★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第十六問

1 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/31(日) 02:06:28 ] 理系で数学が得意な高校生が２５〜５０分で 解ける問題を考えてうぷするスレ。 これ以外の難易度の問題はスレ違いとなります。 関連スレへどうぞ 過去ログは>>2以降 116 名前：１３２人目の素数さん [2008/10/04(土) 23:05:33 ] ６、K色のボールをAjk個(k=色のインデックス）壺に入れて、N回引く、毎回引いたボールは同じ色の 追加のボール１個といっしょにすぐ壺に戻す。 このとき、Nを無限にしたとき、壺のなかの各色のボールの数の分布を計算しなさい。 117 名前：１３２人目の素数さん [2008/10/04(土) 23:31:49 ] >>116 割合は始めと変わらないという答えであってますか？ 118 名前：１３２人目の素数さん [2008/10/05(日) 09:06:32 ] # IRA: Interactive Real Analysis Interactive Real Analysis is an online, interactive textbook for Real Analysis or Advanced Calculus in one real variable. It deals with sets, sequences, ... web01.shu.edu/projects/reals/ - 3k - Cached - Similar pages # 119 名前：１３２人目の素数さん [2008/10/06(月) 00:17:02 ] >>116ポリアの壷？ 120 名前：１３２人目の素数さん [2008/10/06(月) 21:20:35 ] Suppose that f is an integrable function over a set E, and take any ε > 0. Show that * There exists a simple function s such that ∫ E | f - s | dx < ε * There exists a step function s such that ∫ E | f - s | dx <ε * There exists a continuous function s such that ∫ E | f - s | dx <ε 121 名前：１３２人目の素数さん [2008/10/06(月) 21:22:51 ] # If possible, find the Riemann and Lebesgue integrals of the constant function f(x) = 1 over the Cantor middle-third set. # Show that the restriction of a bounded continuous function to a measurable set is Lebesgue integrable. 122 名前：１３２人目の素数さん [2008/10/06(月) 21:23:45 ] * Is the function f(x) = x Lebesgue integrable over [0, 1]? If so, find the integral. * Is the function f(x) = x2 Lebesgue integrable over the rational numbers inside [0, 2]? If so, find the integral. * Is the Dirichlet function restricted to [0, 1] Lebesgue integrable? If so, find the integral. * Is every bounded function Lebesgue integrable? 123 名前：１３２人目の素数さん mailto:age [2008/10/06(月) 22:15:09 ] changi.2ch.net/test/read.cgi/voiceactor/1221808073/13 13 ：名無しさん＠お腹いっぱい。：2008/09/19(金) 18:11:05 ID:sWdchyr40 Fラン私大工学部での微積分の授業のテストらしいが、金朋はこういうの解けるのだろうか？ ・101次方程式　51 x^{101} - 2323 x^{100} - 45 x + 1035 = 0が区間[45^{1/100},46]の中に少なくとも一つ実数解を持つことを、Rolleの定理を使って証明せよ。 ・不定積分 \int (x^{30} + x^{20} + x^{10}) (2x^{20} + 3x^{10} + 6)^{1/10} dx　を求めよ。 ・定積分 \int^{2}_{0} dx (2x+1)/ \sqrt{x^2+4}　を求めよ。 124 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/06(月) 22:44:50 ] >>123 (中) 　(被積分函数) = (x^29 + x^19 + x^9)*(2*x^30 + 3*x^20 + 6*x^10)^(1/10) = (1/60)f '(x)*f(x)^(1/10), これを積分すると 　(1/66)*f(x)^(11/10) + c， (下) 　∫ x/√(x^2 +4) dx = √(x^2 +4) -2, 　∫ 1/√(x^2 +4) dx = log(x+√(x^2 +4)) - log(2), ∴ 4(√2 -1) + log(1+√2), 125 名前：１３２人目の素数さん [2008/10/06(月) 23:33:53 ] web01.shu.edu/projects/reals/integ/index.html ぬこでもわかるルベグ積分　 126 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/07(火) 01:14:47 ] >>123 まあ工学部っても学科によって全然違うし。 