- 1 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/05/15(金) 21:11:21 ]
- 理系で数学が得意な高校生が２５～５０分で
解ける問題を考えてうぷするスレ。
これ以外の難易度の問題はスレ違いとなります。
関連スレへどうぞ
過去ログは>>2以降
- 263 名前：１３２人目の素数さん [2009/08/10(月) 03:31:27 ]
- nは自然数とする
Σ[n=1,∞]|sin(n!)ﾟ|
とΣ[n=1,∞]|1-cos(n!)゜|
の大小を比較せよ
- 264 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/10(月) 08:32:02 ]
- >>263
n≧6でn！は360の倍数なのでsin(n！)゜=1-cos(n！)゜=0
だからn=1,2,3,4,5だけ考えたらいいだけだな
出かけるから細かく考える時間がないが後者の方が大きいと思う
- 265 名前：１３２人目の素数さん [2009/08/10(月) 11:39:47 ]
- ひろいもの
1辺の長さが1の正四面体O-ABCがある．この正四面体の辺上を蟻が秒速1で移動し続ける．蟻は分岐点である頂点に辿り着くと，
辿って来たばかりの辺を除いて2つの方向から等確率で1つの方向を選択し，止まる事なく移動し続ける．辺上で進行方向を変える事はない．
頂点Oを出発したn秒後(n=3,4,…)に蟻が頂点Oにいる確率P[n]を求めよ．
- 266 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/10(月) 19:36:25 ]
- >>265
{P(n)}がn≧3で定義される理由がわからんが
P(0)から定義されるとして
P(0)=1,P(1)=0
P(n+2)={1-P(n+1)-P(n)}/2
になるのかな？
この漸化式から一般項求まる？
- 267 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/10(月) 21:25:41 ]
- \int^{1}_{-1} x/(2x+4) dx > -0.1を証明せよ。
- 268 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/11(火) 01:15:59 ]
- ！
- 269 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/11(火) 04:30:12 ]
- どうせなら\frac あるいは \dfracで書けばよかったのに
- 270 名前：267 mailto:sage [2009/08/11(火) 08:12:03 ]
- 追加: e=2.718...であることは証明なしに用いてもよい。
- 271 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/11(火) 19:56:18 ]
- >>265
(A→O) +（B→O) + (C→O) = P_n,
(O→A) + (O→B) + (O→C) = X_n,
(A⇔B) + (B⇔C) + (C⇔A) = Y_n,
とおくと、
P_(n+1) = (1/2)Y_n,
X_(n+1) = P_n,
Y_(n+1) = X_n + (1/2)Y_n,
P_n + X_n + Y_n = 1,
これより XとYを消して
P_(n+2) = {1 - P_(n+1) - P_n}/2,
- 272 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/11(火) 19:57:59 ]
- >>266
特性多項式 t^2 + (1/2)t + (1/2) = (t + 1/4)^2 + 7/16 の根 は -(1/√2)exp(±iα),
P(n) = 1/4 + (-1/√2)^n･q(n),
とおくと、
q_(n+2) = 2cosα･q_(n+1) - q_n, cosα = 1/√8,
q_n は cos(nα)、sin(nα) の一次式と予測される。
q_0 = 3/4,
q_1 = 1/√8,
q_2 = -1/2,
q_3 = -1/√2,
q_4 = 0,
よって
q_n = (2/√7)sin((n-4)α), sinα = √(7/8),
Yahoo!掲示板 - 科学 - 数学 - 数学・算数質問コーナー(制限版) [ No.034-035]
- 273 名前：272 mailto:sage [2009/08/11(火) 20:03:34 ]
- (修正)
特性多項式 t^2 + (1/2)t + (1/2) = (t + 1/4)^2 + 7/16 の根 は
{-1 ±(√7)i}/4 = -(1/√2)exp(±iα), cosα = 1/√8,
- 274 名前：１３２人目の素数さん [2009/08/12(水) 03:25:22 ]
- >>263だけど
Σ[n=1,5](sin(n!)+cos(n!))
