
|L^*| = q^n - 1 である。
φ^r = 1、1 ≦ r ＜ n とする。
α(q^r) = α
よって、α^(q^r - 1) = 1
これは α の位数が q^n - 1 であることに矛盾する。
よって、φ の位数は n である。
|Aut(L/K)| = n であるから Aut(L/K) は φ で生成される巡回群である。
証明終
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