127 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/08(水) 12:08:05 ] 逆行列をもつ2次正方行列Aにより表される平面上の1次変換f を考える。 このとき、長方形Dで、Dのfによる像がDと相似になるものが存在することを示せ。 128 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/08(水) 21:08:05 ] >>127 >>31により，直交する２つの単位ベクトル↑p,↑qで，A↑pとA↑qも直交するものが存在する。 A↑p, A↑q それぞれの長さをa, b(>0)とおき，k=√(a/b) とおく。 D={ ↑p + t↑q | 0≦t≦k } とおくと，Dは２辺の長さが 1 と k の長方形である。 このとき，f(D)={ A↑p + t A↑q | 0≦t≦k } も長方形であり，２辺の長さは a と bk である。 a : bk = a : √(ab) = √(a/b) : 1 = k : 1 であるので，f(D) は D と相似である。■ 129 名前：１３２人目の素数さん [2008/10/09(木) 19:31:20 ] 188:Zeus（ゼウス）[] 2008/10/09(木) 08:33:37 ID:AQ7gcWuF0 >>186 あほ！！ そりゃあ、おれが、別のスレッドに書いた 解答だ。 君自身で、独創的な問題を作れるのかと きいているのだ。 190:Zeus（ゼウス）[] 2008/10/09(木) 09:01:29 ID:AQ7gcWuF0 >>189 中学生の脳みそで解く問題だぞ。 難しいに決まっているだろうが。 191:Zeus（ゼウス）[] 2008/10/09(木) 09:05:38 ID:AQ7gcWuF0 高校生用には、こういう問題を 用意してある。 「２球面の交わりによってできる円に関する問題を作り、解け」 「連立方程式と線形性に関する論証問題を作り、数式を使わず論証せよ」 ★★★★★茨城の高校★★★★★ part18 namidame.2ch.net/test/read.cgi/ojyuken/1219237794/ 130 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/09(木) 19:37:09 ] >>129 ﾜﾗﾀ 131 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/10(金) 03:34:18 ] どこが面白いのか分からなくて悲しい。 132 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/12(日) 00:12:44 ] フジタキスレに俺の書き込み張った奴でてこいやwww 133 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/12(日) 01:11:58 ] 晒し者にされたのか？ 134 名前：１３２人目の素数さん [2008/10/25(土) 02:59:40 ] >>132 さっさとアフリカいけやｗ 135 名前：１３２人目の素数さん [2008/10/25(土) 05:11:58 ] (1)　Σ[n=1,∞) 1/(n^2 −a^2) (2)　Σ[n=1,∞) 1/(n^4 −a^4) (3)　Σ[n=1,∞) 1/(n^2 ＋a^2) の極限値を求めたいのですが、どうしたら良いでしょうか?　a≠整数 です。 136 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/25(土) 10:00:00 ] >>135 解析概論。 137 名前：135 mailto:sage [2008/10/26(日) 14:01:17 ] (4)　Σ[n=1,∞) 1/(n^2 −a^2) * (-1)^(n-1), (5)　Σ[n=1,∞) 1/(n^2 + a^2) * (-1)^(n-1), の極限値を求めたいのですが、どうしたら良いでしょうか?　a≠整数 です。 >>136 高木:「解析概論」改訂第3版, 岩波書店(1962) 第5章,§64 ? 138 名前：１３２人目の素数さん mailto:age [2008/10/30(木) 21:39:17 ] >>89と並んで如何にも東大がやりそうな問題 log_{10} 2の小数第3位が1であることを証明せよ。 139 名前：138 mailto:age [2008/10/30(木) 21:59:57 ] そういえば1968年にもう一回り簡単な問題、 0.3<log_{10} 2 < 0.302を示せというのがありました。 www.j3e.info/ojyuken/math/php_q.php?name=tokyo&year=1968&num=1 140 名前：１３２人目の素数さん [2008/10/30(木) 22:34:01 ] 3 次方程式x3 . nx + 1 = 0 の解がすべて無理数となるような整数n を求 めよ． 141 名前：１３２人目の素数さん [2008/10/30(木) 22:34:48 ] 3 次方程式x＾3-nx + 1 = 0 の解がすべて無理数となるような整数n を求 めよ． 142 名前：１３２人目の素数さん [2008/10/30(木) 22:59:29 ] x＾3-nx + 1 = 0 (x-a)(x-b)(x-c)=x^3-(a+b+c)x^2+(ab+bc+ca)x-abc=0 c=-a-b ab-(a+b)^2=n ab(a+b)=1 ab-(ab)^-2=n 143 名前：１３２人目の素数さん [2008/10/30(木) 23:01:11 ] ab-(a+b)^2=-n ab(a+b)=1 ab-(ab)^-2=-n 144 名前：１３２人目の素数さん [2008/10/30(木) 23:28:26 ] f(x)=xe^{-x}のとき、f(0.99), f(1.00), f(1.01)の大小を調べよ。 145 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/31(金) 00:19:03 ] 毎度のごとくe^x>1+x+x^2/2を示してe^0.02を評価すれば終わり。 