＞5√2*sin48
を証明せよ
に改題します(>>263より大雑把な)
ちなみに>>264の予想は正解です
- 275 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/12(水) 04:54:00 ]
- >>267,270
I = ∫[-1,1] x/(2x+4) dx = ∫[-1,1] {(1/2) - 1/(x+2)}dx
= [(x/2) - log(x+2)](x=-1,1)
= 1 - log(3),
x>0 のとき e^x > 1 + x + (1/2)x^2 より
e^0.1 > 1 + 0.1 + 0.005 = 1.105
e^1.1 = e*e^0.1 > 2.718*1.105 > 3.003
1.1 > log(3)
I > -0.1
- 276 名前：267 mailto:sage [2009/08/12(水) 06:56:13 ]
- >>275
正解です。東大の1999年理系6番の類題でした。
- 277 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/12(水) 19:08:56 ]
- >>263
前者 = 1.4296424132676768103829574760386･･･
後者 = 1.5926941248136387984119254841763･･･
差 = 0.1630517115459619880289680081377･･･
>> 274
左辺 = 4.8369482884540380119710319918623･･･
右辺 = 5.2548274549875885325330534402426･･･
- 278 名前：１３２人目の素数さん [2009/08/12(水) 23:40:13 ]
- 任意の実数xについて
sin(cosx)≦sin(cos(sinx))≦cos(sinx)を示せv
- 279 名前：１３２人目の素数さん [2009/08/13(木) 01:53:03 ]
- sin(cosx)≦sin(cos(sinx))
⇔cosx≦cos(sinx) (∵y=sinxは[-1, 1]で増加関数)
両辺倶に偶関数で, 2πを周期に持ち, 更に[π/2, 3π/2]で
cosx≦0≦cos(sinx)から[0,π/2]で考えればよい。
このときy=cosxは減少関数とからsinx≦x
∴cosx≦cos(sinx)
sin(cos(sinx))≦cos(sinx)
⇔t=cos(sinx), sint≦t
0≦t≦1(∵-1≦sinx≦1)なのでsint≦tは成立
- 280 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/13(木) 14:11:51 ]
- >>277
数値計算して何になる?入試で電卓は使えないぞ
>>263
n=1,2,3,4,5でsin(n!)ﾟ>0,1-cos(n!)ﾟ>0より
Σ[n=1,∞]|sin(n!)ﾟ| <Σ[n=1,∞]|1-cos(n!)゜|
⇔Σ[n=1,5](sin(n!)ﾟ+cos(n!)ﾟ)<5
y=sinxﾟ,y=cosxﾟは(0,90)で上に凸から、ジェンセンの不等式より
(sin1ﾟ+sin2ﾟ+sin6ﾟ+sin24ﾟ)/4<sin(33/4)ﾟ
(cos1ﾟ+cos2ﾟ+cos6ﾟ+cos24ﾟ)/4<cos(33/4)ﾟ
Σ[n=1,5](sin(n!)ﾟ+cos(n!)ﾟ)
<4sin(33/4)ﾟ+4cos(33/4)ﾟ+sin120ﾟ+cos120ﾟ
=4√(1+sin(33/2))+√3/2-1/2 (∵(sinx+cosx)^2=1+2sinxcosx=1+sin2x)
<4√(1+sin18ﾟ)+√3/2-1/2
=4√(1+(√5-1)/4)+√3/2-1/2
=√10+√2+√3/2-1/2<3.17+1.42+1.74/2-1/2=4.96<5
>>274
Σ[n=1,5](sin(n!)+cos(n!))<5√2*sin48だな
sin48ﾟ>sin45ﾟ=1/√2より明らか
sin48ﾟがどこから出てきたのか教えてほしいな。興味がある
- 281 名前：狂介 mailto:sage [2009/08/13(木) 22:24:20 ]
- >>280
274へのレスについてだけど、どういう意味？
sin(i)+cos(i)≦1とはならないけど
- 282 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/13(木) 22:37:52 ]
- >>281
せめて280を全部読んでからレスしようよ・・・
- 283 名前：１３２人目の素数さん [2009/08/14(金) 02:29:05 ]
- >>279>>280
正解です
向きの訂正ありがとうございます
sin48は
合成して
√2(sin46+sin47+sin51+sin69+sin15)＜5√2sin48を示すのは
左辺＜√2(3sin48+2sin42)(ジェンセン)
=√2(3sin48+2cos48)
=√2sin48(3+2/tan48)
＜5√2sin48(∵tan48＞1)
出題後にこっちの方が偶然まとまってくれたのでこっちも出してみました
- 284 名前：１３２人目の素数さん [2009/08/14(金) 03:04:00 ]
- f1_(x)=f(x)=sin(cosx)
fn+1_(x)=f(fn_(x))とおく。
この時lim(n→∞)f_n((sinx))は定数関数であることを示せ
明日東大模試だし、早めに寝るか…
- 285 名前：狂介 mailto:sage [2009/08/14(金) 08:07:26 ]
