- 1 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/31(日) 02:06:28 ]
- 理系で数学が得意な高校生が２５～５０分で
解ける問題を考えてうぷするスレ。
これ以外の難易度の問題はスレ違いとなります。
関連スレへどうぞ
過去ログは>>2以降
- 573 名前：１３２人目の素数さん [2009/02/24(火) 10:43:35 ]
- 2x2の行列のある部分集合Fは次の性質を持つ。
・Fの任意の元 a,b について、a-bはFに属する。
そして、Fの任意の元 aは、a-a=0 となる。
・また、Fの任意の元a,bについてa*bはFに属する。
そして、Fのある元eは次のような性質を持つ
・任意のFの元aについて a*e = e*a であり、これはFに属する。
・e*e=e
・-e * -e =e という等式が成り立つ。
・さらに、Fのある元iについて次の等式が成り立つ、i * i = -e
元、e,iを求めよ。
- 574 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/02/24(火) 10:49:22 ]
- >>573
久しぶりだね
- 575 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/02/24(火) 11:01:27 ]
- ＞そして、Fの任意の元 aは、a-a=0 となる。
この引き算は行列としての引き算じゃ無いの？
だとしたら問題文でわざわざ断るのは不自然。
（いや何でこんなこと書いたのかは分かるんだけどね）
2×2行列としての構造を無視するなら、
ただの濃度が |R| の集合に過ぎないんだから何も求めようがなくなる
- 576 名前：１３２人目の素数さん [2009/02/24(火) 12:02:31 ]
- 流れ豚切ってすみません。
以前、ここか京大スレかのどこかで
lim[n→∞]a[n]=0 ⇒ lim[n→∞]Π[k=1,n]a[k]=0
は成り立つか？みたいな雰囲気の問題を見た覚えがあるんですけど、
（本物はこんなに簡単じゃなくて、アイディアが必要な問題でした・・・）
誰か詳細をご存じないでしょうか。過去ログ調べたんですが見つかりませんでした。
（ちなみに>>3の過去ログ倉庫はぶっ壊れたんでしょうか・・・）
何か情報をお持ちの方は、ご教示下さい。
- 577 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/02/24(火) 12:36:05 ]
- >>576
＞ （ちなみに>>3の過去ログ倉庫はぶっ壊れたんでしょうか・・・）
会員登録すれば誰でも使えたYahoo!ブリーフケースが、有料会員専用に変更された
- 578 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/02/24(火) 23:37:23 ]
- >>576-577
過去ログ倉庫の避難所を用意しました。
cid-d357afbb34f5b26f.skydrive.live.com/browse.aspx/.Public/
- 579 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/02/25(水) 00:33:57 ]
- >>576
例示してるのと大差ない気がするけどこれ?
813 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2008/10/26(日) 14:27:34
じゃぁ要望にこたえて、某有名、大学入試問題集から一問
次の命題の真偽を調べ、真ならば証明し、偽ならば反例を示せ。
「すべての非負整数 n について、0<a(n)<1 ならば、
lim[n→∞]a(1)a(2)a(3)****a(n)=0 」
- 580 名前：１３２人目の素数さん [2009/02/25(水) 12:33:46 ]
- >>579
んんっ…あっ…これです！！！
どうも有り難うございました。
>>578さんもお疲れ様ですm(_ _)m
- 581 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/02/25(水) 21:55:13 ]
- >>580
んんっ・・・あっ・・・
エッチぃのは嫌いです＞＜
- 582 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/02/26(木) 00:07:33 ]
- >>579
当然偽だね。
logをとって考えれば，結局「負の数を無限個足せば-∞に発散する」という主張をしていることになるが，
もちろんそんなことは成り立たない。-1/2^n とかを考えれば明らか。
- 583 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/02/26(木) 22:27:58 ]
- >>579
判例
a[k] = {k/(k+1)}*{(k+2)/(k+1)},
a(1)a(2)･････a(n) = {1/(n+1)}*{(n+2)/2} → 1/2. (n→∞)
13 24 35 46
---------------------
22 33 44 55
- 584 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/02/27(金) 00:05:35 ]
- >>579
凡例
0<b<1 として, bに収束させる。
a[k] = {(k-1+2b)/(k+2b)}*{(k+2)/(k+1)},
a(1)a(2)･････a(n) = {2b/(n+2b)}*{(n+2)/2} → b. (n→∞)
- 585 名前：１３２人目の素数さん [2009/02/28(土) 00:37:59 ]
- フィボナッチ数列を三角関数で表現しなさい
- 586 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/02/28(土) 00:47:48 ]
- >>579 (別解)
0<b<1 とすると、(sinθ)/θ = b となるθが(0,π) にある。
