- 100 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/04/07(土) 14:37:53 ]
- 命題
同じ判別式 D を持つ簡略された２次無理数の個数は有限である。
証明
α を判別式 D の簡約された２次無理数とする。
α は ax^2 + bx + c の根とする。
ここで a, b, c は有理整数で a ＞ 0, gcd(a, b, c) = 1
D = b^2 - 4ac である。
β を α の共役とする。
α は簡約された２次無理数だから >>95 より
α ＞ 1, -1 ＜ β ＜ 0 である。
よって α + β ＞ 0
αβ ＜ 0 である。
ax^2 + bx + c = a(x - α)(x - β) だから
b = -a(α + β)
c = aαβ
である。
よって b ＜ 0, c ＜ 0 となる。
よって D = b^2 + 4|ac|
よって b^2 ＜ D だから b の取りうる値は有限個である。
4|ac| = D - b^2 だから a, c の取りうる値も有限個である。
証明終
