- 1 名前：１３２人目の素数さん [2007/05/13(日) 05:00:00 ]
- ある人は蝶を集め、ある人は切手を収集し、ある人は不等式を集める…
＿＿＿ ----- 参考文献〔３〕 P.65 -----
|┃三 .／ ≧ ＼
|┃ |:::: ＼ .／ |
|┃ ≡|::::: (● (● | 不等式と聞ゐちゃぁ
＿＿__.|ミ＼＿ヽ::::... .ワ......ノ 黙っちゃゐられねゑ…
|┃=＿＿ ＼ ﾊｧﾊｧ
|┃ ≡ ） 人 ＼ ガラッ
過去スレ
・不等式スレッド （Part1） science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1072510082/
・不等式への招待 第２章 science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1105911616/
過去スレのミラー置き場：briefcase.yahoo.co.jp/bc/loveinequality/
まとめWiki wiki.livedoor.jp/loveinequality/
姉妹サイト（？）
Yahoo! 掲示板 「出題 不等式」 messages.yahoo.co.jp/bbs?.mm=GN&action=l&board=1835554&tid=bdpbja1jiteybc0a1k&sid=1835554&mid=10000
- 404 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/26(土) 23:38:37 ]
- >>403
すばらしい！
くれ！
- 405 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/26(土) 23:42:40 ]
- どこの大学にもあるんじゃね？
うちの大学にもあるが数学科が借りてるらしい
- 406 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/27(日) 18:03:41 ]
- うちの大学って言われても……
- 407 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/28(月) 03:43:15 ]
- 復刊希望ンヌ！
- 408 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/30(水) 23:03:59 ]
- 他スレから１題･･･
〔問題396〕実数 a,b,c が条件
(a-b)^3 + (b-c)^3 + (c-a)^3 = 60,
を満たすとき、
S = |a-b| + |b-c| + |c-a| の最大値と最小値を求めよ。
science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1212563635/396 ,442
- 409 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/30(水) 23:07:48 ]
- >>408
(略解)
b-a=x, c-b=y, a-c=z とおく。x+y+z =0,
∴ ≧0 のものと ≦0 のものがある。
題意より (a-b)^3 + (b-c)^3 + (c-a)^3 = 3(a-b)(b-c)(c-a) = -3xyz > 0,
{x,y,z} の2つは正、1つが負である。
x,y>0>z としてもよい。(x,y)-平面の第一象限で考える。
(a-b)^3 + (b-c)^3 + (c-a)^3 = -3xyz = 3xy(x+y),
(最小値)
軸を45ﾟ回して
S/(√8) = (x+y)/√2,
d = (x-y)/√2,
とおくと、
3xy(x+y) = (3/√2){(1/8)S^2 - d^2}S,
題意より、
0 ≦ d^2 = (1/8)S^2 - 80/S = F(S), （F は単調増加函数）
S ≧ 4･10^(1/3),
等号成立は x = y = -z/2 = 10^(1/3), またはその rotation のとき。
(最大値) なし
x→∞ のとき、0 < y < 20/x^2 →0, S=2(x+y) →∞.
