- 1 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/31(日) 02:06:28 ]
- 理系で数学が得意な高校生が２５～５０分で
解ける問題を考えてうぷするスレ。
これ以外の難易度の問題はスレ違いとなります。
関連スレへどうぞ
過去ログは>>2以降
- 520 名前：１３２人目の素数さん [2009/01/28(水) 13:02:26 ]
- サイコロを3回なげ1回目に出た目の数をa二回目b三回目cとする
Ｘ=abcとする
①Ｘが奇数になる確率を求めよ
②Ｘ=12になる確率を求めよ
③y=ax＾２+bx＋cがｘ軸からきりとる線分の長さが1/2以上になる確率を求めよ
おねがいしまあす
- 521 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/01/28(水) 13:49:15 ]
- >>520
マルチ
- 522 名前：１３２人目の素数さん [2009/01/28(水) 22:02:44 ]
- tan１°は超越数か。
- 523 名前：KingGold ◆3waIuSKark [2009/01/28(水) 22:03:59 ]
- Reply:>>522 超越数だ。
- 524 名前：１３２人目の素数さん [2009/01/28(水) 22:09:54 ]
- oui
- 525 名前：１３２人目の素数さん [2009/01/28(水) 22:22:14 ]
- リンデマンの定理
a[1],…,a[n]を相異なる代数的数としたとき、
e^a[1],…,e^a[n]は代数的数体上線型独立である。
この定理を使う。
代数的数α≠0(cosα≠0)に対して、tanαが代数的数であるとすると
tanα=sinα/cosα=(e^(iα)-e^(-iα))/((e^(iα)+e^(-iα))i)より
(itanα-1)e^(iα)+(itanα+1)e^(-iα)=0
itanα±1は代数的数で同時に0とはならない。
これはリンデマンの定理から矛盾する結果である。
したがってtanαは超越数。
特にα=1は代数的数だからtan1は超越数。したがって、tan1は無理数。
- 526 名前：KingGold ◆3waIkAJWrg [2009/01/28(水) 22:39:40 ]
- Reply:>>523 お前は誰か。何が超越数か。
- 527 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/01/28(水) 23:33:46 ]
- >522
tanの加法公式から、
tan(nθ) = F(tanθ) / G(tanθ),
と書ける。F と G は n-1次とn次の整係数多項式。
n=45, θ=1ﾟ とおくと、
F(tan(1ﾟ))/G(tan(1ﾟ)) = 1,
となるから、tan(1ﾟ) は 45次の整係数方程式の根、よって代数的数。
- 528 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/01/29(木) 02:30:54 ]
- >>519
丁寧にありがとうございます。
いいサイトですねｗｗ
背伸びして頑張ってみます。
- 529 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/01/29(木) 03:10:36 ]
- そこで草を生やす意味が分からない
- 530 名前：１３２人目の素数さん [2009/01/29(木) 05:35:12 ]
- en.wikipedia.org/wiki/Liouville_number
en.wikipedia.org/wiki/Thue%E2%80%93Siegel%E2%80%93Roth_theorem
- 531 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/01/31(土) 15:35:25 ]
- 分からない問題はここに書いてね３００
science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1232536981/722
722 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2009/01/26(月) 20:35:36
時針、分針、秒針すべての長さが等しい時計がある。
針の先端がつくる三角形の面積が最大になる時刻はいつか。
- 532 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/01/31(土) 16:46:57 ]
- 497 名前： １３２人目の素数さん [sage] 投稿日： 2009/01/24(土) 18:37:27
平面上に9個の相異なる点があり、これらのうち少なくとも3点をとおる直線がn本ある。
nの最大値を求めよ
- 533 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/01/31(土) 21:50:11 ]
