- 6 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/18(土) 08:59:19 ]
- >>5
A^m≠Oより、A^mにはoでない列ベクトルが存在する。
A^mのp列目の列ベクトルがoでないとき、
Eのp列目の列ベクトルをvとすると
A^m*v≠o
ここで、仮にv,Ａv,…,Ａ^m*vが一次従属であるとすると、
ある有限数列{a_k} (k=0,…,m)があって
Σ[k=0,m]a_k*A^k*v = o ……(i)
が成立し、
なおかつ、{a_k}の要素には0でないものが含まれる。
ここで、a_k≠0となる最小のkをqとし、(i)の両辺に左からA^(m-q)を掛けると
Σ[k=q,m]a_k*A^(m+k-q)*v = o
Aの指数がm+1以上の項は消えるので、
a_q*A^m*v = o
a_q≠0よりA^m*v = oとなり、これは矛盾。
よって、v,Ａv,…,Ａ^m*vは一次独立。
