- 1 名前：１３２人目の素数さん [2006/12/24(日) 05:00:00 ]
- 理系で数学が得意な高校生が２５～５０分で
解ける問題を考えてうぷするスレ。
これ以上の難易度の問題はスレ違いとなります。
関連スレへどうぞ
過去ログ
★東大入試作問者になったつもりのスレ★
science.2ch.net/test/read.cgi/math/1000592003/
★東大京大入試作問者になったつもりのスレ★
science.2ch.net/test/read.cgi/math/1046165076/
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第三問
science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1069171672/
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第4問
science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1099493043/
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第五問
science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1116752400/
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第六問
science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1134000000/
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第七問
science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1148569109/
- 552 名前：549 mailto:sage [2007/04/08(日) 02:38:04 ]
- >545
C*** (549の補足)
x = (1/2)sinhθ とおくと dx = (1/2)coshθ･dθ
z = 1 - (1/2)coshθ
∫z dx = ∫{(1/2)-(1/4)coshθ}coshθ･dθ
= ∫{ (1/2)coshθ -(1/8)cosh(2θ) -(1/8) } dθ
= (1/2)sinhθ -(1/16)sinh(2θ) -(1/8)θ +c
= (1/2)sinhθ -(1/8)sinhθcoshθ -(1/8)θ +c
= x -(x/2)√(x^2 + 1/4) -(1/8)ln(2x+√(4x^2 +1)) +c.
- 553 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/04/08(日) 03:09:55 ]
- >550
nを1つ固定し、部分和を
Σ[k=1,n] a(k) = A(n),
Σ[k=1,n] b(k) = B(n),
Σ[i=1,n] c(i) = C(n),
Σ[i=1,n] d(i) = D(n),
とおく。
与式の右辺の2つの行列式は、2行目以外は一致する。
そこで、行列式が2行目について線形であることを用いて、2行目どうしを加えると
| a(k), b(k) |
| C(n), D(n) |
となり、1行目以外は定数になる。
そこで、行列式が1行目について線形であることを用いて、1行目の Σ[k=1,n] をとると
| A(n), B(n) |
| C(n), D(n) |
となる。
最後に n→∞ の極限をとる。
- 554 名前：553 mailto:sage [2007/04/08(日) 03:24:09 ]
- >550 (続き)
n→∞ の極限は、題意により
| 1, 2 |
| 3, 4 |
に収束する。
- 555 名前：550 mailto:sage [2007/04/08(日) 16:24:54 ]
- 二次の正方行列A1,A2,A3が
|A1+A2|=α,|A2+A3|=β,|A3+A1|=γ
を満たすとする。
このとき、
|A1|+|A2|+|A3|+|A1+A2+A3|
の値を求めよ。
550をちょっと変えて（１）に、これを（２）にするといいかも。
- 556 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/04/09(月) 14:13:16 ]
- a[0]=0,a[n]=sqrt((1+a[n-1])/2)で数列{a[n]}を定義するとき、
lim[n→∞](a[1]a[2]…a[n])を求めよ。
- 557 名前：１３２人目の素数さん mailto:age [2007/04/09(月) 17:47:08 ]
- どっちもわかんね
- 558 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/04/09(月) 18:10:17 ]
- なんかすごいできる人がいるお
【頂上】ちんちんvsいうおいじょ【決戦】
school7.2ch.net/test/read.cgi/jsaloon/1175709295/
- 559 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/04/09(月) 22:53:40 ]
- >556
|a[0]| ≦1 のとき
a[k] = cos(θ/(2^k)) = sin(θ/(2^(k-1)))/2sin(θ/(2^k)),
θ = ±arccos(a[0]),
a[1]a[2]…a[n] = sinθ/{(2^n)sin(θ/(2^n))} → (sinθ)/θ.
|a[0]|≧1 のとき
a[k] = cosh(t/(2^k)) = sinh(t/(2^(k-1)))/2sinh(t/(2^k)),
t = ±log(a[0]+√{a[0]^2 -1}).
a[1]a[2]…a[n] = sinh(t)/{(2^n)sinh(t/(2^n))} → sinh(t)/t.
