- 1 名前：１３２人目の素数さん [2011/10/29(土) 22:42:36.86 ]
- 数学基礎論は、素朴集合論における逆理の解消などを一つの動機として、
19世紀末から20世紀半ばにかけて生まれ、発展した数学の一分野です。
現在では、証明論、再帰的関数論、構成的数学、モデル理論、公理的集合論など、
多くの分野に分かれ、極めて高度な純粋数学として発展を続けています。
（「数学基礎論」という言葉の使い方には、専門家でも若干の個人差があるようです。）
応用、ないし交流のある分野は、計算機科学の諸分野や、代数幾何学、
英米系哲学の一部などを含み、多岐にわたります。
（数学セミナー98年6月号、「数学基礎論の学び方」
ttp://www.math.tohoku.ac.jp/~tanaka/intro.html
或いは 岩波文庫「不完全性定理」 6.4 数学基礎論の数学化 などを参照）
従ってこのスレでは、基礎的な数学の質問はスレ違いとなります。
他のスレで御質問なさるようにお願いします。
前スレ
数学基礎論・数理論理学 その9
kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1317639944/
- 159 名前：１３２人目の素数さん [2011/11/03(木) 16:53:44.43 ]
- >>156
ん？「代数解の存在を証明するのに必要な前提」は証明しないよ。
ミュンヒハウゼン（あるいはアグリッパ）のトリレンマって知ってる？
全ての命題に証明を求めるなら無限背進か循環論法に陥る。
独断は排除できないよ。
- 160 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/03(木) 16:57:21.32 ]
- ガロア理論にとって、代数解の存在云々は
理論のごく一部です。数の演算に関する本質的洞察を
含み、数学全土に応用があります。
本当にガロア理論勉強した事あります？
- 161 名前：１３２人目の素数さん [2011/11/03(木) 17:00:11.57 ]
- >>157
「それ」とは>>153のコメント？
「計算可能性の次数や算術や再帰関数の階層」は一つの尺度に過ぎない。
例えばRCA0とWKL0の違いは何なのか、理解しないのなら意味がない。
二次的かどうかが問題なわけではないだろう。
代数的解法の存在も、代数的解法による解の意味が重要。
- 162 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/03(木) 17:00:32.02 ]
- >>159 そういう意味じゃ無い
- 163 名前：１３２人目の素数さん [2011/11/03(木) 17:04:21.38 ]
- >>160
＞数の演算に関する本質的洞察
では、ガロア理論によって明らかになった、
「数の演算の本質」とはズバリ何？
あなた本当にガロア理論理解できてます？
教科書の記述を丸ごと記憶するのは勉強と違うよ。
- 164 名前：１３２人目の素数さん [2011/11/03(木) 17:05:03.23 ]
- >>162 ではどういう意味？
- 165 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/03(木) 17:07:07.82 ]
- >>163 あなたはガロア理論理解してますか？Yes or No?
