現代数学の系譜11 ガロア理論を読む

1 名前：名無しさん [2012/01/31(火) 22:32:36.78 ID:LTM9xtnu] ベストアンサー：”が、ガロアの論文は解りにくいモノでした。現在の整理された数学書の書き方に慣れているためか、ガロアの論文を少し眺めてみて、弱気になってしまいました。”ですか？ detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1371534513 数学の歴史に興味ある方にお尋ねします。「現代数学の系譜11、アーベル、ガロア、...noranekokuma2004さん 質問日時： 2011/9/18 「現代数学の系譜11、アーベル、ガロア、群と代数方程式、守屋美賀雄訳」にチャレンジしております。 アーベル、ガロアとも、方程式の根の有理式を説明しています。 両者の説明とも、帰着するところは、根の有理式はいわゆるラグランジュの分解式のかたちをとるというところにあると、私は考えています。 ラグランジュは、３次方程式の根、α、β、γと1の3乗根によって u=α+βω+γω＾2 v=α+βω＾2+γω という式をつくることによって、3次方程式が解けることを示しました。 彼は、それを一般化し、素数次数の方程式の根と1の累乗根と組み合わせた、いわゆる、ラグランジュの分解式を提起しました。 皆さまの見解を伺いたいと思います。 ベストアンサーに選ばれた回答siolaglebaさん 回答日時：2011/9/21 ガロアの論文が、どんなものか知りたくて、私もこの本を読もうとしました。 高名な数学者さえ理解出来なかった論文とは、一体何がどのように書かれているのか興味があったからです。すでにガロア理論を知っていたので、軽く考えていました。 が、ガロアの論文は解りにくいモノでした。現在の整理された数学書の書き方に慣れているためか、ガロアの論文を少し眺めてみて、弱気になってしまいました。 自分には、読みたい数学は一杯あるし、ガロア理論も知っている。他の数学書に取りかかった方が良いと。諦めるのが早かったかもしれません。 ラグランジュの分解式は、方程式の可解性を議論するなかで、べき根拡大を考えるとき、使ったように記憶しています。 ラグランジュは、３次・４次方程式の解明に成功しましたが、５次方程式は失敗しました。が、ラグランジュの研究は無駄ではなかったことの証が、ラグランジュ分解式と思います。 29 名前：１３２人目の素数さん [2012/02/01(水) 22:09:40.98 ] >>28　つづき ３．ガロア分解式と置換群のガロア記法との対応 （V）| φV,φ1V,・・・・,φm-1V, （V'）| φV',φ1V',・・・・,φm-1V', （V''）| φV'',φ1V'',・・・・,φm-1V'', ・・・・|･･････・・・・・・・・・・・・・・・・・ （V''*）| φV''*,φ1V''*,・・・・,φm-1V''*, 注)V''*は、Vにダッシュ'がn-1個ついたもの（アスキーでは添え字が表現できないので） 30 名前：１３２人目の素数さん [2012/02/01(水) 22:29:43.80 ] >>28-29　補足 １．ガロア分解式（リゾルベント）は、「現代数学の系譜11、アーベル、ガロア、群と代数方程式、守屋美賀雄訳」P28 ２．置換群のガロア記法は、「現代数学の系譜11、アーベル、ガロア、群と代数方程式、守屋美賀雄訳」P30,31,36など ３．ガロア分解式と置換群のガロア記法との対応は、「現代数学の系譜11、アーベル、ガロア、群と代数方程式、守屋美賀雄訳」P31 に記載がある。 なお、置換群のガロア記法は、ガロアの群論　中村亨著>>2に詳しい説明がある ガロア分解式（リゾルベント）は、「ガロアを読む」倉田令二朗>>4 P110あたりに詳しい説明がある ガロア分解式と置換群のガロア記法との対応は、あまり既存の本では強調されていない 31 名前：１３２人目の素数さん [2012/02/01(水) 22:35:30.28 ] >>30 >ガロア分解式と置換群のガロア記法との対応は、あまり既存の本では強調されていない 下記藤原松三郎 代數學 P106あたりの記述が近いが、「ガロア分解式と置換群のガロア記法との対応」という捉え方はしていない www.rokakuho.co.jp/data/books/0026.html 代數學　　第二卷 A5／765頁　9450円（本体9000円＋税5%）　978-4-7536-0026-7 藤原松三郎（理学博士）　著 第十一章　がろあノ方程式論 1. 代數的數體／2. 方程式ノがろあ群／3. がろあ分解式ノ簡約／4. 代數的ニ解カレル方程式／5. 圓周等分方程式／6. あーべる方程式／7. 素數次ノ方程式 32 名前：１３２人目の素数さん [2012/02/02(木) 07:16:33.99 ] >>30 >ガロア分解式と置換群のガロア記法との対応は、あまり既存の本では強調されていない 補足 ガロアの時代 今日のように、群をある演算（積）で閉じた集合として捉えられていない 体の漠然とした概念はあったろうが、同じようにある演算（積と和）で閉じた集合として捉えられていない そこでガロアが今日の体の代わりに考えたのが、”ガロア分解式と置換群のガロア記法との対応”だと思う 33 名前：１３２人目の素数さん [2012/02/02(木) 22:42:18.18 ] >>29 さて、ガロアは V、V'、V''、・・・・、V''* 注)V''*は、Vにダッシュ'がn-1個ついたもの（アスキーでは添え字が表現できないので） を使って、次のガロア方程式を作る F(x)＝（x-V）（x-V'）（x-V''）・・・・（x-V''*） １．この方程式は、例えば一般の５次方程式なら根の置換は１２０個あり ２．V、V'、V''、・・・・、V''*も、１２０個あり（５次の置換で異なる値をとるから） ３．F(x)は１２０次の方程式 ４．そんなものを考えてどうなる？ ５．