146 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/31(金) 01:34:38 ] exp(x)>x+1だけで十分です 147 名前：１３２人目の素数さん [2008/10/31(金) 01:42:38 ] Your solution doesn't make sense at all. 148 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/31(金) 01:43:31 ] ごめんなさい十分じゃありませんでしたごめんなさい 149 名前：１３２人目の素数さん mailto:age [2008/10/31(金) 06:29:48 ] >>144 これは大昔の大学への数学の「模試」の転載ですか？ 150 名前：１３２人目の素数さん [2008/10/31(金) 08:29:48 ] いいえ, 埼玉工大の入試問題です。 151 名前：１３２人目の素数さん [2008/10/31(金) 20:49:51 ] 1/7<a/b<1/6でa,bは整数で最小のaのときa+bをもとめなさいって、 a,bがマイナスなら解梨じゃないの？ 152 名前：１３２人目の素数さん [2008/10/31(金) 20:59:38 ] >>143 ｎが整数であることの証明は？ 153 名前：１３２人目の素数さん [2008/11/01(土) 17:30:47 ] n両編成の電車の車両をそれぞれ赤青黄のいずれかの色で塗ってゆく。 赤の車両が隣り合わないような塗り方は何通りあるか。 154 名前：１３２人目の素数さん [2008/11/01(土) 17:39:31 ] 赤い車両が連続しない塗り方ね。 155 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/01(土) 18:17:20 ] ((1+√3)^(n+2)-(1-√3)^(n+2)) / (4√3)通り 156 名前：１３２人目の素数さん [2008/11/01(土) 21:08:52 ] >>155正解。 157 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/01(土) 21:12:36 ] 3項間漸化式か？ 158 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/01(土) 21:22:00 ] 京大の過去問の改変？ 159 名前：１３２人目の素数さん [2008/11/01(土) 22:20:08 ] >>158そうです。このように改変した方がちょっと難しいと思います。 160 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/01(土) 23:59:07 ] >>153 数セミのパクリ 161 名前：１３２人目の素数さん [2008/11/02(日) 07:35:14 ] >>160 >>153は俺だが、数セミなんか参考にしてません。 あくまでも京大の2色の問題を3色に改変してみただけです。隣接３項間漸化式を立てられるかどうかの問題。 コツさえ知っていれば誰でも簡単に立てられるんだけどね。 162 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/02(日) 08:04:39 ] では京大が数セミを下敷きにしたとか。 163 名前：１３２人目の素数さん [2008/11/02(日) 09:50:57 ] いいサイトみつけた htttp://www.surprise002.co.nr ソフトの確認もできたし、低価格でいいよ ソフトの確認はネットカフェで一度インストール試したら いいと思う、正常なら自分のPCに 164 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/02(日) 17:03:58 ] たぶん最初に考えたのは日本人じゃなくて外国の人で、 それを数セミの出題者の先生と京大の先生が二人とも 元ネタにした、とかそんな感じだと思うぞ。 というか数セミの出題者は京大関係者じゃないんだよね？ 165 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/02(日) 18:51:57 ] こんな単純な設定の問題、パクるも何もないだろｗｗ 166 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/03(月) 20:17:28 ] aを 0<a<1 であるような有理数とするとき、自然数n≧3に対して (1-a^n)^(1/n) が無理数であることを示せ 167 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/03(月) 21:08:31 ] >166 　(1-a^n)^(1/n) =b とおくと 　a^n + b^n =1, 　a∈Q, 0<a<1, n∈N, n≧3, bが有理数ならば、フェルマーの最終定理(A.Wiles)と矛盾する。 168 名前：１３２人目の素数さん [2008/11/04(火) 12:19:28 ] 数セミの出題者は安田亨だった 169 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/04(火) 13:46:26 ] 長さNメートルの紐の端と端を結んでできる輪の面積で一番大きい 面積はどれくらいか？ 170 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/04(火) 14:54:22 ] >>168 ああ、じゃあ数セミのは京大の改変だね。 171 名前：１３２人目の素数さん [2008/11/05(水) 20:01:52 ] >>169 N^2/4π 172 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/05(水) 21:52:49 ] どこのクズだこんなひどい問題だしてるのは 173 名前：１３２人目の素数さん [2008/11/09(日) 16:06:23 ] >>169 結び目の大きさは考慮しなくていいのか？ あと、紐はどれぐらい曲げられるの？　硬い紐だと意外と曲がらないよ 174 名前：１３２人目の素数さん [2008/11/09(日) 17:55:53 ] 数列{a_n}は、次の漸化式で与えられる。 