a[k] = cos(θ/(2^k)) = sin(θ/{2^(k-1)})／2sin(θ/(2^k)),
a(1)a(2)･････a(n) = sinθ/{(2^n)sin(θ/(2^n))} → sinθ/θ = sinc(θ) =b, (n→∞)
- 587 名前：１３２人目の素数さん [2009/02/28(土) 00:56:31 ]
- ５７９
有界単調減少ー＞収束
limΠa(i)=c>0
c*.9<c
になるので
c>0は矛盾ー＞ c=0
- 588 名前：１３２人目の素数さん [2009/02/28(土) 02:42:35 ]
- 今年も東大より京大の方が面白い
- 589 名前：１３２人目の素数さん [2009/02/28(土) 07:17:48 ]
- 次の命題の真偽を調べ、真ならば証明し、偽ならば反例を示せ。
「すべての非負整数 n について、-1<a(n)<1 ならば、
lim[n→∞]a(1)a(2)a(3)****a(n)=0 」
- 590 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/02/28(土) 08:20:25 ]
- >>582
-1/2^n の数列を無限個足していったら0になってしまわないかしら
- 591 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/02/28(土) 08:39:35 ]
- どこをどう突っ込めばいいのやら
- 592 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/02/28(土) 08:51:52 ]
- ああ、かけていったら、です。(-1)^n/2^(0.5n*(n+1))→0だよなあ
- 593 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/02/28(土) 12:45:00 ]
- >>412あたりの本にちょっと興味あるのだけど、本当に買ってみるべきかしら？
他にもっとこれやれって本はあったりするのかしら
- 594 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/02/28(土) 12:58:25 ]
- >>579 (別解)
0<b<1 とする。
a(k) = b^{(1/2)^k},
a(1)a(2)･････a(n) = b^{1 - (1/2)^n} → b (n→∞)
- 595 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/02/28(土) 13:40:08 ]
- >>587
なにこれ？
- 596 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/02/28(土) 14:37:08 ]
- >>585
ここら辺↓に解凍････
science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1043045905/312-314
science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1043045905/421-422
- 597 名前：596 mailto:sage [2009/02/28(土) 14:48:11 ]
- >>585 リンクミス、すまそ。
science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1073918716/421-422
定理スレ
- 598 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/01(日) 01:08:48 ]
- n枚の互いに異なるカードがひとつの山に重ねてある。初期の順序の状態を順序Mとする。
以下の試行によりカードを並び替える。ただしp,qはnの約数とする。
①山を上から順にp等分する。それぞれの山をA1、A2、・・・、Apとする。
②A1,A2・・・Apと順に一番上のカードを取っていく。Apのカードを取ったらA1に戻り山がなくなるまで繰り返す。
③先に取ったカードをが上になるように一つの山を作る。
この試行をZ(p)とする。
（１）順序MからZ(p)をm回繰り返した。このとき順序Mとなっている条件を求めよ。
（２）n≧pqとする。このとき、順序MからZ(p)をq回行った山のカードの順序と、順序MからZ(pq)を１回行った山のカードの順序が等しいことを示せ。
（３）順序MからZ(p)をa回行った後、その状態からZ(q)をb回行った。このとき順序Mとなっている条件を求めよ。
- 599 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/01(日) 09:00:05 ]
- あ、間違えた
（２）順序MからZ(p)をq回行った山のカードの順序→順序MからZ(p)を行った後Z(q)を行った山のカードの順序
- 600 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/01(日) 20:52:42 ]
- >>579
B(0) = 1,
B(n) は単調減少
Lim[n→∞] B(n) = b,
を満たす数列 B(n) に対して
a(n) = B(n) / B(n-1),
- 601 名前：１３２人目の素数さん [2009/03/03(火) 12:14:39 ]
- たった一つのことを使い回していくだけなので面白みに欠けるところがあるが
まあ入試なら差が付くだろうし，昔東大にも似たようなのあったからいいか。
2009^2009の各位の和を計算し，更にその各位の和を計算し…
と出てきた数の各位の和の計算をくり返していくとき，
最後に残る一桁の数字を求めよ。
- 602 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/03(火) 12:54:15 ]
- パクり乙
- 603 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/03(火) 14:21:37 ]
- >>601
答え 5