どっこい、F(x)の１２０次の方程式をガロアは体の理論の代用に使ったのだ 34 名前：１３２人目の素数さん [2012/02/02(木) 23:53:20.27 ] >>33 例えば、重根を持たない場合、差積から判別式を作り、判別式の平方根を ガロア方程式F(x)＝（x-V）（x-V'）（x-V''）・・・・（x-V''*）に添加すると ガロア方程式は、二つに分けられるだろう V、V'、V''、・・・・、V''*の内から、>>29の置換との対応で、偶置換に属するものだけを取り出し（それらは６０個）、並べ替えて V、V'、V''、・・・・、V''**として F'(x)＝（x-V）（x-V'）（x-V''）・・・・（x-V''**）を作ることができる 残りの積は、奇置換に属するものの積 こう考えることにより ガロア方程式F(x)に補助方程式の根を添加することで、ガロア方程式F(x)を分解し、次数を下げることができる これによって、ガロア方程式F(x)を体論の代わりに使って、ガロア理論を展開することができるのだ 35 名前：１３２人目の素数さん [2012/02/03(金) 03:18:09.72 ] もうちょっと読みやすく 36 名前：１３２人目の素数さん [2012/02/03(金) 03:27:20.50 ] 高校生の皆様、スレ主のインチキに引っ掛からないように気をつけてね。 37 名前：１３２人目の素数さん [2012/02/03(金) 07:15:48.67 ] >>35 激励ありがとう 残念ながら、複雑な数学記号が掲示板では使えない 例えば、置換のコーシーの記法は、２行にわたる括弧が必要だが、ここでは使えない そこらの読みにくさはご容赦願いたい その制約の中で出来るだけ分かりやすくを心がける 38 名前：１３２人目の素数さん [2012/02/03(金) 07:19:19.91 ] >>36 そうそう、よろしくね。怪しいところがあれば、指摘して 高校生の諸君は、図書館に アーベル ガロア 群と代数方程式 (現代数学の系譜 11) >>3は、あるか ブルーバックス　「ガロアの理論」　中村亨>>2も是非併読を それから、倉田令二朗ガロアを読む>>4があれば完璧かな 39 名前：１３２人目の素数さん [2012/02/03(金) 07:24:07.85 ] >>34　補足 差積と判別式は、下記に詳しい ここでは、判別式は重根の有無を見分けるためと書かれている しかし、差積（＝判別式の平方根）は、偶置換（＝交代群の置換）で値が変わらないということも重要なのだ ja.wikipedia.org/wiki/%E9%87%8D%E6%A0%B9_(%E5%A4%9A%E9%A0%85%E5%BC%8F) 40 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/02/03(金) 13:22:13.15 ] >>38 名前：１３２人目の素数さん ：2012/02/03(金) 07:19:19.91 >>それから、倉田令二朗ガロアを読む>>4があれば完璧かな この「ガロアを読む」。誤植が多い様なきがします（第１刷）。最近の再版では 誤植はなくなったのでしょうか。 41 名前：１３２人目の素数さん [2012/02/03(金) 21:54:56.68 ] >>40 誤植か？　さあ？ まあ、おいらも初版なので、誤植に気がついたところをここにアップしてちょ 確認するから 42 名前：１３２人目の素数さん [2012/02/03(金) 21:56:06.49 ] >>38 そういえば、最近はコピー機などがあるから、面白いところをコピーすることも可だろう 43 名前：１３２人目の素数さん [2012/02/03(金) 22:06:00.91 ] >>33-34 補足 ガロア方程式という言葉は、倉田>>4のP110では 「その任意の根が他の根の有理式（k上の）で表されるような方程式のことを、今日ガロア方程式と呼んでいる」とある しかし、ここでは狭義にガロア分解式を根とするF(x)＝（x-V）（x-V'）（x-V''）・・・・（x-V''*）をガロア方程式と呼びたい それが、ガロアの頭の中にあったものだったろうから（ガロア論文で扱われているのはこれだ） 44 名前：１３２人目の素数さん [2012/02/03(金) 22:52:29.53 ] >>43 そして、判別式の平方根を添加することで ガロア方程式F(x)＝（x-V）（x-V'）（x-V''）・・・・（x-V''*） は F(x)＝F’(x)F’’(x) と二つに分けられ F'(x)＝（x-V）（x-V'）（x-V''）・・・・（x-V''**）：偶置換に属するものだけを取り出した F’’(x)：奇置換に属するものだけを取り出した となる 45 名前：１３２人目の素数さん [2012/02/03(金) 23:00:00.88 ] >>44 そして、これを素数Pのべき根に一般化すれば ガロア方程式F(x)＝（x-V）（x-V'）（x-V''）・・・・（x-V''*） は F(x)＝F’(x)F’’(x)・・・・F’p(x) とp個に分けられ F'(x)＝（x-V）（x-V'）（x-V''）・・・・（x-V''**）：ある部分群に属するものだけを取り出した F’’(x)・・・・F’p(x)：ある部分群の共役に属するものだけを取り出した となる これが、ガロアが現代の集合論的体論の代わりに頭に描いていたものだろう 46 名前：１３２人目の素数さん [2012/02/03(金) 23:10:01.29 ] >>45 補足 方程式のガロア群をGとすれば、ある部分群をHとして G=H＋τ1H+τ2H+・・・・+τp-1H と左剰余類に分割されるべき（倉田>>4 P139 式(7)） ここに、τ1、τ2、・・・・、τp-1は、ご存知Gを剰余類分割するときに登場するGの要素 なので、部分群Hの位数は群Gの位数をPで割ったものになる 47 名前：１３２人目の素数さん [2012/02/03(金) 23:13:15.16 ] >>46 補足 なお、議論を簡単にするために ここでは、念頭に置いているのは、一般の５次方程式で、ガロア方程式F(x)＝（x-V）（x-V'）（x-V''）・・・・（x-V''*）はkで既約で、重根を持たないと単純化している 48 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/02/03(金) 23:14:10.52 ] ここもいずれ熊に飲み込まれるか・・・ また一つ、クソスレが死んだ 49 名前：１３２人目の素数さん [2012/02/03(金) 23:19:27.88 ] >>45 >これが、ガロアが現代の集合論的体論の代わりに頭に描いていたものだろう こう考えると、ガロアの原論文の意図が見えてくる 例えば、”アーベル ガロア 群と代数方程式 (現代数学の系譜 11) ”のP36でガロアは ４次方程式の解法について、上記のガロア分解式（リゾルベント）、置換群のガロア記法>>28、ガロア分解式と置換群のガロア記法との対応>>29の３点セットを念頭に解説する というかこの３点セットを念頭にしなければ、なにを書いているか理解できまい 50 名前：１３２人目の素数さん [2012/02/03(金) 23:20:48.00 ] >>48 いや、猫いらずを撒いたので、熊はこない。