圏論 / カテゴリー論 / Category Theory 3

1 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/08/31(木) 07:21:12 ] ■前スレ 　圏論 / カテゴリー論 / Category Theory 2 　science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1089645233/ 　なんで圏論なんてもんがあんのよ？ 　makimo.to/2ch/science3_math/1057/1057731708.html ■関連スレ 　大好き★代数幾何 Part 3 　science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1119870806/ 　非古典論理について語るスレ 　science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1071060325/ ■関連過去スレ 　層 　makimo.to/2ch/science2_math/1003/1003853278.html 　シット サイト トポス シャン モチーフ 　makimo.to/2ch/science_math/1007/1007625226.html 321 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/04/04(水) 23:40:02 ] こじつけいわれても仕方のないレベルの比較だな 322 名前：１３２人目の素数さん [2007/04/04(水) 23:47:53 ] テンプレやメタプロでも苦しいな 323 名前：320 mailto:sage [2007/04/04(水) 23:56:00 ] すまん、あんまり考えずになんとなく書いてみたんだが確かにカプセル化は違うな 324 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/04/05(木) 00:34:26 ] ここはレベルの低い奴ばかりだからな 325 名前：１３２人目の素数さん [2007/04/05(木) 00:35:18 ] オブジェクトという言葉からの類推だな。 単純すぎ。 326 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/04/05(木) 00:40:57 ] オブジェクトというより効率を問題にしてるんだろ？ 327 名前：１３２人目の素数さん [2007/04/05(木) 00:49:55 ] 数学のレベルが低いばかりか日本語の読解力のない奴には困ったもんだな 328 名前：１３２人目の素数さん mailto:独り言sage [2007/04/05(木) 01:18:35 ] # スーパークラス ← サブクラス を順序関係とし、 # ルートクラスを最小元とする半順序集合上にλモデルが作れる。 329 名前：１３２人目の素数さん [2007/04/08(日) 04:56:04 ] 米田ってマジで誰だよ？ｗ 330 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/04/08(日) 10:25:51 ] >>329 誰って彼の何を知りたい？ 331 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/04/08(日) 11:43:39 ] とりあえず下の名前 332 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/04/08(日) 12:39:39 ] 米田信夫 333 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/04/08(日) 18:48:47 ] ぐぐりゃわかるだろうに、Googleさえ知らんのかね。 d.hatena.ne.jp/m-hiyama/20070109 岩波数学辞典にも載ってると思うけどな。 334 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/04/09(月) 01:17:39 ] というよりボケるためのネタふりなんだろ マジレスが続いてがっかりしてるんじゃないか 335 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/04/09(月) 02:33:38 ] >>333 検索結果の範囲では米田信夫のなまえが出てこない。 336 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/04/09(月) 07:13:14 ] >>335 「米田の補題」でぐぐったら３番目に名前と写真が出てきましたが？ 337 名前：１３２人目の素数さん mailto:＠＠＠sage [2007/04/09(月) 15:17:25 ] それはそのページに名前と写真があると知ってるからそう分かるだけ。 検索しただけの段階では、ほかに何百ページとある、米田の補題”のみ”を 扱ったサイトと見分けが付かないので、そのページを探そうとはしない。 そもそも、流行りものではない情報なので、普通まずwikipediaを調べにいく。 で、そこには項目が無い、次にen.wikipediaを探しにいく。そこでは項目は あるが、yoneda lemmaからのリンクが無い。したがって下の名前を知ることが出来ない。 en.wikipediaで名前つきの定理や補題でその元になった人物にリンクして無い のはかなり異例。この時点で「米田ってマジ誰だよ？」となる。 キマイラ飼育記にしても、あるべき場所にある情報と言う感じではなく、 たまたま、著者が気まぐれによってある本からの情報を抜書きしてるものであり、 写真などは著作権が危ないと知りつつ挙げているものであって、そこにその情報が あるのは偶然と言える。 338 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/04/09(月) 18:16:11 ] 固い頭なんだな 339 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/04/09(月) 19:11:10 ] うぃきだけ調べて終了ではぐーぐるの意味ないじゃん。