- >>525
おいこれ昔俺が益田んとこに書いたレスじゃねえかよ
- 534 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/02/03(火) 23:24:05 ]
- 益田とか懐かしいな
あいつ突然いなくなったけどめんどくさくなったんかな
- 535 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/02/04(水) 00:25:33 ]
- リーマンショックで株価暴落して生活苦という説が有力。
- 536 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/02/04(水) 00:26:50 ]
- 株ニートかよｗ
- 537 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/02/04(水) 01:57:38 ]
- ニートって、貧乏とかいう意味になって来てるんだろうか
>>536に限らず、本来の意味からどんどん離れてる気がする
スレ違いでごめん
- 538 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/02/04(水) 05:31:34 ]
- l^2+m^2=n^2を満たす自然数l,m,nのうち
どれか1つは必ず2の倍数であることを示せ
これはできそうでできない難問
- 539 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/02/04(水) 05:39:48 ]
- >>538
全て奇数と仮定して合同式はmod 4とすると(奇数)*(奇数)≡1, (偶数)*(偶数)≡0であり、
(左辺)≡2, (右辺)≡0により成立しないので、背理法により証明された。
- 540 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/02/04(水) 06:34:31 ]
- >>539
大筋はいいとしても
途中で間違ってるぞ
- 541 名前：狂介 mailto:sage [2009/02/04(水) 09:04:48 ]
- >>538
くそ簡単すぎてﾜﾛﾀ
l,m,nすべてが奇数だと、「奇数+奇数=奇数」となるのですべて奇数は否定された。
つまりどれか一つは偶数
- 542 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/02/04(水) 13:42:13 ]
- >538
おい、顔真っ赤だぞ
- 543 名前：狂介 mailto:sage [2009/02/04(水) 18:34:47 ]
- >>540>>542
>>538は数学的に合ってる
- 544 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/02/04(水) 18:36:41 ]
- できそうでできない難問だというところが間違っているんじゃないの
- 545 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/02/05(木) 01:35:16 ]
- ＞(右辺)≡0
(右辺)≡1だった
- 546 名前：538 mailto:sage [2009/02/05(木) 01:42:59 ]
- お前ら解けんのかよ・・・
出直してきます
- 547 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/02/05(木) 01:51:56 ]
- 何だmod4じゃなくてmod2で解けちゃったのか
- 548 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/02/05(木) 02:24:08 ]
- >>538は数学の素養に乏しいだろう
問題文がそれを如実に伝えているのである
> どれか1つは必ず2の倍数
の部分は
少なくとも1つは偶数
でいいからである
- 549 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/02/05(木) 22:53:25 ]
- 538が難問とか言ってる時点で素養もクソもなかろうｗ
- 550 名前：１３２人目の素数さん [2009/02/07(土) 15:01:42 ]
- 538って中学生の教科書レベルでは？
まあ彼には難しいんだろうけどｗｗ
- 551 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/02/07(土) 16:06:41 ]
- お前らつられ過ぎだろ
このスレ痛いやつばっかだな
- 552 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/02/07(土) 16:38:32 ]
- 今のがなければ>>550で最後だったのにな
心配しなくても黙ってれば終わるよ