- >>282
すいませんでした
>>284
f_n(x)は[sin(-1),sin(1)]にある。
g(x)=sin(cos(x))とすると、|g '(x)|≦r<1 （[sin(-1),sin(1)]について）
平均値の定理を使った定石より、
|f_n(x)-a|≦r|f_(n-1)(x)-a|≦…≦r^(n-1)|f_1(x)-a|
(a=g(a))
よってlim(n→∞)f_n(x)=a
- 286 名前：280 mailto:sage [2009/08/14(金) 23:42:15 ]
- >>283
すごくきれいに48ﾟが出てきたな、面白い。ただ、合成をつかって
√2(3sin48+2cos48)=√26sin(48+α)≦√26
とした方が強い評価ができていいと思う
a_k=p/(k^2+1)+q/(k^2+2)+r/(k^2+3)+s/(k^2+4)とおくと、
k=1,2,3,4でa_k=1/k^2となった。このとき、a_5を求めよ。
- 287 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/15(土) 09:03:10 ]
- ↑パクリ問かよ
- 288 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/15(土) 11:13:41 ]
- >>286 下
通分すると、分母は (k^2 +1)(k^2 +2)(k^2 +3)(k^2 +4), 分子は k^2 の3次式だから、
a_k = {(-1/3)(k^2 -4)(k^2 -9)(k^2 -16)a_1 + (28/3)(k^2 -1)(k^2 -9)(k^2 -16)a_2 + (-429/7)(k^2 -1)(k^2 -4)(k^2 -16)a_3 + (646/7)(k^2 -1)(k^2 -4)(k^2 -9)a_4}/{(k^2 +1)(k^2 +2)(k^2 +3)(k^2 +4)}
これに a_1 = 1, a_2 = 1/4, a_3 = 1/9, a_4 = 1/16 を代入する。
a_5 = 15/377,
- 289 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/15(土) 18:01:28 ]
- 次の性質を満たす正の実数 p がある．
任意の正の整数 n に対して，
a_n＝(p－1－1/1!－1/2!－．．．－1/n!)・(n+1)!
で定まる数列 {a_n} について 0＜a_n＜3 が成り立つ．
このとき，任意の 0 でない有理数 q に対して，
p^q は無理数となる事を示せ．
ただし，題意を満たす p，{a_n} の存在は既知としてよい．
- 290 名前：１３２人目の素数さん [2009/08/18(火) 05:51:03 ]
-
筑波大＞＞東大が証明されました！
筑波大が世界記録を更新＝２兆５０００億けた 東大超え
tsushima.2ch.net/test/read.cgi/news/1250496577/
- 291 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/19(水) 00:39:38 ]
- >>284
分からない
- 292 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/19(水) 17:11:16 ]
- >>291
>>286
- 293 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/19(水) 17:29:03 ]
- >>289
q=1 ならできた。
- 294 名前：284とか [2009/08/19(水) 19:06:00 ]
- fn_(x)の最大値をM_n最小値をm_nとすると
sincosx(m_n≦x≦M_n)について
0≦m_n≦M_n≦1に注意して
m_n≦m_(n+1),M_(n+1)≦M_nを示す
M_(n+1)=sincosm_n…①
m_(n+1)=sincosM_n…②で
M_(n+1)≦M_n
⇔sincosm_n≦sincosm_(n-1)
⇔m_n≧m_(n-1)
⇔sincosM_(n-1)≧sincosM_(n-2)
⇔M_(n-1)≦M_(n-2)より
M_1≧M_2≧M_3かつm_1≦m_2≦m_3を示せば十分で
M_1=sin1,M_2=sin1,M_3=sincossincossin1とm_1=0,m_2=sincossin1,m_3=sincossin1であるから示される。これと①,②より
M_(n+2)＜M_nとm_(n+2)＞m_nなので
M_nは大きくみて単調減少
m_nは大きくみて単調増加
またm_n≦M_nより十分大きなnに対してm_n=M_nである
以上よりfn(x)は最大値=最小値となり定数関数となる
よってxにsinxを入れてfn(sinx)も定数である
(やや周りくどいですが…)
補足でcos(sin(cos…sinx))=cos(sin(cos…cosx))＞sin(cos(sin…sinx))=sin(cos(sin…cosx))です
- 295 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/19(水) 19:07:12 ]
- >>289
ギブ
- 296 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/19(水) 21:17:45 ]
- >>293
p=e のとき
0 < a_n = ∑[k=0,∞) (n+1)!/(n+1+k)!