a_(n+3) = -a_(n+2) + 2a_(n+1) + 8a_n a_1 = a_2 = a_3 = 1 この時a_nのすべての項は平方数であることを証明せよ。 175 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/09(日) 17:57:10 ] またパクリ問かよ 176 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/09(日) 21:26:23 ] >>174 数列{b_n}を 　b_(n+2) = b_(n+1) -2*b_n, 　b_1 = b_2 = 1, b_3 =-1, で定義すると b_n は明らかに整数で、a_n = (b_n)^2. 注) b_n = (2/√7)･2^(n/2)･sin(nβ),　ここに β = arcsin(√(7/8)). 177 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/10(月) 03:10:45 ] >>176 おお！どうなってのか教えて！ 178 名前：１３２人目の素数さん [2008/11/11(火) 11:50:53 ] パクリだなこれ 何回も見たことある 新作問題キボンヌ 179 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/11(火) 14:45:56 ] 残念ながら無理 180 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/12(水) 01:06:14 ] >>178 誰も解いてくれないから>>39解いてくれ 181 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/12(水) 01:23:09 ] >>180 やってみるお 182 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/14(金) 08:49:56 ] 写像aは整数から整数への写像であり、 ・ a(1)=1 ・ a(n+2)=a(n+1)+a(n) ・ 1≦i＜jならばa(i)＜a(j) ・ 任意の整数mに対して、ある整数nが存在し、a(n)はmの倍数 を満たす。 このとき、写像aを求めよ 183 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/15(土) 00:00:52 ] 誰も解いてくれないから>>89と>>138解いてくれ 184 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/15(土) 02:22:52 ] 頑張って数値計算するだけだからなあ。 185 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/15(土) 19:00:17 ] 円周率πが3.15未満であることを示せ 186 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/16(日) 02:26:23 ] 糞つまらん問題ばっかだな最近 187 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/16(日) 11:34:23 ] >>182解いて 188 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/16(日) 15:29:22 ] >>182 N→Nじゃなくて Z→Zでいいの？ 189 名前：182 mailto:sage [2008/11/17(月) 00:18:36 ] >>188 うん 190 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/17(月) 00:43:08 ] 0や負の数に大して定義されてないんじゃない？ 191 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/17(月) 01:04:46 ] a[n]がn>0で定義されてれば、漸化式から0≧nに対してa[n]が求まるだろ 192 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/17(月) 21:20:00 ] ａ（−１）＝０。 193 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/17(月) 22:52:58 ] >>192 それの証明が重要なんじゃないのか？ 194 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/17(月) 22:55:36 ] nを10進数表記したとき、奇数桁目に出てくる奇数の個数をa(n)とする。 例） a(111)=2、a(232)=0、a(1234)=0、a(2345)=2 �納k=1,n] a(2^k)/2^k　(n→∞) の極限値を求めよ 195 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/17(月) 23:00:36 ] >>193 フィボナッチ数列を一個ずらした数列を考えれば良い 最後の性質は、フィボナッチの場合を示せばよい（良く知られた証明） 全く以って入試に不向きな問題だな 196 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/17(月) 23:02:49 ] >>195 いやだから、フィボナッチ数列しかないことを証明しろってことなんじゃないの？ 197 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/17(月) 23:04:17 ] ×フィボナッチ数列しか ○フィボナッチ数列をずらした数列しか a(1)=1で、a(2)=2ならフィボナッチで、条件を満たすけど a(1)=1、a(2)=3ならリュカで条件を満たさない。