- 1 名前：１３２人目の素数さん [2007/05/13(日) 05:00:00 ]
- ある人は蝶を集め、ある人は切手を収集し、ある人は不等式を集める…
＿＿＿ ----- 参考文献〔３〕 P.65 -----
|┃三 .／ ≧ ＼
|┃ |:::: ＼ .／ |
|┃ ≡|::::: (● (● | 不等式と聞ゐちゃぁ
＿＿__.|ミ＼＿ヽ::::... .ワ......ノ 黙っちゃゐられねゑ…
|┃=＿＿ ＼ ﾊｧﾊｧ
|┃ ≡ ） 人 ＼ ガラッ
過去スレ
・不等式スレッド （Part1） science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1072510082/
・不等式への招待 第２章 science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1105911616/
過去スレのミラー置き場：briefcase.yahoo.co.jp/bc/loveinequality/
まとめWiki wiki.livedoor.jp/loveinequality/
姉妹サイト（？）
Yahoo! 掲示板 「出題 不等式」 messages.yahoo.co.jp/bbs?.mm=GN&action=l&board=1835554&tid=bdpbja1jiteybc0a1k&sid=1835554&mid=10000
- 591 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/20(月) 23:06:03 ]
- >590
分子は0でない整数。
>>565
Snellの方法の略証
相加･相乗平均より
{ cos(x) + cos(x) + 1/cos(x)^2 }/3 > 1,
これをxで積分する。 [0<x<θ]
- 592 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/27(月) 01:28:31 ]
- >>341
B.4049. a,b,c are positive real numbers, such that ab+bc+ca=t. Prove that
a/(a^2 -bc+3t) + b/(b^2 -ca+3t) + c/(c^2 -ab+3t) ≧ 1/(a+b+c),
(略証)
a+b+c =s, abc =u とおく。
(左辺) - (右辺) = 2{us^3 + (s^2 -4t)t^2} / {(6s^2･t^2 + 8t^3 + us^3)s} ････(*)
= 2{u(s^4 -9t^2) + (s^3 -4st +9u)t^2} / {(6s^2･t^2 + 8t^3 + us^3)s^2}
= 2{u(s^2 +3t)F_0 + t^2･F_1} / {(6s^2･t^2 + 8t^3 + us^3)s^2}
≧ 0,
ここで Schur の不等式 F_0 = s^2 -3t ≧0, F_1 = s^3 -4st +9u ≧0 を使った。
(*) a^2 -bc =A, b^2 -ca =B, c^2 -ab =C とおくと
S = A + B + C = s^2 -3t,
T = AB + BC + CA = -t(s^2 -3t),
U = ABC = us^3 - t^3,
(左辺) = a/(A+3t) + b/(B+3t) + c/(C+3t)
= (aBC + AbC + ABc +9st^2)) / (U +3tT +9t^2･S +27t^3)
= 2{us^3 + (s^2 -4t)t^2}/{(6s^2･t^2 + 8t^3 + us^3)s}.
- 593 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/27(月) 02:43:50 ]
- 次の問題を現実的な方法でやってくれませんか？
30分以内に確実にやって下さいと要請されたらどうするかっていうこと。
[問題]
abc=2なる正の実数a,b,cの組に対して、次の式の最小値を求めよ
1/(a(b+1))＋1/(b(c+1))＋1/(c(a+1))
- 594 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/27(月) 08:44:05 ]
- >>593
> 次の問題を現実的な方法でやってくれませんか？
> 次の問題を現実的な方法でやってくれませんか？
> 次の問題を現実的な方法でやってくれませんか？
> 次の問題を現実的な方法でやってくれませんか？
> 次の問題を現実的な方法でやってくれませんか？
新手の釣り師か？
- 595 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/27(月) 09:34:46 ]
- 計算機で解けば？