出題者（笑）
- 553 名前：１３２人目の素数さん [2009/02/07(土) 16:41:02 ]
- 1x2x4のブロックを７ｘ７ｘ７の立体にできるだけつめる問題
何個か
- 554 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/02/08(日) 01:54:07 ]
- 7^3 ÷ 1*2*4 で43より少ないことはたしかか。
- 555 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/02/09(月) 03:31:38 ]
- 2,2^2,2^3,…,2^2009の中で一番位が高い数字が1であるものの個数を求めよ
- 556 名前：狂介 mailto:sage [2009/02/09(月) 18:55:39 ]
- >>555
(2^2009の桁数)-1
- 557 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/02/09(月) 19:07:35 ]
- 必ず桁が上がる時に1を経由するからね。
以前わからない問題スレにあった
2^555の桁数は168で最高位が1である
このとき2^n（n＝1､2､3....555）の中で最高位が4の数は何個あるか
のほうがおもしろいね。
- 558 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/02/10(火) 00:04:10 ]
- >>557
さすがに優秀な入試問題は練ってあるよね。
ちなみに早稲田教育の問題やね。しかも小問集合。鬼だｗ
- 559 名前：狂介 mailto:sage [2009/02/10(火) 21:05:28 ]
- 答え聞いた時は入試問題としては発想が難しすぎだなって思った。
数学は遊びだって人でも運が良くないと無理そう。
- 560 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/02/12(木) 00:38:21 ]
- >>557は細かい計算が必要な気がしてごちゃごちゃやっててハッとした
- 561 名前：１３２人目の素数さん [2009/02/12(木) 18:51:55 ]
- 次の連立方程式において､
0≦x,y＜2πを満たす解はただ1組存在することを示せ｡
sinx+cosx=sinycosy
sinxcosx=siny+cosy
- 562 名前：１３２人目の素数さん [2009/02/13(金) 06:38:06 ]
- 媒介変数表示の求積問題だしてたな、あれはいかん。
- 563 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/02/14(土) 14:01:50 ]
- >>561
それは偽だぞ。x'=x+π/4,y'=y+π/4とおくと
(1) sin(x')=-(1/2√2)cos(2y')
(2) sin(y')=-(1/2√2)cos(2x')
だからx'をπ-x'(あるいは3π-x')に置換しても同じ方程式になってしまう。
解がちょうど4つあることは次のように示すことができる。
(2)をsin(y')=(1/2√2)(2sin^2(x')-1)と思って(1)を代入すると、
(3) sin^4(y')-sin^2(y')-2√2sin(y')-3/4=0
という方程式になり、t^4-t-2^2-2√2t-3/4=0は[-1,1]の範囲に唯一の解を持つ。
この解は実は(-1,0)の範囲に含まれていてy'は2通りある。
(1)(2)と(1)(3)は連立方程式として同値だから、
sin(y')=tのもとで(1)の解の個数を調べればよいが、
sin(x')=-(1/2√2)(1-2t^2)は2解を持つので(x',y')の組は4通りある。
- 564 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/02/15(日) 13:00:01 ]
- ｃｏｓ（ｘ）＋ｓｉｎ（ｘ）＝ｃｏｓ（ｙ）ｓｉｎ（ｙ）＝ａ。
ｃｏｓ（ｘ）ｓｉｎ（ｘ）＝ｃｏｓ（ｙ）＋ｓｉｎ（ｙ）＝ｂ。
ａ＾２＝１＋２ｂ。
ｂ＾２＝１＋２ａ。
（ａ＾２－１）＾２＝４（２ａ＋１）。
ａ＾４－２ａ＾２－８ａ－３＝０。
（ａ＾２＋２ａ＋３）（ａ＾２－２ａ－１）＝０。
ａ＝１－√（２）。
ｂ＝１－√（２）。
（ｃｏｓ（ｘ）－ｓｉｎ（ｘ））＾２＝２√（２）－１。
- 565 名前：１３２人目の素数さん [2009/02/15(日) 16:27:35 ]
- >>561
0≦x､y≦π に訂正を｡
- 566 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/02/15(日) 20:34:59 ]
- ⊿ = (a-b)(b-c)(c-a),
を差積とか Vandermonde 行列式とか 言うらしい。
〔問題〕
a,b,c≧0 のとき |⊿| ≦ (2/√3)(t/s)(s^2 -3t),
ここに、s=a+b+c, t=ab+bc+ca, u=abc.