- 166 名前：153 [2011/11/03(木) 17:14:05.37 ]
- RCA0とWKL0の違いはチューリングマシンの違いですね。
確かに次数やクラスは1つの視点ですね。
- 167 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/03(木) 17:22:16.38 ]
- >>166
具体的に説明されたい。
- 168 名前：8 [2011/11/03(木) 19:15:30.11 ]
- >>152
複雑だけど¬と→だけできる。
¬(A→¬B)
¬(A→B)
¬(¬A→¬B)
¬(¬A→B)
の4つで1パターンで真になる命題が網羅できるので、
これの否定で3パターン真で命題が網羅できて、
4つの内2つを組み合わせて2パターンで真になる命題を網羅する。
4つ全部を組み合わせて恒真、その否定で偽をつくる。
これで16パターンが網羅できる。
- 169 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/03(木) 19:49:36.91 ]
- >>148
証明可能性を描画可能性になぞらえているのか？
コッホ曲線をどうやって描画する？
- 170 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/03(木) 20:22:00.87 ]
- >>163 まぁ、簡単にいうと、ガロア理論の
本質とは、
ある集合の構造を調べるときに、その集合を直接調べるのではなく、
その集合からその集合への写像の族を考え、
その族の構造を調べることが有効である。
ということ。それ以降の数学のあらゆる所で出てくる重要な考え。
- 171 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/03(木) 21:16:48.67 ]
- >>170
わざわざガロア理論とか数の演算の本質とかいうから
実に高尚極まりない整数論の奥義を語るかと思えば
数学のどこでもでてくるヌルい一般論じゃんｗ
- 172 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/03(木) 21:22:30.85 ]
- >>171
>>151が、ガロア理論を誤解して過小評価していたので、
ガロア理論の本質論が出たまで。
そう、今ではいたるところに普及した
重要な考え。
- 173 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/03(木) 21:36:59.04 ]
- >>172
ガロア理論の本質でもなんでもない。
例えば、ガロア理論→幾何学、集合→空間、写像→変換と置き換え
「幾何学の本質とは
空間の構造を調べるのに、空間を直接調べるのではなく
空間から空間への変換の族を考え、
その族の構造を調べることが有効だということ」
といっても通じてしまう。
こんなヌルイ一般論を重要というのは・・・馬鹿ｗ
- 174 名前：１３２人目の素数さん [2011/11/03(木) 21:37:49.72 ]
- >>168
その4つの式の最初に¬をつける意味は？
- 175 名前：１３２人目の素数さん [2011/11/03(木) 21:46:35.36 ]
- >>174
¬(A→¬B)＝A&B
¬(A→B)＝A＆¬B
¬(¬A→¬B)＝¬A&B
¬(¬A→B)＝¬A&¬B
と思われ。
- 176 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/03(木) 21:50:53.37 ]
- 以前ツイッターで
「複素数は本来、数じゃ無い！」
とわめいていた数学者(？)がいた。
実数ではなく複素数、というところが素人っぽくて面白い。
どうも、全順序集合でないと、本来の数ではないらしいｗ
- 177 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/03(木) 21:55:30.41 ]
- 角度の値は、実数ではなく円周群の要素と考えたほうがいい。
円周群の要素を数と呼ばないのは、どう言い訳しても手抜かりである。
- 178 名前：8 mailto:sage [2011/11/03(木) 22:03:22.17 ]
- >>174ない。
- 179 名前：１３２人目の素数さん [2011/11/03(木) 22:04:44.77 ]
- 辞書的順序入れれば複素数も全順序になるよ
- 180 名前：８ [2011/11/03(木) 23:21:16.14 ]
- ¬と∧∨は1つの述語にまとめられる。
A○Bを¬(A∧B)、
A◎Bを¬(A∨B)で定義すれば
どちらも2項述語1つだけで真理値表をすべて満たす。
A○Bの否定が(A○B)○(A○B)になったりする。
代数の演算を考えれば自明だが。
- 181 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/03(木) 23:21:35.62 ]
- >173
ガロア理論の重要なところの一つはその一般化できる構造なんじゃないの？
ガロア理論の説明で良く幾何学の証明不可能性の話が出てくるから
そうなんだと思ってたけど。
- 182 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/04(金) 04:35:29.49 ]
- >>160
ほんじゃガロア理論のごく一部であるところの
代数解の不存在云々（アーベルの定理？）は
二次的なので重要でないってことでおk?