条件をみたすaが、a(2)=2のみに限ることを言わないと証明じゃないのでは…… 198 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/17(月) 23:08:10 ] >>196 具体的に写像aを求めろって問題だろ 一意性を示せとはどこにも書いてないと思うが 199 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/17(月) 23:10:43 ] 求めろとしか書いてないんだから、「全部」求めろって意味だと思ってたんだが…… んで、あくまでもおれの予想としてフィボナッチをずらしたものしかなさそうなので、メインは一意性の証明かなぁと。 単に求めろだから、やっぱ「全部」じゃね？ 200 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/18(火) 00:30:00 ] ｍ＝０。 201 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/18(火) 00:45:30 ] 任意のｍ 202 名前：１３２人目の素数さん [2008/11/18(火) 06:17:14 ] 任意の正の整数nに対して不等式 |sin1|+|sin2|+|sin3|+･･･+|sin(2n)|＞ 4n/5 を証明せよ。 ただしπ=3,1...sin1=0.84...,cos1=0,54...sin2=0.90...cos2=-0.41... は証明なしで使ってもよいものとする。 203 名前：修正 mailto:sage [2008/11/18(火) 13:11:13 ] 写像aは整数から整数への写像であり、 ・ a(1)=1 ・ a(n+2)=a(n+1)+a(n) ・ 1≦i＜jならばa(i)＜a(j) ・ 任意の正整数mに対して、ある整数nが存在し、a(n)はmの倍数 を満たす。 このとき、写像aを全て求めよ 204 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/18(火) 13:56:58 ] 1より大きい実数a_[2]を求めよでいいじゃん 205 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/18(火) 13:58:25 ] 実数じゃなくて整数、の間違い 206 名前：１３２人目の素数さん [2008/11/18(火) 22:40:20 ] 通常の１から６までの目のサイコロをｎ回振る。 ｎ回目までの出た目の和が素数である確率を求めよ。 207 名前：１３２人目の素数さん [2008/11/18(火) 23:06:04 ] nを飛ばすの忘れてるぞ 208 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/19(水) 00:00:34 ] 久しぶりに来たけどあんま賑わってないね とりあえず>>39と>>182あたりが解かれてないのか 209 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/19(水) 00:03:56 ] >>202 science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1179000000/653 不等式スレ３ の式に a=1, m=2n を代入すると、 　(左辺) > n + (1/4) - 1/(4sin(1)) > n -0.0471 210 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/19(水) 00:07:03 ] >>208 自作問題が解かれてないからって気を落とすなよ お前が作ってないなら、糞問なんだからスルーしてやれよ 211 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/19(水) 00:20:37 ] >>194も 212 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/19(水) 00:21:09 ] >>182 a(2)≧3のとき条件を満たさないことを示す まずa(k)とa(k+1)は互いに素なのはユークリッドの互除法的に明らか 次にa(2)=tとするとa(k)+(t^2-2t)a(k+1)は常にt^2-t-1の倍数となる したがって、a(k)がt^2-t-1の倍数だとa(k+1)もt^2-t-1になるがこれは矛盾 a(2)=2はフィボナッチの性質から解ける感じ ということでa(2)=2となるときだけ >>39はスルーされて当然だったな 一個目:-1 煮込め:X=e,X'=e^(a-1)よりa=3 三個目:対数微分とか使わせるにしてもあまりに糞問 213 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/19(水) 01:22:19 ] >>212 多分39の一個目違う 214 名前：１３２人目の素数さん [2008/11/19(水) 08:02:11 ] a,bを2^a+3^bが平方数となるような正の整数とする。 (1)a,bはともに奇数であるか、ともに偶数であることを示せ。 (2)(a,b)としてありうるものをすべて求めよ。 215 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/19(水) 17:07:25 ] ＞次にa(2)=tとするとa(k)+(t^2-2t)a(k+1)は常にt^2-t-1の倍数となる どうやって気づいたのかｋｗｓｋ 216 名前：212 mailto:sage [2008/11/19(水) 18:04:06 ] >>215 実はその部分は敢えてどう解いたのかばれないような表記にしてました 実際の思考の順序は ・おそらくa(2)≧3だとある数を法としたときに0を含まない循環にできるはず ・漸化式の形から、pa(k)+qa(k+1)が常に何かを法として不変になるはず ・その「何か」と上の「ある数」を自分で作ればよいはず ・a(1)=1,a(2)=tのとき、p=t,q=-1とすればta(1)-a(2)=0で何かよさそう。このときta(2)-a(3)=t^2-t-1 ・t^2-t-1が上の「何か」になるはず、実験して確認・あとはp=1,q＞0になるように工作 みたいな感じでした

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