science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1179000000/737 , 739
不等式スレ３
- 567 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/02/22(日) 04:36:56 ]
- >>557
題意より 168 ≦ n･log(2) < 168 + log(2),
最上桁が '1'
[ n･log(2) ] = 76 個,
最上桁が '2' か '3'
[ (n-1)log(2) ] +1 = 77個,
最上桁が '5'～'9'
[ (n+1)log(2) ] = 77個,
最上桁が '4'
n - (76+77+77) = 25個, (← 題意より n=255)
- 568 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/02/22(日) 06:26:20 ]
- >>567
全然違うぞ
- 569 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/02/22(日) 06:27:57 ]
- >>522, 527
F(t) = 45t -14190t^3 +1221759t^5 -45379620t^7 +886163135t^9 -10150595910t^11
+73006209045t^13 -344867425584t^15 +1103068603890t^17 -2438362177020t^19 +3773655750150t^21
-4116715363800t^23 +3169870830126t^25 -1715884494940t^27 +646626422970t^29 -166871334960t^31
+28760021745t^33 -3190187286t^35 +215553195t^37 -8145060t^39 +148995t^41 -990t^43 +t^45,
G(t) = 1 -990t^2 +148995t^4 -8145060t^6 +215553195t^8 -3190187286t^10
+28760021745t^12 -166871334960t^14 +646626422970t^16 -1715884494940t^18 +3169870830126t^20
-4116715363800t^22 +3773655750150t^24 -2438362177020t^26 +1103068603890t^28 -344867425584t^30
+73006209045t^32 -10150595910t^34 +886163135t^36 -45379620t^38 +1221759t^40
-14190t^42 +45t^44,
- 570 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/02/22(日) 06:40:58 ]
- >>527
蛇足だが
F(t) = Σ[k=0,[(n-1)/2]] (-1)^k Ｃ[n,2k+1] t^(2k+1),
G(t) = Σ[j=0,[n/2]] (-1)^j Ｃ[n,2j] t^(2j),
(略解)
複素数を使う。√(-1) =i とおく。
1+it ∝ cosθ + i･sinθ = exp(iθ), (← t=tanθ)
cos(nθ) + i･sin(nθ) = exp(inθ) = {exp(iθ)}^n,
より
G(t) + i･F(t) = (1+it)^n = {Σ[j=0,[n/2]] (-1)^j Ｃ[n,2j] t^(2j)} +iΣ[k=0,[(n-1)/2]] (-1)^k Ｃ[n,2k+1] t^(2k+1)},
F(t) = Σ[k=0,[(n-1)/2]] (-1)^k Ｃ[n,2k+1] t^(2k+1),
G(t) = Σ[j=0,[n/2]] (-1)^j Ｃ[n,2j] t^(2j),
n=45 のときは >>569
- 571 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/02/22(日) 16:23:09 ]
- >>567
その理論、nが小さい時に試してみたら？
- 572 名前：571 mailto:sage [2009/02/22(日) 16:31:07 ]
- >>567
「+1」が見えてなかった
スマン
- 573 名前：１３２人目の素数さん [2009/02/24(火) 10:43:35 ]
- 2x2の行列のある部分集合Fは次の性質を持つ。
・Fの任意の元 a,b について、a-bはFに属する。
そして、Fの任意の元 aは、a-a=0 となる。
・また、Fの任意の元a,bについてa*bはFに属する。
そして、Fのある元eは次のような性質を持つ
・任意のFの元aについて a*e = e*a であり、これはFに属する。
・e*e=e
・-e * -e =e という等式が成り立つ。
・さらに、Fのある元iについて次の等式が成り立つ、i * i = -e
元、e,iを求めよ。
- 574 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/02/24(火) 10:49:22 ]
- >>573
久しぶりだね
- 575 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/02/24(火) 11:01:27 ]
- ＞そして、Fの任意の元 aは、a-a=0 となる。
この引き算は行列としての引き算じゃ無いの？
だとしたら問題文でわざわざ断るのは不自然。
（いや何でこんなこと書いたのかは分かるんだけどね）
2×2行列としての構造を無視するなら、
ただの濃度が |R| の集合に過ぎないんだから何も求めようがなくなる
- 576 名前：１３２人目の素数さん [2009/02/24(火) 12:02:31 ]
- 流れ豚切ってすみません。
以前、ここか京大スレかのどこかで
lim[n→∞]a[n]=0 ⇒ lim[n→∞]Π[k=1,n]a[k]=0
は成り立つか？みたいな雰囲気の問題を見た覚えがあるんですけど、
（本物はこんなに簡単じゃなくて、アイディアが必要な問題でした・・・）
誰か詳細をご存じないでしょうか。過去ログ調べたんですが見つかりませんでした。
（ちなみに>>3の過去ログ倉庫はぶっ壊れたんでしょうか・・・）
何か情報をお持ちの方は、ご教示下さい。
- 577 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/02/24(火) 12:36:05 ]
- >>576
＞ （ちなみに>>3の過去ログ倉庫はぶっ壊れたんでしょうか・・・）
会員登録すれば誰でも使えたYahoo!ブリーフケースが、有料会員専用に変更された
- 578 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/02/24(火) 23:37:23 ]
- >>576-577
過去ログ倉庫の避難所を用意しました。
cid-d357afbb34f5b26f.skydrive.live.com/browse.aspx/.Public/
- 579 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/02/25(水) 00:33:57 ]
- >>576
例示してるのと大差ない気がするけどこれ?
