- 1 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/05/15(金) 21:11:21 ]
- 理系で数学が得意な高校生が２５～５０分で
解ける問題を考えてうぷするスレ。
これ以外の難易度の問題はスレ違いとなります。
関連スレへどうぞ
過去ログは>>2以降
- 941 名前：１３２人目の素数さん [2009/10/17(土) 14:40:50 ]
- a[1]↑=(1,0)､a[n+1]↑をa[n]↑/2を原点の回りに角θ回転したものとし､
a[2]↑、a[3]↑…と順に定めていく．
ここで、Σ[k=1,n]a[k]↑=(x[n],y[n])とおき、
θに対して点P(lim[n→∞]x[n],lim[n→∞]y[n])を定める。
θが0≦θ＜2πの範囲で動く時、点Pの軌跡を求めよ。
- 942 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/17(土) 19:27:29 ]
- ある頻出問題を解いていて思いついた。証明は簡単なので東大には不向きかも。
この定理は有名なものかも知れないので、もし知っている人がいたら教えて！
センター試験の裏技にいいかなと自分では思っている。
【問題】四面体ABCDの辺AB、BC、CD、DA上に点P、Q、R、Sをとる。
(辺の端点はとらないとする)
このとき、4点P、Q、R、Sが同一平面上にある必要十分条件は、
(AP/PB)・(BQ/QC)・(CR/RD)･(DS/SA)＝1
であることを示せ。
- 943 名前：942 mailto:sage [2009/10/17(土) 19:37:16 ]
- 例えば、
www.densu.jp/center/01center2bprob.pdf
の第3問のタ～トは瞬殺。
- 944 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/17(土) 22:14:51 ]
- >>941
a[n+1]↑ は a[1]↑ /(2^n) を原点の周りに角nθ回転したもの。
a[n+1]↑ = ((1/2^n)cos(nθ), (1/2^n)sin(nθ)),
x_n +i･y_n = Σ[k=0,n-1] (1/(2^k)){cos(kθ)+i･sin(kθ)}
= Σ[k=0,n-1] {(1/2)exp(iθ)}^k (← 等比級数)
= {1 - [(1/2)exp(iθ)]^n} / {1-(1/2)exp(iθ)}
→ 1/{1-(1/2)exp(iθ)}
= {1-(1/2)exp(-iθ)}/{(5/4)-cosθ}, (n→∞)
実部と虚部に分けて
x_n → {1-(1/2)cosθ}/{(5/4)-cosθ}, (n→∞)
y_n → (1/2)sinθ/{(5/4)-cosθ}, (n→∞)
∴ 点Pは円 (x - 4/3)^2 + y^2 = (2/3)^2 の周上を動く。
- 945 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/17(土) 22:38:35 ]
- >>941 (補足)
x_n -(4/3) +i･y_n = -(1/3){1 -2exp(iθ)}/{1 -(1/2)exp(iθ)},
x_n -(4/3) -i･y_n = -(1/3){1 -2exp(-iθ)}/{1 -(1/2)exp(-iθ)}
= -(4/3){1 -(1/2)exp(iθ)}/{1 -2exp(iθ)},
辺々掛けて
| x_n -(4/3) ±i･y_n |^2 = (2/3)^2,
| x_n -(4/3) ±i･y_n | = 2/3,
- 946 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/17(土) 23:21:43 ]
- n 次関数のグラフがn 1 個の異なる格子点を通れば，それは無数の格子点を通る。
- 947 名前：１３２人目の素数さん [2009/10/17(土) 23:23:33 ]
- a_(n+1)=2-√｛4-a_(n)｝
a_(1)=2
で定められる数列a_(n)について、
lim(n→∞)(4^n・a_(n))の値を求めよ.