- 410 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/02(土) 12:58:58 ]
- π^4+π^5<e^6を示せ
- 411 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/02(土) 13:39:34 ]
- グーグルで計算したら殆ど同じだった。
でも少しだけe^6が大きかった。
これはただの偶然か？
- 412 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/02(土) 14:24:28 ]
- これだけ近い値だと近似して示すのは無理ぽいな
なんかうまい方法があるのかな
- 413 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/02(土) 23:05:28 ]
- π^4 + π^5 ≒ e^6 は有名な近似式でつ ( ﾟ∀ﾟ) ﾃﾍｯ
- 414 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/03(日) 02:29:53 ]
- スゲーΣ(0д０`ノ)ノ
誰がこんな近似思いついたんだ！
- 415 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/03(日) 02:49:01 ]
- 持ってる本で一つ、>>410関連のことをごく短く書いてあるのがあったな
「数のエッセイ」（一松信、ちくま学芸文庫）
のP.236（ただし、俺の持ってるのは第二刷発行のものなので、それ以外はわからん）で、
文庫本編のエッセイに対する補足説明の部分の一文なのだが、
――――もっとおもしろいのは
π^4 + π^5 ＝ 403.4267758… ≒ e^6 ＝ 403.4267934…
であろう。
最後の式（↑の式のこと）はカナダでT^3（電卓研究会）が開かれたとき（2003年）、
現地の年配の女性教員から教えられた。
と書いてあった
他にも何かの本で見たような気がするが、ちょっと思い出せないな
- 416 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/03(日) 04:36:00 ]
- 別にすごくないでしょ。
eやπでの近似を考えて掛けたり割ったりしていれば
e^6をπで割っていってe^6/π^4を見れば気づく。
- 417 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/03(日) 05:33:41 ]
- >>416
じゃあ、eとπだけを使って
π^4+π^5≒e^6
みたいに小さい数で見た目のキレイな誤差0.0001以下の近似を作ってみな
どうせ作れないから
- 418 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/03(日) 06:39:02 ]
- >>417
20 + π - e^π ≒ 0.0009000208 1052423273 3557015330 9555･･･
e^6 - π^5 - π^4 ≒ 0.0000176734 5123210920 5537811247 561872･･･
- 419 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/03(日) 12:07:27 ]
- >>418
「e π 整数」
とかで検索すると上の式の載ってるHPがいくつか出てくる。
それと、下の式をそんな自信満々に貼られても……移項しただけじゃん。
そろそろ不等式に戻ろうか。
- 420 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/04(月) 00:32:46 ]
- 近似式がすごいのか、思いつくのがすごいのか、どっちだ？
- 421 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/04(月) 00:39:08 ]
- よく見つけるなーとは思う
- 422 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/04(月) 00:53:21 ]
- 係数と定数を無視すれば、e1項とπ2項では50乗くらいまでの中で一番良い近似っぽいね
これにて終了
- 423 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/04(月) 01:34:21 ]
- 結局
π^4+π^5<e^6
を示すのは電卓使わないと無理でＯＫ？
- 424 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/04(月) 07:08:35 ]
- >>423
ゼータ関数ζ(3)を求める事くらい難しいと思うからＯＫ
- 425 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/04(月) 07:26:18 ]
- >>423
その不等式を数値計算しないで示せというのが数検であったからＯＫじゃない
- 426 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/04(月) 19:46:28 ]
- >>425 kwsk
- 427 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/05(火) 19:33:24 ]
- ３段の問題だな
- 428 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/06(水) 00:32:34 ]
- >>427
もっとくわしく！ (；´ρ｀) ﾊｧﾊｧ
- 429 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/06(水) 07:51:39 ]
- >>415
情報グッジョブ！
- 430 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/06(水) 10:09:16 ]
- www.suken.net/img/2008-07dani.pdf
これか
- 431 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/06(水) 16:29:09 ]
- >回答締切 平成２０年９月１２日（当日消印有効）
ここに解答書いたらまずいってことか。
ここにいる猛者なら誰かは出来たであろう
- 432 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/06(水) 19:03:52 ]
- x>1に対しd/dx (1 - √(ln(x)/x))^(√(xln(x))<0を示せ.