= ∑[k=0,∞) (n+1)!/[(n+1)!(n+2)^k]
< ∑[k=0,∞) 1/[(n+2)^k)]
= 1/{1 - 1/(n+2)} = (n+2)/(n+1) ≦ 3/2,
p≠e ならば発散する。
いまeが有理数だと仮定すると e=k/n (k,nは自然数)
n!e は自然数。
a_n/(n+1) も自然数。ところが
0 < a_n/(n+1) < 3/(2(n+1)) < 1
となって矛盾。
∴ eは無理数。
∴ e^(1/m) も無理数。
- 297 名前：１３２人目の素数さん [2009/08/19(水) 23:14:08 ]
- 【問】
cos(x)=sin(1/x)を満たすxは無理数であることを示せ
(ただしx≠0)
他のと比べたらかなり簡単
- 298 名前：１３２人目の素数さん [2009/08/20(木) 05:35:52 ]
- >>296
N.G.
それならすぐ回答レスがついたと思われ
ネピアのマクローリン展開なのはすぐに気が付くだろうし。
> p^q は無理数 ← ∴ e^(1/m) も無理数。
仮にpを無理数である√2と仮定するならば
p^2 = 2 よって有利数となる。
よってeが代数的包体でない、すなわち超越数
であることを示さなければならない。
- 299 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/20(木) 07:30:53 ]
- >>298
素朴な疑問なんですが、eが超越数なら任意の自然数mについてe^mが無理数に
なるのは分かりますが、逆も成り立つんでしょうか？
- 300 名前：１３２人目の素数さん [2009/08/20(木) 08:12:45 ]
- >>298
これはありなのか？
スレとして
- 301 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/20(木) 09:13:12 ]
- e^2が無理数はいけたかも。
- 302 名前：301 mailto:sage [2009/08/20(木) 11:12:19 ]
- (e^2 が無理数であることの証明)
仮定より,
1＋1/1!＋1/2!＋...＋1/n! ＜ p ＜ 1＋1/1!＋1/2!＋...＋1/n!＋3/(n+1)! ...①
また簡単な微分演算により，
x＞0 で 1＋x/1!＋x^2/2!＋...＋x^n/n! ＜ e^x
＜ 1＋x/1!＋x^2/2!＋...＋x^n/n!＋x^(n+1)・e^x/(n+1)!...②
②において x＝1 とし，①と挟み撃ちより p＝e．
②において x＝2 とおくと，
1＋2/1!＋2^2/2!＋...＋2^n/n! ＜ e^2
＜ 1＋2/1!＋2^2/2!＋...＋2^n/n!＋2^(n+1)･e^2/(n+1)!...③
e^2＝k/j (j，k は正の整数) とおけると仮定する．
また m が正の整数のとき (2^m)!＝2^(2^m-1)･N(m) (N(m) は正の整数) とかけるので，
③において n＝2^m (m は正の整数) とし，辺々に j･N(m) をかけると，
j･N(m){1＋2/1!＋2^2/2!＋...＋2^(2^m)/(2^m)!}＜k・N(m)