813 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2008/10/26(日) 14:27:34
じゃぁ要望にこたえて、某有名、大学入試問題集から一問
次の命題の真偽を調べ、真ならば証明し、偽ならば反例を示せ。
「すべての非負整数 n について、0<a(n)<1 ならば、
lim[n→∞]a(1)a(2)a(3)****a(n)=0 」
- 580 名前：１３２人目の素数さん [2009/02/25(水) 12:33:46 ]
- >>579
んんっ…あっ…これです！！！
どうも有り難うございました。
>>578さんもお疲れ様ですm(_ _)m
- 581 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/02/25(水) 21:55:13 ]
- >>580
んんっ・・・あっ・・・
エッチぃのは嫌いです＞＜
- 582 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/02/26(木) 00:07:33 ]
- >>579
当然偽だね。
logをとって考えれば，結局「負の数を無限個足せば-∞に発散する」という主張をしていることになるが，
もちろんそんなことは成り立たない。-1/2^n とかを考えれば明らか。
- 583 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/02/26(木) 22:27:58 ]
- >>579
判例
a[k] = {k/(k+1)}*{(k+2)/(k+1)},
a(1)a(2)･････a(n) = {1/(n+1)}*{(n+2)/2} → 1/2. (n→∞)
13 24 35 46
---------------------
22 33 44 55
- 584 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/02/27(金) 00:05:35 ]
- >>579
凡例
0<b<1 として, bに収束させる。
a[k] = {(k-1+2b)/(k+2b)}*{(k+2)/(k+1)},
a(1)a(2)･････a(n) = {2b/(n+2b)}*{(n+2)/2} → b. (n→∞)
- 585 名前：１３２人目の素数さん [2009/02/28(土) 00:37:59 ]
- フィボナッチ数列を三角関数で表現しなさい
- 586 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/02/28(土) 00:47:48 ]
- >>579 (別解)
0<b<1 とすると、(sinθ)/θ = b となるθが(0,π) にある。
a[k] = cos(θ/(2^k)) = sin(θ/{2^(k-1)})／2sin(θ/(2^k)),
a(1)a(2)･････a(n) = sinθ/{(2^n)sin(θ/(2^n))} → sinθ/θ = sinc(θ) =b, (n→∞)
- 587 名前：１３２人目の素数さん [2009/02/28(土) 00:56:31 ]
- ５７９
有界単調減少ー＞収束
limΠa(i)=c>0
c*.9<c
になるので
c>0は矛盾ー＞ c=0
- 588 名前：１３２人目の素数さん [2009/02/28(土) 02:42:35 ]
- 今年も東大より京大の方が面白い
- 589 名前：１３２人目の素数さん [2009/02/28(土) 07:17:48 ]
- 次の命題の真偽を調べ、真ならば証明し、偽ならば反例を示せ。
「すべての非負整数 n について、-1<a(n)<1 ならば、
lim[n→∞]a(1)a(2)a(3)****a(n)=0 」
- 590 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/02/28(土) 08:20:25 ]
- >>582
-1/2^n の数列を無限個足していったら0になってしまわないかしら
- 591 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/02/28(土) 08:39:35 ]
- どこをどう突っ込めばいいのやら
- 592 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/02/28(土) 08:51:52 ]
- ああ、かけていったら、です。(-1)^n/2^(0.5n*(n+1))→0だよなあ
- 593 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/02/28(土) 12:45:00 ]
- >>412あたりの本にちょっと興味あるのだけど、本当に買ってみるべきかしら？
他にもっとこれやれって本はあったりするのかしら
- 594 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/02/28(土) 12:58:25 ]
- >>579 (別解)
0<b<1 とする。
a(k) = b^{(1/2)^k},
a(1)a(2)･････a(n) = b^{1 - (1/2)^n} → b (n→∞)
- 595 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/02/28(土) 13:40:08 ]
- >>587
