- 1 名前：１３２人目の素数さん [2011/10/29(土) 22:42:36.86 ]
- 数学基礎論は、素朴集合論における逆理の解消などを一つの動機として、
19世紀末から20世紀半ばにかけて生まれ、発展した数学の一分野です。
現在では、証明論、再帰的関数論、構成的数学、モデル理論、公理的集合論など、
多くの分野に分かれ、極めて高度な純粋数学として発展を続けています。
（「数学基礎論」という言葉の使い方には、専門家でも若干の個人差があるようです。）
応用、ないし交流のある分野は、計算機科学の諸分野や、代数幾何学、
英米系哲学の一部などを含み、多岐にわたります。
（数学セミナー98年6月号、「数学基礎論の学び方」
ttp://www.math.tohoku.ac.jp/~tanaka/intro.html
或いは 岩波文庫「不完全性定理」 6.4 数学基礎論の数学化 などを参照）
従ってこのスレでは、基礎的な数学の質問はスレ違いとなります。
他のスレで御質問なさるようにお願いします。
前スレ
数学基礎論・数理論理学 その9
kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1317639944/
- 381 名前：１３２人目の素数さん [2011/11/14(月) 08:52:14.54 ]
- >>380
そういうのは数理論理学ではなくて論理学がやることだね
- 382 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/14(月) 09:15:32.61 ]
- >>384
数理論理学（＝記号論理学）と論理学とはどう違うのさ？ ヽ(^。^)ノ
- 383 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/14(月) 10:16:00.81 ]
- 記号を使うかどうか
- 384 名前：１３２人目の素数さん [2011/11/14(月) 10:21:26.09 ]
- 「記号論理学」には「(アリストテレス流の)伝統的論理学」は含まれない。
- 385 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/14(月) 14:53:23.90 ]
- >>380 ：１３２人目の素数さん：2011/11/14(月) 05:10:34.13
＞
＞論理法則とはそも何ぞや？
論理法則＝トートロジー
- 386 名前：１３２人目の素数さん [2011/11/14(月) 18:44:59.32 ]
- ゲーデルオリの証明で不完全性定理アプローチしとんか
モデル論使えば一発なんやけどな
- 387 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/14(月) 19:42:18.19 ]
- ゲー・デルオリって誰
- 388 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/14(月) 19:43:51.28 ]
- ゲロ出る俺
- 389 名前：１３２人目の素数さん [2011/11/14(月) 20:28:44.06 ]
- ゲーデルオリジナルの略にきまっちょるがな
- 390 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/14(月) 21:55:34.44 ]
- 超素人なんだけど、ゲーデルの不完全性定理と対角線論法の関係を教えてくれ
何と何が対応しているんだ？
対角線論法じたいは、数学ガールで分かった。しかし不完全性定理はあの本でもイミフだった。
- 391 名前：１３２人目の素数さん [2011/11/14(月) 22:14:05.98 ]
- 第1不完全性定理はPAの中の論理式で、
￢を付けても付けなくても証明不可能なものが存在すると主張する定理。
この論理式はゲーデル文と言われ、対角線論法はゲーデル文をつくる際に必要。
対角化定理(不動点定理)自体は数学のあらゆる場所に登場する。
チューリング機械の停止判定問題が否定的に解ける件などもこれが原因。
- 392 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/14(月) 23:01:20.98 ]
- >>389
ヴェルタース・オリジナルみたいなもん？
- 393 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/15(火) 00:22:52.63 ]
- >390
「不完全性定理と対角線論法の関係」という話だと、もうちょっと突っ込んだ考えが必要。
Webだとこれが良くまとまっていると思う。
(pdf)自己言及の論理と計算
ttp://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~hassei/selfref2006.pdf
- 394 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/15(火) 01:46:48.53 ]
- >>378
>間違えがある。
>rが再帰的、つまり表現可能とは、
>r⇒PA|-R
>￢r⇒PA|-￢R
>の2つが満たされること。
>rが再帰的⇒PA|-Rにならない。
仰る通りです。私が間違ってました。
>そしてそのPDFは証明の誤りや脱字や