つーか、ガロア理論の一部とか思ってるの？
一部ではなくて、単に金字塔的な応用例ってだけだろｗ
君こそ勉強しなおしてきたらどうだい？
- 183 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/04(金) 05:04:11.68 ]
- >>176
実数ってのがそもそも「数」ではない。実数で表されるものは「量」だ。
従って「数学」という名称は名が体を表していない。「量学」と改称すべきである。
- 184 名前：１３２人目の素数さん [2011/11/04(金) 06:36:50.32 ]
- >>183
量と数と実数の関係をはっきり述べないと議論にならない
- 185 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/04(金) 07:13:03.86 ]
- >>184
こんな定義だそうだ：
kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1317089920/21
- 186 名前：１３２人目の素数さん [2011/11/04(金) 08:02:31.27 ]
- >>185
要するに
離散量＝自然数＝真の数
連続量＝実数＝数でない
といいたいわけか。
なんか窮屈だな。
窮屈を好むのはやっぱ精神異常？
- 187 名前：１３２人目の素数さん [2011/11/04(金) 08:04:26.33 ]
- なんでもかんでも数と呼んだらええんちゃうｗ
自然数も有理数も実数も複素数も四元数も数。
それどころかベクトル空間の元も数。だから関数も数。
ええい、もう、集合も数とよんだらええがなｗ
- 188 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/04(金) 08:13:49.78 ]
- 人数とか個数とはいうけど、水数とは言わないだろ、水量だ。
つまり日本語の「数」は、本来連続量には使われない。
連続量である実数に「数」とつけるのはテクニカルタームでだけだ。
- 189 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/04(金) 08:14:59.70 ]
- いま思ったが、数学で扱うものはみな集合だから
数学は集合論だってことだなｗ。
ということで、数学板を集合論板に改名すべしｗ
- 190 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/04(金) 08:18:33.42 ]
- >>188
もうええよ、数学も量学もせますぎ。
今の数学は全て集合論だからｗ
♪これも集合、あれも集合
たぶん集合、きっと集合
- 191 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/04(金) 08:23:09.84 ]
- >>190
というと、圏論ヲタから
「圏の重要性を全く無視している！」
といわれそうだな。
それなら、まあ、圏論の立場も立てて
数学板を集合論・圏論板に変えるのはどうだ？ｗ
- 192 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/04(金) 09:27:38.04 ]
- >>181 ガロア理論の胆は、
集合(体)の構造を調べたい時に、
その集合上の写像の族(変換群)の
族としての構造(群構造)を調べるという所。
個々の写像が具体的にどの元をどの元に
移すかどうかは忘れて、写像の族が織り成す
性質(群としての性質)を調べるという所。
ここに既に圏論の考えがある。
- 193 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/04(金) 09:59:33.66 ]
- 上がガロア理論の本質だけど、
代数方程式に絡めて、もう少し詳しく書く。
有理数係数代数方程式に代数解があるということは、
有理数体に解を付加した体が、
有理数体に1の冪根を付加した体の
部分体になっていること。(本当は嘘だが遠くない)
だから、ある体はある体を部分体をもつか？
という問題になる。
体上の(自然な)変換群を考えると、
部分体と部分変換群との間に自然な対応がつく。
(ここがガロア理論の胆。以下は代数的な話)
有理数体に冪根を添加したという特別な体に対し、その体の変換群は、冪根の性質からある制約をうける。その制約は、部分変換群へも伝播し、対応する部分体へも伝播する。
この部分体が、有理数体に代数方程式の解を添加した体なら、その制約は、
その代数方程式へも伝播する。
五次以上の代数方程式では、この制約を外れるものが出る。
こういうシナリオです。
- 194 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/04(金) 20:05:57.67 ]
- 逆数学が二次的って言われるのは、
ある定理や理論にどの公理がどの程度本質的に効いてくるのか
ってことが分かるってのがメインで、基本的にはそれ自体から
数学のレベルで新しい定理が出てくるってわけじゃない
（メタレベルで数学がより分かるようになるだけ）って意味じゃねーの？
- 195 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/04(金) 21:07:21.61 ]
- でも、再帰的に逆数学の定理も素材になるじゃん。
- 196 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/04(金) 21:48:52.44 ]
- >>195
逆数学が逆数学自体を研究対象にしたところで、それが数学からみて
二次的な存在であることは変わらない（というかむしろ三次的存在になってしまう）
のではないの？
