★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第十五問

1 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/06/04(水) 16:13:55 ] 理系で数学が得意な高校生が２５〜５０分で 解ける問題を考えてうぷするスレ。 これ以外の難易度の問題はスレ違いとなります。 関連スレへどうぞ 過去ログは>>2以降 552 名前：>>440 >>533 mailto:sage [2008/08/03(日) 21:27:15 ] >>530 で大体あってる >>533 で指摘したとこは、正しくは (1/a[n]^2) - (n/3) = (1/5)log(n) + O(1) になるはず α[n+1]-α[n] → β (n→∞) のとき α[n]/n → β (n→∞) を示すのは良く見る問題だから、これを定理と認めれば > 1/(a[n+1])^2 - 1/(a[n])^2 → 1/3 (n→∞) からすぐに 1/(n*a[n]^2) → 1/3 (n→∞) 不等式で挟もうとすると結構面倒で、自分の用意していたのは↓みたいなの (途中まで >>530 のを借りる) > 1/(3-x^2) > 1/sin(x)^2 - 1/x^2 > 1/3 まで正しいとして、 |x|≦1 のとき 1/(3-x^2) ≦ (1/3)+(1/6)x^2 が成立するので (1/3) + (1/6)x^2 ＞ (1/sin^2(x)) - (1/x^2) ＞ 1/3 x = a[n], sin(x) = a[n+1] を代入して (1/3) + (1/6)a[n]^2 ＞ (1/a[n+1]^2) - (1/a[n]^2) ＞ 1/3 見づらいから a[n] = √(3/b[n]) とすると 1 ＜ b[n+1] - b[n] ＜ 1 + (1/(2b[n])) … (*) 左の不等号から、n≧2 で b[n] ＞ n - 1 + b[1] ＞ n - 1 … (**) これを (*) の右の不等号式に入れると、n≧3 で b[n] ＜ n - 2 + (1/2){1 + (1/2) + (1/3) + … + (1/(n-2))} + b[2] ＜ n + (1/2)log(n) + b[2] これと (**) から、n≧3 で a[n] の評価は (√3)/√{1 + (1/2)(log(n)/n) + (b[2]/n)} ＜ (√n)a[n] ＜ (√3)/√(1-(1/n)) 挟み撃ちにより (√n)a[n] → √3 (n→∞) 553 名前：552 mailto:sage [2008/08/03(日) 22:38:42 ] × 不等号式 ○ 不等式 × 1 ＜ b[n+1] - b[n] ＜ 1 + (1/(2b[n])) … (*) ○ 1 ＜ b[n+1] - b[n] ＜ 1 + (3/(2b[n])) … (*) だった 以下も適当に修正しといて 554 名前：530 mailto:sage [2008/08/04(月) 06:24:20 ] >>499 (訂正) 　1/(3-x^2) > 1/sin(x)^2 - 1/x^2 > 1/3, まで正しいとして、 見づらいから a[n] = √(3/b[n]) とする。 >>552 k≧N のとき (N:自然数) 　b[N]/(b[N]-1) ≧ b[k]/(b[k]-1) > b[k+1] - b[k] > 1, k=N,N+1,･･･,n-1 について相加平均すると 　b[N]/(b[N]-1) > (b[n] - b[N])/(n-N) > 1, ここで n→∞ とすると 　b[N]/(b[N]-1) ≧ lim[n→∞) b[n]/n ≧ 1, Nはじゅうぶん大きく取ってよいから 　 lim[n→∞) b[n]/n = 1. 555 名前：1stVirtue ◆.NHnubyYck [2008/08/04(月) 08:26:32 ] Reply:>>546 私を呼んでないか。 556 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/04(月) 20:05:09 ] sin(x)>x sin(x) monotonic for 0<x<pi/2 sin(sin(...(x)))->1 sin(sin(x))/sin(x)->cos(sin(x))cos(x)/cos(x)->cos(sin(x))->1+0 as x->0,pi 557 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/04(月) 20:08:46 ] math.coe.uga.edu/EMT669/Student.Folders/Willis.Emily/Essay1/Essay1.html 558 名前：ＺＥＵＳ [2008/08/05(火) 09:27:27 ] 「ｐ、ｑ、ｒ　are　natural　numbers　ａｎｄ　satisfing　ｐ≦ｑ≦ｒ． ａｎｄ、ｐ、ｑ are even　numbers and ｒ is odd number. find the most small positive integral number satisfing √ｐ×√ｑ×√ｒ」 559 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/05(火) 10:37:13 ] 18 = (√2)(√6)(√27) ってこと？ 560 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/05(火) 10:38:36 ] ＺＥＵＳって数学だけじゃなく英語も出来ないんだな。 561 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/05(火) 11:14:20 ] √p×√q×√rを満たす最小の整数を求めよ…… ごくり…… 562 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/05(火) 11:31:05 ] わざわざ英語で書いてるあたりどこかの問題をコピペしてるっぽい。 