- 596 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/27(月) 09:45:21 ]
- 釣りじゃないですよ。
この問題の出典は数学検定1級の2次という変なところなのですが、
試験時間が短めで、時間制限を気にしないといけないのです。
もちろん値だけではだめで、論証しないといけません。
なので、『現実的な方法』という言葉を使いました。
そこで皆様の知恵をかりたいのですが、どうでしょうか。
- 597 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/27(月) 09:55:56 ]
- それのどこが不等式？
- 598 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/27(月) 16:59:40 ]
- >597さん
a=b=c=2^(1/3)で最小を取ることが予想できるので、
abc=2なる任意に正の実数a,b,cに対して、
次の不等式を示すことになるので、
そういう意味で不等式の問題とみなせると思いました。
1/(a(b+1))＋1/(b(c+1))＋1/(c(a+1)) ≧ 3/(2^(1/3)*(1+2^(1/3)))
- 599 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/27(月) 23:10:30 ]
- >>596
お前な、順序が間違ってるだろ！
まず、>>596を書いてから、>>593で質問だろ！
情報を小出しにするなとママに教わらなかったのか？
- 600 名前：１３２人目の素数さん [2008/10/29(水) 03:55:59 ]
- Σ［k＝1→n］（1／k）＞5
となる最小の整数nを求めよ
a，b，cが相異なる正の数で√a＋√b＋√c＝1を満たすとき
｛ab／（b－a）｝log（b／a）＋｛bc／（c－ b）｝log（c／b）＋｛ca／（a－c）｝log（a／c）≦1／3
を示せ
- 601 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/29(水) 04:24:00 ]
- Σ［k＝1→n］（1／k）= log(n)＋γ＋O(1/n) に注意すると、
だいたいn=[e^(5-γ)]＝83 とわかる。
答えはn=83
- 602 名前：１３２人目の素数さん [2008/10/29(水) 19:49:32 ]
- Σ［k＝1→n］（1／k）＞4
となる最小の整数nを求めよ
これだと高校生でも何とかできるか
- 603 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/29(水) 21:34:14 ]
- それの改良問題。
[Σ［k＝1→n]（1／k)] = [e^(5-γ)]
を満たさない正整数nは無限に存在するか。
ただし、γはオイラー定数とし、
[x]はxの整数部分を表すとする。
これだと愚直に計算機使うだけじゃ無理。
- 604 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/29(水) 21:40:55 ]
- >603
問題ミス。
Σ［k＝1→n］（1／k）＞m を満たす最小の整数nが、
n = [e^(m-γ)] とならない正整数mは無限に存在するか。
- 605 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/29(水) 23:24:13 ]
- >>600
S_82 = 5 - 971061970808803141778039548955447 / D_5,
S_83 = 5 + 16703434187251287967291034353582814 / (D_5 * 83),
D_5 = 2^6 * 3^4 * 5^2 * 7^2 *11*13*17*19*23*29*31*37*41*43*47*53*59*61*67*71*73*79,
>>602
S_30 = 4 - 11675421053 / D_4,
S_31 = 4 + 1967151510157 / (D_4 * 31),
D_4 = 2^4 * 3^3 * 5^2 *7*11*13*17*19*23*29,
S_11 = 3 - 2221 / D_3,
S_12 = 3 + 89 / D_3,
D_3 = 2^3 * 3^2 * 5*7*11,
S_3 = 2 - 1/D_2,
S_4 = 2 + 1/(D_2*2),
D_2 = 2 * 3,
- 606 名前：592 mailto:sage [2008/10/29(水) 23:35:18 ]
- >>592 の訂正, ｽﾏｿ.
(左辺) = a/(A+3t) + b/(B+3t) + c/(C+3t) = (3us + 8t^2)s/(6s^2･t^2 + 8t^3 + us^3).