- 197 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/04(金) 21:53:55.21 ]
- >>194
そういうことを言いたいのであれば、最初からそう言えばいい。
例のアホは、そんな詳しいことは言ってない。
「逆数学は二次的だ」としか言ってない。だから
A：じゃあガロア理論も二次的だな。
B：何を言うか。お前はガロア理論を分かってない。
とかいうワケの分からない方向に進むのだ。Aが言っていることは
「お前の言う いい加減な "二次的" に従えば、ガロア理論だって
二次的になってしまうぞ。それでいいのか？」
ということである。すなわち、Aの発言の本質は
「 "二次的" とは何なのか詳しく説明しろ 」
ということであり、Aが問題にしているのは "二次的" の定義である。
従って、A自身はガロア理論のことを "二次的" だとは思ってない。
Aは、"二次的" という内容を皮肉っているだけである。
実際、>>151の書き方は明らかにこのような意図に読める。
よって、Bのような返答は見当違いであり、正しい返答の仕方は
「 いや、二次的とはこういう意味だ。ガロア理論はこの意味で二次的では無い 」
というものでなければならない。"二次的" の定義に触れない返答は意味が無く、
話がこじれるだけである。
- 198 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/04(金) 21:57:25.73 ]
- 要するに>>197は話にならんレベルのアホってことか。了解した。
- 199 名前：１３２人目の素数さん [2011/11/04(金) 21:59:57.78 ]
- 答えられないから逃げるね
まで読んだ
- 200 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/04(金) 22:02:01.64 ]
- >>198
いくら煽っても、例のアホが何も言ってないことには変わらない。
今の段階で分かっていることは
・例のアホ本人による、「逆数学は二次的だ」の説明が未だに無い。何も言ってないのと同じ。
・別人である>>194による、「二次的だ」の見解は登場している。
ということにすぎない。
- 201 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/04(金) 22:06:55.85 ]
- まあいくら誤魔化したところで、そんなつまらないことをいつまでも愚痴愚痴ネチョネチョやってるアホが
一人居るってことはずっと変わらんということにすぎない。
- 202 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/04(金) 22:24:51.74 ]
- まあ、いくら つぶやいたところで、例のアホが何も言ってないことには変わらない。
圏論スレのころから内容が全く無い。
- 203 名前：１３２人目の素数さん [2011/11/04(金) 22:29:58.48 ]
- ガロア理論に先行する圏論の萌芽はないの？
- 204 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/04(金) 22:47:08.09 ]
- >>197 他人に日常用語の定義定義とうるさくて、
当の本人は何も定義しないし、何も主張しない。
他人の話にケチつけてれば自分の立場が
崩れないと考えている。完全なアホ。
自分がアホ出ないことを主張してみな。
- 205 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/04(金) 22:52:44.88 ]
- アホ本人を納得させるつもりで書いてないから。
第三者(特に若者)がみてこっちに分がありそうだと
思ってくれればそれでじゅうぶん。
- 206 名前：１３２人目の素数さん [2011/11/04(金) 23:08:22.36 ]
- >>205
君には分がないよ。
よく考えればわかるので説明はしない。
- 207 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/04(金) 23:29:45.39 ]
- あ、言っとくが、二次的という言葉で
逆数学を最初に批判したのは私じゃない。
でも充分私には言いたいことは伝わった。
私は彼に分があると思った
- 208 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/05(土) 01:19:12.75 ]
- >>194
代数的解法があるかどうかはメタレベルではなく数学の問題だと？
ある定理や理論にどの公理がどの程度本質的に効いてくるのかは二次的で
ある解を求めるのにどういう手法（代数的か超越的か）が本質的に必要かは一次的なのか？
随分と恣意的な境界線だこと。というか逆数学を二次的にするための定義だな。
「二次的とは逆数学のようであること」と言っているのと大差ない。
- 209 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/05(土) 02:09:51.06 ]
- 二次的だと狭いってのも意味不明だな
- 210 名前：１３２人目の素数さん [2011/11/05(土) 02:16:07.40 ]
- ﾁｮｲｽしてはいけない公理をﾁｮｲｽするから球分割の矛盾が生じるのだ
- 211 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/05(土) 03:16:55.47 ]
- ちゅうか、「方程式を代数的に解く」ってのは数学の話で、
連続体仮説を公理に入れるか入れないかはメタ数学の話で、
重力を含む超統一理論があるかどうかってのは物理学の話で、
……etc.