よって、このスレはつづく 51 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/02/03(金) 23:26:40.81 ] (・3・) 52 名前：１３２人目の素数さん [2012/02/03(金) 23:31:14.99 ] test 53 名前：１３２人目の素数さん [2012/02/03(金) 23:39:12.22 ] >>49　つづき ”アーベル ガロア 群と代数方程式 (現代数学の系譜 11) ”のP36でガロアは ４次方程式の解法について １．まず、（判別式の）平方根を添加することで、全体で24個の置換を含む（ガロア）方程式の群（＝４次対称群）は２つに分解するという 　　これは、>>44に書いた通り ２．そこで、12個の置換群（これが偶置換のみで構成される交代群であることは現代数学の常識ではあるが） ３．４次方程式の根をa,b,c,dとして、この群をガロアは下記のように置換群のガロア記法で書き下す a b c d, a c d b, a d b c b a d c, c a b d, d a c b c d a b, d b a c, b c a d d c b a, b d c a, c b d a これで、24次のガロア方程式F(x)＝（x-V）（x-V'）（x-V''）・・・・（x-V''*）が 12次のF'(x)＝（x-V）（x-V'）（x-V''）・・・・（x-V''**）：偶置換に属するものだけを取り出した>>44 に次数が下がった 54 名前：１３２人目の素数さん [2012/02/03(金) 23:46:49.59 ] >>53 a b c d, a c d b, a d b c b a d c, c a b d, d a c b c d a b, d b a c, b c a d d c b a, b d c a, c b d a この１２個の置換を含む群（＝４次の交代群）を立て４行の群（＝位数４の群）に対し、巡回置換（b,c,d）との積と見ることができる そこで、３次の累乗根を添加することで、>>45-46のようにさらにガロア方程式の次数が下がる 群は a b c d b a d c c d a b d c b a に縮小し、ガロア方程式も４次式になる 55 名前：１３２人目の素数さん [2012/02/03(金) 23:54:09.01 ] >>54 群 a b c d b a d c c d a b d c b a は、 a b c d, c d a b b a d c, d c b a と見ることができる あとは、ガロアが書いている通り 平方根を添加することでガロア方程式も２次式になり、４次方程式が解けることになる ここに示したように、置換群のガロア記法は群の分解の様子を見やすくし、群の分解にガロア方程式の次数低下が対応していると見ることができる これが、ガロアが頭の中に描いていたガロア理論の原型ではなかったか 56 名前：１３２人目の素数さん [2012/02/04(土) 07:41:48.45 ] >>54 訂正 立て４行の群（＝位数４の群）に対し、巡回置換（b,c,d）との積と見ることができる 　↓ 縦４行の群（＝位数４の群）に対し、巡回置換（b,c,d）との積と見ることができる 57 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/02/04(土) 09:12:24.20 ] >>55　補足 ”群 a b c d b a d c c d a b d c b a は、 a b c d, c d a b b a d c, d c b a と見ることができる” これは、クライン群などと呼ばれる ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AF%E3%83%A9%E3%82%A4%E3%83%B3%E3%81%AE%E5%9B%9B%E5%85%83%E7%BE%A4 クラインの四元群とは、巡回群でない位数が最小の群である。また、位数2の巡回群の直積と同型である。 クラインの四群元の単位元以外の元の位数は、2である。 また、交代群 A4 の正規部分群 V = < identity, (1,2)(3,4), (1,3)(2,4), (1,4)(2,3) > と同型。 58 名前：１３２人目の素数さん [2012/02/04(土) 09:26:42.71 ] >>55 >ここに示したように、置換群のガロア記法は群の分解の様子を見やすくし、群の分解にガロア方程式の次数低下が対応していると見ることができる >これが、ガロアが頭の中に描いていたガロア理論の原型ではなかったか まとめよう １．ガロア分解式（リゾルベント）、置換群のガロア記法>>28、ガロア分解式と置換群のガロア記法との対応>>29の３点セット>>49が、ガロア理論の原型 ２．そして、ガロア分解式からガロア方程式を作る>>33-34 ３．平方根を添加すると、ガロア群は二つに分解し、その群の分解に対応してガロア方程式を二つに分解することができる>>43-44 ４．同様にして、これを素数Pのべき根に一般化すれば、ガロア群はP個に分解し、その群の分解に対応してガロア方程式をP個に分解することができる>>45-46 ５．このようにして、ガロア群の縮小に伴ってガロア方程式の次数を下げることができる 　　この様子を、ガロアは４次方程式について、解説しているのだ（ ”アーベル ガロア 群と代数方程式 (現代数学の系譜 11) ”のP36）>>53-57 59 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/02/04(土) 20:02:48.20 ] >>57-58 「置換群のガロア記法は群の分解の様子を見やすく」を補足 群 a b c d b a d c c d a b d c b a はコーシー流（現代の群論の教科書はこれ）では、次の４つの置換で書く （a b c d） （a b c d） （a b c d） （b a d c） （a b c d） （c d a b） （a b c d） （d c b a） ここで、一番上の置換は恒等置換でｅと書かれたりする 60 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/02/04(土) 20:17:41.72 ] >>59　さらに補足 で、これだけだと、メリットが少ないと見えるかも だが、群の分解を考えると a b c d, c d a b b a d c, d c b a と見ることができる”ってところでメリットがでる １．