- 607 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/31(金) 21:53:26 ]
- >>600
↓の補題に x=√(a/b), √(b/c), √(c/a) を代入してたす。
(左辺) < √(ab) + √(bc) + √(ca) < (1/3)(√a + √b + √c)^2,
〔補題〕
x>0, x≠1 のとき
{x/(x^2 -1)}log(x^2) < 1,
(略証)
f(x) = x -(1/x) -2log(x),
とおくと、f(1) =0,
平均値の定理より
{f(x)-f(1)}/(x-1) = f '(ξ) = (1 - 1/ξ)^2 >0, (ξは1とxの中間にある)
これに x/(x+1) を掛ける。
ハｧハｧ
- 608 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/31(金) 22:19:48 ]
- (*ﾟ∀ﾟ)=3 ﾊｧﾊｧ…
- 609 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/02(日) 04:23:18 ]
- 正の実数x,y,zに対して次を示せ。
(xy)^3/(x^3+1)＋(yz)^3/(y^3+1)＋(zx)^3/(z^3+1) ≧ 6/{xyz(1＋xyz)}
できる神いる？
- 610 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/02(日) 06:46:30 ]
- >>609
x=y=z=1のときとか成り立たないんだが・・・
なんか間違えてねーか？
- 611 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/02(日) 10:20:43 ]
- >>593>>598の変形し損ね？
- 612 名前：１３２人目の素数さん [2008/11/04(火) 04:11:04 ]
- >>600
次の問いに答えよ。
（１） xが正の数のとき│log x│≦│x-1│/√x を示せ。
（２） p, q, r がp + q + r =1を満たす正の数のときp＾2+ q＾2+ r＾2 ≧1/3を示せ。
（３） a , b, c が相異なる正の数で、√a + √b + √c = 1を満たすとき、
｛ab/(b - a)｝・ log(b/a) + ｛bc/(c - b)｝・ log(c/b) + ｛ca/(a - c)｝・ log(a/c) ≦ 1/3
を示せ。 （２００７ 阪大）
- 613 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/04(火) 10:21:31 ]
- >>612
誘導なしだったら、いい感じだね
- 614 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/04(火) 20:40:08 ]
- test
- 615 名前：不等式だけの学会があるらしい mailto:sage [2008/11/04(火) 21:07:44 ]
- lemmma3
a1≧a2,b1≧b2 -> (a1-a2)(b1-b2)≧0 -> a1*b1+a2*b2≧a1*b2+a2*b1
TH2
任意の自然数nに対して：a1^n+a2^n+,,,+an^n≧n*a1*a2*,,,*an
証明)
n=1:a1≧a1
n=kの時成立していると仮定しn=k+1で成立する事を示す。
まず、a1≧a2≧,,,≧a(k+1)①と仮定しても一般性を失わない。
a1^(k+1)+a2^(k+1)+,,,+ak^(k+1)+a(k+1)^(k+1)
=a1^(k+1)+a2^(k+1)+,,,+ak^k*ak +a(k+1)^k*a(k+1)
≧a1^(k+1)+a2^(k+1)+,,,+ak^k*a(k+1)+a(k+1)^k*ak
=a1^(k+1)+a2^(k+1)+,,,,+a(k-1)^k*a(k-1)+ak^k*a(k+1)+a(k+1)^(k-1)*ak*a(k+1)
≧a1^(k+1)+a2^(k+1)+,,,,+a(k-1)^k*a(k+1)+ak^k*a(k+1)+a(k+1)^(k-1)*ak*a(k-1)
(ここまでの不等号は全てlemma3と①による)
,,,,
≧(a1^k+a2^k+,,,+ak^k)*a(k+1)+a1*a2*,,,*ak*a(k+1)
(,,,及び最後の不等号もlemmma3と①による。
ai^k*ai+a(k+1)^i*a(i+1)*,,,*ak*a(k+1)≧ai^k*a(k+1)+a(k+1)^(i-1)*ai*a(i+1)*,,,*ak*a(k+1)
がやはりlemmma3と①によって成立するので、この事が言える)
≧k*(a1*a2*,,,*ak)*a(k+1)+a1*a2*,,,*ak*a(k+1)
(この不等号は帰納法の仮定による）
=(k+1)*a1*a2*,,,*ak*a(k+1)
よってTH2が成立。
TH1.TH2において、Ak=ak^nと置いていけば、明らかな相加相乗平均の不等式が現れる。
という事が今年の夏、8/18だか8/19に日本の高校の教師が示された。
- 616 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/04(火) 21:11:03 ]
- >>615
>>437
- 617 名前：不等式だけの学会があるらしい mailto:sage [2008/11/04(火) 21:19:36 ]
- 日本の高校の教師によって示された。
俺はまず、ハーディーにあたってみたが、あの不等式の本ではもう少し一般化した式が
もう少し、めんどくさく示されており、ハーディーとリトルウッドの明晰でわかりやすいスタイルの中には入らない。
次に「天書の証明」にあたったが、コーシーがほんの一歩、めんどくさい証明をしており、
これが、美しい部類の物として、「載っていた」
シンプルであり、アルゴリズムの様な、簡単な、美しい証明だと思う。
「日本の高校の先生が「天書」から証明を盗んできた。」
- 618 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/05(水) 00:00:11 ]
- >>617
「天書の証明」は、数ヲタとして持っておいたほうがいいですか？
本棚に飾っておいたほうがいいですか？
てか、オヌヌメですか？
最近、本を買っていないので何か買いたい気分です( ﾟ∀ﾟ)
- 619 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/05(水) 00:27:11 ]
