- 1 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/07(月) 20:54:04 ]
- 理系で数学が得意な高校生が２５～５０分で
解ける問題を考えてうぷするスレ。
これ以上の難易度の問題はスレ違いとなります。
関連スレへどうぞ
- 175 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/25(金) 03:42:19 ]
- >>127
> 余談ではあるが「十分条件であるが、必要条件ではない」という表現は違和感ない？
この余談も、書き手の必要条件、十分条件に対する理解の無さをしめしている。
この書き手は次を理解できないであろう。
x=-1 は x^2=1の「十分条件であるが、必要条件ではない」
- 176 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/25(金) 05:12:42 ]
- 結局>>114が間違ってたのか？
- 177 名前：１３２人目の素数さん [2008/01/25(金) 14:31:59 ]
- >>175
釣りのための余談に今更ひっかられても…逆に釣りか？
「数学的」理解と「直感的」違和感は違う。
「e^(iπ)=-1」は理解できても改めて式を見れば不思議である。
この場合、「不思議＝違和感＝数学の魅力」であるが
「十分条件であるが、必要条件ではない」という表現はﾏｰｸｼｰﾄ試験用の造語であって数学的魅力は感じない。
数学的魅力は個人の好みであって、数学に限らず一般的に
「得意不得意」と「好き嫌い」と違う。
嗜好（思考）盗聴ネタはこれにて終了
- 178 名前：MASUDA ◆5cS5qOgH3M [2008/01/25(金) 18:38:58 ]
- nは正の整数とする．1または-1を並べた項数2nの数列a[1],a[2],…,a[2n]があり，
Σ[k=1,2n]a[k]=0
をみたす．このとき，1≦i≦2n-1，a[i]+a[i+1]=0をみたす整数iの個数の期待値をE[n]として，
極限値lim[n→∞]E[n]/n=1を示せ．
- 179 名前：１３２人目の素数さん [2008/01/25(金) 21:49:05 ]
- >>178
E[n]=nですからわざわざ極限なんてとらないでもよくないですか？
- 180 名前：１３２人目の素数さん [2008/01/26(土) 00:50:28 ]
- (1+2cosπ/9)^2008の整数部分を9で割った余りを求めよ
- 181 名前：１３２人目の素数さん [2008/01/26(土) 13:59:45 ]
- >>148
(1)n!
(2)4^n
予想して帰納法でやればいい
- 182 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/26(土) 17:29:31 ]
- >>148
細かいことだが、C[0,0] を問題文の中で定義しとかないと入試範囲外。
- 183 名前：１３２人目の素数さん [2008/01/26(土) 19:11:34 ]
- そうなの？
- 184 名前：１３２人目の素数さん [2008/01/26(土) 19:42:23 ]
- 0!=1は習うんじゃなかった？これを習えば
C[0,0]=0!/0!0!=1
- 185 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/26(土) 20:21:54 ]
- >>148 (1) 再掲
0≦m≦n かつ m≦k≦n とする。
C[n,k] k(k-1)…(k-m+1) = C[n,k] {k!/(k-m)!} = {(n!)/(k!･(n-k)!)}{k!/(k-m)!} = {n!/(n-m)!} C[n-m,k-m],
より
∑[k=0,n] (-1)^k･C[n,k] k(k-1)…(k-m+1)
= ∑[k=m,n] (-1)^k･C[n,k] k(k-1)…(k-m+1)
= {n!/(n-m)!} Σ[k=m,n] (-1)^k･C[n-m,k-m]
= {n!/(n-m)!}(-1)^m Σ[k'=0,n-m] (-1)^k'･C[n-m,k']
= {n!/(n-m)!}(-1)^m･(1-1)^(n-m)
= (-1)^n･n!δ_(m,n),
よって 0≦m≦n のとき
∑[k=0,n] (-1)^k･C[n,k] k^m = (-1)^n･n!δ_(m,n),
- 186 名前：MASUDA ◆5cS5qOgH3M [2008/01/26(土) 21:15:10 ]
- 0!は扱いますが，高校範囲ではC[0,0]は扱いません．パスカルの三角形も２段目から．
- 187 名前：アナーキスト コン [2008/01/26(土) 21:58:09 ]
- もっかい
書きます
半径一の円の内側の定点をAとする。円周上に二点P,Qを/_PAQ=90度となるようにするとき P Qにおける円の接線のコウテンの軌跡をもとめよ。
- 188 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/26(土) 21:59:58 ]
- >>49
L[k] = b[k,1]*b[k,2]* …… *b[k,k] にして見ますた…
〔補題〕
1≦i<j≦n ⇒ B[j]-B[i] = gcd(B[i], B[j]) (最大公約数)
となるn個の自然数 B[1] < B[2] < …… < B[n] が存在する。
漸化式
B[k-1] = B[k] - Π[j=k+1,n] {B[j] - B[k]}, (1<k≦n) …… (*)
