- 78 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/04/01(日) 17:23:44 ]
- 命題
数列 {k_n}, n = 0, 1, . . . が与えられ、
各 k_i が有理整数で i ≧ 1 のとき k_i ≧ 1 とする。
α = [k_0, k_1, . . .] とおく。
任意の n ≧ 1 に対して
α = [b_0, . . . , b_(n-1), β] を α の部分連分数展開とする。
つまり、各 b_i が有理整数で i ≧ 1 のとき b_i ≧ 1 で
β ＞ 1 である。
このとき、0 ≦ i ＜ n のとき k_i = b_i であり、
β = [k_n, k_(n+1), . . . ] である。
証明
α_n = [k_n, k_(n+1), . . . ] とおく。
>>77 より
α = [k_0, . . . , k_(n-1), α_n] である。
α_n ＞ k_n だから α_n ＞ 1 である。
よって >>76 から 0 ≦ i ＜ n のとき k_i = b_i であり、
α_n = β である。
証明終