って中で、数学のレベルでの話以外は数学にとっては二次的三次的なもんだろ。
どんだけ頭沸いてるんだか。
- 212 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/05(土) 03:23:28.11 ]
- で、その「数学のレベル」ってのはなんなんですかね。
- 213 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/05(土) 03:35:16.66 ]
- >>211
それって「逆数学は重要でないから重要でない」とか言っているのと同じだから。
真面目に議論する気がないなら出て行ってね。
- 214 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/05(土) 03:38:54.08 ]
- >>213
逆数学は逆数学で、
逆数学からすれば数学も物理も国文学も等しく二次的三次的だ
と言っているのに、君こそまじめに話する気がはじめからないんだろ？
- 215 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/05(土) 03:41:12.51 ]
- つか、>>214は二次的＝重要でないとか、言ってるも同然なんだが、
んなわけないだろ、ドンだけ頭悪いんだこの阿呆は
- 216 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/05(土) 03:42:03.55 ]
- おっと、滑った。
つか、>>213は二次的＝重要でないとか、言ってるも同然なんだが、
んなわけないだろ、ドンだけ頭悪いんだこの阿呆は
- 217 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/05(土) 04:13:40.16 ]
- dictionary.goo.ne.jp/leaf/jn2/166890/m0u/%E4%BA%8C%E6%AC%A1%E7%9A%84/
にじ‐てき【二次的】
［形動］主となる物事に対して、それに付随する関係にあるさま。また、ある物事から派生したもので、それほど重要でないさま。副次的。「―な災害」「―な問題」
- 218 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/05(土) 04:18:53.04 ]
- １．主となる物事に対して、それに付随する関係にあるさま。
２．また、ある物事から派生したもので、それほど重要でないさま。
３、副次的。
ってのは意味が並立なわけだが。
- 219 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/05(土) 04:19:44.54 ]
- 辞書も読めないとか、やっぱり幼稚園児並の脳みその持ち主だったｗ
- 220 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/05(土) 04:21:54.87 ]
-
逆数学は二次的 と最初に言ったのは>>135
二次的＝狭い と最初に言ったのも>>135
二次的＝重要度が減る と最初に言ったのは>>139
>>135にとっては、逆数学は二次的で、狭い
>>139にとっては、逆数学は二次的で、重要度が減る
二次的だとなぜ重要度が減るのか、あるいは、
二次的だとなぜ重要でないのか、そのことに答えたレスはまだない
二次的だとなぜ狭いのか、そのことに答えたレスもまだない
とりあえず、スレを見渡す限りは、二次的だと重要でないという考え方は
マイナーのようである
- 221 名前：１３２人目の素数さん mailto:age [2011/11/05(土) 04:24:29.24 ]
- 並列なら「二次的＝重要でない」も正しい解釈の一つ。
従ってそれを「んなわけないだろ」と言っている奴こそ辞書が読めないんだな
- 222 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/05(土) 04:26:00.30 ]
- いや、>>217で答えは出ていたか
そうか、最初から重要でない意味が含まれているのか
- 223 名前：１３２人目の素数さん mailto:age [2011/11/05(土) 04:27:53.94 ]
- ワロタ藁ｗ
- 224 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/05(土) 05:05:00.64 ]
- >>221
並立なんだから、他の意味で言っている場合を完全無視して
「二次的＝重要でない」と言ってると主張するのは、
幼稚園児にも笑われるレベルの阿呆だ。
- 225 名前：１３２人目の素数さん mailto:age [2011/11/05(土) 05:09:13.82 ]
- 正しい解釈の一つである可能性を無視して
「んなわけないだろ」だろと全面否定した人間は
幼稚園児に笑われるレベルだろ
- 226 名前：１３２人目の素数さん mailto:age [2011/11/05(土) 05:14:54.56 ]
- 並列に複数の意味がある言葉は、文脈によって最も適切な意味で解釈するべきであろう。
しかるに139が「二次的であれば重要度が減る。」と述べている。
更に逆数学批判派は同語反復的な主張が多数であった。
かような文脈において、二次的＝重要でない、という解釈は
139の発言をまさに同語反復とするものであり、