難。答え出たら多分感動する。
- 948 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/17(土) 23:28:32 ]
- そんなこといって宿題を解いて貰おうって寸法だな
- 949 名前：１３２人目の素数さん [2009/10/17(土) 23:38:54 ]
- >>948
こんな問題を宿題にする学校がある分けないだろ。ボケかお前は
- 950 名前：１３２人目の素数さん [2009/10/17(土) 23:45:11 ]
- >>949
親が子を思う気持ちと同じぐらい、子が親を思ってると思う。
親に迷惑かけたくない、弱い自分見せたくないという思いから、
電 話したり、田舎に帰る機会が少なくり、すれ違いが生まれるんでし ょうね。
- 951 名前：１３２人目の素数さん [2009/10/17(土) 23:50:36 ]
- >>947
a_n=4(sin(θ_n))^2
a_[n+1]=2-2cos(θ_n)=4{sin(θ_n/2)}^2
∴θ_[n+1]=1/2*θ_[n]
- 952 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/17(土) 23:53:03 ]
- やっぱり宿題だったんだ
- 953 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/17(土) 23:58:36 ]
- >>942-943
確かに便利で砂
- 954 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/18(日) 00:10:56 ]
- >>947
a_n = 2(1-b_n) とおくと
b_(n+1) = √{(1 + b_n)/2},
2･b_(n+1)^2 -1 = b_n, (←cosの倍角公式と同じ形)
b_1 = 0,
これを解いて
b_n = cos(π/2^n),
a_n = 2{1 - cos(π/2^n)},
(4^n)a_n → π^2 (n→∞).
>>941 (補足)
P (x,y) = ((4/3)+(2/3)cos(2φ), (2/3)sin(2φ))
ただし
φ = arctan(3･tan(θ/2)),
- 955 名前：１３２人目の素数さん [2009/10/18(日) 02:24:36 ]
- 【問】
nを自然数として
正方形のn×nマスのある1マスの上に駒を乗せ、それを以下の動きを交互に繰り返して動かす
①すぐ隣のマスへの移動
②一マス飛ばしの移動
ただし、駒は①と②のどちらからでも動かし始めてよいものとし、縦横にしか移動しないとする
この時、駒の初期位置と動かし方をうまく設定することでn×nの全てのマスを1回ずつ動くことが出来るためのnの必要十分条件を求めよ
ただし、n=1の時は駒を動かさないが成立すると考えてよい
- 956 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/18(日) 12:01:46 ]
- >>955
nを4で割った余りが2のときのみ出来ない。
証明：
nを4で割った余りが2でないときは、左上のマスに駒を置いて
②から始めることで題意の動かし方ができる。
詳細は省略するが、■の位置で②から始めて１～４の順に
移動すれば、4つの連続したマスが消えるので、これを
何度も使えばよい。
■□□□
１３２４
- 957 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/18(日) 12:05:01 ]
- nを4で割った余りが2のときは、n＝4k＋2とおいて、
n*n個のマスを次の4つのエリアL0,L1,L2,L3に分ける。
(n＝6の場合の分け方)
□■□■□■
●○●○●○
□■□■□■
●○●○●○
□■□■□■
●○●○●○
L0＝(□全体)，L1＝(■全体)，L2＝(○全体)，L3＝(●全体)
L0のマスの個数は(2k＋1)^2であり、L1～L3でも同様に
(2k＋1)^2である。つまり、L0～L3のマスの個数は全て奇数である。
最初に駒があるエリアをLsとするとき、次のようになる。
①から始める場合：
Lsのマスは1個減る(←駒の初期位置にあるマス)。その後は、
「いずれかのエリアLiのマスが2個減る」
を繰り返す。L0～L3のマスの個数は奇数なので、
題意の動かし方は不可能だと分かる。
②から始める場合：
Lsのマスが2個減る。その後は、
「いずれかのエリアLiのマスが2個減る」
を繰り返す。L0～L3のマスの個数は奇数なので、
題意の動かし方は不可能だと分かる。
- 958 名前：１３２人目の素数さん [2009/10/18(日) 13:17:17 ]
- >>956正解
ただnが奇数の時は4連の動きにちょっと動きが加わるけど
- 959 名前：KingGold ◆3waIkAJWrg [2009/10/18(日) 17:01:31 ]
- Reply:>>888 そう思うなら何故お前がよそに行かない。
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