- >>618
あれは持っておいて損はない。
俺は日本語版（第２版）と原書（第３版）を両方買った。
- 620 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/05(水) 00:31:41 ]
- アルゴリズムの様な、簡単な、美しい証明
のアルゴリズムのようなっていう比喩が全く意味が分からん
- 621 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/05(水) 00:47:21 ]
- >>620
俺は分かるぞ。手続きが明らかになる構成的証明だということだと思う。
相加平均と相乗平均という，全く形が異なるものの間を一気に飛ぶのではなく，
相加平均が，１つずつ項を入れ替えてゆくことで少しずつ小さくなってゆき，
やがて相乗平均に至るという，途中経過が明らかになる証明だ，という意味だろう。
俺も全く同感だ。
- 622 名前：１３２人目の素数さん [2008/11/05(水) 05:24:54 ]
- x,y,z≧0,x+y+z=1のとき
xy+yz+zx-2xyzの最大値、最小値を求めよ
ところで質問なんですが
任意の整数nに対して
n^2+an+b≧0
となるようなa,bの条件出すこと出来ますか？
- 623 名前：１３２人目の素数さん [2008/11/05(水) 07:24:12 ]
- >>622
(1-2x)(1-2y)(1-2z)を展開すればわかる。
a^2-4b≦0
- 624 名前：１３２人目の素数さん [2008/11/05(水) 07:32:47 ]
- すまん。整数だったな。
0<a^2-b≦1これも必要かな……。
- 625 名前：１３２人目の素数さん [2008/11/06(木) 20:53:25 ]
- 基本対称式を使った初心者でも何とか解ける不等式を教えてください。
- 626 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/06(木) 23:19:08 ]
-
('A` ) ﾌﾟｳ
ノヽノ) =3'A`)ﾉ ﾋｬｰ
くく へﾍﾉ ←>>625
- 627 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/07(金) 00:08:42 ]
- >>625
x_1, ……, x_n を正の数とする。
これらの相加平均を A，
これらの二乗平均平方根を M ( =√{((x_1)^2+……+(x_n)^2)/n} )，
これらから作られる２次の基本対称式を S (=x_1x_2+……) とおく。
このとき，A≧M*n^{S/{n(n-1)M^2}-1/2} が成り立つことを示せ。（出典：Part2-847）
--------------
x_1, ……, x_n を正の数とする。
これらから作られる k 次の基本対称式を e_k とおき，
A_k=(e_k / C[n,k])^(1/k) とおく（C[n,k]は二項係数）。
このとき，
A_1≧A_2≧……≧A_n
が成り立つことを示せ。（出典：マクローリンの不等式）
- 628 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/07(金) 19:37:45 ]
- >>620
>>621さんに付け加える事は何もないですが、要はlemma3がサブルーチンで、この証明ではほとんどが
このサブルーチンで片がついているのです。プログラムでも、すっきりした簡単なメインルーチンと
もし、サブルーチン一つでかなりな複雑な事柄が片付けば、それは「美しいプログラム」だと
思います。
要はわかりやすく、読みやすい。と言う事かなと思います。話はむずかしくではなく、簡単でわかりやすい
方が「美しい」と思います。あなたが例えば、人様のノートをテスト前にコピーさせてもらった場合、要約もすばらしく、
論点も明確なノートなら、やはり、「美しい」と思うのではないでしょうか？
それと同じだと思います。
- 629 名前：>>615訂正 mailto:sage [2008/11/07(金) 19:53:16 ]
- 「まず、a1≧a2≧,,,≧a(k+1)①と仮定しても一般性を失わない。」の位置がおかいかったようです。
n=1の前に、
「まず、a1≧a2≧,,,≧an①と仮定しても一般性を失わない。」が正しいです。
- 630 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/07(金) 20:07:16 ]
- 反応がないのは>>437で既出だからだよ>>615くん
どこの山から出てきたんだ？
- 631 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/07(金) 20:09:40 ]
- 単発スレ立てる厨房よりはマシじゃね？
- 632 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/07(金) 23:55:05 ]
- >>630-631
少し黙ってろ！
- 633 名前：１３２人目の素数さん [2008/11/08(土) 03:26:54 ]
- a，b，cは自然数で
（1/a)＋（2/b)＋（3/c)＜1
を満たすとき
（1/a)＋（2/b)＋（3/c)の最大値を求めよ
f（a）＝∫［0→π/4］ ｜sinx－a cosx｜dx
の最小値を求めよ
x≧0において
f’（x）＞0，∫［0→x］ f（t）dt≧x
ならば，x＞0においてf（x）＞1を示せ
- 634 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/08(土) 03:32:44 ]
- >>633
f（a）＝∫［0→π/4］ ｜sinx－a cosx｜dx
の最小値を求めよ
不等式では、ない。これ去年、代ゼミに通ってた友人が持ってきたテキストにあったな。
- 635 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/08(土) 09:53:36 ]
- >>634
それは東工大の過去問だな。sinx=t と置換すれば ∫|f(t)-a|dt の形になるので，はみ出し削り論法で終わり。
- 636 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/08(土) 20:04:09 ]
- >>633 (上)
1-(1/1332),
(a,b,c) = (37,9,4) のとき.