この文脈において最も適切な「二次的」の解釈であると考えられるのである。
- 227 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/05(土) 05:17:26.03 ]
- というか、俺も逆数学は数学にとって二次的だというレスをしているが、
全く逆数学批判派ではないぞ。そこまで興味を持っても居ないが。
- 228 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/05(土) 05:18:16.08 ]
- 重要度が減ると重要でないをイコールで結ぶのはさすがに赤ん坊以下だよ。
- 229 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/05(土) 05:32:12.01 ]
- 逆数学が副次的なものでないという主張の意味が分からん。
- 230 名前：１３２人目の素数さん mailto:age [2011/11/05(土) 05:47:21.72 ]
- >>228
お、辞書の読み方では勝ち目がないと悟って論点のすり替え？
しかし残念だが>>226の主張は「重要度が減る」と「重要でない」の同値は必要ない。
後者から前者への implication さえあればいい。
- 231 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/05(土) 08:01:47.04 ]
- 俺は逆数学は、二次的だとは思わんな。寧ろ根本的だろう。
例えばRCA0とWKL0の違いが明らかになったのは面白い。
前者は明らかに構成的だが、後者は何らかの超越的な仮定がある。
こういうことに対して何の面白みも感じない人は
数学的感覚が鈍磨しているといっていい。
- 232 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/05(土) 09:09:38.10 ]
- >>231 それって単なる盆栽趣味。ないしはスケールが小さい。
ないしはスケールの大きな数学を知らない
- 233 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/05(土) 10:21:18.06 ]
- >>232 スケールの大きいことをやりたがる人は
数学なんかやらないｗ
微細構造を好む人がやるのが数学。
- 234 名前：１３２人目の素数さん [2011/11/05(土) 10:28:58.83 ]
- 計算理論の壮大さを知らんようだな。
全数学を包括しかき回すほどの規模。
21世紀の主流は計算論＋理論計算機＋集合論
- 235 名前：１３２人目の素数さん [2011/11/05(土) 10:35:20.73 ]
- >>234
別に壮大だとは思わない。
そもそも壮大だからスゲーとはおもわんし。
なにかといえば大きさを求める奴は
きっと●ん●んが小さいんだろうｗ
いっとくけど、♀の＊＊＊は鈍感だから
入れたって正確な大きさなんかわかりゃ
せんってｗ
- 236 名前：１３２人目の素数さん [2011/11/05(土) 12:13:54.61 ]
- 逆数学が2次的ってｗ
本来逆数学のような計算論の視点が1次的で、
これまでの数学が2次的なものなのだが。
ユークリド言論が1次的で非ユークリッドが2次とか言っているようなものw
- 237 名前：１３２人目の素数さん [2011/11/05(土) 12:18:44.87 ]
- >> 234
これ興味あるからもうすこし聞かせて。
オレは、本当にそうであればよいと思う者だが、今の計算論や理論計算機にそんな兆候があるか？
何あるいは何処がその兆候だと思うんだ？
- 238 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/05(土) 12:23:15.54 ]
- >232
無限と同じぐらいの深淵じゃないの？
可算数と非可算数の境界の話だよね？
- 239 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/05(土) 13:58:14.73 ]
- >>236
逆数学にとって数学が二次的な対象でしかないことは誰も否定して無いと思うが。
- 240 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/05(土) 14:49:37.41 ]
- >>239
逆数学は、直接、数学の成果を得る活動ではないが
その結果が、数学でないかといえば、そんなことはないから
結局、フツウの数学と変わるところはない。
- 241 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/05(土) 17:17:43.15 ]
- 逆数学の井の中の「数学」を大海の数学と称する腹か。
自分で「フツウの数学」と区別しておいてそれは詭弁ではあるまいか。
- 242 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/05(土) 17:25:08.36 ]
- >>241
要は対象の選び方の違いにすぎない。
こんなことに難癖をつける奴は●違いだろう。
- 243 名前：１３２人目の素数さん [2011/11/05(土) 19:00:04.00 ]
- >>243
述語論理ですが、
言語Lってのは
論理的述語記号∧、∨、¬、→、∀、∃
変数記号x1、x2、x3、...
