- 583 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/04/16(月) 00:27:30 ]
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背理法による: 「n個の点すべてが同一直線上にあるのではない」と仮定する。
Lはn点のうち少なくとも2点をとおる直線とする。
L上にない点PからLまでの距離を d(P,L) で表わすとする。
仮定より、L上にない点Pが存在する。
集合 S = { d(P,L) } は空ではなく、かつ有限である。
それゆえ、Sは 極小元 d(P0,M) をもつ。
題意より、M は与えられたn点のうちの3点以上、たとえば P1,P2,P3 を通る。
点P0 から M に下ろした垂線の足を Q とする。
3点 P1,P2,P3 のうちの少なくとも2点、たとえば P2, P3 は Q に関して同じ側にある。（ひとつは Qに一致してもよい).
いま, P2 は P3 より P0 に近い点であると仮定してよい。
2点 P0 と P3 をとおる直線をNと表わすとき、
d(P2,N) < d(P0,M)
となるが、これは点P0とMの選び方に矛盾する。
したがって、n個の点はすべて同一直線上にある。(終)
つ(参考書)
秋山 仁 + ﾋﾟｰﾀｰ･ﾌﾗﾝｸﾙ: [完全攻略] 数学オリンピック, 第1版, 日本評論社, p.91-92 (1991/11/20)
平面幾何[10]
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