馬鹿か。 340 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/04/09(月) 20:53:19 ] >>337は宣伝か何かのつもりか？ wikipediaなんてあんなツマンナイジョークばっかり書いてあるサイトなんて 宣伝したってどうしようもないだろ。 341 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/04/09(月) 21:02:42 ] 妄想が激しいようで 342 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/04/09(月) 21:45:36 ] uncyclopediaと間違えてるんじゃ？ 343 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/04/09(月) 23:17:35 ] いやそのページの内容を知ってようが知ってるまいが、 普通真剣に調べ物をしようと思ったら、Googleの検索結果を 上から20件か30件はクリックしてみるものなんだよ。 上から300番目に名前が出てきたのなら 分からなくても文句は言えないけどね。 だいたい ＞流行りものではない情報なので、普通まずwikipediaを調べにいく。 そんなん普通でもなんでもないよ。日本語のwikipediaを過信しすぎなんじゃないの。 344 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/04/10(火) 02:44:49 ] >>342 uncyclopediaはガキの落書き帖 wikipediaはジョークサイト 345 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/04/10(火) 20:19:01 ] 気に入らない記述があるんだったら修正してみれば？ ちゃんとした知識に基づいてるんだったら歓迎されると思うけど 346 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/04/10(火) 22:02:19 ] それが何かniftyユーザはブロックされてて編集できないのだ 347 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/04/10(火) 22:24:11 ] >>345 修正すると、なんか嵐といわれてすぐに記述を元に戻される。 大抵、そういうやつの投稿履歴を調べると全然数学とか触ってないやつ。 348 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/04/10(火) 23:17:11 ] talkページとかも用意されてるんだから、ちゃんと話し合って自分の 記述に根拠がある事を説明すればいいじゃん。 つーか、すぐに戻されるってのはよほど空気読めてない編集と言う気がする。 349 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/04/10(火) 23:31:05 ] >>348 そうか? たとえば「行列式は数」とか書いてあったらさすがに消すだろ? でも、消したら残す努力をしなかったってことで、 なんかしらんけど、ちょっとでもbytes数が減ると荒らしなんだとさ。 350 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/04/10(火) 23:52:15 ] 行列式は〜である、って感じの記述に直すなら消されないと思うけど。 351 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/04/11(水) 00:26:30 ] そういや、行列式の件はつい最近もめてたんだっけな。 これに限らず、変なのが粘着しててヘンテコな記述を バカみたいに庇護し続けて、編集制限だとか日常茶飯事だな あそこは。 >>350 「行列式は多項式の一種〜」とか書いてある直後の段落に 「行列式は数だから〜」とか書いてあっても、君は消さないのか？ 352 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/04/11(水) 00:29:10 ] ★なんとなく良くみるフレーズ … is easy by Yoneda. … is easy by Nakayama. 353 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/04/11(水) 00:30:25 ] >>351 「の値」を挿入するとか 354 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/04/11(水) 00:49:08 ] >>353 行列式は数で簡単に表現できるから 行列式は誤訳で 決定式とべきであるという説もある って実際には書いてあったんだな。 355 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/04/11(水) 01:05:19 ] スレ違い大好きな俺様が来ましたよ。 ウィキペディアって開くページ開くページ軒並み 変なこと書いてあるからおもしろいよねｗ 356 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/04/11(水) 10:52:06 ] >>355 日本語版の事？ 357 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/04/11(水) 16:11:47 ] 専門外のことは、おかしなことが書いてあるとは分からんけどな。 化学とか工学とか。 358 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/04/11(水) 18:03:40 ] ジャンボー！ 