関数変数記号F1、F2、F3、...
述語変数記号R1、R2、R3、...
の記号の組合せの事ですよね。
この記号の組合せの総数、つまり2^Lの中で、
変数記号、引数に項をとる関数の形をしたものが項ですよね。
項の集まりをTermとすればTerm⊆2^Lになりますよね。
引数に項をとる述語と、述語を引数にとる論理的述語が論理式ですよね。
論理式の集まりをFlmとすればFlm⊆2^L。
- 244 名前：１３２人目の素数さん [2011/11/05(土) 20:50:08.36 ]
- LによってTermやFlmが規定されることから、
これらをTerm(L)やFlm(L)と書き換えよう。
M(L)という対が＜M,Pri,Fnc,m,v＞と定義される。
Mは集合。
Priは定義域がMを動く述語の集合。
Fncは定義域・値域がMを動く関数の集合。
mは定義域が定数記号ならば値域がM、
定義域が述語定数記号ならば値域がPri、
定義域が関数定数記号ならば値域がFnc、
となる全単射関数。
vはFlm(L)から{0,1}への関数。
さてここまで来れば私の主張したい内容が想像つくだろう。
つまり、「論理的述語記号だけ特別扱いするのは卑怯ではないだろうか？」
- 245 名前：１３２人目の素数さん [2011/11/05(土) 21:23:51.57 ]
- >>244
＞「論理的述語記号だけ特別扱いするのは卑怯ではないだろうか？」
上記の文章は理解できない。
もし、
「論理記号によって書かれた述語だけを
述語として認めるのはおかしいだろう？」
といいたいのであれば、全くその通りである。
実は一階述語論理と二階述語論理の違いはそこにある。
一階述語論理では、論理式として書けるものしか拘束できない。
しかしながら、二階述語論理では、述語全体を束縛する演算子
として∀、∃を用いることができる。
- 246 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/05(土) 21:33:28.20 ]
- >>241 ははは。
基礎論って、妖怪人間ならぬ妖怪数学みたいなものか？
普通の人間や数学は、日夜、立派な人間や立派な数学になりたいと
切磋琢磨しているのに、
普通の人間か数学になりたい、それで充分だからならせてくれと。
- 247 名前：１３２人目の素数さん [2011/11/05(土) 22:09:00.71 ]
- さて、途中まで書いていたのだが以下続き。
論理的述語記号は通常、
A B A∧B
------------
1 1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 0
のような真理値が定義されているのだが、
これはいささか早計ではないだろうか。
これが前提となるのは非常に不快である。
そこで論理的述語記号を関数や述語と同様に、
論理的述語変数と論理的述語定数に分離して考えてはどうだろうか。
つまり論理的述語記号∧、∨、¬、→、∀、∃ を
論理的述語変数L1、L2、L3、...
にすげ替えてしまうのである。
同時に論理式の定義を以下のように拡張する。
・引数に項をとる述語。
・引数に引数に述語か論理的述語をとる論理的述語。
- 248 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/05(土) 22:27:27.03 ]
- >>211
同意。
逆数学や基礎論と数学は別物。
別物なんだから、価値観が違う。
基礎論にとっては、代数方程式論より逆数学のほうが重要かもしれないが、
数学にとっては、代数方程式論の方がはるかに大事。
価値観が違うんだから、はっきり分けるべき。
数学は数学。論理学は論理学。
刃物をつかっているという点では同じでも、
サムライと板前くらい違う。目的も価値観も違う。
- 249 名前：１３２人目の素数さん [2011/11/05(土) 22:32:31.65 ]
- >>245
まったくそのとおりである、私はさらにその考えを推し進めようとしている。
注意すべきは論理的述語は引数に直接項をとることができない。
これは既存の1階述語論理と同様である。
（いや、∀と∃の存在保証が失われた今、1階というのは意味をなさない言い方か。）
さて、今述語論理の言語は以下の述語を持つ。
論理的述語変数 L0、L1、L2、...