- 433 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/06(水) 20:48:07 ]
- (√2)+(√3)-π＞0
であることをなるべく数値計算をせずに示せ
一応、答は用意してある
- 434 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/09(土) 08:07:33 ]
- 東大スレに不等式がらみのが沢山あるね
- 435 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/09(土) 18:35:34 ]
- 分かスレにもある･･･
〔問題823〕
曲面Q： (x/a)^r + (y/b)^r + (z/c)^r = 1 (a,b,c,r>0)と
平面P： ax + by + cy = 0 がある。
平面Pに平行で曲面Qに接する平面P'の式と接点の座標を a,b,c,r で表わせ。
science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1217024032/823 874
- 436 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/09(土) 23:11:58 ]
- 面白スレに三角比の(；´ρ｀) ﾊｧﾊｧ問題があるね
- 437 名前：１３２人目の素数さん mailto:age [2008/08/18(月) 16:38:21 ]
- 相加相乗平均に新証明法 高校教諭、運転中にひらめく
www.asahi.com/science/update/0816/OSK200808160004.html
高校の数学で習う定理の新しい証明法を県立倉敷古城池高校教諭の内田康晴さん（４９）が見つけ、オーストラリアの数学専門誌に論文が掲載された。
「高校の教育現場から論文投稿はもっと増えていい。励みになるだろう」と数学者からも喝采の声が上がっている。
証明したのは「相加相乗平均の定理」。高校１年で習うことが多い。
内田さんは、ある定理の証明で描いていた図形が、相加相乗平均の定理の証明に使えることに気づいた。さらに簡単な証明法がないかと連日、考えていたところ、
出勤途中の運転中にひらめいた。高校入学後すぐに扱う簡単な公式を使うだけの方法だった。
- 438 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/18(月) 16:40:34 ]
- ＞「この証明方法に気づいた人はこれまでにもいたはず。
＞簡単すぎるので発表済みと思ったのかもしれない」と謙遜（けんそん）する
分かってる先生だな。
>>437の証明法ってどういう証明かご存知の方いらっしゃいますか？
- 439 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/18(月) 16:42:33 ]
- www.emis.de/journals/JIPAM/images/080_08_JIPAM/080_08.pdf
これじゃないでしょうか
- 440 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/18(月) 17:11:56 ]
- 萌え死にそうでつ
(*ﾟ∀ﾟ)=3 ﾊｧﾊｧ…
- 441 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/18(月) 17:20:19 ]
- ありがとう。
- 442 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/18(月) 17:32:14 ]
- www.nhk.or.jp/special/onair/070128.html
video.google.com/videoplay?docid=-8960593568071128585
www.nhk.or.jp/special/onair/080727.html
www.nhk.or.jp/special/onair/070903.html
- 443 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/18(月) 22:13:17 ]
- >>439
あんまり簡単だとは思えないな。
- 444 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/18(月) 22:22:40 ]
- まぁあれだ！
不等式があれば、あと10年は戦える！
- 445 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/18(月) 22:28:24 ]
- 実数a,b,cに対してf(x)=ax^2+bx+cとする．このとき
∫[-1,1](1-x^2){f'(x)}^2dx≦6∫[-1,1]{f(x)}^2dx
であることを示せ． (08京大文系)
- 446 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/18(月) 23:27:08 ]
- >>445
x∈[-1,1] のとき 1-x^2 < 6 だから自明？
- 447 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/18(月) 23:33:48 ]
- ∫[-1,1](1-x^2){f’(x)}^2dx≦6∫[-1,1]{f(x)}^2dx
- 448 名前：446 [2008/08/18(月) 23:41:22 ]
- >>447
thanks
' が見えなかった
- 449 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/19(火) 01:04:57 ]
- >>439
昔すう折りの本で見た子とあるぞ
- 450 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/19(火) 08:32:28 ]
- >>437
相加相乗平均に新証明法 県立高校教諭、運転中にひらめく
namidame.2ch.net/test/read.cgi/news/1219015315/
- 451 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/21(木) 00:38:27 ]
- >>433
用意しといた解答書いておく
sin(π/12) ＞ (π/12) - (1/6)(π/12)^3
tan(π/12) ＞ (π/12) + (1/3)(π/12)^3
より
8sin(π/12) + 4tan(π/12) ＞ π …(*)
一方
sin(π/12) = (√6 - √2)/4
tan(π/12) = 2 - √3
より
√2 + √3 - (8sin(π/12) + 4tan(π/12))