つまり現代のコーシー記法だと下記 （a b c d）, （a b c d） （a b c d）, （c d a b） （a b c d）, （a b c d） （b a d c）, （d c b a） ２．しかし、こうも見ることができる （a b c d）, （c d a b） （a b c d）, （c d a b） （a b c d）, （c d a b） （b a d c）, （d c b a） つまり、ガロアの記法は「１行目の順列の並びが省略されたコーシー記法」だと そして、上記２．の見方は、ガロアの記法の真骨頂 ２．左の列の２番目は、（ab）と（cd）が入れ替わっている。これを番号に書き直すと（12）と（34）が入れ替わっている。右の列も同じく（12）と（34）が入れ替わっている。 そういう目で、もう一度>>53のガロア記法を眺めて欲しい。ガロアが見ていたものが見えるだろう 61 名前：１３２人目の素数さん [2012/02/04(土) 23:48:44.89 ] 自分のホームページでやれ。 62 名前：１３２人目の素数さん [2012/02/05(日) 07:16:09.07 ] >>61 激励ありがとう ここが、おいらのホームページだ 63 名前：１３２人目の素数さん [2012/02/05(日) 07:49:36.20 ] >>60　つづき 置換群のガロア記法>>28について、もう一つ見ておこう ”アーベル ガロア 群と代数方程式 (現代数学の系譜 11) ”の最後P41で 定理VII n=5とせよ；群は次のようなものであろう： a b c d e, a c e b d, a e d c b, a d b e c b c d e a, c e b d a, e d c b a, d b e c a c d e a b, e b d a c, d c b a e, b e c a d d e a b c, b d a c e, c b a e d, e c a d b b c d e a, d a c e b, b a e d c, c a d b e ここで、a→1, b→2, c→3, d→4, e→5と置き換えると 1 2 3 4 5, 1 3 5 2 4, 1 5 4 3 2, 1 4 2 5 3 2 3 4 5 1, 3 5 2 4 1, 5 4 3 2 1, 4 2 5 3 1 3 4 5 1 2, 5 2 4 1 3, 4 3 2 1 5, 2 5 3 1 4 4 5 1 2 3, 2 4 1 3 5, 3 2 1 5 4, 5 3 1 4 2 5 1 2 3 1, 4 1 3 5 2, 2 1 5 4 3, 3 1 4 2 5 となる 64 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/02/05(日) 07:53:57.41 ] >>63　つづき 訂正スマソ　（５行目） 5 1 2 3 1, 4 1 3 5 2, 2 1 5 4 3, 3 1 4 2 5 　↓ 5 1 2 3 4, 4 1 3 5 2, 2 1 5 4 3, 3 1 4 2 5 第一番目の列 1 2 3 4 5, 2 3 4 5 1, 3 4 5 1 2, 4 5 1 2 3, 5 1 2 3 4, が、長さ５の巡回群を表していることは見やすい 65 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/02/05(日) 07:57:53.42 ] >>63　つづき さて、第一行目は 1 2 3 4 5, 1 3 5 2 4, 1 5 4 3 2, 1 4 2 5 3 1 2 3 4 5に、巡回置換（2 3 5 4）を次々に行なっている つまり、第一行目は巡回群（2 3 5 4）（＝長さ４の巡回群）と見ることができる 66 名前：１３２人目の素数さん [2012/02/05(日) 08:04:09.99 ] >>64-65　つづき さて、第２列目を見よう 1 3 5 2 4, 3 5 2 4 1, 5 2 4 1 3, 2 4 1 3 5, 4 1 3 5 2, 第一番目の列の冒頭1 2 3 4 5,に巡回置換（2 3 5 4）を行なって第２列目の冒頭の1 3 5 2 4, が得られる それをもとに、長さ５の巡回置換を上から順に行うと、第２列目全体が得られる 同じことを、第２列目に行なって>>63の第３列目が得られ、第３列目に行なって>>63の第４列目が得られる。 67 名前：１３２人目の素数さん [2012/02/05(日) 09:00:05.11 ] ３行で分かるガロア理論 68 名前：１３２人目の素数さん [2012/02/05(日) 11:14:37.30 ] >>67 thx 69 名前：１３２人目の素数さん [2012/02/05(日) 11:17:53.33 ] >>63 >ここで、a→1, b→2, c→3, d→4, e→5と置き換えると これで全くの間違いという訳ではないが、これではガロアの見ていたものは見えない a→0, b→1, c→2, d→3, e→4の置き換えでなければならない これだと下記になる 0 1 2 3 4, 0 2 4 1 3, 0 4 3 2 1, 0 3 1 4 2 1 2 3 4 0, 2 4 1 3 0, 4 3 2 1 0, 3 1 4 2 0 2 3 4 0 1, 4 1 3 0 2, 3 2 1 0 4, 1 4 2 0 3 3 4 0 1 2, 1 3 0 2 4, 2 1 0 4 3, 4 2 0 3 1 1 2 3 4 0, 3 0 2 4 1, 1 0 4 3 2, 2 0 3 1 4 70 名前：１３２人目の素数さん [2012/02/05(日) 11:27:58.08 ] >>69　つづき 第一番目の列 0 1 2 3 4 1 2 3 4 0 2 3 4 0 1 3 4 0 1 