B[k] - B[1] | B[1], (1<k≦n) …… (**)
を考える。
はじめに B'[n] =0 等とおき、 B'[n-1], … ,B'[1] を順次(*)で定める。
しかし、これは一般に条件(**)を満たさない。
ところで B[k] を或る定数だけ「平行移動」しても (*)には影響ないので
B[k] = B'[k] - B'[1] + Π[k=2,n] {B'[k] - B'[1]},
とおく。これは
B[1] = Π[k=2,n] {B[k] - B[1]},
により (*),(**) を満たす。
B[k]-B[k-1] = Π[j=k+1,n] {B[j] - B[k]}, (1≦k≦n)
B[n]-B[n-1] | … | B[i]-B[i-1] | …… | B[2]-B[1] | B[1],
したがって
B[i] = {B[i]-B[i-1]} + {B[i-1]-B[i-2]} + …… + {B[2]-B[1]} + B[1]
= P * {B[i]-B[i-1]}
= PQ* {B[j]-B[i]}, ← (*)
B[j] = (PQ+1){B[j]-B[i]},
- 189 名前：１３２人目の素数さん [2008/01/26(土) 22:16:25 ]
- ますだ死ね
- 190 名前：１３２人目の素数さん [2008/01/27(日) 05:13:54 ]
- >>187
放置された理由を考える事
- 191 名前：１３２人目の素数さん [2008/01/27(日) 11:18:37 ]
- >>190
放置される理由が見当たらないんだが？
- 192 名前：１３２人目の素数さん [2008/01/27(日) 11:25:14 ]
- 横レスだが、>>136と>>187では半径が変わってるぞ
- 193 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/27(日) 11:34:11 ]
- ある品物は売れると１個について１００円の利益があり、
売れ残ると６００円の損失になると言う。
この品物をa個仕入れ、その１割が売れ残るとすると、
１個についていくらの利益が期待できますか？
- 194 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/27(日) 11:38:47 ]
- 宿題は自分でやれよカス
- 195 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/27(日) 11:41:17 ]
- >>194
東大を冠したスレでも、答えられ無いカス乙ｗｗｗ
- 196 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/27(日) 11:42:38 ]
- お前らがどれだけゆとりか確かめてやんよｗｗ
- 197 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/27(日) 11:55:32 ]
- >>193
答えは30円
そんな簡単な問題は東大入試に出ないだろ
小・中学生のためのスレに行けよ
aなんて要らないのに問題に入れるな
- 198 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/27(日) 12:40:47 ]
- >>197
出ないことを証明せよ。
- 199 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/27(日) 12:41:36 ]
- >>198
うっわつまんね
- 200 名前：１３２人目の素数さん [2008/01/27(日) 13:53:56 ]
- どうせまた帝京馬鹿だろ
- 201 名前：MASUDA ◆5cS5qOgH3M [2008/01/27(日) 14:05:24 ]
- (1) nを正の整数として，自然対数の底eは
lim[n→∞](1+1/n)^n=e
により与えられる．e＜3を示せ．
(2) Σ[k=1,n]k3^(1/k)＞n(n+3)/2を示せ．
- 202 名前：１３２人目の素数さん [2008/01/27(日) 15:53:12 ]
- >>201
うっわつまんね
- 203 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/27(日) 15:56:52 ]
- ∑記号はもう食傷
整数も食傷
- 204 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/27(日) 16:48:25 ]
- MASUDAって慶應医学部落ちてたんだな
テラワロスｗ
- 205 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/27(日) 17:00:04 ]
- 俺は京大理学部後期の数学理科オンリーの軽量入試で入学したことにﾜﾛﾀが。
どうやって医学部行ったの？
- 206 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/27(日) 17:01:03 ]
- >>205
再受験
このスレで大昔に既出
- 207 名前：保守奔流 コン mailto:sage [2008/01/27(日) 17:16:07 ]
- >>187
円周。OA方向を x軸とし OA=a とおくと 0≦a<1,
{x - a/(1-a^2)}^2 + y^2 = (2-a^2)/{(1-a^2)^2}.