- 560 名前：１３２人目の素数さん mailto:age [2007/04/10(火) 20:32:50 ]
- だれか>>559の解説よろ
- 561 名前：559 mailto:sage [2007/04/10(火) 20:50:45 ]
- >556
a[0] を[-1,∞) の範囲で変えてみますた。
どの場合も単調に1に近づきますた。
下の方は a[0] ≧1 のとき、ぢゃないとやばいっすね。
- 562 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/04/10(火) 21:43:34 ]
- 俺も>>559の言ってることがわからんｗｗ
適当にやったら2/piになった
- 563 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/04/10(火) 22:33:27 ]
- >>562
正解
- 564 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/04/10(火) 22:42:26 ]
- つまり、>>559 は毒電波ということだ！
- 565 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/04/10(火) 22:51:19 ]
- >>562
解答plz
- 566 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/04/10(火) 23:00:01 ]
- >>565
ここのサイトの下のほうに「いうお問全集」ってのがある。それの4問目らしい。
ttp://homepage2.nifty.com/enjoying_math/index.htm
- 567 名前：１３２人目の素数さん [2007/04/10(火) 23:00:30 ]
- √3+√2＞πを証明せよ。電卓の使用は認めない。
- 568 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/04/10(火) 23:10:01 ]
- >>566
トンクス
これ作った人すげえな……
- 569 名前：１３２人目の素数さん mailto:age [2007/04/11(水) 13:47:00 ]
- 555の解答はまだー？
- 570 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/04/11(水) 14:56:47 ]
- >555,569
(x1+x2)*(y1+y2) + (x2+x3)*(y2+y3) + (x3+x1)*(y3+y1) = x1*y1 + x2*y2 + x3*y3 + (x1+x2+x3)*(y1+y2+y3),
∴ (与式) = α + β + γ.
- 571 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/04/11(水) 15:33:03 ]
- >567
1.414^2 = 1.4^2 * 1.01^2 = 1.96 * 1.0201 = 1.999396 < 2,
1.732^2 = (4*0.433)^2 = 16 * 0.433^2 = 2.999824 < 3,
∴ √3 + √2 > 1.732 + 1.414 = 3.146
となるから、 3.146 > π を示すことに帰着する。
- 572 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/04/11(水) 16:05:47 ]
- こういう評価の問題って、
1-1/3+1/5-+.........
の最初の10^10項を計算するとこうなるので、
とかさらっと書いたらやっぱ誤答扱いになるんだろうか
- 573 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/04/11(水) 16:25:38 ]
- 10^10項で十分であることの証明がなきゃ、もちろんバツだろうな。
数値評価は、いくらでも難しい問題がお手軽に作れる上に、
採点者は大変だし、解答する方もあまり面白くない。
よほど練られた特殊な場合以外、試験問題としては不適切だろう。
- 574 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/04/11(水) 17:43:40 ]
- 関数f(x)は次の条件を満たすとする。
(1)f(x)は微分可能であり、f '(x)は連続関数
(2)｜x｜≦1のとき｜f '(x)｜＜1
(3)f(0)＝0
このとき、次のように定義される数列{an}についてlim[n→∞]anを求めよ。
｜a0｜＜1 , a[n＋1]＝f(an) (n＝1,2,…)
- 575 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/04/11(水) 19:01:58 ]
- α∈[1,∞]∨[-∞,-1]∨{0} に収束するように f をつくれる。
↑a_n→∞,-∞の意味で閉区間にした。
- 576 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/04/11(水) 19:49:07 ]
- ん？lim[n→∞]an＝0になるはずなのだが。
- 577 名前：575 mailto:sage [2007/04/11(水) 19:51:57 ]
- うん、ごめん、勘違いしてた。