2 1 2 3 4 0 が、長さ５の巡回群を表していることは同じ>>64 だが、第一行目の見え方が違う 0 1 2 3 4, 0 2 4 1 3, 0 4 3 2 1, 0 3 1 4 2 これ、最初の順列を２倍したら次の順列で、それをさらに２倍したら次ということが見えるだろう 但し、mod 5(5を法として計算)でだが ここは、”アーベル ガロア 群と代数方程式 (現代数学の系譜 11) ”のP38の第VII節の群（G）の書き方から、もっと早く気づくべきだった 71 名前：１３２人目の素数さん [2012/02/05(日) 11:36:54.34 ] >>69　続き 0 1 2 3 4, 0 2 4 1 3, 0 4 3 2 1, 0 3 1 4 2 1 2 3 4 0, 2 4 1 3 0, 4 3 2 1 0, 3 1 4 2 0 2 3 4 0 1, 4 1 3 0 2, 3 2 1 0 4, 1 4 2 0 3 3 4 0 1 2, 1 3 0 2 4, 2 1 0 4 3, 4 2 0 3 1 1 2 3 4 0, 3 0 2 4 1, 1 0 4 3 2, 2 0 3 1 4 で、例えば、左から３列目で、上から３つめの順列3 2 1 0 4を考えよう これは、最初の順列0 1 2 3 4を、４倍して３を足せば（mod 5 で）得られるんだ このことを、ガロアは第VII節と第VIII節で書いている 72 名前：１３２人目の素数さん [2012/02/05(日) 11:46:39.47 ] >>71 なお、この位数20群は、下記ではB'5 メタ巡回群と書かれている この元吉文男氏の5次方程式の可解性の高速判定法は面白くて参考になった www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kyodo/kokyuroku/contents/pdf/0848-01.pdf 5次方程式の可解性の高速判定法 元吉文男 著 - 1993 ほぼ同じ内容が下記（こちらの方が年代が後で少し詳しい） staff.aist.go.jp/f.motoyoshi/java/deg5.pdf 5次方程式の可解性の高速判定法　元吉文男 著 - FM Memo 19961017-01 73 名前：１３２人目の素数さん [2012/02/05(日) 13:43:15.41 ] >>70　補足 ”第一番目の列 0 1 2 3 4 1 2 3 4 0 2 3 4 0 1 3 4 0 1 2 1 2 3 4 0 が、長さ５の巡回群を表していることは同じ>>64” ここも、これで間違いじゃないが、これではガロアの見ていたものは見えない mod 5(5を法として計算)で見ないと つまり、最初の順列 0 1 2 3 4に＋１をすると 1 2 3 4 0が得られる そう見るんだ！ それでこそ、”アーベル ガロア 群と代数方程式 (現代数学の系譜 11) ”のP38の第VII節の群（G）前後の記述と整合してくる！ 74 名前：１３２人目の素数さん [2012/02/05(日) 13:58:53.84 ] 訂正スマソ >>63 b c d e a, d a c e b, b a e d c, c a d b e（５行目） 　↓ e a b c d, d a c e b, b a e d c, c a d b e 5 1 2 3 1, 4 1 3 5 2, 2 1 5 4 3, 3 1 4 2 5（５行目） (これは>>64で書いたが再録) 　↓ 5 1 2 3 4, 4 1 3 5 2, 2 1 5 4 3, 3 1 4 2 5 >>69 1 2 3 4 0, 3 0 2 4 1, 1 0 4 3 2, 2 0 3 1 4（５行目） 　↓ 4 0 1 2 3, 3 0 2 4 1, 1 0 4 3 2, 2 0 3 1 4 >>70 1 2 3 4 0（５行目） 　↓ 4 0 1 2 3 >>71 1 2 3 4 0, 3 0 2 4 1, 1 0 4 3 2, 2 0 3 1 4（５行目） 　↓ 4 0 1 2 3, 3 0 2 4 1, 1 0 4 3 2, 2 0 3 1 4 >>73 1 2 3 4 0（５行目） 　↓ 4 0 1 2 3 注）最初>>63で、アルファベットの順列のときに一箇所誤記があって、それに気付かず誤記が拡散してしまった。 75 名前：１３２人目の素数さん [2012/02/05(日) 14:11:39.70 ] >>74 もう一度正しい群を書き下しておこう 0 1 2 3 4, 0 2 4 1 3, 0 4 3 2 1, 0 3 1 4 2 1 2 3 4 0, 2 4 1 3 0, 4 3 2 1 0, 3 1 4 2 0 2 3 4 0 1, 4 1 3 0 2, 3 2 1 0 4, 1 4 2 0 3 3 4 0 1 2, 1 3 0 2 4, 2 1 0 4 3, 4 2 0 3 1 4 0 1 2 3, 3 0 2 4 1, 1 0 4 3 2, 2 0 3 1 4　（←　ここが訂正） そしてガロアが見ていたものは １．縦に、順列0 1 2 3 4に対し、＋１mod 5(5を法として計算)で一番左の列の群（部分軍＝長さ５の巡回群）が得られ ２．横に、第一番目の列の群 0 1 2 3 4 1 2 3 4 0 2 3 4 0 1 3 4 0 1 2 4 0 1 2 3 を、２倍 mod 5(5を法として計算)すれば、２列目、２列目を２倍して３列目・・と ３．それを、”アーベル ガロア 群と代数方程式 (現代数学の系譜 11) ”のP38の第VII節の群（G）前後の記述で言えば ガロアが見ていたものは Xk, Xak+b、あるいはf(k+c)=f(k)+C (ここは、上記”アーベル ガロア 群と代数方程式 (現代数学の系譜 11) ”と合わせて読んでください) 76 名前：１３２人目の素数さん [2012/02/05(日) 14:24:31.87 ] >>75 「数学に直感を取り戻そう！」>>25 難しいことをやさしく、複雑なことを本質を抽出して単純化する>>26 複雑なことを図式化し、見える化する>>27 細部に立ち入る前に全体像を把握する これぞ数学の真髄（こころ） ガロアの見ていたものが、少し見えてきただろうか？ 77 名前：１３２人目の素数さん [2012/02/05(日) 14:36:59.33 ] >>32 >ガロアの時代 >今日のように、群をある演算（積）で閉じた集合として捉えられていない 補足（説明が不正確だった） ガロアは、群を群に属する二つの置換S、Tの積STが群に属することは明記している。 ”アーベル ガロア 群と代数方程式 (現代数学の系譜 11) ”のP27だ この事情は、ガロアの群論　中村亨>>2のP211に詳しい ただ、ガロアが現代群論のように、集合論を基本として、単位元、逆元、積で閉じた集合として群を考えていたわけではなかった だが、方程式のガロア理論を語るには十分だった ただ、他の人にそれを理解させるためには、群の概念を現代のように明確にした方が良いわけで、そこがガロアの現論文が分かりにくいといわれる原因になっている ただ、>>75で見たように、置換群のガロア記法>>30は、現在のコーシー記法より、群の分解の仕方や、置換の相互の関係を見やすくし、内容を直感的に把握するのに優れていると思う 78 名前：１３２人目の素数さん [2012/02/05(日) 16:53:08.58 ] >>62 これはひどい 79 名前：１３２人目の素数さん [2012/02/05(日) 18:19:05.45 ] >>78 ”これはひどい”？ 証明できるかね？ 80 名前：１３２人目の素数さん [2012/02/05(日) 19:00:43.53 ] >>77 ガロアは群論の創始者であり、群論が一番有名だ が、下記「ガロアへのレクイエム」や「近世数学史談」によれば、楕円関数論についても当時の時代を凌駕する研究をしていたようだ 山下純一さんの本「ガロアへのレクイエム」 (現代数学社) www.math.tohoku.ac.jp/~kojihas/kojihas-jM.html 山下純一さんの本「ガロアへのレクイエム」 (現代数学社)にお世話になりました。 近世数学史談 (岩波文庫) [文庫] 高木 貞治 www.amazon.co.jp/%E8%BF%91%E4%B8%96%E6%95%B0%E5%AD%A6%E5%8F%B2%E8%AB%87-%E5%B2%A9%E6%B3%A2%E6%96%87%E5%BA%AB-%E9%AB%98%E6%9C%A8-%E8%B2%9E%E6%B2%BB/dp/4003393910 81 名前：１３２人目の素数さん [2012/02/05(日) 19:43:38.49 ] >>79 2chは個人のホームページじゃないよ 82 名前：猫は唯のイケメン ◆MuKUnGPXAY mailto:age [2012/02/05(日) 19:46:58.20 ] >>81 でももしそういう事をスル人が居るとして、ソレを阻止したり排除した りスル方法論は存在しないでしょ。だからもしそういう事に文句がアル のであれば、ソレは管理責任を負う運営サイドにきちんと何らかの対策 を講じて貰うより他に可能性は無いでしょうね。 猫 83 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/02/05(日) 19:56:04.69 ] >>82 いやあ、こうやって猫を召還すれば、荒らしてくれるからｗ スレ潰しには猫召喚が一番さ 84 名前：１３２人目の素数さん [2012/02/05(日) 20:04:53.04 ] >>81 その証明には欠陥がある ”ここが、おいらのホームページだ”と言ったことで、果たして”個人のホームページ”になるのかどうか その証明がなされてない 85 名前：１３２人目の素数さん [2012/02/05(日) 20:06:56.07 ] >>82 乙！ >でももしそういう事をスル人が居るとして、ソレを阻止したり排除した >りスル方法論は存在しないでしょ。だからもしそういう事に文句がアル >のであれば、ソレは管理責任を負う運営サイドにきちんと何らかの対策 >を講じて貰うより他に可能性は無いでしょうね。 同意だ ”自分のホームページでやれ。”>>61の方がひどいし、荒しという考えもある 86 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/02/05(日) 20:08:32.62 ] >>61の方がひどいし、荒しという考えもあるとして、ソレを阻止したり排除した りスル方法論は存在しないでしょ。だからもしそういう事に文句がアル のであれば、ソレは管理責任を負う運営サイドにきちんと何らかの対策 を講じて貰うより他に可能性は無いでしょうね。 87 名前：１３２人目の素数さん [2012/02/05(日) 20:09:12.47 ] 猫に >乙！ ってレスする人を初めて見たｗｗｗ 88 名前：猫は唯のイケメン ◆MuKUnGPXAY mailto:age [2012/02/05(日) 20:14:22.06 ] >>85 >>86 いや、そうではありません。私は： ★★★『２ちゃんの運営側の管理者としての怠慢』★★★ を糾弾しています。誤解の無い様に願います。悪いのは決して>>61では ありません。酷いのは２ちゃんの運営サイドですね。 猫 89 名前：１３２人目の素数さん [2012/02/05(日) 20:18:30.55 ] 猫の方がひどいし、荒しという考えもあるとして、ソレを阻止したり排除した りスル方法論は存在しないでしょ。だからもしそういう事に文句がアル のであれば、ソレは管理責任を負う運営サイドにきちんと何らかの対策 を講じて貰うより他に可能性は無いでしょうね。 90 名前：１３２人目の素数さん [2012/02/05(日) 20:20:01.10 ] これだけ大きくなってしまった２ｃｈを 簡単には運営できまい。 ボランティアが削除人をやっているのが現状だから。 だから、運営を批難する前に、２ｃｈを見なければ良いだけ。 見てしまったから撲滅するなんてのは、 理論的な思考とは真反対の、単なる、 自己愛性人格障害でしかない。 つまり、 「自分には数学の才能があるのに、 　数学者として十分に活躍できなかったのは、 　父親が悪いのだ」 などという自分勝手な妄想を固く信じているということは、 これはもう精神病である。 このような症状を、自己愛性人格障害という。 91 名前：猫は唯のイケメン ◆MuKUnGPXAY mailto:age [2012/02/05(日) 20:31:27.59 ] >>89 正に『そういう事』です。私を規制できないという時点で２ちゃんの運営 は敗北しています。つまり私のこの作戦行動の標的は実は貴方達ではなく て『２ちゃんの運営サイド』という事になります。 