- 208 名前：保守奔流 コン mailto:sage [2008/01/27(日) 17:17:44 ]
- >>187 訂正
円周。OA方向を x軸とし OA=a とおくと 0≦a<1,
{x ＋ a/(1-a^2)}^2 + y^2 = (2-a^2)/{(1-a^2)^2}.
- 209 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/27(日) 17:24:41 ]
- >>204
慶医落ちでテラワロスってお前・・どこ出身だよｗ
- 210 名前：アナーキスト コン [2008/01/27(日) 17:36:23 ]
- 208さん正解！私はパラメータでときましたが あなたはどうやって？
- 211 名前：188 mailto:sage [2008/01/27(日) 17:52:06 ]
- >188 の訂正
B[k] = B'[k] - B'[1] + Π[j=2,n] {B'[j] - B'[1]},
- 212 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/27(日) 18:42:45 ]
- >>209
慶應理工だ
- 213 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/27(日) 18:43:39 ]
- >>209
トリニティー・アカデミー
- 214 名前：１３２人目の素数さん [2008/01/27(日) 18:56:07 ]
- >>212
ちょｗｗおまｗｗ
- 215 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/27(日) 19:30:35 ]
- >201
示しますだ。
(1) (1+1/n)^n = Σ[k=0,n] C[n,k](1/n)^k
= Σ[k=0,n] n(n-1)…(n-k+1)(1/n)^k (1/k!)
= Σ[k=0,n] (1-1/n)(1-2/n)……(1-(k-1)/n)(1/k!) …… nについて単調増加だお.
< Σ[k=0,n] (1/k!)
< 1 + Σ[k=1,n] 1/(2^(k-1)) (*)
= 1 + 2
= 3.
∵ k! = 2･3･4……k > 2･2･2……2 = 2^(k-1),
(2) (1)より、(1+1/n)^n はnについて単調増加だから
e > (1 + 1/k)^k,
3^(1/k) > e^(1/k) > (k+1)/k,
(与式) > Σ[k=1,n] (k+1) = n(n+3)/2.
- 216 名前：１３２人目の素数さん [2008/01/27(日) 20:30:32 ]
- アナキースト コンって本物？
本物なら模試うp
- 217 名前：１３２人目の素数さん [2008/01/27(日) 22:42:09 ]
- 高一♂です。2.5時間かけて作りました。
もっと複雑にしようともしましたが、こっちが倒れそうなのでやめます。
頭の体操がてらにどぞ。（一瞬で解かれたら俺涙目）
a+b=k (1/2)+(1/a)+(1/b)=k を満たす。（a,b,k:実数）
このとき、abの取りうる範囲を求めよ。
- 218 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/27(日) 22:47:06 ]
- >>217
適切なスレで聞き直しておいてやった。感謝しる！！！
science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1200494361/713
- 219 名前：アナーキスト コン [2008/01/27(日) 22:57:06 ]
- 明らかに偽名の人だから住所もでたらめ
ていうか偽名でうけてる人にききたいんだが、自分の住所正確に書いてるのか？
- 220 名前：アナーキスト コン [2008/01/27(日) 22:59:10 ]
- ちなみに俺はあの文系の奴ではない
俺は理系
- 221 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/27(日) 23:00:44 ]
- >>217
k≠1以外の全ての実数
- 222 名前：アナーキスト コン [2008/01/27(日) 23:01:55 ]
- あと偽名はやめとくべき
電話かかってくるぞwww
- 223 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/27(日) 23:02:04 ]
- >>221は書き間違えた kは1以外の全ての実数
- 224 名前：217 mailto:sage [2008/01/27(日) 23:07:44 ]
- sage忘れスマソ。
kの範囲ではなく、abの範囲ですよ。
kの範囲だとしても違います。
- 225 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/27(日) 23:10:06 ]
- ああ、また書き間違えた、abの範囲が1以外の全ての実数
- 226 名前：217 mailto:sage [2008/01/27(日) 23:14:39 ]
- >>225
あとは、a,bが実数という条件を考慮すればおｋです。（判別式≧0）
- 227 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/27(日) 23:28:37 ]