9で割った余りを求めればよい。2009~2009=2^2009=2^{6*334+5}=2^5=5 (mod 9)
- 604 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/03(火) 14:36:10 ]
- 糞問ばっかだな
- 605 名前：１３２人目の素数さん mailto:age [2009/03/04(水) 23:49:36 ]
- 円周率πと、√3+√2の大小を比較せよ。
- 606 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/05(木) 01:11:47 ]
- >>605
まず π^2/6 = 2 - 1/(1^2*1*3) - 1/(2^2*3*5) - 1/(3^2*5*7) - … を導く。
1/(1^2*1*3) + 1/(2^2*3*5) + 1/(3^2*5*7) + …
=(1/1^2)(4/(1*3)-1) + (1/2^2)(16/(3*5)-1) + (1/3^2)(36/(5*7)-1) + …
=(4/(1*3)-1/1^2) + (4/(3*5)-1/2^2) + (4/(5*7)-1/3^2) + …
=(2/1-2/3-1/1^2) + (2/3-2/5-1/2^2) + (2/5-2/7-1/3^2) + …
=2 - π^2/6
従って
π^2 = 6{ 2 - 1/(1^2*1*3) - 1/(2^2*3*5) - 1/(3^2*5*7) - … }
= 12 - 2 - 1/10 - 2/105 - 1/168 - …
両辺の2乗は
(√2+√3)^2 = 5+2√6 = 10-(5-2√6) = 10-(√25-√24)
π^2 = 10 - (1/10+2/105+1/168+…) = 10-(5/42+1/168+…)
10から引かれる値の大小関係は
√25-√24 = 1/(√25+√24) < 1/(5+√16) = 5/45 < 5/42 < 5/42+1/168+…
従って (√2+√3)^2 > π^2 つまり √2+√3 > π
- 607 名前：605 mailto:sage [2009/03/06(金) 00:17:24 ]
- >>606
素晴らしい！正解です。
- 608 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/06(金) 14:28:59 ]
- >>607
>>607が用意した解答が>>606と同じならむずくねえかこれ？高校レベルなの？
>>606は5行目から6行目を導くためには和の順序交換をしなければならないが
無限級数の和の順序交換は一般にはできないため、絶対収束性の確認がいる
明らかに高校レベルを超えていると思われる
>>606にちょっと意見するならば
5行目が絶対収束することを示すには結局4行目に戻らなければならないので
（5行目で絶対値級数をとると∞発散してしまう）
4行目が絶対収束することを示して、和の順序交換ができることに言及した上で
4行目=(4/(1*3)+4/(3*5)+4/(5*7)+・・・)+(1/1^2+1/2^2+1/3^2+・・・)
と和の順序交換ができて、=6行目とするべきだと思う
- 609 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/06(金) 17:44:21 ]
- 小数点以下2桁で見分けつかないのはキツイ
- 610 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/07(土) 13:30:37 ]
- >>605
>606しか解答がないわけか？
ちなみに俺は、正6*2^n角形でπの値を評価していく明らかに現実的じゃない方法しか思いつかないんだが。
- 611 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/07(土) 13:51:32 ]
- >>235の途中から
π<2√6-4√3-2√2+8<2*2.45-4*1.732-2*1.414+8=3.144<1.732+1.414<√3+√2
- 612 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/07(土) 13:52:59 ]
- でも、この方法もたまたまうまくいっただけで、試験中には現実的に無理か
- 613 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/07(土) 14:11:57 ]
- cos2x+cos3x-6xの挙動を調べてx=π/12を代入して・・・
という方針を試してみたが、うまくいかなかった
誰か高校レベルでの解法を頼む
- 614 名前：605 mailto:sage [2009/03/07(土) 23:28:22 ]
- >>610
正48角形を考えれば大丈夫。基本的には(もう消えているが)>>218と同様の方針。
p=\tan \pi/48とすると示すべきはp<(\sqrt{3}+\sqrt{2})/48
加法定理より 2p/(1-p^2)=1/(\sqrt{6}+\sqrt{3}+\sqrt{2}+2)
よりpは二次方程式p^2 +2p(\sqrt{6}+\sqrt{3}+\sqrt{2}+2) -1=0の正の解。
(\sqrt{3}+\sqrt{2})の形になっているから、>>218よりは簡単にいくと思われる。
というのと>>235のようにやるのが、一応想定した解答。
- 615 名前：１３２人目の素数さん [2009/03/08(日) 07:58:53 ]
- 円周率π=3.14152と、√3=1.732050+√2=1.41421356の大小を比較せよ。
- 616 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/08(日) 08:58:54 ]
- 意味不明。
- 617 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/08(日) 18:52:58 ]
- >>661
2007年度はBとCレベルばかりなのに、大学への数学からは>>288に書いてあるように
