- 1 名前：１３２人目の素数さん [2007/11/15(木) 08:01:29 BE:75737142-2BP(12)]
- さあ、今日も１日頑張ろう★☆
前スレ
分からない問題はここに書いてね２８０
science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1193029141/
- 809 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/04(火) 15:59:08 ]
- 関数u=(1-√(lg(n)/n))^(√(nlg(n))がn>2の時、単調減少である事を証明したいのですが、どうすれば良いのでしょうか
一階微分が常に負である事を示そうとしたのですが、かなり複雑な式になってしまい無理でした。
lgは底を2とする対数です。
- 810 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/04(火) 17:48:32 ]
- >>809
d{ln(u)}/dn の中に含まれる ln(1−√(lg(n)/n)) を −√(lg(n)/n) に変えると
式の値が少し大きくなります。その少し大きくなった式が、それでもなお負である
ことを示せば d{ln(u)}/dn < 0 を(従って du/dn <0 を)示したことになります。
私自身は最初は x=√(n*lg(n))、y=√(lg(n)/n) という補助変数を導入し、
・xがnの単調増加関数であること
・x,yは独立ではなく ln(2)xy=ln(x/y) という関係をみたしていること
に注意して、まず dy/dx ＝ (x/y)*{1-ln(x/y)}/{1-ln(x/y)} を導き、それを
利用して d{ln(u))/dx を計算しましたが、結局最後の式はnで表して
最後の詰め(とある関数の極大値の符号計算)はPCによる数値計算に頼って
しまいました。
- 811 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/04(火) 17:51:03 ]
- × まず dy/dx ＝ (x/y)*{1-ln(x/y)}/{1-ln(x/y)} を導き、
○ まず dy/dx ＝ (y/x)*{1-ln(x/y)}/{1-ln(x/y)} を導き、
- 812 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/05(水) 02:12:29 ]
- >794
x=sinθ とおくと
∫ dy/cos(y) = ∫dθ/cosθ,
- 813 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/05(水) 02:36:51 ]
- >>808
裏に省略があるのか。なら >>794 にも裏に省略があるんだろうよ。
- 814 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/05(水) 03:46:00 ]
- >>809,810
2ln(2) * (√(n*lg(n))) * (n-√(n*lg(n))) * ((d/dn)ln(u))
= (ln(n)+1) * (n-√(n*lg(n))) * log(1- √(lg(n)/n)) + (ln(n)-1) * √(n*lg(n))
＜ (ln(n)+1) * (n-√(n*lg(n))) * (-√(lg(n)/n)) + (ln(n)-1) * √(n*lg(n))
= (√lg(n)) {(ln(n)+1)(√lg(n)) - 2√n}
だから
(ln(n)+1)(√lg(n)) - 2√n ＜ 0
を言えばよい
あとは簡単
- 815 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/05(水) 07:45:24 ]
- >>803
漠然としすぎてるね。もう少し具体的に？
- 816 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/05(水) 13:41:45 ]
- >>813
その省略されているところが質問の答えだ。
それがわからないから聞いているんだろう。
- 817 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/05(水) 20:26:12 ]
- >>810,814
ありがとうございます。
- 818 名前：810=811 mailto:sage>> [2007/12/05(水) 20:50:17 ]
- うっく >>811 にはまだ誤植が残っているな。分母と分子の両方に
1-ln(x/y) があるけれど、分母の方は 1+ln(x/y) だ。
>>817
どんな分野に出てきた数式なのか、興味があります。
- 819 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/05(水) 21:03:23 ]
- >>818
行列乗算アルゴリズムの開発中に出てきました。
まだ証明の概要しか把握できていませんが、これで停滞していた部分を進めれそうです。
ありがとうございました
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