>定義の足らない部分が多数含まれている、
>読まないほうが良い。
たしかに、題からしてすごい間違いを犯してますね。
ただ、私の気になる第二不完全性定理の箇所に関しては、私には誤りが見つかりませんでした。そして、非常に分かりやすい証明でした。
具体的にどこが誤っているか教えていただけませんか？
よろしくお願いします。
- 395 名前：１３２人目の素数さん [2011/11/15(火) 07:24:03.09 ]
- >>392
知りません///
>>393
良くかけてるとおもう
>>394
誤りがあるか否かが問題ではない
誤りがると信じるか否かが問題である
- 396 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/15(火) 14:45:36.71 ]
- 言及されてる論文も貼っとく。
www.springerlink.com/content/h881p406u0378850/fulltext.pdf
- 397 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/15(火) 21:28:16.27 ]
- >>390
www.age.ne.jp/x/eurms/GDL.html#00
- 398 名前：１３２人目の素数さん [2011/11/15(火) 22:03:40.15 ]
- >>338
>逆に２から１は一般に出ない。
具体的な反例は？
- 399 名前：394 mailto:sage [2011/11/15(火) 22:57:44.24 ]
- >>395
そうですか、残念です。
もう少し考えてみます。
- 400 名前：１３２人目の素数さん [2011/11/15(火) 22:58:52.36 ]
- 演繹定理から逆も成り立つ＾＾；
- 401 名前：１３２人目の素数さん [2011/11/15(火) 23:01:53.16 ]
- >>363
数学についてはもちろんおっしゃるとおりですが，物理理論にとって実験結果
との整合は実は単なる結果であって，その理論の単純さや美しさこそが正当性
の根拠なのではないでしょうか（たとえば特殊相対論）．
そろそろ２１世紀の科学哲学が必要なのでは？
- 402 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/15(火) 23:07:07.64 ]
- 実験との整合性は物理理論の目的
特殊相対性理論では、マイケルソン・モーリーの実験の意味を考えるのが、
アインシュタインの研究の動機。
- 403 名前：１３２人目の素数さん [2011/11/15(火) 23:17:36.97 ]
- >>402
知ってのとおり天動説だって観測との整合性はあった．
アインシュタインはマイケルソンモーリーの実験を知らなかったという
説もある（それは十分あり得ることだろう）．
このあたりはこの板のみなさんにはいうまでもないだろうが．
- 404 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/15(火) 23:21:18.86 ]
-
俺が彼氏にフェラチオしてるときはもっと激しくジュパジュパ音を出してあげてるよ
- 405 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/15(火) 23:22:45.71 ]
- 理論が美しい、とか誰が判定するんだ？
- 406 名前：１３２人目の素数さん [2011/11/15(火) 23:27:08.83 ]
- >>405
単純さなら，相当程度客観的に評価できるんでないかい．
- 407 名前：１３２人目の素数さん [2011/11/15(火) 23:37:59.91 ]
- >>399
本当に間違っているか不明。
余り信じないほうが良い。
ゲーデルの証明は複雑で、粗探しは大変そう。
そのPDF書いた人もself-containedじゃないと
ことわりを入れてるのでなおさら難しい...。
不完全性定理は有限の立場、つまり2項述語∊を使ってよいなら、
集合論を経由してかなりシンプルに証明できる。
- 408 名前：１３２人目の素数さん [2011/11/15(火) 23:38:50.87 ]
- 訂正：
不完全性定理は有限の立場、
↓
不完全性定理は有限の立場を出て、
- 409 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/15(火) 23:43:22.09 ]
- >>400
演繹定理って、
Γ,A|-B ⇒ Γ|-A→B
のことだよね？
Γ|-A ⇒ Γ|-B
とは、違うのでは？
- 410 名前：１３２人目の素数さん [2011/11/15(火) 23:54:38.09 ]
- >>409
|-A⇔|-B を仮定。
|-A⇒|-B について考えると、
|-A より {B}|-A
演繹定理を使って
|-B→A-------(1)
逆に|-B⇒|-A について考えると、
|-A→B-------(2)
(1),(2)から |-A←→B □
- 411 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/15(火) 23:58:26.37 ]
- >>407
真摯なコメントありがとうございます。
>不完全性定理は有限の立場、つまり2項述語��を使ってよいなら、
>集合論を経由してかなりシンプルに証明できる。
