命題 X と Y を局所コンパクト空間とする。 μ を X 上の正値Radon測度(過去スレ009の730)とする。 写像 π: X → Y と写像 ψ: X → [0, +∞) がμ適合(>>157)であるとする。 さらに π と ψ は S = Supp(μ) において連続であるとする。 ν を μ適合な対 (π, g) から定まる正値Radon測度(>>158)とする。 このとき、任意の下半連続関数 f: X → [0, +∞] に対して、 (fπ)ψ はμ可測であり、 ∫^* f(y) dν = ∫^* f(π(x))ψ(x) dμ となる。
証明 Φ = { g ∈ K+(Y, R) ; 0 ≦ g ≦ f } とおく。 過去スレ008の120より、f = sup Φ である。 g ∈ Φ に対して、関数 h_g : X → [0, +∞] を x ∈ S のとき、h_g(x) = (g(π(x))ψ(x) x ∈ X - S のとき、h_g(x) = +∞ で定義する。 h_f = sup {h_g ; g ∈ Φ} とおく。 x ∈ S のとき、h_f(x) = (f(π(x))ψ(x) である。