359 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/04/12(木) 16:14:10 ] 米田の捕題についてどなたか解説お願いします。 360 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/04/12(木) 18:49:49 ] >>359 wikipediaでも読んどけｗ 361 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/04/12(木) 20:03:10 ] 簡単な演習問題を出そう。 問題 行列式は自然変換と見なせる。 これを厳密に定義せよ。 362 名前：１３２人目の素数さん mailto: sage [2007/04/12(木) 21:04:51 ] 意味不明 363 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/04/12(木) 21:18:52 ] >>362 世話のやけるやつだな。 ヒントをやろう。 有理整数 n ≧ 1 を固定する。 A を可換環としたとき GL_n(A) を可逆な n 次正方行列の作る群とする。 GL_n(A) の元 x にその行列式 det(x) を対応させることにより 群の準同型 det : GL_n(A) → U(A) が得られる。 ここで U(A) は A の可逆元のなす群である。 これでわからなかったら圏論は１０年早い。 364 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/04/12(木) 21:59:01 ] >>361,363 それ何て「圏論の基礎」？ 365 名前：１３２人目の素数さん [2007/04/12(木) 21:59:59 ] >>363 やべえ、俺１０年早いやｗｗｗｗｗ 366 名前：１３２人目の素数さん [2007/04/12(木) 22:18:41 ] 「圏論の基礎」等というアホな事しか書いてない本を読む奴の気が知れぬ。 367 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/04/12(木) 22:29:11 ] founderアホ扱いしちゃダメじゃねｗ ・・・しかし、アホじゃない本を教えて欲しい・・ 368 名前：１３２人目の素数さん [2007/04/12(木) 22:31:50 ] Anm->R(Anm) R(xy)=R(x)R(y) 369 名前：１３２人目の素数さん [2007/04/12(木) 22:40:51 ] 別に GL_n (A) じゃなくても M_n (A) でもええじゃねえか？ GL にする意味が分からん 370 名前：１３２人目の素数さん [2007/04/12(木) 22:42:14 ] つか、GL_n じゃダメでね？ 371 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/04/12(木) 22:49:39 ] つうか「圏論の基礎」って、あれいくらなんでも 訳語にカタカナ使いすぎだと思うんだけど。 あんな訳し方するくらいなら、「数学者のためのカテゴリー理論」とか 題名も直訳すればいいのに。 372 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/04/12(木) 22:56:10 ] そういうレベルのいちゃもんかよ 373 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/04/12(木) 23:03:14 ] >>361 の解答まだ？ 374 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/04/12(木) 23:13:01 ] GL_n()、U() がそもそもｆあｄないｓ（ｒｙ 模範解答きぼん！ 375 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/04/12(木) 23:17:17 ] GL_n(A) が分からなかったら話になりません。 376 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/04/12(木) 23:33:01 ] 略しすぎた？ GL_n()、U() がそもそもふぁんｋｔｄんあい（ｒｙ 377 名前：１３２人目の素数さん [2007/04/13(金) 08:47:41 ] 誰か、このアホの言ってること翻訳してくれ。 378 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/04/13(金) 10:00:57 ] それがわからないようじゃ圏論は１０年早い。 379 名前：１３２人目の素数さん [2007/04/13(金) 12:17:01 ] >>374 ほれ kのkをrｔkく。 ｇのkをgrptk。 A に g() をtてfkd gが得られる。 A に u() をtさせてfkdt u が得られる。 よって gのs が得られる。 これはふぁん g からふぁん u へのしである。 380 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/04/13(金) 12:40:36 ] つうか >>361 はMac Laneの本にもろ出てるが。 英語版の 16 ページ。 381 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/04/13(金) 13:31:09 ] >>380 >>364で指摘済。 382 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/04/13(金) 16:57:44 ] そんなことでプライオリティを主張するなよｗ 383 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/04/14(土) 09:33:50 ] 環 R 上の左加群のなす圏 を (R-Mod) と書く。 (R-Mod) はアーベル圏である。 (R-Mod) の射 X → Y の全体 (R-Arrows) を考える。 