- 578 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/04/12(木) 20:51:16 ]
- 空間上に有限個の点がある。
ここで任意の２点を結んだ直線上に別の点があるとすれば
すべての点は同一直線上にあることを示せ。
雑誌に載ってたから有名問題かも。
- 579 名前：１３２人目の素数さん [2007/04/15(日) 21:05:11 ]
- 加法定理、π>3.05の証明ときて次はなにを証明させるだろう？
lim[x→0](sinx)/x＝1とか？
- 580 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/04/15(日) 21:09:14 ]
- >>579
それ、入試頻出だから。
- 581 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/04/15(日) 22:24:18 ]
- 素数が無限に存在することの証明
- 582 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/04/15(日) 22:44:39 ]
- >556
つ[参考文献]
1. ｢数学の問題 = 第③集｣ 数セミ増刊, 日本評論社 (1988/09/20) の No.16 (解説 牛島照夫氏)
2. 高木: ｢解析概論｣ 改訂第3版, 岩波書店 (1961/05/27) の練習問題(1)-(2), p.33
- 583 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/04/16(月) 00:27:30 ]
- >578
背理法による: 「n個の点すべてが同一直線上にあるのではない」と仮定する。
Lはn点のうち少なくとも2点をとおる直線とする。
L上にない点PからLまでの距離を d(P,L) で表わすとする。
仮定より、L上にない点Pが存在する。
集合 S = { d(P,L) } は空ではなく、かつ有限である。
それゆえ、Sは 極小元 d(P0,M) をもつ。
題意より、M は与えられたn点のうちの3点以上、たとえば P1,P2,P3 を通る。
点P0 から M に下ろした垂線の足を Q とする。
3点 P1,P2,P3 のうちの少なくとも2点、たとえば P2, P3 は Q に関して同じ側にある。（ひとつは Qに一致してもよい).
いま, P2 は P3 より P0 に近い点であると仮定してよい。
2点 P0 と P3 をとおる直線をNと表わすとき、
d(P2,N) < d(P0,M)
となるが、これは点P0とMの選び方に矛盾する。
したがって、n個の点はすべて同一直線上にある。(終)
つ(参考書)
秋山 仁 + ﾋﾟｰﾀｰ･ﾌﾗﾝｸﾙ: [完全攻略] 数学オリンピック, 第1版, 日本評論社, p.91-92 (1991/11/20)
平面幾何[10]
- 584 名前：１３２人目の素数さん [2007/04/16(月) 00:38:20 ]
- 点の個数に関する帰納法で一瞬だと思うんだけど
- 585 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/04/16(月) 00:41:25 ]
- >>584
一瞬じゃねーし。低脳は死ね。
- 586 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/04/16(月) 01:15:06 ]
- 空間に距離が入るとか勝手に仮定して良いの？
- 587 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/04/16(月) 01:23:14 ]
- 詳しくないんだがこういう問題ではどこまで仮定されてるの？
- 588 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/04/16(月) 01:26:02 ]
- >>583
わかるな、こういう感覚。サービス精神旺盛なのよね?
ちょっと無理しちゃっても、いいのよいいのよ～ ノリでいいのよ♪
>>586
深く考えないでおきましょう（超･楽天家）
- 589 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/04/16(月) 13:00:00 ]
- （Ｚ／３Ｚ）＾２。
- 590 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/04/16(月) 17:08:04 ]
- >>586
有限体上の空間だと、問題の反例が作れるので、
代数的な議論だけでは証明できないような気がする。
- 591 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/04/17(火) 00:12:52 ]
- エルデシュだか誰だかが距離を使わずに証明してたよ。そのかわり、順序構造みたいな
ものを仮定して、それを使ってた気がする。
- 592 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/04/17(火) 02:05:17 ]
- >581
つ〔参考書〕
M.アイグナー(著), G.M.ツィーグラー(著), 蟹江幸博(翻訳)「天書の証明」 ｼｭﾌﾟﾘﾝｶﾞｰ･ﾌｪｱﾗｰｸ東京,
第1章 ｢素数は無限: 6つの証明｣
価格: \3675
単行本: 313p.