563 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/05(火) 20:05:09 ] コピペだとすると、所々無意味に全角になっているのが気持ち悪い 564 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/05(火) 20:13:42 ] あんな酷い英文がコピペであるはずがない。 565 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/05(火) 22:04:10 ] most smaller　(笑) 566 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/05(火) 22:36:44 ] If X chooses a prime number and simulataneously Y guesses whether it is odd or even (with gain or loss of ＄1), who has the advantage? 567 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/06(水) 00:30:03 ] You is a big fool man. 568 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/06(水) 00:41:18 ] おまえら、わざとやってるのか？ 569 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/06(水) 00:51:47 ] 東大入試史上最も難しい問題より難しいっぽい問題が 中央大学の文系で出てるんだけど誰か解いてみたいっていう猛者はいるか？ このスレの住人なら知っていて当たり前だろうと思うが、n次元超平面上格子点存在問題 570 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/06(水) 00:57:07 ] >>569 いつ出たの？うｐ 571 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/06(水) 01:07:48 ] >>570 11年前に出てるけど出題者としてあるまじき行為というバッシングを受けてたっぽい 幾何学としても代数学としても有名な事実だが、文系の人にやらせるにはあまりにひどい問題 a_1、a_2、…、a_nを与えられた正の整数とする。 その最大公約数をdとするとき、 a_1*x_1+a_2*x_2+…+a_n*x_n=d を満たす整数x_1、x_2、…、x_nが存在することを示せ。 572 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/06(水) 01:12:44 ] 東大受験生だと解ける奴はそれなりに居るよ。 何せ知識問題だから。 中央大文系だと全滅の懼れが大きいが。 573 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/06(水) 01:16:19 ] ところでどこが幾何学なのか良く分からん。 少なくとも「n次元超平面上格子点存在問題」じゃないと思う。 574 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/06(水) 01:18:08 ] さんくす 解いてみる 575 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/06(水) 01:27:20 ] >>571　n=2のとき、a_1/d,a_2/dはそれぞれ互いに素であるから、 　a_1/d*x_1+a_2/d*x_2=1が成り立つ。 　n=kのとき、題意が成り立つと仮定すると、 　a_1*x_1+a_2*x_2+…+a_n*x_n=d'なるx_1....x_nが存在する。 この数をA_nとおくと,A_n=d'とa_(n+1)の最大公約数は仮定よりd 　ゆえに,n=2のときの場合より、x'_1A_1+a_(n+1)x'_2=d を得る。/// 576 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/06(水) 01:28:39 ] 安全に証明を行えるという点で幾何学の問題を代数学で というのは数学を学んでいくとよくある手法だな 逆に代数の問題を関数論でというようなパターンも大学２年でやる 577 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/06(水) 01:29:12 ] Euclidの互除法と帰納法で証明しても良いし、 どっちかというとそっちのほうが計算的だけどもっと簡単に証明。 gcm(a_1, a_2, ........., a_n) = d である。 a_{1}x_{1} + ......... + a_{n}x_{n}と表せる形の整数の集合 I を考える。 I = { x ∈ Z : 或る x_{1}, ........, x_{n} が存在して n = a_{1}x_{1} + ......... + a_{n}x_{n} } x ∈ I ならば x の倍数 nx も I の要素であり、またx, y ∈ I ならば x ± y ∈ I となる。 よって I の要素の絶対値のうち最小のものを e とすると I は e の倍数の集合となることがわかる。 （∵ e' = ne + e'' , 0 ＜ e'' ＜ e とすると e'' ∈ I となり矛盾する。） 或る x_1, ........, x_n が存在して e = a_1x_1 + ......... + a_nx_n だから e は d の倍数。 また a_i は I に含まれるので、逆に a_i は e の倍数。