= √2 + √3 - (2√6 - 2√2 + 8 - 4√3)
= (√2-1)^2 (2-√3)^2 (√3-√2)
これは明らかに正なので
√2 + √3 ＞ 8sin(π/12) + 4tan(π/12) …(**)
(*)(**) より
√2 + √3 ＞ π
- 452 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/21(木) 00:43:24 ]
- >>451
神過ぎる！
- 453 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/21(木) 01:53:34 ]
- >>452
thx
今、こんなの見つけた
ttp://www2.ocn.ne.jp/~mizuryu/toukou2/toukou56.html
簡単な証明あったら、カッコ悪いと思ったけど、大丈夫だった
- 454 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/21(木) 03:13:45 ]
- >>451
sin(π/12) ＞ (π/12) - (1/6)(π/12)^3
tan(π/12) ＞ (π/12) + (1/3)(π/12)^3
これはどこから沸いてきた。
- 455 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/21(木) 04:03:37 ]
- 3 次のTaylor展開を用いた不等式でしょ。
- 456 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/21(木) 18:36:37 ]
- ｋ∈N、ｔ≠0 のとき、
｜(d^k/dt^k) exp｛-1/(t^2)｝｜≦ ｛(2^k・k! / (｜ｔ｜^k)｝ exp｛-4/(81t^2)｝
を示せ。
- 457 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/21(木) 22:17:40 ]
- >>445
f(x) = ax^2 +bx +c,
f '(x) = 2ax +b,
を与式の両辺に代入する。
奇数次の項は積分すれば0である（計算するには及ばない）。
(左辺) = ∫[-1,1](1-x^2){(2ax)^2 + b^2}dx = (16/15)a^2 + (4/3)b^2,
(右辺) = 6∫[-1,1]{(a^2)x^4 +(2ac+b^2)x^2 +c^2}dx = (12/5)a^2 + 4(2ac+b^2) + 12c^2
= (16/15)a^2 + 4b^2 + (4/3)(a+3c)^2
≧ (16/15)a^2 + 4b^2,
- 458 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/21(木) 22:39:41 ]
- 0<θ<π/4のとき不等式
(cosθ)^(cosθ)＞(sinθ)^(sinθ)
を示せ。
- 459 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/21(木) 23:30:30 ]
- >>458
この範囲において
cosθ＞sinθ
よって不等式は明らか
- 460 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/22(金) 01:40:53 ]
- x1,x2,x3,a1,a2,a3は実数。
x1≧0,x2≧0,x3≧0、
a1+a2≧0,a2+a3≧0,a1+a3≧0とする。
x1+x2+x3=1のとき、
a1x1+a2x2+a3x3≧a1(x1)^2+a2(x2)^2+a3(x3)^2を示せ。
(2)正の実数x,yに対し
√x＋√y≦k√(2x+y)が成り立つような実数kの最小値を点と直線の距離公式を用いて求めよ。
- 461 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/22(金) 07:16:47 ]
- >>460
学校の宿題は自分で考えましょうね
- 462 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/22(金) 07:30:01 ]
- >>459
ｘ＾ｘは単調増加ではない。
- 463 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/22(金) 11:48:30 ]
- >>462
ですよね
- 464 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/22(金) 17:44:47 ]
- cosxと(sinx)^tanxのグラフを書いて・・・
力技過ぎるか
- 465 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/22(金) 18:17:06 ]
- 対数とって考えてみるか・・・
- 466 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/22(金) 21:43:06 ]
- f(θ) =log (cosθ)^(cosθ) -log (sinθ)^(sinθ)
を微分したら単調性は自明。
多分 0 < θ < π/4 の条件はもっと弱くできると思う。
- 467 名前：466 mailto:sage [2008/08/22(金) 21:45:36 ]
- 最後の1行は勘違い。
- 468 名前：466 mailto:sage [2008/08/22(金) 21:49:54 ]
- 全部勘違いだ〜
- 469 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/23(土) 00:41:31 ]
- >>460(1)解説よろ
- 470 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/23(土) 07:00:51 ]
- >>458
0≦t≦1 とする。
f(t) = (1/2)log(1+t^2) + log(1/√2)･t,
とおくと
f(0) = f(1) = 0,
f "(t) = (1-t^2)/(1+t^2)^2 ≧0,
f(t) ≦ 0 (0≦t≦1)
t=tanθ とおいて
log(cosθ) ≧ tanθ･log(1/√2),
cos(x) >0 を掛けて
cosθ･log(cosθ) ≧ sinθ･log(1/√2) ≧ sinθ･log(sinθ), (0<θ≦π/4)
- 471 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/23(土) 07:36:55 ]
- >>460(1) ,>>469