様相論理を使う証明のことですか？
もう導出性条件の有限な証明を理解するのは諦めようかな、、、。
- 412 名前：１３２人目の素数さん [2011/11/16(水) 00:06:41.74 ]
- >>410
まちがっとるやろ．
それは，|-Aかつ|-Bから|-A←→Bを出しとるんや．
- 413 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/16(水) 00:07:10.52 ]
- >>410
>|-A より {B}|-A
ここは、
|-A⇒|-B より、 {B}|-A⇒|-B
としか、言えないのでは？なので、以下も
>演繹定理を使って
>|-B→A-------(1)
|-B→A⇒|-B
としか言えないと思いますが。
- 414 名前：410 mailto:sage [2011/11/16(水) 07:10:46.56 ]
- >>412-413
完全に間違っていた
- 415 名前：１３２人目の素数さん [2011/11/16(水) 07:50:18.61 ]
- >>411
公理的集合論を使った証明ですね。
補題：集合論は集合モデルの存在を証明できない、
を使ってPAの第2不完全性を証明。
第1はRE集合での証明がシンプルで見通しが良い。
詳細な論理式についての議論を省ける。
ただし集合が胡散臭いなら無理...。
- 416 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/16(水) 19:33:17.57 ]
- 確かに今じゃ数理論理学は、哲学方面のほうが盛んだよな。
クリプキの定理とか数学史を塗り替えるものだし。
- 417 名前：１３２人目の素数さん [2011/11/16(水) 20:22:30.89 ]
- 394さんの質問にお答えします。
まず関係というからには「何に関する何項関係か」を明示する必要があります。
例：「nは素数である」は数nに関する１項関係である。n+3<m は数n,mに関する２項関係である。
そしてたとえば「数 n,m に関する２項関係が論理式Aによって表現される」という場合には、
A中に n,m に対応する自由変数記号 x,y があって、x,y に「数n,mを表す項」を代入した論理式のことを
論じる必要があります。
そこで件の悲惨なPDFですが、たとえば89ページの下から4～3行目の
定理11より、関係 Bew(「r」) は論理式 bew(『r』) によって表現される。
という部分に次の質問をすれば簡単に終わりかと思います。
関係 Bew(「r」) は何に関する何項関係ですか？
論理式 bew(『r』) 中の対応する自由変数記号はどれですか？
（注意：83～84ページにあるように『r』は定数を表す項であって自由変数記号を含みません）
- 418 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/16(水) 22:19:31.52 ]
- >>417
解説ありがとうございます。
納得しました。たしかに、皆様の仰る通り、このpdfは間違いがけっこうありました。たとえば、 他にも、pp91の(15.6)から(15.7)にかけての箇所も誤りですよね？
417さんのおかげで、より深い理解が得られました。ありがとうございます。
- 419 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/16(水) 22:31:12.25 ]
- >>417
追記
もし、第二不完全性定理の証明について解説しているネット上の資料をご存知でしたら、教えていただけませんか？
言語は英語でも構いません。それと、証明の方法は、様相論理等によるものではなく、第一不完全性定理の証明を形式化してする証明によるものでお願い致します。
、、、なんかものすごい厚かましいですね、すみません。
- 420 名前：１３２人目の素数さん [2011/11/17(木) 00:13:52.72 ]
- ttp://www.scribd.com/doc/51607996/An-Introduction-to-Godel-s-Theorems
ttp://phil.gu.se/logic/uppsatser/blanck_logd.pdf
余談だが可証性述語を様相演算子に置き換えることで、
第2不完全性定理は証明できない。
そもそもの3つの可導性条件を満たすことを示すのが
この証明の最大の難所なわけで、これは第1不完全性定理の
算術化を避けては通れない。
しかしこの算術化を厳密に行うテキストはほとんど皆無で、
大抵は3つの条件を事実として認めるか、アウトラインを述べるにとどまる。
かつてNatarajan Shankarは定理自動証明機械を用いて完全な証明を試みたが、
そのプログラム中にはエラーが発見された...。
またBoolosははじめから様相論理で算術を展開したが、
これは強い体系のため、第2不完全性定理よりも弱い定理になることが指摘されてしまう...。
- 421 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/17(木) 04:41:25.90 ]
-
次の問題にこたえよ。 解答のみならず、解法も記せ。
【問題】ことがら Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ があり、これらについて 次の２つの