よって e は a_1, ........., a_n の公約数。 よって e = d。つまり d は a_{1}x_{1} + ......... + a_{n}x_{n} の形に表すことが出来る。 quod erat demonstrandum. と、ここまで解いてリロードしたら>>575が既に解いてた。 でも「a_1/d,a_2/dはそれぞれ互いに素であるから、 a_1/d*x_1+a_2/d*x_2=1が成り立つ。」 これ使って良いのかな。 578 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/06(水) 01:31:52 ] これでバッシングって、マーチはすげえな。 地底くらいなら普通にだすだろ。サービス問題として。 579 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/06(水) 01:32:09 ] n=2の場合は稀に出題されるよね 580 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/06(水) 02:23:00 ] >>571の問題は解決するのに歴史的時間を要してるからなぁ >>575の解法でいくと5点もらえていいほうかな この数をA_nとおくと,A_n=d'とa_(n+1)の最大公約数は仮定よりd 　ゆえに,n=2のときの場合より、x'_1A_1+a_(n+1)x'_2=d を得る。/// この証明はないだろ…さすがに…帰納法の意味わかってるのか？ 581 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/06(水) 02:27:30 ] は？ちゃんと読めよマーチのカスｗ 582 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/06(水) 02:32:14 ] 幾何学的な証明は？ 583 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/06(水) 02:32:58 ] >>580 d'はn項までの数の最大公約数(nのときの仮定より。) 　A_n=d',x'1A_n+x'_2a_n+1=d(n=2のときによる) 　であるが、何か問題でも？ 584 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/06(水) 02:33:16 ] >>579 出るわ aとｂは与えられた正の整数でaとbは互いに素である 直線ax+by=1は格子点を通ることを示せ 格子点とはx座標とy座標が共に整数の点のことであるって奴が出た 【　時　間　が　な　く　て】　わからんかったけど 585 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/06(水) 02:38:46 ] >>583 d'とa_(n+1)の最大公約数がdってどっから出てきたの？ まさか仮定ってn=2のときa_1/d*x_1+a_2/d*x_2=1ですよってところからきたの？ n=2のとき帰納法で与えられたa_1とお前が作りだしたd'って全く別物じゃない？ 586 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/06(水) 02:42:56 ] >>585　アホ？すべてのa_nはd*a'_iに分解できる。 　よってd'=rdとなり、d'とa_n+1はdを共通因子に持つ。 仮にd'とdの最大公約数d''>d⇒a_1・・・a_n+1の最大公約数もd''→矛盾。 587 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/06(水) 02:51:43 ] >>586 だからお前が帰納法使っているときに仮定よりn=k個の場合は a_1〜a_kの最大公約数はd'とおいてるんだろ？ で、n=2のときa_1とa_2の最大公約数はdとおいてるんだよな？ 当然のことだがこのa_1とa_2はn=2のときとn=kのときで全くの別物ってのはOK？ 588 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/06(水) 02:53:18 ] >>587　何言ってんだ？お前帰納法の意味まるでわかってないな。 589 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/06(水) 02:56:52 ] >>588 ということはまさかお前n=2のとき使ったa_1,a_2とｎ=kのときのa_1,a_2が同じ数だー とか思っちゃっているわけだな？ それに対しておれが帰納法まるでわかってないみたいに言ってるであってる？ そのへんがよくわからんないんだけど 590 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/06(水) 02:58:30 ] 同じ数って何の話してんだ？ a_1....a_nは任意の整数の組だぞ？ dとd'は区別するために書いただけでただの最大公約数だぞ？ 大丈夫か？ 591 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/06(水) 03:02:40 ] n=2のとき、"任意の"a_1,a_2に対して題意は成立 n＞3のとき、"任意の"a_1...a_nに対し題意が成立すると仮定 ⇒a_1x_1+・・・+a_nx_n=d' a_1=d',a_2=a_n+1とおいてn=2の場合より題意成立。(当然整数同士の積は整数である） どこに問題が？ 