(左辺) - (右辺) = a1･x1(1-x1) + a2･x2(1-x2) + a3･x3(1-x3)
= a1･x1(x2+x3) + a2･x2(x3+x1) + a3･x3(x1+x2)
= (a1+a2)x1･x2 + (a2+a3)x2･x3 +(a3+a1)x3･x1 ≧0,
>>460(2)
2x=u^2, y=v^2 とおく。
(k^2)(u^2 + v^2) - (u/√2 + v)^2 = (k^2 -1/2)u^2 -(√2)uv + (k^2 -1)v^2,
が常に≧0である条件は相異なる2実根をもたないこと。
判別式 D' ≦0,
D' = 1/2 - (k^2 -1/2)(k^2-1) = (k^2)(3/2 - k^2),
k ≧ √(3/2),
- 472 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/23(土) 09:16:09 ]
- >>470
見事な攻撃だ、たけちゃんまん。
ｆ（ｔ）≧ｇ（ｔ） を示すより、ｆ（ｔ）≧ｈ（ｔ） かつ ｈ（ｔ）≧ｇ（ｔ） を示す方が簡単な ｈ（ｔ） を作ってくる眼力には脱毛だぁ
- 473 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/23(土) 21:54:54 ]
- >>454
f(x) = sin(x) - x + (1/6)x^3,
とおくと
f '"(x) = -cos(x) +1 ≧ 0,
これと f "(0) =0 から,
x･f "(x) = x{-sin(x) +x} > 0,
これと f '(0) =0 から,
f '(x) = cos(x) -1 +(1/2)x^2 > 0,
これと f(0) =0 から,
x･f(x) > 0,
{tan(x) - x} ' = 1/cos(x)^2 -1 = tan(x)^2 > 0,
と tan(0) -0 =0 から
x･{tan(x)-x} > 0, (|x|<π/2)
g(x) = tan(x) -x -(1/3)x^3
とおくと
g '(x) = 1/cos(x)^2 -1 -x^2 = tan(x)^2 - x^2 >0 (|x|<π/2)
これと g(0) =0 から
x･g(x) >0,
- 474 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/23(土) 23:55:48 ]
- >>473
マクローリンの ３次＋剰余項 で自明でないの。
- 475 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/24(日) 00:10:03 ]
- >>474
ええじゃん。
- 476 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/24(日) 00:14:25 ]
- 誰か>>456をお願いします
- 477 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/24(日) 03:29:33 ]
- 通約可能って意味を教えてくんなませ
はーでぃの本でいきなりつまったwww
- 478 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/25(月) 01:52:02 ]
- >>477
ネタ？
何ページ？
- 479 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/26(火) 22:46:19 ]
- >>456って右辺は ｛(2^k・k! / (｜ｔ｜^k)｝ exp｛-4/(9t^2)｝ にならないかな？
勿論 exp｛-4/(9t^2)｝ ≦ exp｛-4/(81t^2)｝ なんだけど。
おらの勘違い？
- 480 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/26(火) 23:05:21 ]
- >>477
通約可能ってのは例えば 4/6 が = 2/3 と直せたり
(x^2 - 1)/(x^2 + 2x - 3) が
= [(x + 1)(x - 1)]/[(x - 1)(x + 3)] = (x + 1)/(x + 3) と直せたりするように
分母分子に共通の因子があることだけど。
そういう意味で言ってるの？
もしかして不等式の専門書では通約可能という言葉を
難しい意味で使うのかな、とも思ってレス控えてたけど。
Hardyの本って「不等式」のこと？もしかして「数論入門」のほう？
- 481 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/27(水) 07:48:32 ]
- ★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第十五問
science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1212563635/937-945 より。
937 ：１３２人目の素数さん：2008/08/26(火) 19:55:34
a,b,cをabc=1を満たす正の実数とする。次の不等式を示せ。
(a-1+1/b)(b-1+1/c)(c-1+1/a)≦1
945 ：１３２人目の素数さん：2008/08/26(火) 22:40:11
abc=1 とあるから当然、 a=y/z, b=z/x, c=x/y と置くんだろうな。
（左辺) = {(y-z+x)/z}{(z-x+y)/x}{(x-y+z)/y}
題意より、-x+y+z, x-y+z, x+y-z のいづれか2つの和は正だから、
正でないのは高々１つだけ。
・1つが正でない場合、明らかに成り立つ。
・3つとも正の場合、 相乗・相加平均より
√{(x-y+z)(y-z+x)} = √{x^2 - (y-z)^2} ≦ x,
√{(y-z+x)(z-x+y)} = √{y^2 - (z-x)^2} ≦ y,
√{(z-x+y)(x-y+z)} = √{z^2 - (x-y)^2} ≦ z,
辺々掛けて
(x-y+z)(y-z+x)(z-x+y) ≦ xyz,
- 482 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/30(土) 00:54:44 ]
- >>478, 480さん
レスありがとうございます。
「不等式」のほうです
例えば、p15に「通約可能なウエイト付き平均」と「通約可能でないウエイト付き平均」の
話が出てきます
「また、通約可能でないウエイト付き平均は、通常の平均の中のある種の極限とみなす」
などと書いてあります。
それと、話は違うのですが、これは益田塾のなかの問題ですが、
abc=1(a,b,cは正)で、abcについての対称式である不等式を
a=x/y, b=y/z, c=z/xとおいて一般性を失わず、として書き換えて解く論法っていうのは
一般的な方法なんですか?