なにこれ？
- 596 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/02/28(土) 14:37:08 ]
- >>585
ここら辺↓に解凍････
science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1043045905/312-314
science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1043045905/421-422
- 597 名前：596 mailto:sage [2009/02/28(土) 14:48:11 ]
- >>585 リンクミス、すまそ。
science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1073918716/421-422
定理スレ
- 598 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/01(日) 01:08:48 ]
- n枚の互いに異なるカードがひとつの山に重ねてある。初期の順序の状態を順序Mとする。
以下の試行によりカードを並び替える。ただしp,qはnの約数とする。
①山を上から順にp等分する。それぞれの山をA1、A2、・・・、Apとする。
②A1,A2・・・Apと順に一番上のカードを取っていく。Apのカードを取ったらA1に戻り山がなくなるまで繰り返す。
③先に取ったカードをが上になるように一つの山を作る。
この試行をZ(p)とする。
（１）順序MからZ(p)をm回繰り返した。このとき順序Mとなっている条件を求めよ。
（２）n≧pqとする。このとき、順序MからZ(p)をq回行った山のカードの順序と、順序MからZ(pq)を１回行った山のカードの順序が等しいことを示せ。
（３）順序MからZ(p)をa回行った後、その状態からZ(q)をb回行った。このとき順序Mとなっている条件を求めよ。
- 599 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/01(日) 09:00:05 ]
- あ、間違えた
（２）順序MからZ(p)をq回行った山のカードの順序→順序MからZ(p)を行った後Z(q)を行った山のカードの順序
- 600 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/01(日) 20:52:42 ]
- >>579
B(0) = 1,
B(n) は単調減少
Lim[n→∞] B(n) = b,
を満たす数列 B(n) に対して
a(n) = B(n) / B(n-1),
- 601 名前：１３２人目の素数さん [2009/03/03(火) 12:14:39 ]
- たった一つのことを使い回していくだけなので面白みに欠けるところがあるが
まあ入試なら差が付くだろうし，昔東大にも似たようなのあったからいいか。
2009^2009の各位の和を計算し，更にその各位の和を計算し…
と出てきた数の各位の和の計算をくり返していくとき，
最後に残る一桁の数字を求めよ。
- 602 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/03(火) 12:54:15 ]
- パクり乙
- 603 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/03(火) 14:21:37 ]
- >>601
答え 5
9で割った余りを求めればよい。2009~2009=2^2009=2^{6*334+5}=2^5=5 (mod 9)
- 604 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/03(火) 14:36:10 ]
- 糞問ばっかだな
- 605 名前：１３２人目の素数さん mailto:age [2009/03/04(水) 23:49:36 ]
- 円周率πと、√3+√2の大小を比較せよ。
- 606 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/05(木) 01:11:47 ]
- >>605
まず π^2/6 = 2 - 1/(1^2*1*3) - 1/(2^2*3*5) - 1/(3^2*5*7) - … を導く。
1/(1^2*1*3) + 1/(2^2*3*5) + 1/(3^2*5*7) + …
=(1/1^2)(4/(1*3)-1) + (1/2^2)(16/(3*5)-1) + (1/3^2)(36/(5*7)-1) + …
=(4/(1*3)-1/1^2) + (4/(3*5)-1/2^2) + (4/(5*7)-1/3^2) + …
=(2/1-2/3-1/1^2) + (2/3-2/5-1/2^2) + (2/5-2/7-1/3^2) + …
=2 - π^2/6
従って
π^2 = 6{ 2 - 1/(1^2*1*3) - 1/(2^2*3*5) - 1/(3^2*5*7) - … }
= 12 - 2 - 1/10 - 2/105 - 1/168 - …
両辺の2乗は
(√2+√3)^2 = 5+2√6 = 10-(5-2√6) = 10-(√25-√24)
π^2 = 10 - (1/10+2/105+1/168+…) = 10-(5/42+1/168+…)
10から引かれる値の大小関係は