出版年月: 2002/12/
ISBN-10: 443170986X
ISBN-13: 978-4431709862
寸法: 21.2 x 18.6 x 2.8 cm
- 593 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/04/17(火) 02:36:07 ]
- そうやって参考書を出されてもな
そんなもの見に行く暇なんかないわけで
>>581
素数が有限個と仮定、そのうちの最大の素数をpとしてq=p!+1を考えると
qをp以下のどのような素数で割っても1余るからqは素数であり、明らかにp＜qだから矛盾
こんな感じでいいかい？
- 594 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/04/17(火) 06:20:23 ]
- >>593
> そうやって参考書を出されてもな
> そんなもの見に行く暇なんかないわけで
> そうやって参考書を出されてもな
> そんなもの見に行く暇なんかないわけで
> そうやって参考書を出されてもな
> そんなもの見に行く暇なんかないわけで
> そうやって参考書を出されてもな
> そんなもの見に行く暇なんかないわけで
> そうやって参考書を出されてもな
> そんなもの見に行く暇なんかないわけで
> そうやって参考書を出されてもな
> そんなもの見に行く暇なんかないわけで
６つの証明をさっさと書けや、ゴルァ！
- 595 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/04/17(火) 06:30:53 ]
- >>594
スレ違い
- 596 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/04/18(水) 01:42:57 ]
- >>581
自然数nは、素数べきの積に分解できる:
n = Π[p:素数] p^(e_p), e_pは負でない整数。
よって
Σ[n:自然数] 1/n = Π[p:素数] 1/{1-(1/p)} …… (オイラー積表示)
アルキメデスの原理を使えば、左辺が発散することを示せる。
素数が有限個と仮定すると、右辺は有限項の積だから有限となり、明らかに矛盾。
こんな感じでいいかい？
- 597 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/04/18(水) 02:02:54 ]
- >>596
単なる知識問題だな。
私大文系の社会と変わらん。
加法定理の証明も円周率の近似も事実上知識問題だが。
俺はもっと作為的なパズル問題が好きなんだが。
99年2番とか98年4番とか97年2番とか91年5番とか90年6番とか
93年文系4番とか90年文系2番とか。
- 598 名前：１３２人目の素数さん [2007/04/18(水) 02:11:36 ]
- ゼータ関数も知らないとは
- 599 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/04/18(水) 02:34:06 ]
- >>597
A＝{(2^a)(3^b)(5^c)｜a,b,cは非負整数}とおき、A[m]＝{x1＋x2＋…xm｜x1,x2,…,xm∈A∪{0}}と
おく。任意の自然数mに対して、A[m]に含まれない自然数が無限に存在することを示せ。
- 600 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/04/18(水) 02:39:33 ]
- 読み間違える可能性があるので ちょっと訂正。
任意の自然数mに対して、A[m]に含まれない自然数が無限に存在することを示せ。
↓
P(m)：A[m]に含まれない自然数が無限に存在する
とおくとき、任意の自然数mに対して、P(m)は真であることを示せ。
- 601 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/04/18(水) 08:15:29 ]
- >>597
加法定理の証明は教科書に載ってるよ。
- 602 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/04/18(水) 09:11:11 ]
- >>601
だからなんだ。
- 603 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/04/18(水) 09:18:02 ]
- >>597
受験数学厨必死だな
- 604 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/04/18(水) 09:21:22 ]
- どの辺が必死に見えた？
受験数学は好きだけど。
- 605 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/04/18(水) 13:38:23 ]
- >>604
>>599
- 606 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/04/18(水) 18:00:00 ]
- ｌｏｇ（ｘ）＝ｏ（ｘ＾ａ）（０＜ａ）。
- 607 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/04/18(水) 22:55:09 ]
- >>594
第1の証明(ﾕｰｸﾘｯﾄﾞ):
>>593
mathworld.wolfram.com/EuclidsTheorems.html
第2の証明:
F_n = 2^(2^n) +1 とおく(フェルマー数)。F_n は奇数である。
nについての帰納法により, F_0*F_1*…*F_(n-1) = F_n - 2.