>>633 (中)
f(a) = 1 - (1+a)/√2, (a≦0)
= -1 - (1+a)/√2 +2√(1+a^2), (0≦a≦1)
= -1 + (1+a)/√2, (a≧1)
- 637 名前：１３２人目の素数さん [2008/11/08(土) 22:43:41 ]
- >>636
それf(a)求めただけやん(笑)
- 638 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/08(土) 23:55:39 ]
- >>637
具体的に書けるから自明すぎてつまらないと言うメッセージなのかもしれない
- 639 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/09(日) 01:17:19 ]
- >>638
おまいはテレパスか！
- 640 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/09(日) 02:10:10 ]
- >>636
上教えてちょ
- 641 名前：636 mailto:sage [2008/11/09(日) 21:47:35 ]
- >>637
f '(a) = 0 から a = 1/√7, 最小値は
f(a) = -1 + (√7 -1)/√2 = 0.16372191220042316839103000405343･･･
- 642 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/09(日) 22:10:22 ]
- >>633 (下)
部分積分を使うらしい･･･
∫[0→x] f(t)dt = [ t･f(t) ](t=0→x) - ∫[0→x] t･f'(t)dt < [ t･f(t) ](t=0→x) = x･f(x).
- 643 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/09(日) 23:17:35 ]
- その部分積分は名古屋大かどっかの問題にあったな
解いたことがある。もう忘れてたけど。
- 644 名前：ヘルマンワイル先生生誕記念カキコ mailto:私もあやかりたい。里 [2008/11/09(日) 23:48:18 ]
- ≧≦
- 645 名前：446 [2008/11/10(月) 23:33:38 ]
- >>642
g'(x)≧0 かつ ∫[0→x] g(x)≧0 と同値だから lim[x→0] g(x)≧0 が自然に言えて解決．
- 646 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/11(火) 08:00:00 ]
- 1/37+2/9+3/4=1331/1332.
1/31+2/3+3/10=929/930.
1/5+2/41+3/4=819/820.
1/38+2/9+3/4=683/684.
1/15+2/11+3/4=659/660.
- 647 名前：１３２人目の素数さん [2008/11/13(木) 03:04:12 ]
- 不等式のノート作ってる方とかいます？
- 648 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/13(木) 06:56:52 ]
- >>647
名前を書かれると無性に不等式を証明したくなるとか？
- 649 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/13(木) 13:03:58 ]
- >>647
てふでまとめていますが何か？
- 650 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/14(金) 07:59:40 ]
- >>649
もううｐせざるを得ないだろう
- 651 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/14(金) 10:04:11 ]
- B5サイズで50枚以上になるからなぁ…、断るッ！
- 652 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/18(火) 23:21:51 ]
- 【(2nCn)/(n+1)】カタラン数【(2n)!/(n+1)!n!】より
64 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2008/01/03(木) 18:20:39
〔不等式064〕
C[2m,m] = (4^m)/√(mπ) * exp(-1/8m + O(1/m^3)) ～ (4^m)/√(mπ) *(1 - 1/(8m) + …),
(略証)
スターリングの不等式
(n +1/2)log(n) -n +(1/2)log(2π) +1/(12n) -1/(360n^3) < log(n!) < (n +1/2)log(n) -n +(1/2)log(2π) +1/(12n),
を
log(C[2m,m]) = log((2m)!) -2log(m!),
に代入する。
(2log(2))m -(1/2)log(mπ) -1/(8m) -1/(2880m^3) < log(C[2m,m]) < (2log(2))m -(1/2)log(mπ) -1/(8m) +1/(180m^3),
65 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2008/01/20(日) 20:24:33
大学への数学１月号の宿題を解いたつわものはいる？
lim[n→∞) {(1/2^(2n -1/2))*C[4n,2n]/C[2n,n]}^(2n)
science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1200494361/113
さくらスレ２３５
66 名前：スターリング[sage] 投稿日：2008/01/20(日) 20:34:06
>65
log(n!) = (n +1/2)log(n) -n +(1/2)log(2π) + 1/(12n) -1/(360n^3) +O(1/n^5),
log(C[2n,n]) = log((2n)!) - 2*log(n!)