- >>226
k(2k^2-k-8)≧0 あと面倒なのでパス
- 228 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/27(日) 23:32:43 ]
- 細かい議論除くとab≠0,1って所か
- 229 名前：217 mailto:sage [2008/01/27(日) 23:35:33 ]
- では、答えを投下。
３次式が顔を覗かせますが、因数分解で回避出来ます。
【 ab＜0,(33-√65)/32≦ab＜1,1＜ab≦(33+√65)/32 】
- 230 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/27(日) 23:37:46 ]
- 「0^0 = 1」の証明は高校生にはどうだろう
2年ほど前からどこかで出さないかと思ってるんだが
- 231 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/27(日) 23:48:24 ]
- 0^0=1とは限らないけどな
色々な定義を与えて、どれも結果が異なって面白いねー
ぐらいじゃね？
- 232 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/27(日) 23:48:28 ]
- lim[x->+0] x^x のこと？
どうやって計算させる？
- 233 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/27(日) 23:52:33 ]
- >>231
「0^0≠1」のときってあるえるのか？
証明間違ってたのかもしれん、
ここにいるのが少し恥ずかしくなってきた
>>232
limを使って証明させればいける（いけた）！
……だったんだが、少し自信なくなってきた
- 234 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/27(日) 23:54:25 ]
- >>233
つ0^x
- 235 名前：１３２人目の素数さん [2008/01/27(日) 23:56:03 ]
- >>222
一昨年仮面中に東大実戦で偽名使ったがかかってこなかった。
- 236 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/28(月) 00:02:02 ]
- >>234
「0^0=1」か「0^0=0」かって話だよね
そうか…「0!=1」と同じくらいばかげた話だったか
付き合ってくれた人達ありがとう(´・ω・`)
- 237 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/28(月) 00:06:04 ]
- 0^0は極限のとり方次第で好きな実数に収束させられた気がする
- 238 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/28(月) 00:09:12 ]
- >>237
それに踊らされてたのか
この時期になると2年間ﾜｸﾜｸしてたんだけどな
じゃあ、万が一出るとしても>>231みたいな出題方式だな
- 239 名前：アナーキスト コン [2008/01/28(月) 00:20:29 ]
- うそだー(笑)
てか今年多分理科三類あしきりでおちるから来年理科一類で正しい住所書いてうけますwwwwそうすれば文理にアナーキスト コンwww
- 240 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/28(月) 00:21:39 ]
- >>238
すぐに例が思いつかなかったのでぐぐったら出てきた
まぁ参考程度にどうぞ
ttp://takeno.iee.niit.ac.jp/~shige/math/lecture/basic3/xtothex1/node2.html
- 241 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/28(月) 00:27:18 ]
- >>240
親切にありがとうございます。
飛んだら1回開いたことのあるページでした
何を学んだんだ、あの時の自分は。もうやだーー
- 242 名前：１３２人目の素数さん [2008/01/28(月) 02:00:46 ]
-
- 243 名前：MASUDA ◆5cS5qOgH3M [2008/01/28(月) 16:41:16 ]
- aは正の実数定数とする．xについての3次方程式
x^3-3ax^2+3(a^2-1)x-a^3-1=0
の正の実数解をg(a)と定める．このとき，任意の正の実数p,qおよび0＜t＜1をみたす実数tに対して
tg(p)+(1-t)g(q)≦g(tp+(1-t)q)
が成り立つことを示せ．
- 244 名前：MASUDA ◆5cS5qOgH3M [2008/01/28(月) 16:42:15 ]
- >>243は等号いりません．
- 245 名前：１３２人目の素数さん [2008/01/28(月) 17:01:06 ]
- >>194
知能指数低そうな奴だな
- 246 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/28(月) 17:15:24 ]
- >>243
問題あってる？
- 247 名前：MASUDA ◆5cS5qOgH3M [2008/01/28(月) 22:02:44 ]