関係が成り立っているものとする。
（ｲi Ａであれば、Ｂか又はＣである
（ﾛ）Ｄであれば、ＢでもＣでもない
このとき、以下の主張（１）～（７）のうち正しいものを列挙せよ。
（１）Ｄでなければ、Ａではない
（２）Ｃでなければ、Ｄではない
（３）Ａでなければ、Ｄでないか又はＢではない
（４）Ａでなければ、Ｄではない
（５）Ｂでなければ、Ａでないか又はＤである
（６）Ｂでなければ、Ａでないか又はＣである
（７）Ｂであれば、Ｃではなく、Ｄでもない
、
- 422 名前：１３２人目の素数さん [2011/11/17(木) 11:19:21.45 ]
- スレチ
論理学スレか質問スレでやれ
- 423 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/17(木) 15:35:49.54 ]
- いちいちコピペに反応するな
- 424 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/17(木) 16:31:46.49 ]
- >>420
参考資料と解説ありがとうございます。資料は後ほどじっくり読んでみたいと思います。
やはりderivability conditions の証明は相当に難しいのですね。
すみません、まだ疑問があります。以下の推論はどこがおかしいでしょうか。以下を認めるとD1からD3がでてきてしまうのですが。
D1より
PA|- A ならば PA|-Pr(【A】)
また、
PA,A|- A
ゆえに、
PA,A|- Pr(【A】)
演繹定理より、
PA|- A→ Pr(【A】)
- 425 名前：１３２人目の素数さん [2011/11/17(木) 18:39:44.83 ]
- >>424
＞PA|- A ならば PA|-Pr(【A】)
＞また、
＞PA,A|- A
＞ゆえに、
＞PA,A|- Pr(【A】)
ここがおかしい。
PA,A|-A のとき、
A|-A かつ PA|-/-A があり得る。
- 426 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/17(木) 19:38:25.07 ]
- >>425
>PA,A|-A のとき、
>A|-A かつ PA|-/-A があり得る。
すみません、、まだよく分からないのですが、
PA|-/-Aのときは、Prの定義より、PA,Aから Pr(【A】)は証明できないということでしょうか。
- 427 名前：１３２人目の素数さん [2011/11/17(木) 19:58:19.69 ]
- >>426
証明の前にわかっていること。
PA|-A が成り立つとき、PA|-Pr(【A】) を結論してよい。
証明の仮定。
PA,A|-A
例えばAがPAから独立とする。
するとPA|-/-A。
このとき、PA|-Pr(【A】)もしくはPA|-/-Pr(【A】)。
ここで、PA|-/-Pr(【A】)の場合を考える。
すると、A|-Pr(【A】)もしくはA|-/-Pr(【A】)。
さらに、A|-/-Pr(【A】)の場合を考えると、
PA,A|-/-Pr(【A】)
- 428 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/17(木) 21:36:37.32 ]
- >>427
よくわかりました。丁寧な解説ありがとうございます。
- 429 名前：１３２人目の素数さん [2011/11/17(木) 23:01:37.14 ]
- >>428
ほんとにわかった？
Pr述語が途中ですり替わっているだけでしょ？
424はきちんと書けば、つぎのようになるでしょ。
D1より
PA|- A ならば PA|-Pr( PA,【A】)
また、
PA,A|- A
ゆえに、
PA,A|- Pr( PA+A,【A】)
演繹定理より、
PA|- A→ Pr( PA+A,【A】)
つまり、この最後が Pr( PA,【A】) でなければD3は出てこないでしょ？
Pr( PA+A,【A】) はまあ自明だよね。
- 430 名前：官軍（一兵卒）(＾o＾) mailto:sage [2011/11/18(金) 02:03:43.06 ]
- >>424
＞演繹定理より
ﾜﾛﾀYO
- 431 名前：１３２人目の素数さん [2011/11/18(金) 14:31:35.38 ]
- 電波テロ装置の戦争(始)
エンジニアと参加願います公安はサリンオウム信者の子供を40歳まで社会から隔離している
オウム信者が地方で現在も潜伏している
それは新興宗教を配下としている公安の仕事だ
発案で盗聴器を開発したら霊魂が寄って呼ぶ来た
<電波憑依>
スピリチャル全否定なら江原三輪氏、高橋佳子大川隆法氏は、幻聴で強制入院矛盾する日本宗教と精神科
<コードレス盗聴>
2004既に国民20%被害250～700台数中国工作員3～7000万円2005ソウルコピー2010ソウルイン医者アカギ絡む<盗聴証拠>
今年５月に日本の警視庁防課は被害者SDカード15分を保持した有る国民に出せ!!<創価幹部>
キタオカ1962年東北生は二十代で2人の女性をレイプ殺害して入信した創価本尊はこれだけで潰せる<<<韓国工作員鸛<<<創価公明党 <テロ装置>>東芝部品)>>ヤクザ<宗教<同和<<公安<<魂複<<官憲>日本終Googl検索
- 432 名前：１３２人目の素数さん [2011/11/18(金) 16:17:35.18 ]
- 魂は幾何学
誰か(アメリカ)気づいた
ソウルコピー機器
