- 30 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/03(土) 08:33:30.01 ]
- 命題
>>25と同じ状況を仮定する。
各 i ∈ I に対して E_i/K は正規拡大（過去スレpart4の844）であり、
Aut(E_i/K)（過去スレpart4の847）は G_i に同型である。
証明
各 i ∈ I に対して E_i = ∩{F_j； j ∈ I - {i}} であり、
>>24より各 F_i/K は正規拡大である。
よって、E_i/K は正規拡大である。
過去スレpart5の242より、各 i ∈ I に対して Aut(L/K) の各元を E_i に制限することにより
連続準同型 f_i：Aut(L/K) → Aut(E_i/K) が得られる。
f_i を G_i に制限した写像を g_i：G_i → Aut(E_i/K) とする。
g_i が全単射であることを示せば良い。
過去スレpart4の887より f_i は全射である。
よって、任意の ρ ∈ Aut(E_i/K) に対して σ’∈ Aut(L/K) で σ’の E_i への制限が
ρ と一致するものが存在する。
>>25より E_i/K は有限次拡大である。
L/K は分離的（過去スレpart4の843）だから E_i/K も分離的である。
よって、原始要素の定理(過去スレpart1の335)より E_i = K(θ) となる θ がある。
>>25の証明より σ’(θ) = σ_i(θ) となる σ_i ∈ E_i がある。
一方、σ’(θ) = ρ(θ) だから σ_i(θ) = ρ(θ) である。
よって、σ_i の E_i への制限は ρ と一致する。
即ち、g_i(σ_i) = ρ である。
よって、g_i：G_i → Aut(E_i/K) は全射である。
>>22の記号で S_i の各元は j ≠ i のとき G_j で不変であるから S_i ⊂ E_i である。
τ ≠ 1 を G_i の元とする。
τ ≠ 1 だから S_i の元 s で τ(s) ≠ s となるものが存在する。
よって、g_i(τ) ≠ 1 である。
よって、g_i は単射である。
証明終
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