∴ m≠nならば LCD(F_m, F_n) は1か2だが、奇数だから1,
∴ F_0, F_2, …, F_n はすべて互いに素
mathworld.wolfram.com/FermatNumber.html
第3の証明:
pは素数とし、(2^p)-1 の素因数の1つをqとする。
2^p ≡1 (mod q)
剰余類体F_q の乗法群は位数q-1だから p|(q-1)
∴ pより大きい素数qがある。
mathworld.wolfram.com/GroupOrder.html
第4の証明:
>>596
第5の証明(H.ﾋｭﾙｽﾃﾝﾍﾞﾙｸ):
トポロジーを使うらしい。
第6の証明(P.ｴﾙﾃﾞｼｭ):
オイラーによる式
Σ[p:素数] 1/p = ∞
を使うらしい。
- 608 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/04/18(水) 23:56:19 ]
- 第5の証明：
a＞0,b∈Zに対してV(a,b)＝{an＋b｜n∈Z}とおく。B＝{V(a,b)｜a＞0,b∈Z}とおくとき、
Bはある位相の開基となるための条件を満たす。すなわち、
[1]∪B＝Z
[2]B1,B2∈B,x∈B1∩B2ならばx∈B3⊂B1∩B2を満たすB3∈Bが存在する
が成り立つ。そこで、Bを開基とする位相をθとすれば、θは次の性質を満たす。
(1)φ≠O∈θは無限集合である。
(2)V(a,b)∈Bは開集合であるが、同時に閉集合でもある。
さて、素数が有限個しかないとすると、それをp1,p2,…,pnとすれば、Z－{－1,1}＝∪[i＝1～n]V(pi,0)
となる。右辺のV(pi,0)は閉集合であるから、その有限個の和集合である∪[i＝1～n]V(pi,0)もまた閉集合
となる。よってZ－{－1,1}は閉集合であり、{－1,1}は開集合となる。ところが、(1)より、{－1,1}は
無限集合でなければならず、矛盾。
[1]…U(1,0)＝Zなので明らか。
[2]…Bi＝V(ai,bi)とするとき、d＝gcd(a1,a2)としてc＝a1a2/d とおけばB3＝V(c,x)が
求める集合である。x∈B3は明らか。簡単な計算によりcm＋x≡bi (mod ai)となることが
分かるので、B3⊂B1∩B2も成り立っている。
(1)…O∈θ,O≠φとすると、B1⊂Oを満たすB1∈Bが取れるので、B1＝V(a,b)とすると、
V(a,b)は明らかに無限集合であり、よってOも無限集合となる。
(2)…Z－V(a,b)＝∪[0≦r＜a,r－bはaで割り切れない]V(a,r)∈θ であるから、V(a,b)は閉集合となる。
- 609 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/04/19(木) 00:18:03 ]
- すげえ…こんな証明初めてみた…
U(1,0)？
- 610 名前：608 mailto:sage [2007/04/19(木) 00:21:18 ]
- V(1,0)の間違いです(＞ ＜)
- 611 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/04/19(木) 00:22:26 ]
- 素数の積＋１の素因数を考えるのを遠回りにやってるだけ
- 612 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/04/19(木) 07:46:37 ]
- >>611
↑
こういう奴は何も分かっていない。遠回りであれ何であれ、
「素数の積＋１の素因数を考える」という代数的な操作を、位相空間の
議論に置き換えたり、解析的な議論に置き換えることが出来るところに
価値がある。世の中が>>611みたいな奴ばかりだったら、整数論は中学生
レベルの初等的なショボイ整数論から発達していない。
- 613 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/04/19(木) 08:16:13 ]
- >>602
教科書に載ってるのは知識問題とは言わない。
全員必修なんだから。
例えば微分を知らないと解けない問題で、「俺は微分なんて知らない、こんなの知識問題だ。」とは言わないだろ。
- 614 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/04/19(木) 09:20:16 ]
- >>613
それは違うんじゃないか？
「微分を知らないと解けない問題」と「微分を知ってるかどうかだけで決まる問題」との差があるじゃんか。
まあどうでもいい議論だとは思うけど。
- 615 名前：１３２人目の素数さん [2007/04/19(木) 13:38:00 ]
- >>537
問3
(1)810通り
(2)Σ[k=1,n+1]
{C[2^k,2^(k-1)]-C[2^(k-1),2^(k-2)]}/2^k 通り
- 616 名前：１３２人目の素数さん [2007/04/19(木) 13:38:59 ]
- (2)は2^nのときについて