592 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/06(水) 03:04:38 ] >>590 数学的帰納法において気をつけなければならない点 a_1....a_nは与えられた正の整数とあるとき、n=2,n=kの場合、 a_1,a_2の与えられた二つの正の整数、n=kの与えられたk個の正の整数を考える この問題は数学的帰納法だけではとてもじゃないが、たちうちできない ちょっとおれ今から整数論で完璧な証明書くので待ってくれ 593 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/06(水) 03:06:36 ] 完璧な証明はどうでもいいからまず>>591に反論してみてよ。 俺の頭の中じゃ何回考えてもおかしな点が見つからん。 594 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/06(水) 03:24:54 ] >>593 今まで間違っているとかいいまくっていたけどよく読んでみたらこれほどの解答はなかった あまりにも速く解いていたので嫉妬して適当な因縁つけてただけでした お前の解答は完璧だと読んでみたらわかった 今まで間違ってるとかいって本当に申し訳ない…ごめんなさい…あってます…そろそろ寝ます I={a_1*x_1+a_2*x_2+…+a_n*x_n　|　x_1,x_2,…,x_nは任意の整数} Nを自然数全体の集合とする I∩Nの最小元をd~とすると、任意のX∈I∩Nに対して X=d~*q+r　（q>0,0=<r<d~）…�@ d~∈I∩Nだから d~=a_1*x_1(0)+a_2*x_2(0)+…+a_n*x_n(0)…�A なるx_1(0),x_2(0),…,x_n(0)が存在する X=a_1*x_1+a_2*x_2+…+a_n*x_nとも表されるから�@は r=X-d~*q=a_1*(x_1-q*x_1(0))+…+a_n*(x_n-q*x_n(0)) ここでr>0とすれば、r∈I∩Nとなり、0<r<d~から、rがI∩Nの最小元より小さくなり矛盾 よってr=0,X=d~*q つまり、d~∈I∩Nは任意のX∈I∩Nの最小の公約数である故に、 a_1,…,a_n∈I∩Nの最小の公約数である そこでd~=dを示す �Aにおいて右辺はa_1,…a_nの任意の公約数ｃで割り切れるべきだから d~はｃで割り切れる 故にc=<d~=<dで、cの最大値はdだから d~=d∈I∩N ∴d=a_1*x_1(0)+…+a_n*x_n(0) よってx_1=x_1(0),x_2=x_2(0),…,x_n=x_n(0)なる整数が存在する a_1,…,a_n∈IだからI∩Nの最小元d~はa_1,…,a_nの公約数であるということを 普通にしてはならないのはそれを示すことがこの問題のキーポイントであるから 595 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/06(水) 03:41:24 ] 数学的帰納法を楽しげに語っているのでおれも間違い探しで参加するぞー(^o^)/ 今日はなかなか>>577といいレベル高い奴がいるんですぐにみつけられそうだが気にしない 相異なるn個の点の集合のどの2点を通る直線も この集合内の第3の点を通るという性質をもつならばこれらの点は全て一直線上にある。 数学的帰納法により示す。 n=3のとき、 2点を通る直線を任意に選ぶと仮定よりその直線はそれ以外の第3の点を通るので、 これらの点は全て一直線上にあることが示せた。 n=kのとき成り立つとしてn=k+1のときを示す。 n=kのとき成り立っているので、残りのk+1個目の点と他の一点を通る直線を考えれば 他の点は全て一直線上にあるのでk+1個目の点も含めて k+1個の点は全て一直線上にあることが示せた。 これにより題意は示せた。 この帰納法の使い方のおかしさを指摘してみろークズどもー(^o^)/ 596 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/06(水) 03:55:57 ] ＞n=kのとき成り立っているので、残りのk+1個目の点と他の一点を通る直線を考えれば そのような直線が存在するという証明がされていない。 というかn=2の時点で直線はきまってしまう。(ユークリッド幾何より） よってそのような直線は一般に考えられない。 597 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/06(水) 04:00:56 ] n>2の整数という条件を入れ忘れたぞー(^o^)/ >>575といい>>596といい新理論で頭よすぎだぞー(^o^)/ みんな寝ちゃったみたいでタイミング逃したんでまたくるぞー(^o^)/ 598 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/06(水) 04:05:20 ] にゃー（＾＾） おやすみ　575でした＾＾ 599 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/06(水) 05:20:21 ] >>65の ＞tanxの連分数展開からxが有理数ならtanxは無理数 っての誰かもう少し詳しく教えて下さいな。 600 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/06(水) 07:41:59 ] >>596 2つの命題を p(n)：n個の点のうちのどの2点を通る直線もこの集合内の第3の点を通る q(n)：n個の点はすべて一直線上にある。 とおく。 p(k+1)が成り立っているとして、 k+1個のうちのあるk個について、p(k)が成り立つかを考えると、成り立つとは限らない。 なぜなら、k個のうち任意の2点を選んだとき、それはもとのk+1個のうちの2点と考えることができるので、 その2点を通る直線は必ず第3の点を通るが、その第3の点が選んだk個のうちにあるとは言えないから。 すなわち、k+1個のうちのどのk個についてもp(k)は保証されず、したがってq(k)も成り立たない。 >>595の誤りは、帰納法の仮定はp(k)⇒q(k)という矢印つきの命題なのに、 「n=kのとき成り立つ」ことを「q(k)が成り立つ」の意味で扱っているところ。 601 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/06(水) 08:12:57 ] >>499を一般化してみた。 