テロ装置の再読願います
- 433 名前：１３２人目の素数さん [2011/11/18(金) 22:31:02.80 ]
- 数学、特にその中核となる数論は、
古代の人、未来の人、遠い外国の人、もしかしたら
宇宙人とさえも交信可能な、コミュニケーション素材。
でも基礎論は今の限定された人々のあいだだけだな。
- 434 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/18(金) 22:33:47.42 ]
- 虎の威を借る狐
って言葉知ってるか？ｗ
- 435 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/22(火) 02:57:04.13 ]
- 通常の整数ではなく、代数的整数でも宇宙人と交信可能だというわけか。
代数的整数の定義は、必然的に選ばれたものだとでも？
- 436 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/22(火) 19:12:38.48 ]
- RのQ-線形空間としての基底は存在するが、それを「具体的に構成して見ることは出来無い。」を証明するにはどんな枠組、手法が要るの？
- 437 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/22(火) 20:30:32.85 ]
- 選択公理とパラレルになってる
- 438 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/23(水) 02:47:31.19 ]
- 選択公理の成り立たないモデルを作る必要がある罠
- 439 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/23(水) 09:46:17.55 ]
- >>433
自然数も実数と同様に人の作ったウソである
- 440 名前：１３２人目の素数さん [2011/11/23(水) 10:13:50.48 ]
- >>439
ウソという言葉に否定的なニュアンスを勝手に感じてはならないわけですね。
- 441 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/23(水) 11:09:09.69 ]
- イヌやサルにとって自然数も実数もまったく必要がないものである．
- 442 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/23(水) 12:34:43.78 ]
- イヌヤサルは物を数えるのに自然数は用いていないちう主張？
- 443 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/23(水) 12:44:02.85 ]
- 1,2,3,∞
- 444 名前：１３２人目の素数さん [2011/11/23(水) 13:35:33.45 ]
-
数学はつまるところ数量の科学でしょ？といったら笑われたｗ
構造・作用・空間の科学だと。
でもそういう概念も数量記号化不可能なものなら数学ではないんじゃ・・・
- 445 名前：１３２人目の素数さん [2011/11/23(水) 13:37:34.74 ]
- 数量的概念のはいらない数学なんてありうるのでしょうか？
あったとしてもそれはある公理系をもった記号論理学にすぎなくなるのでは。
- 446 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/23(水) 14:18:31.81 ]
- >439
そうすると類別も対応も嘘になるから何にもできなくなると思う。
- 447 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/23(水) 14:55:53.34 ]
- 嘘、というか、都合のよいフィクション
- 448 名前：１３２人目の素数さん [2011/11/23(水) 15:12:46.43 ]
- 自然数全体の集合というのは、便宜的なものにすぎないが、
自然数に対する興味は知性的な頭脳集団の存続する限り
残るだろう。
素数はどれくらいあるか？(リーマン予想)
不定方程式に整数解はあるか？(フェルマー予想)
そして素晴らしいことには、この二つの問いには
19世紀以来、継続的に散発的でない進展があるということ。
- 449 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/23(水) 15:17:52.53 ]
- ただし、数論と比較して、幾何学は、
もともとの意味の幾何学(クライン以前)は、継続的な進展は途絶え、
数学としての深みのある問題はなくなってしまったので、
数論の進展も永久に残るかどうかは分からない。しかし、
それは数学ないし知性自体の死を意味するかもしれない。
- 450 名前：１３２人目の素数さん [2011/11/23(水) 15:49:07.89 ]
- 最近集合論を勉強しているけど
座標を前にしてRの直積、写像、ベキ乗について考えてるとなんだか
わけがわからなくなってくる。それぞれが原子、運動、空間の範囲
みたいに見えてくる。しかしそうするとそもそも集合って何って思え
てきて頭が死ぬ！
- 451 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/23(水) 16:13:15.63 ]