- 617 名前：１３２人目の素数さん [2007/04/19(木) 16:57:14 ]
- >>608-609
トポロジーと素数に関係を見出すなんて洒落た証明だなｗｗｗ
- 618 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/04/19(木) 18:51:35 ]
- >>612
遠回りに同意？
- 619 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/04/19(木) 22:39:58 ]
- >>593-594 それぢゃあ↓嫁
www.amazon.co.jp/gp/reader/443170986X (第1～第5)
ja.wikipedia.org/wiki/素数 (第1と第6)
- 620 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/04/20(金) 03:53:03 ]
- 新しい証明を思いついた
- 621 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/04/20(金) 11:57:11 ]
- だがそれを書くにはスペースが少なすぎる。
- 622 名前：１３２人目の素数さん [2007/04/20(金) 16:42:29 ]
- フェルマー乙
- 623 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/04/20(金) 23:48:52 ]
- >>607-608
単なる言い換えと言われればそれまでだけど、ﾏｼﾞで感心した。
大学院入試なら出ても全然おかしくないレベルだし、用語を控えたら
かなりの部分は大学入試並。
- 624 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/04/22(日) 03:53:03 ]
- 第7の証明：
a＞0,b∈Zに対してV(a,b)＝{an＋b｜n∈Z}とおく。B＝{V(a,b)｜a＞0,b∈Z}とおくとき、
θ＝{∪[i＝1～n]Bi|Bi∈B}とすれば、
[1]Z∈θ
[2]B1,B2∈B,B1∩B2≠OならばB1∩B2∈Bである
[3]T1∈θならばT1^c∈θである
[4]T1,T2∈θならばT1∪T2∈θである
が成り立つ。よって、θは有限加法族であり、次の性質を満たす。
(1)φ≠T1∈θは無限集合である。
さて、素数が有限個しかないとすると、それをp1,p2,…,pnとすれば、Z－{－1,1}＝∪[i＝1～n]V(pi,0)
となる。右辺の∪[i＝1～n]V(pi,0)はθの元なのでZ－{－1,1}はθの元であり、{－1,1}はθの元となる。
ところが、(1)より、{－1,1}は無限集合でなければならず、矛盾。
[1]…V(1,0)＝Zなので明らか。
[2]…Bi＝V(ai,bi)とするとき、x∈B1∩B2,d＝gcd(a1,a2)としてc＝a1a2/d とおけばB1∩B2=V(c,x)
である。y∈B1∩B2⇔ai|(y-x)⇔c|(y-x)⇔y∈V(c,x)。
[3]…T1＝∪[i＝1～n]Bi,Bi＝V(ai,bi)とするとき、
T1^c＝∩[i＝1～n]∪[0≦ri＜ai,ri－biはaiで割り切れない]V(ai,ri)
＝∪[1≦i≦nの任意のiについて0≦ri＜ai,ri－biはaiで割り切れない]∩[i＝1～n]V(ai,ri)∈θ。
[4]…明らか。
(1)…T1∈θ,T1≠φとすると、B1⊂T1を満たすB1∈Bが取れるので、B1＝V(a,b)とすると、
V(a,b)は明らかに無限集合であり、よってT1も無限集合となる。
- 625 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/04/22(日) 05:31:48 ]
- ＞[3]…T1＝∪[i＝1～n]Bi,Bi＝V(ai,bi)とするとき、
Bは可算集合だから、θの元の一般形は∪[i＝1～∞]Bi,Bi＝V(ai,bi)
になる。この形で証明しなければならない。
- 626 名前：１３２人目の素数さん [2007/04/28(土) 04:26:34 ]
- x^2+2y^2-4x+y+xy=0を満たす整数解の組を求めよ
- 627 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/04/28(土) 05:45:05 ]
- (x,y)=(0,0),(4,0)
- 628 名前：１３２人目の素数さん [2007/04/29(日) 00:21:41 ]
- ↓のスレにいっぱい問題投下されてるお
school7.2ch.net/test/read.cgi/jsaloon/1175709295/l50
- 629 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/04/29(日) 00:22:59 ]
- ほとんどが学コンの過去問だからなあ・・・