猫 92 名前：１３２人目の素数さん [2012/02/05(日) 20:33:20.71 ] >>91 そう、俺は猫の敵でもなんでもないんだよ。 なあ、痴漢でクビになった寝取られ夫の猫さんやｗ 93 名前：１３２人目の素数さん [2012/02/05(日) 20:34:34.59 ] >>83 >こうやって猫を召還すれば、荒らしてくれるからｗ >スレ潰しには猫召喚が一番さ 熊がこなければ良い>>48-50 それにせっかく来てくれた猫さんに ”こうやって猫を召還すれば、荒らしてくれるからｗ”なんてどういう言い草かね？ 94 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/02/05(日) 20:36:10.28 ] >>93 猫も熊も似たようなもんだってことだろう（爆 95 名前：猫は唯のイケメン ◆MuKUnGPXAY mailto:age [2012/02/05(日) 20:36:44.67 ] >>92 まあこうやって２ちゃんの運営に圧力を掛けてる積りなんですがね。 ケケケ猫 96 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/02/05(日) 20:38:46.47 ] >>95 そこはハンドルネームを「猫は寝取られ夫」に変えるところですぜ、だんな 97 名前：猫は唯のイケメン ◆MuKUnGPXAY mailto:age [2012/02/05(日) 20:39:33.51 ] >>93 別に構いませんけどね。私の作戦行動の目的が２ちゃん（少なくともこの 数学板）の壊滅である事は貴方も知ってるでしょ。 猫 98 名前：猫は唯のイケメン ◆MuKUnGPXAY mailto:age [2012/02/05(日) 20:41:07.34 ] >>96 まあ「自由を獲得した」と言ったらどうですかね。 猫 99 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/02/05(日) 20:42:31.42 ] >>98 本当にそこまでポジティブに思ってるなら、いつもの猫さんなら HNを変えるところなんだけどねー 100 名前：猫は唯のイケメン ◆MuKUnGPXAY mailto:age [2012/02/05(日) 20:45:35.59 ] >>99 そんな事は別にどっちだっていいんですよ。唯言える事は、私は結婚なん てもう二度と御免だという事ですね。 猫 101 名前：１３２人目の素数さん [2012/02/05(日) 20:54:41.44 ] >>75 では、本題に戻る 0 1 2 3 4, 0 2 4 1 3, 0 4 3 2 1, 0 3 1 4 2 1 2 3 4 0, 2 4 1 3 0, 4 3 2 1 0, 3 1 4 2 0 2 3 4 0 1, 4 1 3 0 2, 3 2 1 0 4, 1 4 2 0 3 3 4 0 1 2, 1 3 0 2 4, 2 1 0 4 3, 4 2 0 3 1 4 0 1 2 3, 3 0 2 4 1, 1 0 4 3 2, 2 0 3 1 4　 この位数20のメタ巡回群B'5 >>72 元吉文男氏は、これを利用して5次方程式の可解性の高速判定法を考えた>>72 つまり、5次方程式のガロア群がもともと位数20のメタ巡回群B'5 になっていることが、5次方程式が可解である条件なのだ 一般のガロア群S5の位数は120。120/20＝6次の式が、”P の中に根を持つならば元の多項式のP でのガロア群はB05 の部分群である” ここに、Pは5次方程式の係数が属する体 もう少し精密には 体P 上の５次の多項式f(x) = x5-a1x^4+a2x^3-a3x^2+a4x-a5 x1, x2, x3, x4, x5 を不定元とし、 h = x1x2 + x2x3 + x3x4 + x4x5 + x5x1 - x1x3 - x3x5 - x5x2 - x2x4 - x4x1 (1) としたときに多項式 g = h^2 は、B'5 の置換で不変であり、A5 やS5 の置換では不変ではない。 g にS5 のすべての元を作用させたときに生成される多項式のうちで異なるものは６個 この６個を根に持つような６次方程式を考える ここでは、アスキーベースなので、添字やべきがうまく書けないので、>>72の下記文献を見てほしい staff.aist.go.jp/f.motoyoshi/java/deg5.pdf 102 名前：猫は唯のイケメン ◆MuKUnGPXAY mailto:age [2012/02/05(日) 20:54:43.59 ] >>99 アゲときますから、カキコして下さいませ。 猫 103 名前：猫は寝取られ夫 ◆MuKUnGPXAY mailto:age [2012/02/05(日) 20:56:22.56 ] ケケケ猫 104 名前：１３２人目の素数さん [2012/02/05(日) 21:07:16.36 ] >>101 ”１．ガロア分解式（リゾルベント）、置換群のガロア記法>>28、ガロア分解式と置換群のガロア記法との対応>>29の３点セット>>49が、ガロア理論の原型”と書いた>>58 >>44のアナロジーで言えば ガロア方程式F(x)＝（x-V）（x-V'）（x-V''）・・・・（x-V''*）　（120次） は、方程式のガロア群が位数20のメタ巡回群B'5 になっている場合 メタ巡回群B'5に属する20個のV、V’・・・を取り出し F'(x)＝（x-V）（x-V'）（x-V''）・・・・（x-V''**）：B'5に属するものだけを取り出した20次の式 以下、B'5の共役類に分けて F(x)＝F’(x)F’’(x)・・・F’’’’’’(x) のように、ガロア方程式F(x)（120次）が、20次づつ6つの式に分けられることがイメージできるだろう これがガロアが現代の体論と群論をベースとした理論の代わりに、頭に浮かべていたことではないだろうか 105 名前：猫は寝取られ夫 ◆MuKUnGPXAY mailto:age [2012/02/05(日) 21:17:33.32 ] >>96 貴方のご指示通りにハンドルネームを変えましたのよ〜ん。 猫ォ〜ん 106 名前：猫は寝取られ夫 ◆MuKUnGPXAY mailto:age [2012/02/05(日) 21:37:39.95 ] >>96 アゲときますのよォ〜ん。 