- 76 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/04/01(日) 17:02:50 ]
- 命題
[a_0, . . . , a_(n-1), α_n] = [b_0, . . . , b_(n-1), β_n]
とする。
ここで各 a_i と b_i は有理整数で
i ≧ 1 のとき a_i ≧ 1, b_i ≧ 1
α_n ＞ 1
β_n ＞ 1
とする。
このとき、各 i ≧ 0 で a_i = b_i
α_n = β_n
である。
証明
α = [a_0, . . . , a_(n-1), α_n] とおく。
α = a_0 + 1/[a_1, . . . , a_(n-1), α_n]
で [a_1, . . . , a_(n-1), α_n] ＞ 1 である。
よって a_0 ＜ α ＜ a_0 + 1
同様に b_0 ＜ α ＜ b_0 + 1
よって a= 0 = b_0 である。
よって
[a_1, . . . , a_(n-1), α_n] = [b_1, . . . , b_(n-1), β_n]
これを続けて(正確には帰納法を使って)、
各 i ≧ 0 で a_i = b_i となる。
よって α_n = β_n となる。
証明終
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