- >>246
どこか間違ってますか？
- 248 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/28(月) 22:19:06 ]
- >>201
東大の傾向を見れば、e<3の証明とか、log xやe^xの定義に従っての微分とかは今後出そう。
阪大は2003年に誘導つきで円周率が無理数であることの証明を出したとか。
- 249 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/28(月) 22:47:40 ]
- >>248
確かに、eの近似もπの近似もlog2の近似も出たし、
定義に従って公式を証明する問題も出た。
だからって、また出るかも、ってのはちょっと短絡的じゃないか。
「次に出る」ものを予想しなきゃ。次は何だ。
- 250 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/28(月) 22:56:04 ]
- ζ(2)とか？
- 251 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/28(月) 23:36:11 ]
- >>250
案外そういうのは東大はださない
- 252 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/28(月) 23:40:03 ]
- >>250 札幌医大で昔でた。
- 253 名前：MASUDA ◆5cS5qOgH3M [2008/01/28(月) 23:47:19 ]
- ゼータだすとしてもζ(3)の近似値あたりではないかと(阪大が近いのをだしてますが)．
ζ(2)とかζ(4)は値が有名ですから東大はむしろ敬遠しそうな気がします．
- 254 名前：１３２人目の素数さん [2008/01/29(火) 00:28:19 ]
- >>253
ζ(3)の近似の問題おもしろそうなんで作問してください
- 255 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/29(火) 00:54:09 ]
- （１）（正ｐ角形の一つの内角）＋（正ｑ角形の一つの内角）＋（正ｒ角形の一つの内角）＝３６０度
となる（p,q,r）の組み合わせを全て求めよ。ただし、ｐ≦ｑ≦ｒとする。
（２）正ｐ角形、正ｑ角形、正ｒ角形の３種類のタイルがたくさんある。ただし、ｐ＜ｑ＜ｒで、タイルの辺長は全て同じ。
この３種類のタイルを、一つの頂点を共有し、重ならないように並べる（※）。
このようにして並べ、平面を覆い尽くせる（p,q,r）の組み合わせは？
（３）（２）のように並べた時、正ｒ角形のタイルが占める面積は全体のどれくらいか？
（※）
全ての頂点には、三種類のタイルの頂点が集まっている。
あるタイルの頂点が、他のタイルの辺上に来るようなこともない。
- 256 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/29(火) 09:00:00 ]
- >>240のように０＾０は不定形だから０＾０＝１ではないと書いている人は
０＾１も不定形であることに気づいていない。
- 257 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/29(火) 10:17:32 ]
- >>256
普通に0であることが証明できるが。
- 258 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/29(火) 10:30:01 ]
- ｘ＝ｅｘｐ（－ｔ－（ｔ＾２）ｉ）。
ｙ＝１＋（１／ｔ）ｉ。
ｔ－＞＋∞のときｌｉｍ（ｘ）＝０，ｌｉｍ（ｙ）＝１。
ｘ＾ｙ＝ｅｘｐ（（－１－ｔ＾２）ｉ）。
｜ｘ＾ｙ｜＝１なのでｌｉｍ（ｘ＾ｙ）＝０にならない。
- 259 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/29(火) 11:02:13 ]
- 正しいような。正しくないような。
- 260 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/29(火) 11:19:07 ]
- 正しいだろ。
そもそも複素数範囲ではx≦0で定義されないし。
- 261 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/29(火) 11:46:54 ]
- (e^a)^b = e^(ab)
って計算が乱暴な気がする
例えば、a=2πi, b=1/2
- 262 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/29(火) 11:47:17 ]
- じゃあこれは？
x=(1-√3)/(1+√3)、y=(1+√3)/(1-√3)のとき、
√{(x^y)/(y^x)}を求めよ。 1998つくば国際大
- 263 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/29(火) 11:58:50 ]
- >>261
じゃあ0であることを証明してみろよ
- 264 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/29(火) 12:22:37 ]
- 複素数の範囲だと x^y=exp(2πk/t-(1+t^2)i) となって