= 2log(2)*n -(1/2)log(nπ) -1/(8n) +1/(192n^3) +O(1/n^5),
log(与式) = -(2n -1/2)log(2) +log(C[4n,2n]) -log(C[2n,n])
= {1/(16n) -O(1/n^3)}*(2n)
= (1/8) - O(1/n^2) → 1/8, (n→∞)
- 653 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/18(火) 23:56:52 ]
- 〔問題202〕
任意の正の整数mに対して不等式
|sin(a)| + |sin(2a)| + ････ + |sin(ma)| > (m/2) + (1/4) - 1/|4sin(a)|.
(略証)
|sin(ka)| ≧ {sin(ka)}^2 = {1 - cos(2ka)}/2 = (1/2) - 2cos(2ka)sin(a)/(4sin(a)) = (1/2) - {sin((2k+1)a)-sin((2k-1)a)}/(4sin(a)),
k=1,2,･･･,m について和をとる。
science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1220115988/202
- 654 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/19(水) 00:26:14 ]
- 任意の正の整数mに対して不等式
|sin(a)| + |sin(2a)| + ････ + |sin(ma)| < √{m[(m/2) + (1/4) + 1/|4sin(a)|]}.
が成り立つ。
(略証)
(左辺) ≦ √{mΣ[k=1,m] sin(ka)^2} = √{m[(m/2) - (sin((2m+1)a)-sin(a))/4sin(a) ]}
- 655 名前：１３２人目の素数さん [2008/11/19(水) 16:36:21 ]
- なんだこのスレｗｗｗｗ
おもすれーｗｗｗうぇｗｗｗｗ
- 656 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/19(水) 22:37:59 ]
- >>653-654
ワイルの一様分布定理から、
〔補題〕 a/π≠整数 ならば、
(左辺)/m → (1/π)∫[0,π] sin(x)dx = 2/π. (m→∞)
- 657 名前：656 mailto:sage [2008/11/20(木) 22:30:32 ]
- 訂正
〔補題〕 a/π ≠有理数 ならば、
- 658 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/24(月) 20:12:49 ]
- f(x)=x^2-2mx+m+6 とする。
(1) すべてのxの値に対してf(x)≧0となる
定数mの値の範囲は-2≦m≦3である。
(2) 0≦x≦8のすべてのxの値に対してf(x)>0となる
定数mの値の範囲は-6<m<3である。
これを証明してください。
- 659 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/24(月) 22:18:03 ]
- >>658
お前は勉強をやめた方がいい。
- 660 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/24(月) 23:23:19 ]
- >>658
荒ら砂！
質問は質問スレに池！
- 661 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/26(水) 01:34:42 ]
- science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1227275638/700
1/π<x<πの時、
sinx･sin(1/x)の最大値を求めよ
- 662 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/26(水) 21:32:47 ]
- うるさい。
- 663 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/26(水) 22:31:04 ]
- ｒ;;;;;ノヾ >>662
ﾋ‐=r=;' ∬ 口を慎みたまえ！
'ヽニ/ っ━~~ 君は不等式王の前にいるのだぞ！
＿と~,, ~,,,ﾉ_ ∀
ﾐ,,,,/~). │ ┷┳━
￣￣￣.じ'Ｊ￣￣| ┃
￣￣￣￣￣￣￣ ┻
- 664 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/27(木) 09:56:45 ]
- nCrｵﾀ向け
∑[k=0,n](k+2)*(k+1)*[2k+1]C[k]=？
- 665 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/27(木) 23:22:39 ]
- >>661
[751] 微分法を使う。
g(t) = log(sin(e^t)) とおくと
g '(t) = (e^t)/tan(e^t) は単調減少(*)
g "(t) = －(e^t){1 - sin(e^t)cos(e^t)}/{sin(t)}^2 < 0,
∴ f は上に凸。
log(与式) = f(log(x)) + f(-log(x)) ≦ 2f(0) = log{sin(1)^2}
(*) {x/tan(x)} ' = 1/tan(x) - x/{sin(x)^2} = {sin(x)cos(x)-x}/{sin(x)^2} <0,
より、x/tan(x) は単調減少。
[763] 無限乗積表示（オイラー積表示）を使う。
sin(x) = x･Π[n=1,∞) {1－(x/nπ)^2},
{1－(x/nπ)^2}{1－1/(nπx)^2} = {1－1/(nπ)^2}^2 －(1/nπ)^2 (x－1/x)^2 ≦ {1－1/(nπ)^2}^2,
等号成立は x=1 のとき,
∴ (与式) ≦ {sin(1)}^2.