＜j･N(m){1＋2/1!＋2^2/2!＋...＋2^(2^m)/(2^m)!}＋4j・e^2/(2^m+1)...④
ここで j･N(m){1＋2/1!＋2^2/2!＋...＋2^(2^m)/(2^m)!} および k・N(m) は
正の整数で，m を十分大きくすると，0＜4j・e^2/(2^m+1)＜1 とすることができる．
これは④に矛盾する．
# e^m (m≧3) の証明はできない...
- 303 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/20(木) 11:26:30 ]
- >>297
cos(π/2-x)＝sin x とか使って、和積の公式＋背理法で簡単じゃあるまいか？
- 304 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/20(木) 13:20:50 ]
- >>303
実際の入試問題ならこのレベルで十分なのが現実だな。
- 305 名前：284とか [2009/08/21(金) 20:56:18 ]
- 【問】
xy平面において、(0,-r)から速さvでy=tanθx-r上を動く半径rの円(以下自機)と間隔1で線分の長さ1のx軸上に無限に連なり、速さ1でx軸正方向へ流れるワインダーを考える
この時自機が上手くワインダーを通り抜けることで、自機がワインダーにぶつかる(ワインダーと自機が周を除いて共有点をもつ)ことなくワインダーを通りぬけることができた
vを定数として、この時考えられる最大のrとその時のcosθの値を求めよ
某有名STGやってる時に閃いた問題だけど結構しっかり考えないと解けないと思われ
- 306 名前：１３２人目の素数さん [2009/08/22(土) 00:04:44 ]
- 問題文が理解不能
- 307 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/22(土) 00:53:33 ]
- ワインダーってなんだよ
- 308 名前：１３２人目の素数さん [2009/08/22(土) 01:06:08 ]
- ワインダーは語義ミスぽいし、改題
【問】
xy平面において
(0,-r)から速さvでy=tanθx-r上を中心が動く半径rの円Cおよびx軸上にあり、長さ1でx軸正方向へ速さ1で動く線分が長さ1の間隔で以下の図のように無限に並んでいる非連続直線Dを考える
…― ― ― ― ―…
この時円Cが上手くDを通り抜けることで、円CがDと内部を共有することなく(ただし、周の共有は許す)(円のy座標)≧rの地点に到達することができたという。
vを定数として、この時考えられる最大のrとその時のcosθの値を求めよ
- 309 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/22(土) 11:27:26 ]
- 高校生のための質問スレ669に東大の問題を真似た問題を作ってみました。溶けないのですが…ｗ
問題のせるとマルチ指摘されるのでそちらでといてみてください
- 310 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/22(土) 11:36:00 ]
- あとこれもどうでしょう。なかなかの良問です
ｘ(1)～ｘ(n)がそれぞれ1～nまでの自然数の値を取るとする(n≧2)
この時|ｘ(1)―ｘ(2)|＋|ｘ(2)―ｘ(3)|＋……＋|ｘ(n-1)―ｘ(n)|＋|ｘ(n)―ｘ(1)|の最小値を求め、そのような値を取るｘ(1)～ｘ(n)の組み合わせの総数を求めよ。
- 311 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/22(土) 12:00:34 ]
- >>302
何で e^3 とかになると急に無理数性の証明が難しくなるんでしょうな。
- 312 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/22(土) 12:20:27 ]
- >>311
e^2の無理性の本質は、テーラー展開と、eの無理性に帰着できる所、にあるから上手くいく
e^3以降だとテーラー展開の形から良い有理数近似が得られないから上手くいかない
- 313 名前：１３２人目の素数さん [2009/08/22(土) 13:48:29 ]
- 最小値は数直線で考えれば2(n-1)だけど組み合わせは結構だるいな…
- 314 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/22(土) 13:52:46 ]
- >>310はますのりで見たような気がする。
ま、よくある問題ではあるが。
- 315 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/22(土) 14:35:40 ]
- 一応これ自作なのですが全く同じなのですか？
あることに気付けばすぐできます
- 316 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/22(土) 14:40:01 ]
- 連続レスすみません
z＝cosx（0≦x≦π/2）
z＝Siny（0≦y≦π/2）
y＝Sinx（0≦x≦π/2）
でかこまれる共通体積を求めよ。
こちらに載せます。
- 317 名前：１３２人目の素数さん [2009/08/22(土) 14:48:56 ]
- Sinはsinってことでおｋ？
- 318 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/22(土) 14:50:09 ]
- おけです
- 319 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/22(土) 18:58:12 ]
- >>316
東大入試作問者になったつもりなら、文章にも気を配ろうよ。
>でかこまれる共通体積
なんて日本語になってないだろ。
- 320 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/22(土) 19:30:00 ]
- 0.