f ： [0,＋∞)→Rは連続であり、ある実数k＞1と、ある実数c＞0に対して f (x)＝x−cx^k＋o(x^k)　(x↓0) と表されるとする( o(x^k)は小文字のo)。このとき、次が成り立つようなδ＞0が存在する。 (1) 0＜x＜δならば 0＜f (x)＜x である。 さらに、このようなδに対して次が成り立つ。 (2) 任意の0＜x＜δに対して、xn：＝f ^n (x)は狭義単調減少しながら0に収束し、 　　しかも (xn)*n^(1/p) → 1/(cp)^(1/p)　(n→∞)である。 (1)：すぐに言える。 (2)：前半はすぐに言える。後半は>>530と同様に(1/x[n＋1])^p−(1/xn)^p→0 …＊を 　　 示したあと「an→ αならば(a1＋…＋an)/n→α」を使って終わる。＊の計算は 　　 (1＋x)^(−p)＝1−px＋O(|x|^2) (x→0) を使うと楽。 602 名前：571 mailto:sage [2008/08/06(水) 10:00:24 ] 採点基準みたいなのがあるようなんで >>575は与えられた正の整数の意味をわかってないようなので点を与えられない >>577すばらしい！最小性の証明もばっちりなんで多分満点 >>594完璧です！多分満点 >>582 どうなんだろうね 実際みたことないけど 603 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/06(水) 10:06:20 ] 全然超平面上の格子点問題じゃないじゃん どうみても整数論じゃないか でもこれ知ってないとできないと思うぞ 受験生には酷だろう 604 名前：ＺＥＵＳ [2008/08/06(水) 14:04:04 ] 関数ｙ＝ｆ（ｘ）＝ａｘ＾２＋ｂｘ＋３ と 関数ｙ＝ｇ（ｘ）＝２ｘ＾２＋３ｘ＋４ がある。 両者の、合成関数（ｇоｆ）（ｘ）が最大値１５、最小値−１２をとるとき、 ａとｂの値を求めよ。 605 名前：ＺＥＵＳ [2008/08/06(水) 14:17:01 ] 三角形ＡＢＣの辺ＢＣをｍ：ｎに内分する点をＦとし、 三角形ＡＢＣの辺ＡＣをｌ：ｋに内分する点をＨとする。 また、三角形ＡＢＣの辺ＡＢをｓ：ｒに内分する点をＧとする Ｆが辺ＢＣ上をＢからＣへ動き、Ｈが辺ＡＣ上をＡからＣへ動き、 Ｇが辺ＡＢ上をＡからＢへと動くとき、 三角形ＧＨＦが最大値をとるときの、条件を、ｍ、ｎ、ｋ、ｌ、ｓ、ｒの式で 表せ。 606 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/06(水) 14:18:18 ] >>602　"与えられた正の整数の意味"　とは？ 607 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/06(水) 14:28:45 ] >>604 g(x)の最小値は 　g(x)=2(x+(3/4))^2-9/8+4より23/8 ∴どのようなa,bを選んでも最小値が-12となるようなことはない。 608 名前：ＺＥＵＳ [2008/08/06(水) 15:01:34 ] >>607 作問の間違いでした。 609 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/06(水) 17:44:26 ] 実数全体で定義された微分可能な関数f(x)はf(x)＞0を満たし，かつ正の実数αに対して常に f'(x)＞(f(x))^α が成立するものとする．このときαの値を求めよ． 610 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/06(水) 18:12:29 ] >>602　点を与えられないんじゃなくてお前が証明理解してないだけ。 　まぁこんな問題を東大最難より難しいとか言ってる時点でこいつの数学力は高々知れてるか・・・。 611 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/06(水) 18:44:45 ] (1) すべての自然数に対しlognは無理数となることをしめせ。 (2)f_n(x)=log(log(log(・・・logx)))(log　n個の合成関数)とする。 　(i)この関数が定義される領域を示せ。 　ただしlog(x)は実数値関数として考え、x＞0で定義されるものとする。 　(�A)�@で求めた領域内に含まれる自然数に対し、 　f_n(m)は無理数であることを示せ。 612 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/06(水) 19:27:38 ] >>605 >三角形ＧＨＦが最大値 何の最大値だよ 613 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/06(水) 19:39:25 ] >>611 （1）log1=0 614 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/06(水) 19:49:53 ] (1) すべての自然数に対しlognは超越数となることをしめせ。 615 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/06(水) 21:54:17 ] 適当な有理数列を作ることにより 任意の実数rに収束する有理数列が存在することを証明せよ。 616 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/06(水) 22:04:29 ] ちょっとクソ問題出すの止めてくんないかな 617 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/06(水) 22:10:31 ] Zeus が登場して以来流れが変ったな。 クソ問題かどこかで聞いたことのある問題ばっかりだ。 