- その程度で死ぬ頭ならそのまま死んだ方がいい
- 452 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/23(水) 17:29:15.38 ]
- >>449
「クライン以前の幾何学」（初等幾何）というのは
「ガロア以前の代数学」（初等代数）というのと
同程度の意味しかない。
クライン以降、幾何学はリー群論に進化してしまった。
- 453 名前：１３２人目の素数さん [2011/11/23(水) 17:34:03.03 ]
- >>450
ある人に、集合とは何か？と聞かれたので、
「｛｝と，だけで表わせるもの」
と答えてやった。
{},{{}},{{},{{}}},･･･
上記の最初の３つの集合は、それぞれ
自然数の０，１，２に対応する。
- 454 名前：１３２人目の素数さん [2011/11/23(水) 17:37:59.01 ]
- >>446
＞そうすると類別も対応も嘘になるから
どうも私の発言を誤解しているようだが、
私は０とか１とか２とかいう数がウソ（つまりフィクション）
だといったのではない。
それらをひっくるめた概念としての自然数というものが
ウソ（つまりフィクション）だといったのである。
例えば数学的帰納法というのは、あくまで願望にすぎない。
- 455 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/23(水) 17:39:28.89 ]
- 数学は小説と同じ
人間の思考パターンの表現
数学が研究しているのは、脳という神経組織の振る舞い。
- 456 名前：１３２人目の素数さん [2011/11/23(水) 18:03:22.65 ]
- >>453
可視化へ進みすぎじゃあないか
前に少しグラフを習ったので、それだと考えると「見える」んだけどなあと思った。
つまり座標成分を点、写像は線と考えればいい。（完全）二部グラフならそれぞれの数が
そのまま一致する。特に意味が無いけど、、
- 457 名前：１３２人目の素数さん [2011/11/23(水) 18:08:30.09 ]
- >>453
それは余り説明になっていない。
それにその書き方は一部の集合論の流儀にすぎない。
- 458 名前：１３２人目の素数さん [2011/11/23(水) 18:38:53.26 ]
- >>456
点と線で視覚化できる集合写像はごく一部にすぎないけど。
- 459 名前：１３２人目の素数さん [2011/11/23(水) 18:59:57.61 ]
- >>457
まあいいじゃん、聞いてきた相手もちゃんとした説明が欲しいんじゃないだろうし。
- 460 名前：１３２人目の素数さん [2011/11/23(水) 20:44:22.77 ]
- >>452 まぁ、ある意味そう言うこと。
しかし数論の場合は、ガロア以前の問題を
ガロア以後の研究が解決し続けているのに対し、
幾何学は、問題自体を捨て去った。
捨てずに追いかけ続けたのが、和算。
日本人の性質を表しているようだ。
因みに幾何学という語が日本で使われ出したのは
明治以降。
- 461 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/23(水) 21:05:08.00 ]
- 初等幾何学が研究されなくなったのは、
難しい問題がなくなったからではない。
難しい問題の全てが解決されないか、
解決されても散発的な解法しか発見されなくなったから。
- 462 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/23(水) 21:07:40.13 ]
- 最近解かれたケプラー予想は初等幾何の問題。
そういう意味では進展は無いわけではないし
研究も全くなくなったわけではない。
しかし、発見された解法はどれも美しくない。
- 463 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/23(水) 23:27:01.85 ]
- 現実と虚構をわざと混同させる意図のもと構成されたフィクション。
- 464 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/24(木) 06:33:55.54 ]
- >>460
＞幾何学は、問題自体を捨て去った。
とは思わんね。幾何学を合同変換群における不変式論と
定義しなおしてしまった時点で、不変式かどうか判定
すればすむ問題は、もはや問題ではない。
- 465 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/24(木) 06:39:59.15 ]
- >>457
残念だが、ZFCでは集合論に集合以外のものは出てこない。
つまり{}と,以外で書き表さねばならないようなものは出てこない。
もちろん、内包的な定義は存在する。
しかし、これを外延的に表わせたとするなら
やはり{}と,しか出てこない。
自然数であれ実数であれ複素数であれ、集合である。
すべて{}と,で表わせる。面倒だから省略記法で誤魔化してるだけだ。
- 466 名前：１３２人目の素数さん [2011/11/24(木) 07:01:01.81 ]
- >>465
一部の集合論がZFCだって言ってるんだけど。