- 321 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/22(土) 20:00:34 ]
- 共通体積なんてないよな？
時間返せハゲ
- 322 名前：１３２人目の素数さん [2009/08/23(日) 08:17:49 ]
- 場合の数は2^(n-1)かなあ
- 323 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/23(日) 09:06:51 ]
- >>322おしいですね
- 324 名前：かえる mailto:sage [2009/08/23(日) 10:25:36 ]
- >>310
厳密な証明がうまく書けませんが、
１からｎまで上りきってから、ｎから１まで下るのが最小
最小値は２（ｎー１）
最小値をとる場合の数は、１のとり方でｎ通り
２～ｎ－１の（ｎ－２）個の点について、上りで通るか下りで通るかなので、２＾（ｎ－２）通り
よって、ｎ＊（２＾（ｎ－２））通り
- 325 名前：かえる mailto:sage [2009/08/23(日) 10:32:43 ]
- 324の上段をもう少し丁寧に書けば、
１とｎの間を往復しなければならないので、最小値が２（ｎ－１）未満にはなりえない。
ａ（ｋ）＝ｋとすれば、実際に２（ｎ－１）をとる。
よって、最小値は２（ｎ－１）
- 326 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/23(日) 11:03:42 ]
- 正解です
- 327 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/23(日) 13:56:11 ]
- >>323
そうか？
むしろ京大より東大だろ。もっとも京大と違って亀田みたいにあからさまな元ヤンはいないが。
官庁の役人なんて社会に出たらやって行けないような奴ばっか。
もっとも奴らが社会に出る時すなわち天下りなわけでそんな社会人一年生が赦されてしまうのが学歴社会日本クオリティ。
- 328 名前：１３２人目の素数さん [2009/08/23(日) 14:17:23 ]
- 意味不明
- 329 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/23(日) 17:53:42 ]
- 出します。
一辺が４の立方体が二つあり、両方の中心をxyz座標における原点に固定する。
これらを自由に回転させるとき、二つの立方体の体積の最大値を求めよ。
ただし最大値の存在があるものとして答えてはいけない。
- 330 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/23(日) 17:57:25 ]
- もう一問。以前東大スレでだしたのですが正解者がいなかったので
正12面体があり、ある面をAとおく。Aを床とくっつける。ここで一回の操作で床にくっついた面に続く5面うちのどれかに転がすという操作をする。このとき、n回目にAが床にくっついている確率を求めよ。
- 331 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/23(日) 17:58:55 ]
- >>329
二つの立方体の体積の最大値を求めよ。
と言われましても、どんだけ回転させても二つの立方体の体積は変わりませんぜ
- 332 名前：かえる mailto:sage [2009/08/23(日) 19:32:06 ]
- >>330
ｎ回目の操作後
Ａが床についている確率a(n)
Ａの隣の５面のいずれかが床についている確率b(n)
Ａから２つ離れた５面のいずれかが床についている確率c(n)
Ａから３つ離れた面が床についている確率d(n)
a(n+1)=(1/5)b(n)
b(n+1)=a(n)+(2/5)b(n)+(2/5)c(n)
c(n+1)=(2/5)b(n)+(2/5)c(n)+d(n)
d(n+1)=(1/5)c(n)
- 333 名前：かえる mailto:sage [2009/08/23(日) 19:42:35 ]
- >>332の続き
（第１式）＋（第２式）と
a(n)+b(n)+c(n)+d(n)=1
a(0)=1,b(0)=c(0)=d(0)=0に注意して、
a(n)+d(n)=(1/6)+(5/6)(-1/5)^n
（第１式）－（第４式）に（第２式）－（第３式）を代入して、
a(n+2)-d(n+2)=(1/5)(a(n)-d(n))
ｎ偶数：a(n)-d(n)=(1/5)^(n/2)
ｎ奇数：a(n)-d(n)=0
- 334 名前：かえる mailto:sage [2009/08/23(日) 19:46:34 ]
- >>332の続き
よって、
ｎ偶数：a(n)=(1/12)+(5/12)(-1/5)^n+(1/2)(1/5)^(n/2)
ｎ奇数：a(n)=(1/12)+(5/12)(-1/5)^n
・・・（答）
- 335 名前：１３２人目の素数さん [2009/08/23(日) 21:06:12 ]
- >>308
- 336 名前：１３２人目の素数さん [2009/08/23(日) 21:20:30 ]
- >>312
もう少し詳しくお願いします
- 337 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/23(日) 23:03:39 ]
- >>302の証明で
j･N(m){1＋2/1!＋2^2/2!＋...＋2^(2^m)/(2^m)!} は整数
って言ってるけど、これ本当？
- 338 名前：１３２人目の素数さん [2009/08/23(日) 23:15:06 ]
- >>337
自分で検証できないのか？
- 339 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/23(日) 23:31:13 ]
- 1辺が1の正方形の中に，n個（n≧2）の点をどの2点もd以上離して置くときの
dの最大値を d_max(n) とする．
(1) d_max(2) を求めよ．
(2) d_max(3) を求めよ．
(3) d_max(4) を求めよ．
- 340 名前：かえる mailto:sage [2009/08/24(月) 01:02:34 ]
- >>339
(1) 2^(1/2)
(2) 6^(1/2)-2^(1/2)
(3) 1
- 341 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/24(月) 01:36:09 ]
- >>340
答えの予測はつくが論証が難しい
- 342 名前：１３２人目の素数さん [2009/08/24(月) 20:18:11 ]
- xyz空間において
z=0上に底面がx^2+y^2=1に接する正2n角形で頂点が(0,0,1)の正2n角錘Tとz=1上に底面がx^2+y^2=1に接する正n角形で頂点が(0,0,0)の正n角錘Uがある
この時、TとUの共通部分の体積のをV_nとする時、lim(n→∞)V_nのとりうる値の範囲を求めよ
- 343 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/24(月) 21:00:00 ]
- a(n)=1/12+(5/12)(-1/5)^n+(1/4)(1/r5)^n+(1/4)(-1/r5)^n.