k = -[t]t ていう風にとれば x^y → 0 にはなるんだよな。
こう考えていいもんかどうかは知らんけど。
- 265 名前：261 mailto:sage [2008/01/29(火) 12:30:35 ]
- >>263
0^1=0 と主張した覚えはないが？
- 266 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/29(火) 12:41:36 ]
- >>257
>普通に0であることが証明できるが。
>普通に0であることが証明できるが。
>普通に0であることが証明できるが。
まさか今さら別人だというつもりじゃないだろうな？
- 267 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/29(火) 13:08:01 ]
- 複素数の範囲では |x| > 0 に対して x^y = e^(ylogx) と定義される
これは、指数関数の周期性より、log の多価性に依らず一意に定まる
でもこれは x = 0 の場合を含んでいないから、x = 0 の場合は別に定義しなくてはならない
n を正整数とすれば 0^n = (0をn回かけたもの) = 0 と解釈するのが自然な気がする
- 268 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/29(火) 13:10:12 ]
- 任意の実数 p に対して
x(t) = exp(1/t+2π[t]i)
y(t) = 1 + i p/(2π[t])
と定義すると
lim[t→∞] x(t) = 1
lim[t→∞] y(t) = 1
x(t)^(y(t)) = exp((1/t + 2π[t]i)(1 + i p/(2π[t])))
= exp(1/t-p + i(2π[t]+p/( 2π[t]t)))
→ exp(-p)
で、1^1 が任意の値 p に収束するって言うのは ok?
- 269 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/29(火) 13:22:13 ]
- x^y の定義に極限持ち込むのは変だろ常考
- 270 名前：１３２人目の素数さん [2008/01/29(火) 13:27:45 ]
- 今のスレになって急に議論が増えたな
- 271 名前：267 mailto:sage [2008/01/29(火) 13:47:44 ]
- 一意に定まらないよね、ごめんね
- 272 名前：261 mailto:sage [2008/01/29(火) 19:05:03 ]
- >>266
別人
- 273 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/29(火) 21:22:48 ]
- △ABC の外接円において、点 A の存在しない側の弧 BC の中点を D、
点 B の存在しない側の弧 CA の中点を E、点 C の存在しない側の弧 AB の中点を F とする。
△ABC と △DEF が合同となるための、 △ABC が満たすべき必要十分条件を求めよ。
- 274 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/29(火) 22:52:20 ]
- >>243
(与式) = (x-a)^3 -3x-1 =0,
x=g(a) が正の実数解ならば、
a = g(a) - {3g(a)+1}^(1/3) = h(g(a)),
ここに
h(b) = b - (3b+1)^(1/3),
は g(a) の逆関数である。
h(b) は単調増加, h '(b) >0 (b>0)
h(b) は下に凸, h "(b) >0 (b>0)
∴g "(a) = h "(b) /{h '(b)}^3 > 0,
- 275 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/29(火) 23:11:38 ]
- >>180
cos の3倍角公式より
4cos(π/9)^3 -3cos(π/9) = cos(π/3) = 1/2,
したがって
a = 1 + 2cos(π/9) = 2.879385241572… は次式の根。
x^3 -3x^2 +1 =0,
他の2根をb,c とすると
b = 1 + 2cos(7π/9) = -0.532088886238…
c = 1 + 2cos(13π/9) = 0.652703644666…
いずれも絶対値が1より小さい。nが大きいとき
a^n ≒ a^n + b^n + c^n = S_n,
S_n は対称式だから、基本対称式の整係数の多項式である。
基本対称式は 根と係数の関係から、
s = a+b+c =3, t = ab+bc+ca =0, u = abc = -1,
S_0 =3, S_1 =s, S_2 = s^2 -3t, S_n = s*S_(n-1) -t*S_(n-2) +u*S_(n-3),
nについての帰納法により
n≡0,1 (mod 6) のとき S_n ≡ 3 (mod 9)
n≡2,5 (mod 6) のとき S_n ≡ 0 (mod 9)
n≡3,4 (mod 6) のとき S_n ≡ 6 (mod 9)
S_2008 ≡ 6 (mod 9) より,
答え 5.
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