- 467 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/24(木) 07:07:32.62 ]
- >>466
一部というには、大きすぎるような。Axiom of Foundation が特殊
といいたいということでも、ちょっとなぁ。
- 468 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/24(木) 07:43:18.26 ]
- 内包公理さえうまく定義すれば集合なんてブラックボックスでも形式化できる。
しかし{}と,だけで書けるってのおかしい。
非可算無限個の集合を紙の上にかけるなら元々ZFCなんていらないし。
- 469 名前：１３２人目の素数さん [2011/11/24(木) 10:43:13.01 ]
- >>464
初等幾何の全ての問題が捨て去られたわけではないね。
ケプラー予想などを除く最も主要だった問題群は、
今や代数幾何学という分野名で数論と密接に関連して
研究され続けていると。
- 470 名前：１３２人目の素数さん [2011/11/24(木) 11:00:32.48 ]
- しかし数論の問題と違って、幾何学は、
問題を昇華する過程で、結局古典的問題は
原型をとどめたままでも面白いものは無くなり、
結局捨て去られてしまったのだと思う。
円を有限分割して同体積の正方形に
できないことは、まだ証明されてから
一世期たっていないはずだが、
ケプラー予想ほどではないけど、あまり評価されてないと思う。
- 471 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/24(木) 11:34:46.08 ]
- 19世紀クラインは、幾何学の問題を不変式論に
還元したというより、群や不変式という
代数学の言葉を使って、幾何学の意味の
拡大を行ったというほうが正しいだろう。
それまで幾何学と思われなかったことまで
幾何学という言葉で綺麗にくくれると。
16世紀にデカルトがすでにユークリッド幾何学を
方程式論に還元できることは言っていた。
しかし、それでも和算家は、
幾何は幾何として研究していたわけで。
- 472 名前：１３２人目の素数さん [2011/11/24(木) 13:37:31.72 ]
- つまんねぇの。
- 473 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/24(木) 18:26:00.68 ]
- 第一不完全性定理の仮定はω無矛盾でなく無矛盾でよいと聞きますが、
その場合は証明の定義を変更する必要があると
- 474 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/24(木) 18:27:11.10 ]
- >>473
ミスしました。
第一不完全性定理の仮定はω無矛盾でなく無矛盾でよいと聞きますが、
その場合は証明の定義を変更する必要があるとwikipediaにはあります。
しかしそれでは定理の一般化とは言えないのではないでしょうか？
- 475 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/24(木) 18:35:59.28 ]
- wikipediaじゃ数学の勉強にはならん。
証明読め。
- 476 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/24(木) 18:38:22.54 ]
- >>475
新井敏康の本では証明の定義を変えているという訳ではないようです。
wikipediaの記述が間違いなのでしょうか？
- 477 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/24(木) 18:50:53.34 ]
- なぜわざわざω無矛盾にしたのだろうかという考察が岩波文庫の不完全性定理本にある。
- 478 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/24(木) 20:26:01.91 ]
- >>474
証明の定義というより可証性述語の定義。
今新井の本をちらっと見たけど
第一不完全性定理の証明の前に
算術化を行ってProv(a,b)を定義していて、
第一不完全性定理でロッサー述語を一気に導入して証明してた。
ロッサー述語は定理の条件のω無矛盾が無矛盾に広げられる。
ゲーデルも論文出したときは無矛盾にしたかったらしいよ。
- 479 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/24(木) 20:30:45.57 ]
- >>478
ということは、純粋な一般化ということでいいのでしょうか？
証明の中でPrの定義を変更していますが、証明する事柄にPrは現れないので。
- 480 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/24(木) 21:13:54.22 ]
- ゲーデルとロッサーの原論文を読めばすぐに済むことをわざわざ質問する意図がわからない。
- 481 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/24(木) 21:15:53.77 ]
- ゆとり世代なめるなよ
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