- 56 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2009/06/28(日) 23:11:05 ]
- 命題
X を局所コンパクト空間とする。
θを X 上の複素Radon測度(過去スレ009の701)とする。
普遍的に可測な複素数値関数 u で |u| = 1 かつ
θ = u|θ|, |θ| = u~θ となるものが存在する。
ここで、u~ は u の複素共役である。
証明
θ_1 = sup(Re(θ), 0)
θ_2 = sup(-Re(θ), 0)
θ_3 = sup(Im(θ), 0)
θ_4 = sup(-Im(θ), 0)
とおく。
θ = θ_1 - θ_2 + i(θ_3 - θ_4) である。
過去スレ010の38より、
|Re(θ)| ≦ |θ|
|Im(θ)| ≦ |θ|
であるから、
θ_1 ≦ θ_1 + θ_2 = |Re(θ)| ≦ |θ|
θ_2 ≦ θ_1 + θ_2 = |Re(θ)| ≦ |θ|
θ_3 ≦ θ_3 + θ_4 = |Im(θ)| ≦ |θ|
θ_4 ≦ θ_3 + θ_4 = |Im(θ)| ≦ |θ|
よって、Lebesgue-Radon-Nikodymの定理(過去スレ011の734)より、
θ = u|θ| となる局所|θ|-可積分な複素数値関数 u が存在する。
過去スレ011の211より、|θ| = |u| |θ| であるから
過去スレ011の701より、 (1 - |u|) |θ| = 0
よって、過去スレ011の732より、 |u| = 1 (局所|θ|-a.e.)
過去スレ011の700より、 u~θ = u~(u|θ|) = (uu~) |θ| = |θ|
過去スレ011の712より、u は普遍的に可測で到る所 |u| = 1 と仮定してよい。
証明終
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