命題 E を完備 Riesz 空間(>>7)とする。 A を E の元 ≧ 0 からなる空でない部分集合で、 次の条件を満たすとする。
1) A + A ⊂ A 2) x ∈ A, 0 ≦ y ≦x なら y ∈ A
A の部分集合で E で上に有界なものの上限全体を M とする。 M の全ての元と無縁な元 ≧ 0 全体を N とする。
このとき A の任意の元 x は x = y + z, y ∈ M, z ∈ N と書ける。
証明 y = sup { t ∈ A; t ≦ x } とおく。 y ∈ M である。 z = x - y とおく。z ≧ 0 である。 任意の t ∈ A に対して u = inf(z, t) が 0 となることを示す。
u ≦ x - y だから u + y ≦ x s ∈ A; x ≧ s のとき s ≦ y である。 よって、u + s ≦ u + y ≦ x u ≦ t だから条件 2) より u ∈ A である。 よって、条件 1) より u + s ∈ A よって、u + s ≦ y である。 左辺の s を動かして sup をとれば u + y ≦ y よって u ≦ 0、即ち u = 0 である。 よって、z ∈ N である。 証明終