論理的述語定数 -
非論理的述語変数 R1、R2、R3...
非論理的述語定数 -
ここで論理式の定義と比較したとき、ある事実に気が付くだろう。
論理式の非論理的述語は引数に項をとる。
論理式の論理的述語は引数に非論理的述語と論理的述語をとる。
つまり項で非論理的述語の真偽が決まり、非論理的述語で論理的述語の真偽が決定する。
- 250 名前：１３２人目の素数さん [2011/11/05(土) 22:54:57.82 ]
- 非論理的述語を1階の述語、
論理的述語を2階の述語と考えると、
当然3階4階...n階と階層化をすすめたくなる。
重要なのは、n階の述語は引数にn階以下の述語をとるということ。
そして1階だけが極小の述語となり、引数に項しかとれない。
述語はどの階層でも真偽が決定するが、項は単独では真偽決定できない。
- 251 名前：１３２人目の素数さん [2011/11/05(土) 23:29:23.60 ]
- さて、構造の側はどうするかというと、
{Pri_n(L)}n∊N とでもして述語を階層ごとに分けとけばよいだけだ。
さて言語Lの論理式は今や以下の定義となる。
・項を引数に持つ1階述語。
・n階以下の述語を引数に持つn階述語。ただしn≧2。
こうすると構造の側はどのように真偽を判定するのか。
なおn階の述語すべてのアリティの個数制限をなくす。
- 252 名前：１３２人目の素数さん [2011/11/05(土) 23:45:50.00 ]
- なお真偽値をいくつにしても構わないし、
どういった場合においてもここまで一般化された
言語では任意の証明体系で完全性定理が成り立つ。
というより論理記号がないため恒真が意味をなさない。
こう考えると1階述語論理とは、
述語が2階までで、
2階の述語定数記号が各アリティ2の∧、∨、¬、→、∀、∃ である。
ここで通常の1階論理と同じような真理値を2階の述語に与えれば良い。
（勿論構造の側の解釈を与える全単射の関数mもn階分に対応している。）
また、高階述語論理や様相論理も自由に展開できることを確かめたれたい。
了
- 253 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/06(日) 02:12:56.62 ]
- 話をバッサリ切ってごめんけど、なんでこんなに難しい文章で説明しようとするの？
- 254 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/06(日) 02:14:56.35 ]
- バカだから
- 255 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/06(日) 02:18:17.96 ]
- ロボットに説明するわけじゃあるまいし。
何で数学の証明とか解説ってやたら難しい事書くんだろう。人間が人間に説明するんだから(ry
- 256 名前：１３２人目の素数さん [2011/11/06(日) 03:51:17.42 ]
- >>255
解釈の方法を限定するためじゃね。
自然言語で意味が一意になるように書くと、更に長くなるよ。
試しに選択公理を論理式と自然言語で書いて見比べてみたら。
- 257 名前：１３２人目の素数さん [2011/11/06(日) 07:15:28.38 ]
- 難しいと言うか
普通の教科書の書き方をパロッてるんだろう
- 258 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/06(日) 08:11:19.75 ]
- >>248
何がいいたいのか意味不明。
そもそも代数方程式でも解の存在が大事だという人と
解の性質が大事だという人がいるだろう。
数学の中で分野わけすればいいだけのこと。
整数論至上主義者は、整数論のために
関数解析を「数学ではない」といって
切るつもりか？
- 259 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/06(日) 08:18:45.68 ]
- >>249-252
ゲーデルのLを知らんのか？
あれはまさに無限階論理といってもいいわけだが。
しかし、全ての階をいっしょくたにできるような
最上階というものは存在しない。
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