X → Y から Z → W への射を、次の可換図式として定義する。 X → Y |　　　 | v　　 v Z → W (R-Arrows) は容易にわかるがアーベル圏である。 ここで問題： (R-Arrows) における射影対象（または単射的対象）は何か？ 384 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/04/14(土) 16:10:25 ] なんだおい、行列式だとすぐレスが付いたが、 アーベル圏だとだんまりか。 385 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/04/14(土) 17:44:42 ] 射影的対象　M, Nを射影加群としたとき、M　→　M+N 単射的対象　I, Jを入射加群としたとき、I+J →　J 386 名前：１３２人目の素数さん [2007/04/14(土) 18:24:07 ] 岩波数学辞典では injective module は入射加群で、 injective homomorphism は単射準同型なんだよね。 injective module は単射的加群でいいと思うけどね。 387 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/04/14(土) 21:42:38 ] もう少し面白い問題ないのか？ 388 名前：１３２人目の素数さん [2007/04/14(土) 22:10:59 ] >>387 あれじゃ簡単すぎて面白くないのか？ 389 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/04/14(土) 22:16:11 ] 簡単すぎない問題が出た事があったっけ？ 390 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/04/14(土) 22:21:28 ] >>389 前スレ・前々スレにはいっぱいあったよ 391 名前：１３２人目の素数さん [2007/04/14(土) 22:25:13 ] >>389 その割に解答が遅かったが 392 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/04/14(土) 22:57:20 ] その割に、ではなく、だからこそ 解答が付かないのだろうね。 393 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/04/14(土) 22:57:27 ] >>391 問題が難しすぎる人もすぐには解答をだせないが、問題が簡単すぎる人はめんどくさくて回答しないもんだよ。 ちょうど適度な人が解答の作成に燃える。 394 名前：１３２人目の素数さん [2007/04/14(土) 23:13:47 ] >>387 >>389 >>392 >>393 お前等、ひょっとしてわかってないんじゃないのｗ 分かってるなら、>>385 を証明してみな。 395 名前：１３２人目の素数さん [2007/04/14(土) 23:29:55 ] >>387 群の圏では全ての epimorphism は全射であることを証明せよ。 396 名前：１３２人目の素数さん [2007/04/14(土) 23:38:45 ] 証明まだ？ 397 名前：１３２人目の素数さん [2007/04/14(土) 23:44:09 ] >>383 Rの可換性を捨ててもおｋ？ 398 名前：１３２人目の素数さん [2007/04/14(土) 23:57:21 ] >>397 問題ない。 っていうか任意のアーベル圏でいい。 399 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/04/15(日) 01:07:04 ] 圏の定義に出てくる「結合性」ってどうしても必要なんですか？ 400 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/04/15(日) 01:26:41 ] とりあえず、「結合性」を潰した上で有意な例を示して。 401 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/04/15(日) 07:43:41 ] 自分にはさっぱり分からないんですが、 Ｄブレーンの研究で言及されたりするようです。 例えば、arxiv.org/abs/hep-th/0102183 の１０ページ欄外に"nonassociative category" という言葉が出ていました。 402 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/04/15(日) 09:00:05 ] 問題　結合性をめぐって 群のアーベル化はアーベル群の圏から群の圏の函手の左随伴函手として捉えられます。 さて、2項演算が定義された集合(マグマ）の半群化(結合法則を満たす普遍的なもの)は存在するでしょうか。 248でも触れてますが、合成が定義された有向グラフの圏化の存在の有無も論じて欲しい。 403 名前：１３２人目の素数さん [2007/04/15(日) 09:10:57 ] >>402 M をマグマとする。 M の元の重複を許した有限列 a_1a_2,...,a_n の全体か？ 404 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/04/15(日) 09:39:07 ] >>403 構成した物はMの下部集合構造のみに依るように見えるが。 集合から構成する自由半群ならそれでいいと思う。 405 名前：１３２人目の素数さん [2007/04/15(日) 10:05:55 ] C を圏とする。 C において C-group というのが定義される。 en.wikipedia.org/wiki/Group_object 例えば C として位相空間の圏をとれば、そこでの C-group は 位相群のことである。 C-group と同様にして、C において C-category というのも 定義されるはずである。 