命題 E を完備 Riesz 空間(>>7)とする。 A を E の空でない部分集合とする。 A の全ての元と無縁な元全体 B は E の帯である。 B の全ての元と無縁な元全体 C も E の帯である。 このとき、 E = B + C (直和)である。
証明 B と C が E の帯であることは、>>9より明らかである。 x ≧ 0 を E の任意の元とする。 B+ = {t ∈ B; t ≧ 0} とおく。 C+ = {s ∈ C; s ≧ 0} とおく。 y = sup {t ∈ B+; x ≧ t} とおく。 B は帯だから y ∈ B+ である。 z = x - y とおく。z ≧ 0 である。 任意の t ∈ B+ に対して u = inf(z, t) が 0 となることを示す。
u ≦ x - y だから u + y ≦ x s ∈ B+; x ≧ s のとき s ≦ y である。 よって、u + s ≦ u + y ≦ x u ≦ t だから u ∈ B+ である。 よって、u + s ∈ B+ よって、u + s ≦ y である。 左辺の s を動かして sup をとれば u + y ≦ y よって u ≦ 0、即ち u = 0 である。 よって、z ∈ C+ である。
E の任意の元は二つの元 ≧ 0 の差として表されるから E = B + C となる。 B ∩ C = {0} は明らかである。 証明終