- 483 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/30(土) 00:56:27 ]
- うわwww 偶然だげと481とかぶった。481で引用されているのが益田塾サイトにある
問題とその解答ですね。
- 484 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/30(土) 01:12:12 ]
- ちょっと長めに引用しておきます
「通常の平均はすでに述べたようにウエイト付き平均の特別な場合である。
一方、通約可能なウエイトつき平均は, 通常の平均に帰着することができる。
実際、同次性によりウエイトはすべて整数であるとしてよく、さらに(ry」
これ読むと、ウエイトが有理数って意味なんかなと(深く考えずに)思っていたんですが
ググってもよくわからずで。
- 485 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/09/06(土) 06:57:59 ]
- >>456,476
f(t) = exp{-1/(t^2)} とおく。
f^(k)(t) = {(2/t^3)^k - 3･2^(k-2)･k(k-1)/t^(3k-2) + ･････ + (-1)^k (k-1)(k+6)(k+1)!/[12t^(k+4))] + (-1)^(k-1) (k+1)!/t^(k+2)} exp{-1/(t^2)}
= {(2/t^2)^k - (3/2)k(k-1) (2/t^2)^(k-1) + ･･････ + (-1)^k (k-1)(k+6)(k+1)!/(12t^4) + (-1)^(k-1) (k+1)!/t^2} (1/t^k) exp{-1/(t^2)}
= P_k(1/t^2) (1/t^k) exp{-1/(t^2)},
ここに P_k はk次の多項式で
P_k(x) = (2x)^k -(3/2)k(k-1) (2x)^(k-1) + ････････ + (-1)^k [(k-1)(k+6)(k+1)!/12] x^2 + (-1)^(k-1) (k+1)! x,
ところで、
f^(k)(t) (t^k) exp{a/(t^2)} = P_k(1/t^2) exp{-(1-a)/(t^2)} = P_k(x) exp{-(1-a)x}, (a=4/81 or 4/9)
これの絶対値が (2^k)(k!) 以下であることを示す。
〔補題〕 a<1, j>0 ならば
(x^j)exp{-(1-a)x} ≦ {j/[(1-a)e]}^j, 等号成立は x=j/(1-a) のとき。
- 486 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/09/06(土) 15:45:53 ]
- >>485
流石不等式スレ、恐れ入ります。
実は元ネタがあって、コーシーの積分公式より
(d^k/dt^k) exp｛-1/(t^2)｝＝（k!/2πi）∫[exp｛-1/(z^2)｝/(z-ｔ)^(ｋ+1)] dz
- 487 名前：１３２人目の素数さん [2008/09/06(土) 18:52:13 ]
- 1＜cosA＋cosB＋cosC≦3/2
を示す巧い方法ありますかね？
- 488 名前：１３２人目の素数さん [2008/09/06(土) 18:56:09 ]
- >>487
成り立たないだろ
- 489 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/09/06(土) 20:16:27 ]
- 記号から考えて、A≧0，B≧0，C≧0，A＋B＋C＝πが仮定されているのではなかろうか。
凸不等式とか使えばなんとかなるんじゃね。
- 490 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/09/06(土) 20:47:20 ]
- (0,π)でcos xは凸関数でも凹関数でもないからなあ。
とりあえず、A≧B≧Cを仮定して、
f(B,C)=cosB+cosC-cos(B+C)を、0＜C≦π/3、C≦B≦(π-C)/2の範囲で
偏微分でゴリゴリやれば、示せるが。
- 491 名前：１３２人目の素数さん [2008/09/06(土) 21:03:58 ]
- それはウマい方法じゃないだろｗ
- 492 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/09/07(日) 01:12:43 ]
- A+B+C=π π＞A≧B≧C＞0 として
cos(A)+cos(B)+cos(C)-1
=cos(A)+cos(B)-cos(B+C)-1
=2*cos(（A+B)/2)*cos((A-B)/2)-2*cos^2((A+B)/2)
=2*cos((A+B)/2)*{cos((A-B)/2)-cos((A+B)/2)}
=2*sin((A+B)/2)*{(-2)*sin(A/2)*sin(-B/2)}
=4*sin(A/2)*sin(B/2)*sin(C/2)>0
log(cos(A)+cos(B)+cos(C)-1)
=log(4)+log(sin(A/2))+log(sin(B/2))+log(sin(C/2))
≦log(4)+3*log( sin( (A/2+B/2+C/2)/3 ) ) (∵log(sin(x)) は0<x<π/2で上に凸)