b(n)=5/12-(5/12)(-1/5)^n+(r5/4)(1/r5)^n-(r5/4)(-1/r5)^n.
c(n)=5/12-(5/12)(-1/5)^n-(r5/4)(1/r5)^n+(r5/4)(-1/r5)^n.
d(n)=1/12+(5/12)(-1/5)^n-(1/4)(1/r5)^n-(1/4)(-1/r5)^n.
- 344 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/24(月) 22:20:02 ]
- (1) 常用対数 log7の値を小数第４位まで求めよ。ただし、第５位以降は切り捨てとする。
(2) 1以上の自然数Nと、その２進数表記が与えられたとき、常用対数logN
の値を小数第４位(第５位以降は切り捨て)まで求めるとき、乗算を可能な限り
少ない回数で済ませる場合、乗算は高々何回行えばよいか。
- 345 名前：かえる mailto:sage [2009/08/25(火) 08:04:40 ]
- >>344
（１）（７＾１００００の桁数－１）／１００００
（２）１００００乗を何回の乗算でできるかが問題
１００００＝2^12+2^10+2^9+2^8+2^4
より、１２＋１０＋９＋８＋４＝４３回・・・（答）
- 346 名前：１３２人目の素数さん [2009/08/25(火) 22:07:18 ]
- 誰か未解決問題まとめてくれ
- 347 名前：344 mailto:sage [2009/08/26(水) 02:58:31 ]
- >>345
えー。試験問題に誤りが見つかった為、(2)については受験者の回答を全て正解とし、
得点を加える処置といたします。
受験生の皆様に、お詫びいたします・・・。
・・・ごめん。(2)の問題を間違って、趣旨が変わってしまっていたようだ。
ついでに言うと、微妙に日本語が変だったみたい。（恥ずかしい）
折角回答してくれたのに、本当に申し訳ない。
訂正後の(2)は下記。
1以上の自然数Nとk(およびkの２進数表記)が与えられたとき、常用対数logN
の値を小数第k位(第k+1位以降は切り捨て)まで求めるものとする。
乗算を可能な限り少ない回数で済ませる場合、乗算は高々何回行えばよいか。
ちなみに、回答は訂正前の問題についてはほぼ正解に近いと思いますが、
途中経過を覚えておけるものとして考えると、17回になりますね。
- 348 名前：１３２人目の素数さん [2009/08/26(水) 21:51:33 ]
- >>347
どちらにしろ出題ミスじゃね？
3×3=3+3+3のようにすりゃ高々0回じゃん
- 349 名前：１３２人目の素数さん [2009/08/26(水) 23:29:18 ]
- 【問】
aを実数として
lim(n→∞)Σ[k=1,n]1/k^aについて
(1)a≦1の時の発散を示せ
(2)a＞1の時1になるべく近いaで収束するものを求めよ
ただし、この問題の点数は10/a点とする(小数第一位切り上げ)
- 350 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/27(木) 00:19:01 ]
- >>349
（1）略（易）
（2）は∀a＞1で収束するから（易）、
a=100/99とすれば10/a=9.9で10点
- 351 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/27(木) 00:59:33 ]
- >>284
0<sincos1≦f_1(sinx)=sincos(sinx)≦sin1<1
0<a≦f_n(sinx)≦b<1と仮定すると0<sincosb≦f_(n+1)(sinx)=sincosf_n(sinx)≦sincosa<1
ここで平均値の定理からsincosb-sincosa<c(b-a) (|c|<1)
よって帰納的にf_n(x)は定数に収束する
ダメだろうか？
- 352 名前：１３２人目の素数さん [2009/08/28(金) 17:32:06 ]
- xyz平面において、中心が原点にあり半径が１の球Cがある。
また半径ｎ、高さrでxy平面に底面が垂直になるように定められた円柱がある。
この円柱の中心が(x,y,z)＝(0,0,p)となっている時、球Cと円柱の共通体積を求めよ。
- 353 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/28(金) 21:13:30 ]
