- 61 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2009/06/29(月) 12:40:21 ]
- 命題
X を局所コンパクト空間とする。
ρ, σを X 上の複素Radon測度(過去スレ009の701)で、互いに無縁(>>59)とする。
このとき、X の共通点をもたない普遍的に可測な部分集合 R, S で
それぞれ ρ, σを支える(>>60)ものが存在する。
証明
μ = |ρ|, ν = |σ|, λ = μ + ν とおく。
μ ≦ λ であるから過去スレ011の200より、λ零集合はμ零集合である。
よって、Lebesgue-Radon-Nikodymの定理(過去スレ011の734)より
μ = gλ となる局所λ可積分な正値関数 g が存在する。
過去スレ011の712より、g は普遍的に可測と仮定してよい。
同様に、ν = hλ となる局所λ可積分かつ普遍的に可測な正値関数 h が存在する。
R = { x ∈ X; g(x) ＞ 0 かつ h(x) = 0 }
S = { x ∈ X; h(x) ＞ 0 かつ g(x) = 0 }
とおく。
R ∩ S = φ である。
>>29より、inf(μ, ν) = inf(g, h)λ = 0 であるから、
過去スレ011の732より、 inf(g, h) = 0 (局所λ-a.e.)
よって、集合 { x ∈ X; g(x) ＞ 0 かつ h(x) ＞ 0 } は局所λ零集合である。
よって、X - R は { x ∈ X; g(x) = 0 } に局所λ-a.e.に等しい。
よって、μ は R に乗っている(>>60)。
同様に、ν は S に乗っている。
証明終
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