命題 E を完備 Riesz 空間(>>7)とする。 a ≧ 0 を E のある元とする。 a で生成される帯(>>12)を B とする。 a と無縁な元全体を C とする。 >>10と>>13より E = B + C (直和) である。 任意の E の元 x ≧ 0 に対して x = y + z, y ∈ B, z ∈ C と分解したとき y = sup { inf(na, x) ; n = 1, 2, ...} である。
証明 y = sup { inf(na, x) ; n = 1, 2, ...} とおく。 >>16より、y ∈ B である。 y ≦ x である。 z = x - y とおく。 A = {t ∈ E; 0 ≦ t ≦ na となる整数 n ＞ 0 がある} とおく。 任意の t ∈ A に対して u = inf(z, t) が 0 となることを示す。 u ≦ x - y だから u + y ≦ x s ∈ A; x ≧ s のとき s ≦ y である。 よって、u + s ≦ u + y ≦ x u ≦ t だから u ∈ A である。 よって、u + s ∈ A よって、u + s ≦ y である。 左辺の s を動かして sup をとれば u + y ≦ y よって u ≦ 0、即ち u = 0 である。 よって、z ∈ C である。 証明終