もっと詳しく言うと、C において対象 O, A と、射 s, t, c s: A → O t: A → O c: (A × A)/O → A があり、これ等と、(A × A × A)/O の間に適当な可換図式が成立つ ものとして定義される。 ここで (A × A)/O はファイバー積を表す。 この概念の有用な例ってあるのか？ 406 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/04/15(日) 10:20:25 ] >>405 enriched category　に似てるね。 407 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/04/15(日) 10:58:54 ] >>405 C-categoryの特別な場合として、C-同値関係,C-groupoidも定義できると思います。 代数幾何学における、スキームの一般化である、代数空間やスタックは (スキーム)-同値関係,　(スキーム)-groupoid の特別な対象と思えます。　 408 名前：１３２人目の素数さん [2007/04/15(日) 13:11:10 ] >>387 >>389 >>392 >>393 証明まだ？ 409 名前：１３２人目の素数さん [2007/04/15(日) 18:52:36 ] >>404 俺も書いた後でそう思ったｗ M の元の重複を許した有限列 a_1a_2,...,a_n と b_1b_2,...,b_m は a_1a_2,...,a_n = b_1b_2,...,b_m のとき同値として、 この同値関係で割った商集合を取ればいいだろう。 410 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/04/15(日) 19:05:42 ] >>409 a_1a_2,...,a_n = b_1b_2,...,b_mはMの中でですか。 a_1a_2,...,a_nをどうやってMの元と見るのですか。 結合法則は仮定していないので 括弧の付け方に依存すると思いますよ。 411 名前：１３２人目の素数さん [2007/04/15(日) 19:09:05 ] いけね、そうだなｗ 誰か考えてくれ。 412 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/04/15(日) 20:51:21 ] 先に無理やり (ab)c ≡ a(bc) で割っちまうとか？ 413 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/04/15(日) 20:55:47 ] 自分で考えろこの馬鹿 414 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/04/15(日) 20:57:36 ] す、すいません、提案しちゃいけませんでしたか 415 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/04/15(日) 21:23:39 ] よくチェックしてないが、大体次のような感じでいいんじゃないかな。 (1) マグマMの台集合で生成される自由半群をLとする。 (2) L 上の次で定義される関係を 〜 とする。 abc...z 〜 ABC...Z ⇔ abc...z と ABC...Z のそれぞれを、あらゆる方法で括弧を付けて M 内の元 と見なしたときに、それらのうちに M の元として等しいものが存在する。 たとえば M で a(bc) = ((AB)C)D なら L で abc 〜 ABCD (3) 〜を含む、L の算法と両立する最小の同値関係を R とする（関係のグラフ を考えてインターセクションをとればよい）。 (4) L を R で割ったものが M の半群化。 416 名前：１３２人目の素数さん [2007/04/15(日) 22:36:47 ] 自己レス。別に自由半群を使わなくても次のようにしてもいいか。 (1) マグマ M 上の次の関係を 〜 とする x 〜 y ⇔ある M の元の有限列 a, b, ..., z が存在して、x と y のそれぞれが 何らかの方法で括弧を付けた a, b, ..., z の積になっている （もちろん括弧の付け方は x と y とで違っていてもよいとする）。 (2) 〜を含む、M の算法と両立する最小の同値関係を R とする。 (3) M を R で割ったものが M の半群化。 417 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/04/16(月) 02:00:44 ] 自分としては、圏の定義から結合性をはずしてもいいと思います。 結合則を満たすような圏をあらためて「結合的な圏」と表現するのも 悪くはないです。ただ、いまさら定義を変えるわけにもいかない 習慣上の事情もありますから、そこがなかなか難しいとこですね。 418 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/04/16(月) 02:03:07 ] 外すことによってなんかメリットあるの？ 419 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/04/16(月) 02:56:12 ] いまのところ不明です。 420 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/04/16(月) 08:09:24 ] Mの半群化　>>416をちょっと変えてみました。 (1)マグマ M 上の次の関係を 〜 とする x〜y ⇔ Mの元、a,b,cが存在してx=(ab)c, y=a(bc) (2)〜を含む、最小の両側イデアル同値関係をRとする。 (3) M を R で割ったものが M の半群化。 RがM上の両側イデアル関係とはxRyなら勝手なmに対してxmRym, mxRmyとなる関係のこと。 421 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/04/16(月) 11:07:56 ] >>420 ほとんど変わらんが、それでも結局同じだね。

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