√25-√24 = 1/(√25+√24) < 1/(5+√16) = 5/45 < 5/42 < 5/42+1/168+…
従って (√2+√3)^2 > π^2 つまり √2+√3 > π
- 607 名前：605 mailto:sage [2009/03/06(金) 00:17:24 ]
- >>606
素晴らしい！正解です。
- 608 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/06(金) 14:28:59 ]
- >>607
>>607が用意した解答が>>606と同じならむずくねえかこれ？高校レベルなの？
>>606は5行目から6行目を導くためには和の順序交換をしなければならないが
無限級数の和の順序交換は一般にはできないため、絶対収束性の確認がいる
明らかに高校レベルを超えていると思われる
>>606にちょっと意見するならば
5行目が絶対収束することを示すには結局4行目に戻らなければならないので
（5行目で絶対値級数をとると∞発散してしまう）
4行目が絶対収束することを示して、和の順序交換ができることに言及した上で
4行目=(4/(1*3)+4/(3*5)+4/(5*7)+・・・)+(1/1^2+1/2^2+1/3^2+・・・)
と和の順序交換ができて、=6行目とするべきだと思う
- 609 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/06(金) 17:44:21 ]
- 小数点以下2桁で見分けつかないのはキツイ
- 610 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/07(土) 13:30:37 ]
- >>605
>606しか解答がないわけか？
ちなみに俺は、正6*2^n角形でπの値を評価していく明らかに現実的じゃない方法しか思いつかないんだが。
- 611 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/07(土) 13:51:32 ]
- >>235の途中から
π<2√6-4√3-2√2+8<2*2.45-4*1.732-2*1.414+8=3.144<1.732+1.414<√3+√2
- 612 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/07(土) 13:52:59 ]
- でも、この方法もたまたまうまくいっただけで、試験中には現実的に無理か
- 613 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/07(土) 14:11:57 ]
- cos2x+cos3x-6xの挙動を調べてx=π/12を代入して・・・
という方針を試してみたが、うまくいかなかった
誰か高校レベルでの解法を頼む
- 614 名前：605 mailto:sage [2009/03/07(土) 23:28:22 ]
- >>610
正48角形を考えれば大丈夫。基本的には(もう消えているが)>>218と同様の方針。
p=\tan \pi/48とすると示すべきはp<(\sqrt{3}+\sqrt{2})/48
加法定理より 2p/(1-p^2)=1/(\sqrt{6}+\sqrt{3}+\sqrt{2}+2)
よりpは二次方程式p^2 +2p(\sqrt{6}+\sqrt{3}+\sqrt{2}+2) -1=0の正の解。
(\sqrt{3}+\sqrt{2})の形になっているから、>>218よりは簡単にいくと思われる。
というのと>>235のようにやるのが、一応想定した解答。
- 615 名前：１３２人目の素数さん [2009/03/08(日) 07:58:53 ]
- 円周率π=3.14152と、√3=1.732050+√2=1.41421356の大小を比較せよ。
- 616 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/08(日) 08:58:54 ]
- 意味不明。
- 617 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/08(日) 18:52:58 ]
- >>661
2007年度はBとCレベルばかりなのに、大学への数学からは>>288に書いてあるように
難しすぎる、難易度の調節が出来ないなら入試を作るのを止めろとまで罵られたらしい。
他の予備校はそこまでの極端な難化とは見ていないのに。
極端な例かも知れないが、例えばこんな問題を
science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1220115988/605
何の誘導も無しに出すのが京大。懇切丁寧に誘導を付けて出すのが阪大。
- 618 名前：617 mailto:sage [2009/03/08(日) 18:54:39 ]
- 誤爆しました。
- 619 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/08(日) 18:56:05 ]
- 誤爆した理由はわかるが書き込むつもりだったスレが気になる
- 620 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/08(日) 19:40:32 ]
- 90年代の東大の入試問題作問者は首吊って死ななきゃいけないなｗ
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