難しすぎる、難易度の調節が出来ないなら入試を作るのを止めろとまで罵られたらしい。
他の予備校はそこまでの極端な難化とは見ていないのに。
極端な例かも知れないが、例えばこんな問題を
science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1220115988/605
何の誘導も無しに出すのが京大。懇切丁寧に誘導を付けて出すのが阪大。
- 618 名前：617 mailto:sage [2009/03/08(日) 18:54:39 ]
- 誤爆しました。
- 619 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/08(日) 18:56:05 ]
- 誤爆した理由はわかるが書き込むつもりだったスレが気になる
- 620 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/08(日) 19:40:32 ]
- 90年代の東大の入試問題作問者は首吊って死ななきゃいけないなｗ
- 621 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/08(日) 20:08:11 ]
- あれで試験になってたんだよ
- 622 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/08(日) 23:17:36 ]
- 数学は実質的に120点満点の試験としての機能を果たしてなかったけどね。
六問中一問が解けてもう一問で部分点を貰えれば
どこの科類でも目指せた時代なので。
- 623 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/08(日) 23:28:34 ]
- それが本当なら、確かに入試問題としておかしいなｗｗ
- 624 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/09(月) 00:08:02 ]
- 今見ると恐ろしく簡単に見える・・何であんなので2完だったんだ俺。
まぁうかったけど。
- 625 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/10(火) 00:55:38 ]
- >>605
不等式への招待 第３章
science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1179000000/451
(これ以降にも関連レス)
「√２＋√３＞πの証明」
ttp://www2.ocn.ne.jp/~mizuryu/toukou2/toukou56.html
- 626 名前：１３２人目の素数さん [2009/03/10(火) 02:37:23 ]
- 超天下り式だが
∫[0→1]x^4(1-x)^4/(1+x^2)dx=22/7-π>0 より
√2＋√3>1.414+1.732=3.146>22/7>π
- 627 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/10(火) 02:41:54 ]
- これはすごい
- 628 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/10(火) 02:54:08 ]
- 22/7か、思いつかなかったな
- 629 名前：１３２人目の素数さん [2009/03/10(火) 02:57:38 ]
- πの近似値
- 630 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/10(火) 03:44:47 ]
- 7/22は円周率近似値の日だからね
- 631 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/10(火) 03:51:28 ]
- これも頼む
去年の数検の問題
ttp://www.suken.net/img/2008-07dani.pdf
数値計算をせずに
π^4 + π^5 ＜ e^6
であることを理論的に証明しなさい。
- 632 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/10(火) 04:02:24 ]
- 22/7をはさむのは思いつかなかった。それほど精度がいいもんなんだなあ。
- 633 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/10(火) 04:06:14 ]
- >>626
感動がかなり大きいんだが
- 634 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/10(火) 08:58:13 ]
- 22/7を挟む発想より、22/7＞πが簡単に証明できることに驚き
- 635 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/10(火) 09:53:29 ]
- 22/7 > π はずっと上で証明されてるけどな(>>240)
むしろ左辺の積分がどこから振ってきたのか
- 636 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/10(火) 10:48:11 ]
- >>625-626
これはすごい
- 637 名前：１３２人目の素数さん [2009/03/10(火) 10:57:11 ]
- 「π > 3.14 を示せ」は難しい？
- 638 名前：１３２人目の素数さん [2009/03/10(火) 14:27:59 ]
- >>637
不可能だと思うよ。
- 639 名前：１３２人目の素数さん [2009/03/10(火) 14:34:57 ]
- >>626が良くわからないorz
- 640 名前：639 [2009/03/10(火) 14:38:02 ]
- ごめんわかった
- 641 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/10(火) 14:51:21 ]
- (i^4)(1-i)^4が実数だから被積分関数は多項式+定数/(1+x^2) って事か