=log(4)+3*log(sin(π/6))=log(1/2)
log(x)の単調増加性から cos(A)+cos(B)+cos(C)-1≦1/2
以上から 1<cos(A)+cos(B)+cos(C)≦3/2
- 493 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/09/07(日) 01:15:39 ]
- >>487
cosA+cosB+cosC=4sin(A/2)sin(B/2)sin(C/2)+1 が成り立つ[*]ので，
示すべき不等式は 0<sin(A/2)sin(B/2)sin(C/2) ≦ 1/8 と同値。
sin(A/2)>0などより，左側の不等号は明らか。
右側は，まずは相加相乗平均により
sin(A/2)sin(B/2)sin(C/2) ≦ ( { sin(A/2)+sin(B/2)+sin(C/2) }/3 )^3
さらに，凸不等式より
{ sin(A/2)+sin(B/2)+sin(C/2) }/3 ≦ sin((A+B+C)/6) = 1/2
なので，sin(A/2)sin(B/2)sin(C/2) ≦ (1/2)^3 = 1/8 となり示せた。
[*]の証明は，C=π-(A+B)を左辺に代入して和積，倍角公式で変形するだけ。
- 494 名前：１３２人目の素数さん [2008/09/07(日) 13:37:35 ]
- 半径１の円の周上に３点Ａ，Ｂ，Ｃをとる
↑ＡＢ・↑ＡＣの最大値，最小値を求めよ
- 495 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/09/07(日) 13:46:11 ]
- >>487
三角形ABCの内接円の半径をr、外接円の半径をとすればR
cosA+cosB+cosC=1+r/R
で、R≧2rはすぐ示せるから与不等式も示される
- 496 名前：１３２人目の素数さん [2008/09/08(月) 01:06:12 ]
- >>494
それ、ハイ理にあったような
- 497 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/09/08(月) 01:15:31 ]
- >>496
ハイ理とは何ぞや？
>>495
cosA+cosB+cosC=1+r/R はどうやってだすの？
- 498 名前：１３２人目の素数さん [2008/09/08(月) 02:04:14 ]
- >>497
ハイレベル理系数学という大学受験参考書の一つでつ
ところで、R≧2rを一番簡単に示す方法はなんでしょ?
- 499 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/09/08(月) 02:31:50 ]
- >>498
( ﾟ∀ﾟ)ﾃﾍｯ、呼んだ？
私のコレクションには４通りの解法が汚い字でメモってあるけど、
久しぶりなので、自分の走り書きが理解できない秘密 ('A;;;,,...
----------------------------------------------------------
(1) ヘロンの公式に …（←走り書きなので読み取れない）を用いた後、
S = abc/(4R) を用いる
(2) 示すべき不等式を基本対称式を用いて表してから頑張る！
R = u/(4S)、r = 2S/s、16S^2 = s(-s^3+4st-8u)
(3) チャップル・オイラーの定理を用いる
(4) 示すべき不等式を sinA、sinB、sinC で表してから頑張る！
----------------------------------------------------------
私は初代不等式スレで自作自演していた一人です。
主に収拾＆出題担当でしたが…
その頃には、書き込んだ不等式を片っ端から証明する不等式神がいますた
それらの証明は、その神に託します
不等式にﾊｧﾊｧしたいのに、雑事が多すぎて時間が取れない我が糞人生… ('A;;;,,...
- 500 名前：１３２人目の素数さん [2008/09/08(月) 03:12:31 ]
- >>495の式が一番明瞭の気がするけど、r/R示すのにまたワンステップ踏まないといけないのか
>>499
なんか各辺の中点を通る円でのキカ的な証明があった気がする
- 501 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/09/08(月) 07:55:04 ]
- >>498
外心をO、内心をIとするとに
OI=√(R^2-2Rr)
となることを幾何学的に示す
- 502 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/09/08(月) 18:39:01 ]
- >>501
それ、チャップル・オイラー
- 503 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/09/10(水) 02:33:32 ]
- ヴィルティンガーの不等式
- 504 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/09/10(水) 02:38:27 ]
- 有名どころでヘルダーの不等式。
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