フィボナッチ・リュカ数列の定理を並べるスレ

1 名前：１３２人目の素数さん [04/01/12 23:45] 以下 フィボナッチ数列 F(1)=1,F(2)=1,F(n+2)=F(n+1)+F(n) リュカ数列 L(1)=1,L(2)=2,L(n+2)=L(n+1)+L(n) としましょう。マニアックなのでも結構です。 2 名前：１３２人目の素数さん [04/01/12 23:49] F(1)+F(2)+F(3)+・・・・F(n)=F(n+2)−1 3 名前：１３２人目の素数さん [04/01/12 23:51] F(1)+F(3)+F(5)+・・・+F(2n-1)＝F(2n) 4 名前：１３２人目の素数さん [04/01/12 23:52] L(1)+L(2)+L(3)+・・・+L(n)＝L(n+2)−3 5 名前：１３２人目の素数さん [04/01/12 23:55] F(n-1)+F(n+1)＝L(n) L(n-1)+L(n+1)＝5F(n) でした、興味深いですね。 6 名前：１３２人目の素数さん [04/01/14 19:31] F(n)≦L(n) 7 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/01/14 21:31] Σ{n≧1}1/F(2^n)=(7-sqrt(5))/2, Σ{n≧1}1/F(n)F(n+2)=1, Σ{n≧1}(-1)^n/F(n)F(n+1)=(1-sqrt(5))/2, Σ{n≧1}1/(F(2n-1)+1)=sqrt(5)/2. 8 名前：１３２人目の素数さん [04/01/14 22:24] F(7)^2+F(8)^2=F(15)^2 F(8)^2+F(9)^2=F(12)^2 9 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/01/16 03:25] n|F(n) ⇒ F(n)|F(F(n)). 10 名前：１３２人目の素数さん [04/01/16 21:53] 全ての自然数はいくつかの異なるフィボナッチ数の和で表すことができる。 11 名前：１３２人目の素数さん [04/01/16 21:57] フィボナッチの加法定理 Ｆ(n+m+1)＝Ｆ(n+1)Ｆ(m+1)＋Ｆ(n)Ｆ(m) 特に Ｆ(2n+1)＝Ｆ(n+1)^2＋Ｆ(n)^2 12 名前：１３２人目の素数さん [04/01/16 22:10] n,m≠２の時、ｎがｍで割り切れるならばF(n)はF(m)で割り切れる。 またこの逆も成り立つ。 13 名前：１３２人目の素数さん [04/01/16 22:14] ビネの公式 Ｆ(n)=(α^n−β^n)/(α−β)　　　（α＝(1+√5)/2 β＝(1-√5)/2） 14 名前：１３２人目の素数さん [04/01/16 22:22] 2F(m+n)＝F(m)L(n)＋L(m)F(n) 三角関数の加法定理に似てると思いませんか？ 15 名前：１３２人目の素数さん [04/01/16 23:26] 各ヌレの補完 16 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/01/17 19:00] Ｌ（ｎ）＝Ｆ（ｎ＋１）。 17 名前：１３２人目の素数さん [04/01/17 22:43] >>16 n＝１の時のみ。と書きましょう。 18 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/01/17 23:50] Ｌ（２）＝２＝Ｆ（３）。 19 名前：１３２人目の素数さん [04/01/18 19:22] >>１の定義が違う・・・ L(2)＝３では？ 20 名前：１３２人目の素数さん [04/01/19 04:28] まだ、出ていないようなので・・。 Ｆ（２ｎ）＝Ｌ（ｎ）*Ｆ（ｎ）。 Ｌ（２ｎ）＝Ｌ（ｎ）＾2−（（−1）＾２）*２。 ちなみにＬ（０）＝２、Ｌ（１）＝１、Ｌ（２）＝３、Ｌ（３）＝４。 Ｌ（−１）＝−１、ですよね。 21 名前：１３２人目の素数さん [04/01/19 04:33] 定理の証明も書いてくれると嬉しいにゃー 22 名前：１３２人目の素数さん [04/01/19 23:01] 　一応・・・ 黄金比＝(1+√5)/2＝1.61803398874989474720458・・・ 黄金比の歌 www5b.biglobe.ne.jp/~simomac/ougonhi.htm 23 名前：１３２人目の素数さん [04/01/19 23:36] Ｌ(n)においてnが素数の時、 「　L(n)≡１（mod.n）　」が成り立つ 24 名前：２０：特性方程式による定義 [04/01/20 09:42] 方程式　ｔ＾２−ｔ−１　の２根をα、βとするとき、 Ｆ（ｎ）＝（α＾ｎ−β＾ｎ）/（αーβ）。 Ｌ（ｎ）＝α＾ｎ+β＾ｎ。 と定義すると、Ｆ（ｎ）、Ｌ（ｎ）はフィボナッチ数とリュカ数の性質をすべて 満足する。いいかえれば、上記をＦ数、Ｌ数の定義と考えてさしつかえない。 ここで注意することは、上記のｔの２次方程式の根と係数の関係から、 α+β＝１、αβ＝−１。が常になりたっている、という事である。 