8乗したらもう少し良い評価になるのかな
- 642 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/10(火) 15:22:43 ]
- 自然数nに対して、(n!)^2≧n^nが成り立つことを示せ
- 643 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/10(火) 15:27:09 ]
- n!*n!=Πk(n+1-k)
- 644 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/10(火) 16:55:17 ]
- >>631
難しいな
ちょっと考えただけじゃ想像つかない
リンクの問題見てみたが、やる気が起きない問題ばっかだな
- 645 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/10(火) 18:11:49 ]
- 数検の段位問題とかのやる気の起きなさは異常だよなｗｗｗ
- 646 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/10(火) 18:28:06 ]
- つまんないってこと？？
- 647 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/10(火) 20:58:28 ]
- いかにも問題のための問題として作られたような不自然な煩雑さに満ちた問題だから。
- 648 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/10(火) 22:38:52 ]
- >>644
スレ違いかも知れないが、数検段位で本当に難しいのは共通問題。
誰でも何かしらは答が書けるかもしれないが、数検側の眼鏡にかなった
答案を書くのは超至難の技。しかも配点は共通問題のほうが大きいらしい。
初段[1]は簡単。[2]は一見簡単そうで難しい。
2段[1]は今年の東大の問題5に似ているタイプで、今年の東大[5]より計算がやや易しい。
3段[1]は一松信氏の本で紹介されていたが、
www.amazon.co.jp/dp/4535609020/
証明は書いていなかった。
- 649 名前：１３２人目の素数さん [2009/03/10(火) 22:42:59 ]
- 結局数板に解けるやつはいないのか
普段えらそうにしてる割にはいざとなると役に立たないんだな
その問題は興味がわきません（笑）
- 650 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/10(火) 22:45:05 ]
- 数オリの問題のが良問だな
- 651 名前：648 mailto:sage [2009/03/10(火) 22:47:55 ]
- >>649
はい。斯く言う私も>>631は解けませんでした。
- 652 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/10(火) 23:58:19 ]
- >>639-641
被積分函数は x^4･(1-x)^4 /(1+x^2) = x^6 -4x^5 +5x^4 -4x^2 +4 -4/(1+x^2),
(左辺) = [ (1/7)x^7 -(2/3)x^6 +x^5 -(4/3)x^3 +4x -4arctan(x) ](x=0,1)
= (1/7) -(2/3) +1 -(4/3) +4 -π
= (22/7) - π,
- 653 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/11(水) 00:03:30 ]
- >>652
それはわざわざ書いてもらうほどの事ではないな。
4乗を8乗に代えたたものがみてみたいのだ。
- 654 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/11(水) 00:37:24 ]
- >>649
お前分かってないな
主張や結果が興味深かったり、それを導く過程が楽しかったりするから解くんだろうが
その点>>650の言うように数オリの方が勝る
- 655 名前：１３２人目の素数さん [2009/03/11(水) 00:52:48 ]
- >>653
xmaximaにやらせてみたところ
∫[0→1]x^8(1-x)^8/(1+x^2)dx=4π-188684/15015 (>0)
∴π>47171/15015=3.14159174…
今度は下から評価できた。
- 656 名前：１３２人目の素数さん [2009/03/11(水) 01:02:42 ]
- >>655
かなり正確な評価で驚いた
だが計算量を考えれば妥当なところなのかな
- 657 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/11(水) 01:04:58 ]
- では 355/113>π であることを…
- 658 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/11(水) 01:13:32 ]
- 解く気がしないというのが、古くから結果は良く知られていた
有名問題を証明させる、みたいな感じの問題が結構多いんだよね。
まあJMOとかでも既出の問題が出題されることとかは以前はあったんだけど。
例の問題は（どっかのスレでも長々と書いたけど）
適当に積分の式を評価すれば解けるんじゃないの？
「数値計算をせずに」というのが何を意味するのか知らんが、
分数や小数の手計算くらいはしないと無理だと思う。
数値計算をせずに 3.1415926535＜π＜3.1415926536を示しなさい、と同程度に無理。
問題文を読んだ感じでは「プログラム組んで計算してみました」
的な解答でなく、手計算で求めれば良い、という意味かと。
しかし
＞ガウス平面（R^1-I^1 数空間）を手懸りにしながら， R^2数空間とI^2数空間の
＞関係について，あなたの見解を論述しなさい。
とかマトモな人が問題出してるのかと不安になるんだが大丈夫なのかね。
残りの共通問題も、出題者の主観を押し付けて立論させるような問題しかないし