- 630 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/04/29(日) 00:34:25 ]
- 20年くらい前の宿題の不動二次曲線（楕円、双曲線、放物線）をもつ
一次変換シリーズは面白かった。
- 631 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/04/29(日) 01:13:36 ]
- >>630
面白そうですね。 さっさと うｐれカス！
- 632 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/04/29(日) 01:38:07 ]
- うｐれなくてごめんねクズ
要は、標準基底をとったときに、条件を満たす行列の成分を求めろってことだゴミ
双曲線限定なら破格に簡単鴨、とだけ言っておいてやルンペン
それなりの、統一条件解よろしこ>>631
- 633 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/04/29(日) 20:48:05 ]
- >>632
うｐれカス！ ﾆﾔﾆﾔ…
- 634 名前：１３２人目の素数さん [2007/04/30(月) 23:39:22 ]
- S_n=Σ[k=1→n]1/(n+k)とするとき、lim_[n→∞]n(log2-S_n)を求めよ。
- 635 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/05/01(火) 17:18:37 ]
- >>630
うｐれカス！
- 636 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/05/01(火) 17:20:03 ]
- >634
やっぱり I=∫[n,2n] (1/x)dx と比べるんだろうな。
f(x)=1/x は下に凸なので、 割線 > 曲線 > 接線.
(1/2)(1/n) + Σ[k=1,n] 1/(n+k) + (1/2)(1/2n) > I > c_1 + Σ[k=1,n-1] 1/(n+k) + c_2,
S_n + 1/(4n) > I > S_n -(1/2n) + c_1 + c_2,
f '(n) = -1/(n^2) より f(n +1/2) > f(n) -1/(2n^2),
f '(2n) = -1/(4n^2) より f(2n -1/2) > f(2n) + (1/8n^2),
c_1 = {高さが1/2, 底辺が f(n), f(n +1/2) の台形の面積} = (1/4){(2/n) - 1/(2n^2)},
c_2 = {高さが1/2, 底辺が f(2n), f(2n -1/2) の台形の面積} = (1/4){(1/n) + (1/8n^2)},
S_n + 1/(4n) > I > S_n + 1/(4n) - 3/(32n^2),
1/4 > n(I-S_n) > 1/4 -3/(32n).
- 637 名前：636 mailto:sage [2007/05/01(火) 17:32:05 ]
- >636 の訂正，すまそ.
c_1 = {高さが1/2, 底辺が f(n)=1/n, f(n) -1/(2n^2) の台形の面積} = (1/4){(2/n) - 1/(2n^2)},
c_2 = {高さが1/2, 底辺が f(2n)=1/(2n), f(2n) +1/(8n^2) の台形の面積} = (1/4){(1/n) + (1/8n^2)},
x=n, x=2n での接線を考えますた。
- 638 名前：１３２人目の素数さん [2007/05/01(火) 20:37:48 ]
- 素数様の時代は華があった
- 639 名前：１３２人目の素数さん [2007/05/02(水) 15:56:26 ]
-
連日１次方程式
5a＋12b＋13c＋9d ＝13
7a＋19b＋19c＋14d＝19
14a＋41b＋41c＋28d＝41
15a＋36b＋40c＋27d＝38
にＣramerの公式を適用してbの値を求めよ。ただし公式を適用した
式を明記した上で、計算の方法や計算過程がわかるように、途中の計算式
を省略せずに書くこと。
- 640 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/05/02(水) 17:14:49 ]
- 何で外国人を雇わなきゃならないんだ
- 641 名前：１３２人目の素数さん [2007/05/02(水) 22:56:05 ]
- ,,.､-‐…￢ｰ- ､
,､‐'" ヽ,
,､､,／ ,,､ ﾞ｀ヽ,
. ,､-' ,.':... ,､-‐'" ,､ .,r' ﾞ､
. （ l:/::::::;／ ,,､ -''" ,､ ' .',. ',
,､‐'"~＞'ヽ:;::...,__ __,,,..､ -‐',､-'ﾞ l. l l 宿題は質問スレに行けよ～
/ ' ﾞ〉､､二二､ -‐ '''" |. l i i ｌ
ヽ､r''''ｰｲ ,､‐.l , l ! l.| 馬鹿ですか？
..:,iﾞ i| , ヾ''''''''"´ |.l |. l .l.!