618 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/06(水) 22:35:50 ] >>603 R^2だとax+by=dという直線上に格子点が存在するかという問題に帰着できる （dはaとbの最大公約数） 逆に格子点が存在しないのはどういう場合かということかな あと>>575がなってないのは>>577の人も言ってるけどこれを証明なしに用いていること 本来これを証明すべきなのに示すべき内容が成り立つとして解答してしまっている 619 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/06(水) 22:57:47 ] zeus=king 620 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/06(水) 22:59:07 ] 益田って死んだの？ 621 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/06(水) 23:09:48 ] 実数θと虚数単位iでe^(iθ)=cosθ+isinθとする また複素数z、wに対してe^z*e^w=e^(z+w)が成り立つ 複素変数の正弦関数と余弦関数を次のように定義する 複素数zに対して sinz=(e^(iz)-e^(-iz))/2i cosz=(e^(iz)+e^(-iz))/2 このとき任意の複素数zに対して、下記の式が成立することを示せ (sinz)^2+(cosz)^2=1 東大では絶対でないであろう問題だな 簡単すぎる 622 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/06(水) 23:12:12 ] 可計算解析の意味において多項式時間可計算かつリプシッツ連続なる函数が与える初期値問題の解が多項式空間完全である例を示す. 623 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/06(水) 23:13:51 ] f(x)=1-x^2/1+x^2とf(x)=|sinx|がリプシッツ連続であることの証明 624 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/06(水) 23:14:32 ] 問題５ f(x,t)=sin(tx)は0<t<1、0<x<6πでLipschitz連続であることを示せ。 625 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/06(水) 23:16:51 ] >>622 そこまで書いてなぜ微分方程式の問題を出さない？ 626 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/06(水) 23:36:48 ] なんかここ数日流れがきもくね？ 627 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/06(水) 23:40:35 ] kono sure jitai KIMOI 628 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/06(水) 23:42:24 ] an+1=cos(an) 0<a0<pi/2 by Banach fixed point theorem an->x=cos(x) 629 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/06(水) 23:43:24 ] 昔からこのスレきもかったけど今は夏休みだしそういう流れなんだよ 大学向けの問題を高校生に出題するなら定義をきちんと書くだろ…常識的に考えて… 超越数とかリプシッツ連続とか試験に出ることはあっても単語が出ることはない 630 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/06(水) 23:44:43 ] 正の整数x，yに対して，x^2+y^2 が xy+1で割り切れるならば， (x^2+y^2)/(xy+1) は平方数であることを証明せよ． 631 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/06(水) 23:45:35 ] www.math.toronto.edu/mathnet/questionCorner/transseq.html 632 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/06(水) 23:49:15 ] 作図問題： * dx/dt = v * dv/dt = -x3 - bv + A sin wt * A = 2.5, b = 0.05, w = 0.7 633 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/06(水) 23:50:17 ] 作図問題２： * dx/dt = y * dy/dt = z * dz/dt = -x + y2 - Az * A = 2.107 634 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/06(水) 23:51:29 ] General Properties of Lyapunov Exponents * A measure of chaos (how sensitive to initial conditions?) * Lyapunov exponent is a generalization of an eigenvalue * Average the phase-space volume expansion along trajectory * 2-D example: o Circle of initial conditions evolves into an ellipse 635 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/06(水) 