猫 107 名前：１３２人目の素数さん [2012/02/05(日) 21:48:09.26 ] >>105-106 猫さん、アゲご苦労さまです 寝取られ夫なんすか、そうですか 結婚なんてもう二度と御免だと ご愁傷さまです 108 名前：猫は寝取られ夫 ◆MuKUnGPXAY mailto:age [2012/02/05(日) 21:54:19.91 ] >>107 いいや、『唯単に学習しただけ』ですから。だからご愁傷様でも何でも ないですね。親子という概念が全くの無意味なのは糞父のお陰で学習済 でしたけどね、でも結婚もそうだったと学習しただけですから。そもそ も紙切れ一枚でお互いの自由を縛るなんて馬鹿げてますよね。 猫 109 名前：猫は寝取られ夫 ◆MuKUnGPXAY mailto:age [2012/02/05(日) 22:12:27.67 ] >>107 ワシはアゲ猫 110 名前：猫は寝取られ夫 ◆MuKUnGPXAY mailto:age [2012/02/05(日) 22:35:02.48 ] >>107 ワシはアゲ猫 111 名前：猫は寝取られ夫 ◆MuKUnGPXAY mailto:age [2012/02/05(日) 22:56:40.52 ] >>107 ワシはアゲ猫 112 名前：１３２人目の素数さん [2012/02/05(日) 22:57:24.02 ] 現代はフリーセックスの時代だよ 113 名前：猫は寝取られ夫 ◆MuKUnGPXAY mailto:age [2012/02/05(日) 23:03:38.92 ] 現代はフリーマセマテックスの時代だよ 猫 114 名前：１３２人目の素数さん [2012/02/05(日) 23:12:52.74 ] >>108-111 なるほど、学習ですか それで、卒業証書をいただいたと 115 名前：猫は寝取られ夫 ◆MuKUnGPXAY mailto:age [2012/02/05(日) 23:14:42.59 ] >>96 しつこくアゲときますのよォ〜ん。 猫 >96 ：１３２人目の素数さん：2012/02/05(日) 20:38:46.47 > >>95 > そこはハンドルネームを「猫は寝取られ夫」に変えるところですぜ、だんな > 116 名前：１３２人目の素数さん [2012/02/05(日) 23:16:17.58 ] >>115 よいHNをつけてやった俺に感謝してね♪ 117 名前：猫は寝取られ夫 ◆MuKUnGPXAY mailto:age [2012/02/05(日) 23:16:37.56 ] >>114 証書は貰ってません。唯単に懲りただけです。 猫 118 名前：猫は寝取られ夫 ◆MuKUnGPXAY mailto:age [2012/02/05(日) 23:18:03.00 ] >>116 感謝してるから『こそ』、こうやって愛用してるんじゃないですか。 猫 119 名前：猫は寝取られ夫 ◆MuKUnGPXAY mailto:age [2012/02/05(日) 23:30:38.30 ] >>96 しつこくアゲときますのよォ〜ん。 猫 >96 ：１３２人目の素数さん：2012/02/05(日) 20:38:46.47 > >>95 > そこはハンドルネームを「猫は寝取られ夫」に変えるところですぜ、だんな > 120 名前：１３２人目の素数さん [2012/02/05(日) 23:31:44.03 ] >>101 5次方程式の可解と非可解が、ある置換に関する６次方程式が解けるかどうかに関係すると これは、ラグランジュもそれに近いところ（６次方程式が解けるかどうか）まで行っていた（山下純一さんの本「ガロアへのレクイエム」>>80 P185） ガロアは、おそらくラグランジュを読んでいた （例えば、（θ＋αθ1+α^2θ2+・・・++α^p-1θp-1））^p)をガロアは記しているが、これはラグランジュの分解式だ。（ ”アーベル ガロア 群と代数方程式 (現代数学の系譜 11) ”のP36）） だが、”「自分の理論をラグランジュの理論から独立したものにしようと考えた・・」とエドワーズは述べている”（山下P271） まあ、思うにラグランジュの理論の亜流とは見られたくなかったのかも 121 名前：猫は寝取られ夫 ◆MuKUnGPXAY mailto:age [2012/02/05(日) 23:43:31.84 ] >>96 しつこくアゲときますのよォ〜ん。 猫 >96 ：１３２人目の素数さん：2012/02/05(日) 20:38:46.47 > >>95 > そこはハンドルネームを「猫は寝取られ夫」に変えるところですぜ、だんな > 122 名前：猫は寝取られ夫 ◆MuKUnGPXAY mailto:age [2012/02/05(日) 23:44:24.08 ] ああ、スレが焼けて行くなァ〜 猫 123 名前：１３２人目の素数さん [2012/02/05(日) 23:46:24.01 ] >>83が正解でした〜 124 名前：猫は寝取られ夫 ◆MuKUnGPXAY mailto:age [2012/02/05(日) 23:51:08.32 ] 潰して欲しかったら何時でも依頼して下さいまし。 猫 125 名前：１３２人目の素数さん [2012/02/05(日) 23:57:53.28 ] >>124 いや、つぶしはご勘弁だが、定期的に上げて頂くのはありがたい 一日３回ご飯の時にしていただけるくらいでたいへん助かる おそらく、ここにまともに書くのはおいらくらいだから 126 名前：猫は寝取られ夫 ◆MuKUnGPXAY mailto:age [2012/02/05(日) 23:59:43.59 ] >>125 そうですか。ほんならワシが協力しますがな。 猫 127 名前：１３２人目の素数さん [2012/02/06(月) 00:01:15.85 ] ところで、その唯単に懲りた結婚と数学板との結びつきがいまいち理解できないが Ａ.その女が数学教師だった、B.寝取った相手の男が数学教師だった、C.その他 答えにくければ、無理に答える必要はないが、どうよ？ 128 名前：１３２人目の素数さん [2012/02/06(月) 00:01:56.20 ] >>126 ありがとう。よろしくね、感謝します！ 129 名前：猫は寝取られ夫 ◆MuKUnGPXAY mailto:age [2012/02/06(月) 00:03:03.12 ] >>127 全く関係がアリマセン。無関係です。 猫

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