命題 E を完備 Riesz 空間(>>7)とする。 A を E の元からなる空でない部分集合とする。 A で生成される帯(>>12)を B とする。 A の有限個の元 x_1, ..., x_n があり、 0 ≦ x ≦ |x_1| + ... + |x_n| となるような E の元 x 全体を M とする。 M の部分集合で上に有界であるものの上限全体を N とする。 N は B の元 ≧ 0 全体と一致する。
証明 M は >>14の条件 1), 2) を満たす。 E の帯は完備 Riesz 空間であるから、 A の任意の元 x に対して |x| = sup(x, 0) + sup(-x, 0) ∈ B である。 よって、 M ⊂ B である。 よって、N ⊂ B である。 A の全ての元と無縁な元全体を C とすれば、>>10 と >>13 より、 E = B + C (直和) である。 b ≧ 0 を B の任意の元 とする。 >>14 より、b = y + z, y ∈ N, z ∈ C と書ける。 N ⊂ B だから b - y ∈ B である。 一方、z = b - y ∈ C だから z ∈ B ∩ C = {0} である。 よって、b = y ∈ N となる。 よって、N は B の元 ≧ 0 全体と一致する。 証明終