- 666 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/27(木) 23:24:24 ]
- >>664
それ本当に求まるのか？
Mathematicaにやらせてみたら
-((2 + n)*(3 + n)*Gamma[5 + 2*n]*Hypergeometric2F1Regularized[1, 5/2 + n, 3 + n, 4] +
2*Gamma[7 + 2*n]*Hypergeometric2F1Regularized[2, 7/2 + n, 4 + n, 4] +
8*(7 + 2*n)*Gamma[6 + 2*n]*Hypergeometric2F1Regularized[3, 9/2 + n, 5 + n, 4])/(2*Gamma[3 + n])
になったぞ。
- 667 名前：665 mailto:sage [2008/11/27(木) 23:57:46 ]
- >>665 訂正
f(x) = log(sin(x)) なので、
log(与式) = f(x) + f(1/x) = g(log(x)) + g(-log(x)) ≦ 2g(0) = 2f(1) = log{sin(1)^2},
- 668 名前：１３２人目の素数さん [2008/11/28(金) 05:13:49 ]
- みなさんは不等式の必須手法みたいなのを何で学びましたか？
- 669 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/28(金) 23:42:33 ]
- >>668
おまえには教えてやらねーよ！
- 670 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/29(土) 00:20:54 ]
- 不等式を制する者は解析を制する。
- 671 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/29(土) 12:07:58 ]
- △ABC の辺 a、b、c に対して、次式を示せ
3abc ≧ (b+c-a)a^2 + (c+a-b)b^2 + (a+b-c)c^2
∧_∧
_ ( ﾟ∀ﾟ) たぶん、出したことないと思う…
|≡(つc□≡|
`Ｔ￣∪∪￣Ｔ
ﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞ
- 672 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/29(土) 18:50:59 ]
- >>664
(k+2)(k+1) = (2k+3)(2k+2)/3 - (k+1)k/3,
(k+2)(k+1)*Ｃ[2k+1,k] = (1/3)(2k+3)(2k+2)*Ｃ[2k+1,k] - (1/3)(2k+1)(2k)*Ｃ[2k-1,k-1]
= (1/3)(k+2)(k+1)*Ｃ[2k+3,k+1] - (1/3)(k+1)k*Ｃ[2k+1,k],
(与式) = (1/3)(2n+3)(2n+2)*Ｃ[2n+1,n] = (1/3)(n+2)(n+1)*Ｃ[2n+3,n+1].