- 659 名前：641 mailto:sage [2009/03/11(水) 03:11:45 ]
- >>655-657
(i^m)(1-i)^nが正なら下から、負なら上から評価されるね
(m,n)=(6,8)で
π<3+25513/180180 =3.1415972…
(m,n)=(10,8)で
π<3+173483/1225224 =3.1415928…
- 660 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/11(水) 06:28:19 ]
- >>626 の被積分関数を変更して、ln(2)<0.7が示せるね。
∫[0→1]x^4*(1-x)^2/(1+x^2) dx = -ln(2) + 0.7
- 661 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/11(水) 06:31:37 ]
- お前らホント数学好きなんだね
- 662 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/11(水) 06:55:56 ]
- >>660
でも、ln2の評価なら、分母は1+xでもいいんだし、やっぱり626の積分は\piの評価にこそふさわしいと思う。
- 663 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/11(水) 11:00:51 ]
- >>631って不等式スレで何回か出てきたけど誰も証明できてなかったな
本当は証明できないんじゃねぇの
そもそも誤差か小さすぎだし
- 664 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/11(水) 11:00:55 ]
- >>631って不等式スレで何回か出てきたけど誰も証明できてなかったな
本当は証明できないんじゃねぇの
そもそも誤差か小さすぎだし
- 665 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/11(水) 11:17:40 ]
- 大事なことなので二回言いました
- 666 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/11(水) 17:11:59 ]
- √2+√3>πを変形して6>(x^2-5)^2/4 |_x=πとして、
x=3.142での値挟むのは既出だろうな
- 667 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/11(水) 17:17:41 ]
- 考えないはずが無いけど、誰も書いてないね
- 668 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/11(水) 21:35:05 ]
- >>631
数値計算をしないというのは
e>2.718281828
π<3.14159266
を証明して
π^4+π^5<e^6
が成り立つことがわかってもダメってこと？
理論的というのがイマイチわからん
- 669 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/11(水) 21:38:16 ]
- >>641, >>653
(蛇足だが･･･)
I_n = {1/4^(n-1)}∫_[0,1] {x(1-x)}^(4n) /(1+x^2) dx
とおくと
I_1 = (22/7) - π
= 3.14285714285714… - π
= 1.26448926734961868021375957764e-4,
I_2 = π - 47171/(3*5*7*11*13) =
= π - 3.14159174159174…
= 9.1199805164672105164168776129246e-7,
I_3 = 5606935373/(16*3*5*7*11*13*17*19*23) - π
= 3.1415926543282176611023023729983 - π
= 7.3842442263965898971879150324784e-10
より
|I_n| ～ 2*c^{n*[1-(n-1)/111.87]},
ここに c = (1/2)I_1,
- 670 名前：669 mailto:sage [2009/03/11(水) 21:51:57 ]
- >>641, >>653
訂正、すまそ
I_1 = 1.26448926734961868021375957764e-３,
- 671 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/11(水) 23:16:02 ]
- 〔まとめ〕
47171/(3*5*7*11*13) < π < 5606935373/(16*3*5*7*11*13*17*19*23) < 355/113 < 22/7 < √2 + √3,
(略解)
47171/(3*5*7*11*13) = 3.14159174159174159174･･･
π = 3.1415926535897932384626433832795
5606935373/(16*3*5*7*11*13*17*19*23) = 3.1415926543282176611023023729983
355/113 = 3.1415929203539823008849557522124
22/7 = 3.1428571428571428571428571428571
√2 + √3 = 3.1462643699419723423291350657156
- 672 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/11(水) 23:51:44 ]
- 1+1=2とか5x-3x=(5-3)x=2xとかは数値計算なんだろうか
- 673 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/12(木) 00:41:05 ]
- それが禁止されたら数学では解けないな
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