23:52:56 ] Kaplan-Yorke (Lyapunov) Dimension * Attractor dimension is a geometrical measure of complexity * Random noise is infinite dimensional (infinitely complex) * How do we calculate the dimension of an attractor? (many ways) * Suppose system has dimension N (hence N Lyapunov exponents) * Suppose the first D of these sum to zero * Then the attractor would have dimension D 636 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/07(木) 00:23:15 ] 1+1=2であることを証明せよ。 （ただし、1+1=2であることは知られていないとする） 637 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/07(木) 00:25:59 ] ・・・ 638 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/07(木) 02:21:54 ] x^2+y^2=m^2(xy+1) x^2=m^2 mod y x=ay+m y=bx+m x-ay=m -bx+y=m x=m(1+a)/(1-ab) y=m(1+b)/(1-ab) xy+1=(m^2(1+a)(1+b)+(1-ab)^2)/(1-ab)^2 x^2+y^2=m^2((1+a)^2+(1+b)^2)/(1-ab)^2 (x^2+y^2)/(xy+1)=m^2((1+a)^2+(1+b)^2)/(m^2(1+a)(1+b)+(1-ab)^2) a=b =2m^2(1+a)^2/(m^2(1+a)^2+(1-a^2)^2) =2/(1+(1-a^2)^2/m^2(1+a)^2) =2/(1+(1-a)^2/m^2) 639 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/07(木) 02:26:18 ] m=1-a =1 2x^2=x^2+1 x=1 640 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/07(木) 02:28:07 ] m=1-ab x=1+a y=1+b 641 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/07(木) 07:11:56 ] 三角形ＡＢＣの辺ＢＣをｍ：ｎに内分する点をＦとし、 三角形ＡＢＣの辺ＡＣをｌ：ｋに内分する点をＨとする。 また、三角形ＡＢＣの辺ＡＢをｓ：ｒに内分する点をＧとする Ｆが辺ＢＣ上をＢからＣへ動き、Ｈが辺ＡＣ上をＡからＣへ動き、 Ｇが辺ＡＢ上をＡからＢへと動くとき、 三角形ＧＨＦが最大値をとるときの、条件を、ｍ、ｎ、ｋ、ｌ、ｓ、ｒの式で 表せ。 642 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/07(木) 07:57:21 ] このスレはいつから糞問題のゴミ捨て場になったんだ…。 643 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/07(木) 18:23:18 ] 一辺が1の正四面体OABCにおいてOA、OB、OC上に点P、Q、Rが 四面体OPQRの体積が正四面体OABCの1/3になるように動く。 このとき三角形PQRの周および内部が通過する領域の体積を求めよ。 644 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/07(木) 18:25:57 ] 正の整数 n，m（≧2）に対して，lim[n→∞]( 1/(n+1) + 1/(n+2) + … + 1/mn ) を求めよ． 645 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/07(木) 20:30:48 ] また糞問 646 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/07(木) 20:34:41 ] はいはい区分求積 647 名前：518 mailto:sage [2008/08/07(木) 20:39:43 ] >>644 東工大の問題ですね、わかります 648 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/07(木) 21:15:26 ] 宿題をこのスレで聞いてもいいですか？ 649 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/07(木) 21:19:34 ] >>648 だめです 質問スレへどうぞ 650 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/07(木) 21:20:25 ] 糞問題だとスルーされるけど、それでも良ければ。 そして他のスレで同じことを聞くとマルチ扱いされるけど、それでも良ければ。 651 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/07(木) 21:26:47 ] x^2+y^2=3^2009を満たす有理数x､yが存在しないことを示せ 652 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/07(木) 22:11:37 ] >>651 都立大

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