- 32 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/03(土) 08:40:52.01 ]
- 命題
>>25と同じ状況を仮定する。
このとき L は (E_i)、i ∈ I の合成体である。
証明
(E_i)、i ∈ I の合成体を E とする。
Galois理論の基本定理（過去スレpart5の288）より Aut(L/E) = {1} を示せば良い。
先ず G ∩ Aut(L/E) = {1} を示す。
σ ∈ G ∩ Aut(L/E) とする。
σ ∈ G = ΠG_i だから σ = (σ_i)、i ∈ I と書ける。
>>25の証明より、各 i ∈ I と任意の x ∈ E_i に対して σ(x) = σ_i(x) となる。
σ ∈ Aut(L/E) だから σ_i(x) = x である。
よって、σ_i の E への制限は E の恒等写像である。
よって、>>30より σ_i = 1 である。
よって、σ = 1 である。
よって、G ∩ Aut(L/E) = {1} である。
Aut(L/K) = G~ だから>>31より G~ ∩ Aut(L/E) = Aut(L/E) は
G ∩ Aut(L/E) = {1} の Aut(L/E) における閉包である。
よって、Aut(L/E) = {1} である。
証明終
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