ヽ､ｨ/ | i !il, _,､-'ﾞ ,.r l |. | l :l.l'"""ヽ
.,､-‐‐''ヾ､l::iﾞト､ ,,､ ｰ‐''" | ! l:;'.:i ! / l ,r''j
-'ｰ-‐ ヾ:ｌ､､}.ゝ‐'''" ,ｒ､ l.|l .l:':::i/ / j ,r'''" /､,､-ｯ､
三- ヽ {:rl: '､, ＜､丿,､-|.li./:／! ./ ﾊ.{ ､ ニ,フ
-､ﾞ_____,,. _,ノﾞ〉. lﾞ'''' ｰ-- r‐''i,７ ,.ｲl:;ﾝﾞ ,| ./ ノ } ｀ﾞ'' ‐'シ
ﾞi::::::: ﾞi''ﾄ, ﾞ､.l ﾞ､. / ./ /´ V V､,ヽ,,..､ ‐'"
l::::::: 'ij.ﾞ､､, ! / / l ,r / .::::j､
／l:::::::.／ jヽ'! ', . / ./ i ,..{. ヽ .:::::/ ヽ
. iﾞ l:／ ' ﾞ! ', ﾞ'''ト-i'､.,,,,_ ,ｲ ／ﾞ､. ﾞ､:::/ ﾉj
- 642 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/05/03(木) 04:01:19 ]
- a_n＞0,a_1=1,a_(n+1)^3 - 3a_(n+1) - a_n = 0のときlim[n→∞]9^n*(2-a_n)を求めよ
- 643 名前：１３２人目の素数さん [2007/05/03(木) 21:04:34 ]
- これは興味深い
- 644 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/05/03(木) 22:39:49 ]
- >>642
答えを教えてください、さっさと うｐれカス！
- 645 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/05/04(金) 00:14:24 ]
- 個人的には三倍角の公式辺りを使いそうだって思ったりしたわけだが、使わないのかな？
まぁいいや。
- 646 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/05/04(金) 02:42:42 ]
- あ
- 647 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/05/04(金) 22:36:52 ]
- >>645
それで合ってるんじゃね？
- 648 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/05/05(土) 22:03:39 ]
- よろしければ、解答を うｐれカス！ でございます。
- 649 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/05/05(土) 22:54:40 ]
- >648
つ a_n = 2cos(π/{3^n}),
π^2 ぐらいか…
- 650 名前：１３２人目の素数さん [2007/05/05(土) 23:58:48 ]
- なんつーこたない
- 651 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/05/06(日) 14:28:41 ]
- >>640 関孝和様が間違っていたからではなかろうか？
- 652 名前：１３２人目の素数さん [2007/05/06(日) 16:20:28 ]
- >>17の11とけたかな？
f(x)+g(x)+h(x)=ax^3+bx^2+cx+d=F(x)とおく
F(1)=a+b+c+d=6 ・・・①
F(2)=8a+4b+2c+d=6 ・・・・②
F(3)=27a+9b+3c+d=6 ・・・・③
②－①：7a+3b+c=0・・・④
③－①：26a+8b+2c=0・・・⑤
③-②：19a+5b+c=0・・・・⑥
⑤-④：19a+5b+c=0・・・⑦
⑤－⑥：7a+3b+c=0・・・・⑧
12a+2b=0
b=-6a
c=11a
6a=6-d
よってd=6以外のときF(x)は三次関数。よって最小値最大値は存在しない
d=6のときF(x)=6となり、これも最大値最小値が無いのは明らか。
証明終
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