- 166 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2009/07/01(水) 22:03:46 ]
- 命題
X と Y を局所コンパクト空間とする。
μ を X 上の正値Radon測度(過去スレ009の730)とする。
写像 π: X → Y と写像 ψ: X → [0, +∞) がμ適合(>>157)であるとする。
さらに π と ψ は X において連続であるとする。
ν を μ適合な対 (π, g) から定まる正値Radon測度(>>158)とする。
このとき、任意の下半連続関数 f: X → [0, +∞] に対して、
(fπ)ψ は下半連続であり、
∫^* f(y) dν = ∫^* f(π(x))ψ(x) dμ となる。
証明
Φ = { g ∈ K+(Y, R) ; 0 ≦ g ≦ f } とおく。
過去スレ008の120より、f = sup Φ である。
g ∈ Φ に対して、関数 h_g : X → [0, +∞) を
h_g = (gπ)ψ とおく。
h_f = sup {h_g ; g ∈ Φ} とおく。
h_f = (fπ)ψ である。
任意の g ∈ Φ に対して、h_g は連続であるから、h_f = (fπ)ψ は
下半連続である。
>>164より、∫^* f(y) dν = ∫^* f(π(x))ψ(x) dμ である。
証明終
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