>>671
三角不等式の束縛からのがれるため
b+c-a = a' >0, c+a-b = b' >0, a+b-c = c' >0,
とおく。条件は a', b', c' >0 だけになった。両辺に
a = (b'+c')/2, b = (c'+a')/2, c = (a'+b')/2,
を代入すれば、
(左辺) - (右辺) = (3/8)(st-u) - (1/4)(3u+st) = (1/8)(st-9u) ≧0,
いつものように s = a'+b'+c' = a+b+c, t = a'b' + b'c' + c'a', u = a'b'c' とおいた。
等号成立は a'=b'=c' すなわち a=b=c のとき。
ハｧハｧ
- 673 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/29(土) 19:19:09 ]
- >>671
移項したらSchur不等式････
(左辺) - (右辺) = a(a-b)(a-c) + b(b-c)(b-a) + c(c-a)(c-b) = F_1 ≧0,
三角条件なくても成立････
- 674 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/29(土) 20:11:59 ]
- さすが。
- 675 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/29(土) 21:13:11 ]
- 問題を作ったときには
(左辺)-(右辺)=(a-b)^2･(a+b-c)/2+(b-c)^2･(b+c-a)/2+(c-a)^2･(c+a-b)/2
から導いたと思われ
- 676 名前：671 mailto:sage [2008/11/29(土) 22:30:45 ]
- 毎度ながら、100歩前を行くレスに感心。
ありがとうございます。
- 677 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/12/01(月) 20:28:22 ]
- 1 ≤ a,b,c ≤ 2 のとき
(a+b+c)(1/a+1/b+1/c) ≥ 6(a/(b+c)+b/(c+a)+c/(a+b))
たのもー( ^ิิ,_ゝ^ิ)
- 678 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/12/01(月) 22:14:56 ]
- homogeneousなのに何で1<=a,b,c<=2が必要？
- 679 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/12/02(火) 16:40:46 ]
- 1≦a,b,c≦2がないと問題が成り立たないから
- 680 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/12/02(火) 20:31:05 ]
- 別にk≦a,b,c≦2kでも良いけど
いずれにせよ或る一定範囲内に三つとも入ってないといけなくて
a=b=1、c=1000とかそういうのはダメってことでしょ。
それぞれa/kとかで置き換えて要らないkを消去したのが問題文と。
- 681 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/12/03(水) 03:15:18 ]
- >>677 , 679
>>341 の [A.435] でつね。
>>394 いわく、
とりあえず、>>373-374 が解ければ [A.435] が解けることが分かった。
>>576 は微分法（未定乗数法）でそれを解こうとしたようだが････
- 682 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/12/03(水) 11:48:57 ]
- もっとすきっとした解法はないもんかねぇ
- 683 名前：１３２人目の素数さん [2008/12/03(水) 19:23:45 ]
- >>576 を高校ﾚﾍﾞﾙで解いたのが
>>583-585>>588-589
- 684 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/12/03(水) 23:40:27 ]
- >>588
r-q 平面のグラフが見たい････
- 685 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/12/07(日) 00:24:18 ]
- >>679
>>680
誤解してた、すまない。
- 686 名前：１３２人目の素数さん [2008/12/07(日) 04:23:34 ]
- 1)a,b,cが正の実数のとき
a/(b+c^2)+b/(c+a^2)+c/(a+b^2)≧9/(a+b+c+3)
を示せ
2)a,b,cが相異なる実数のとき
{(4a-3b)/(a-b)}^2+{(4b-3c)/(b-c)}^2+{(4c-3a)/(c-a)}^2≧25
を示せ
3)a,b,cが正の実数のとき
{(b+c-a)^2}/{(b+c)^2+a^2}+{(c+a-b)^2}/{(c+a)^2+b^2}+{(a+b-c)^2}{(a+b)^2+c^2}≧3/5
を示せ(日本数学五輪1997)
- 687 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/12/08(月) 01:45:32 ]
- つwww.math.ust.hk/excalibur/v13_n3.pdf
- 688 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/12/08(月) 03:44:10 ]
- >>686
(2)(3)は、ともに凸不等式に帰着できた
(1)に苦戦中
- 689 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/12/08(月) 03:46:55 ]
- >>686
(3)は公式解答は汚い解法だったんだがエレガントに解けるのかな
俺はｼｭﾜたんで失敗した
- 690 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/12/08(月) 04:58:11 ]
- >>686
(3)
Σはcycとして
a+b+c=1とおくと
与式
⇔Σ[(1-2a)^2/{(1-a)^2+a^2}]≧3/5
⇔Σ[1/(2a^2-2a+1)-9/5]≦0
⇔Σ[25/(2a^2-2a+1)-45-18(3a-1)]≦0 (∵Σ(3a-1)=3(a+b+c)-3=0)
⇔-Σ[(3a-1)^2*(6a+1)/{a^2+(1-a)^2}]≦0
a,b,c> 0よりこれは正しい。
- 691 名前：１３２人目の素数さん [2008/12/11(木) 13:39:30 ]
- 実数上の任意の確率変数 X と、0以上の実数値が値域の関数f,gに関して
E[ f(X)g(X) ] ≦ E[ f(X) ] E[ g(X) ] が成り立つための関数f,gの条件として
∀x,y f(x)≦f(y) → g(x)≧g(y) が十分条件であると予想しているのですが
証明の仕方がわかりません。お願いします。
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