- 1 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/31(日) 02:06:28 ]
- 理系で数学が得意な高校生が２５～５０分で
解ける問題を考えてうぷするスレ。
これ以外の難易度の問題はスレ違いとなります。
関連スレへどうぞ
過去ログは>>2以降
- 736 名前：１３２人目の素数さん [2009/04/20(月) 15:09:47 ]
- 3次元直交座標空間に球面Ｓがある。この球面Ｓ上の任意点（ｐ、ｑ、ｒ）について、ｐ、ｑ、ｒのうち2つの数字が整数ならば残りの1つも必ず整数である。
このような球面Ｓは何種類あるか。その半径として考えられるものをすべて求めよ。
ただし、球面Ｓは格子点を少なくとも1つ通るとする。
- 737 名前：１３２人目の素数さん [2009/04/20(月) 19:18:10 ]
- m：整数、n：1<n<100の整数の時
n!=m^2
となるn,mの組は存在しないことを示せ。
正直、きれいな証明じゃないので微妙。
ちなみに、これはベルトラン予想の限定。
実際は2以上のすべての自然数nにおいて上の式が成り立ちます。
- 738 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/04/20(月) 21:40:43 ]
- >>736
(x-1/2)^2 + y^2 + z^2 = 1/4, 半径 1/2,
(x-1/2)^2 + (y-1/2)^2 + z^2 = 1/2, 半径 (√2)/2,
(x-1/2)^2 + (y-1/2)^2 + (z-1/2)^2 = 3/4 or 11/4, 半径 (√3)/2 or (√11)/2,
x^2 + y^2 + z^2 = 1, 半径1,
- 739 名前：１３２人目の素数さん [2009/04/20(月) 23:47:40 ]
- >>737
n!=m^2について
pを素数として
p!の素因数のうち最大の素数はpである。
p^2までにpより大きい素数が含まれていることが示せれば最大の素数の次数が1であり、平方数にならないことが示される。
またこの時pの次に大きい素数をqとして、p≦n＜qである自然数nについても最大の素数はpである。…①
p=2ならp^2=4までに3がある
同様に
3(9)→7
7(49)→47
47(47^2)→101
(5は7,11～43は47,53～97は101が対応する)
よってp!が平方数になることはない。(1＜p＜100)
また、これと①より1＜n＜100についても示される。
- 740 名前：737 mailto:sage [2009/04/21(火) 03:48:45 ]
- >>739
大体あってるけど、
＞p^2までにpより大きい素数が含まれていることが示せれば最大の素数の次数が1であり、平方数にならないことが示される。
p^2じゃなくて2p。
なので、実際は
2 3 5 7 13 23 43 83 というステップになる。
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