- だから「共通体積」って何だよ。
共通部分の体積
って書けよ。
- 354 名前：１３２人目の素数さん [2009/08/28(金) 21:36:34 ]
- 353(笑)
- 355 名前：１３２人目の素数さん [2009/08/28(金) 22:28:49 ]
- 円柱の中心ってなあに？
わかりません
- 356 名前：１３２人目の素数さん [2009/08/28(金) 23:24:09 ]
- 共通体積の意味は推し量れるけども
普通は共通部分の体積だよな
共通測度などという言い方がないように共通体積という言い方はない
- 357 名前：352 [2009/08/29(土) 00:32:03 ]
- 共通体積→共通部分の体積でおねがいします
>>355円柱の中心とは立方体の中心というように考えてもらえればわかってもらえると思いますが
これも言葉足らずですかね？
- 358 名前：１３２人目の素数さん [2009/08/29(土) 00:42:16 ]
- >>351
|(sincosx)'|＜1ってことですかぁ…見事ですね。私の解答よりも本解っぽいです
【問】
半円:y=√(1-x^2),y=0(-1≦x≦1)上のある2点に内接して隣同士互いに外接するn個の円の半径を中心のx座標が小さい順にr_k[k=1,n]とする時Σ[k=1,n]1/r_kの最小値を求めよ
>>308は座標設定があからさまに不親切なので改題します…
- 359 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/29(土) 01:04:18 ]
- >>351をちょっと訂正
(sincosx)´<1から|c|<1, |sincosb-sincosa|<c|b-a| となるcが存在
- 360 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/29(土) 02:30:21 ]
- 0<c<1でよかったか
- 361 名前：「猫」∈社会の屑 ◆ghclfYsc82 mailto:sage [2009/08/29(土) 07:49:15 ]
- 何だかビラソロ代数のセントラル・チャージみたいですな
- 362 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/29(土) 16:42:20 ]
- >>351
蛇足だが…
r = sin(1) = 0.8414709848078965066525023216303…
|f '(x)| = |cos(cos(x))･sin(x)| ≦ |sin(x)|
|x| ≦ r ⇒ |f '(x)| ≦ sin(r) = c,
f(a) = a とする。
n≧2 のとき、平均値の定理により次のξが存在。
|f_n(x) - a| = |f(f_(n-1)(x)) - f(a)| = |f '(ξ)|･|f_(n-1)(x) - a|,
ξ は f_(n-1)(x) と a の中間にあるから
|ξ| ≦ r,
∴ |f '(ξ)| ≦ sin(r) = c,
∴ |f_n(x) - a| ≦ c･|f_(n-1)(x) - a| ≦ ･･･ ≦ c^(n-1)|f(x) - a| ≦ c^(n-1)|-sin(1)-a|,
∴ f_n(x) は一様収束。
a = 0.69481969073078756557842007277519…
cos(a) = 0.76816915673679597746208623955866…
c = sin(r) = 0.74562414166555788889315107043038…
- 363 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/29(土) 22:23:09 ]
- ファッションとか音楽とかスポーツとか、その辺の話題で面接やりゃ２分で分かるだろ。頭の良さなんて。
わざわざ時間掛けて数学とかで試験やる意味がわからん。
ペーパーテストで勉強が得意かどうか調べたって頭の良さなんか全く分からないのに。
大学とかだと選ぶ側が雑談力ゼロのコミュ障だったりするからしょうがないけど。
だから日本の大卒って社会では全然使えないんだよ。
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