25 名前：２０ [04/01/20 10:04] ２４の定義を使うと、２０で述べた定理の証明は簡単である。すなわち、 Ｌ（ｎ）*Ｆ（ｎ） 　＝（α＾ｎ+β＾ｎ）｛（α＾ｎ−β＾ｎ）/（αーβ）｝ 　＝｛（α＾ｎ+β＾ｎ）（α＾ｎ−β＾ｎ）｝/（αーβ） 　＝｛（α＾ｎ）＾２−（β＾ｎ）＾２｝/（αーβ） 　＝｛（α＾２ｎ）−（β＾２ｎ）｝/（αーβ） 　＝Ｆ（２ｎ）。 Ｌ数の証明は逆からいく。 Ｌ（２ｎ）＝α＾２ｎ+β＾２ｎ＝（α＾ｎ）＾２+（β＾ｎ）＾２ 　＝（α＾ｎ+β＾ｎ）＾２−２（α＾ｎ）（β＾ｎ） 　＝（α＾ｎ+β＾ｎ）＾２−２（αβ）＾ｎ リュカ数の定義および基本関係式　αβ＝−１より 　＝Ｌ（ｎ）＾２−（（−1）＾ｎ）*２。 以上で２０が証明できた。 26 名前：１３２人目の素数さん [04/01/20 20:53] 一般にα, βをx^2-Px+Q=0の二解とし、D=P^2-4Q、 U(n)=(α^n-β^n)/(α-β), V(n)=α^n+β^nとおく。 （一般Lucas数列） 特に、P=1, Q=-1のとき、U(n)はFibonacci数列、V(n)はLucas数列。 以下、一般Lucas数列について成り立つ定理。 1. V(n)^2-DU(n)^2=4Q^n, U(n)^2-U(n-1)U(n+1)=Q^(n-1). 2. DU(n)=V(n+1)-QV(n-1), V(n)=U(n+1)-QU(n-1). 3. U(m+n)=U(m)U(n)-Q^n U(m-n), V(n)=U(n+1)-QU(n-1). 4. 2U(m+n)=U(m)V(n)+U(n)V(m), 2Q^n U(m-n)=U(m)V(n)-U(n)V(m), 2V(m+n)=V(m)V(n)+DU(m)U(n). 5. m≧1, q: oddならば U(mq)=D^((q-1)/2)U(m)^q+q Q^mD^((q-3)/2) U(m)^(q-2)+... +q/r (q-r-1)C(r-1) Q^mr D^((q-2r-1)/2) U(m)^(q-2r)+... +q Q^(m(q-1)/2) U(m). （4, 5は>>20の一般化） 27 名前：１３２人目の素数さん [04/01/20 21:14] 6. k≧1, m: oddならば D^((m-1)/2) U(k)^m=U(km)-mQ^k U(k(m-2))+mC2 Q^(2k) U(k(m-4))-+... +(-1)^((m-1)/2) mC((m-1)/2) Q^(k(m-1)/2) U(k), V(k)^m=V(km)+mQ^k V(k(m-2))+mC2 Q^(2k) V(k(m-4))+... +mC((m-1)/2) Q^(k(m-1)/2) V(k). k≧1, m: evenならば D^(m/2) U(k)^m=V(km)-m Q^k V(k(m-2))+mC2 Q^(2k) V(k(m-4))+... +2*[mC(m/2)] Q^(km/2), V(k)^m=V(km)+m Q^k V(k(m-2))+mC2 Q^(2k) V(k(m-4))+... +2*[mC(m/2)] Q^(km/2). 7. 2^(n-1)U(n)=nC1 P^(n-1)+nC3 P^(n-3) D+... 2^(n-1)V(n)=P^n+ nC2 P^(n-2) D+ nC4 P^(n-4) D^2+... 8. U(m)=V(m-1)+QV(m-3)+Q^2 V(m-5)+...+W, W=Q^((m-2)/2)P(m: even), Q^((m-1)/2)(m: odd) P^m=V(m)+mC1 QV(m-2)+mC2 Q^2 V(m-4)+...+W, W=[mC(m/2)] Q^(m/2)(m: even), [mC((m-1)/2)] Q^((m-1)/2) P(m: odd). 以上、どれもα, βに関する恒等式。 28 名前：１３２人目の素数さん [04/01/20 21:26] 9. U(n)≡V(n-1) (mod Q), V(n)≡P^n (mod Q). 証明: >>27の8より明らか。 10. pが奇素数ならば、U(kp)≡D^((p-1)/2) U(k) (mod p), e≧1のときU(p^e)≡D^(e(p-1)/2) (mod p), 特にU(p)≡(D/p) (mod p). 証明: >>27の6において、m=pとすると、 U(kp)≡D^((p-1)/2) U(k)^p≡D^((p-1)/2) U(k) (mod p)より前段が従う。 これを繰り返し、U(1)=1より後段が従う。 11. V(p)≡P(mod p). 証明: >>27の8においてm=pとおくと、V(p)≡P^p≡P(mod p). 12. n, k≧1ならばU(n)|U(kn). 証明: >>26の3よりU((k+1)n)=U(kn)U(n)-Q^n U((k-1)n)≡Q^n U((k-1)n) ≡...≡(Qの累乗)* U(n) または(Qの累乗)*U(0)≡0(mod U(n)). 13. n, k≧1, k: oddならばV(n)|V(kn). 証明: 上の証明において>>26の3のかわりに>>27の6を使う。 29 名前：１３２人目の素数さん [04/01/22 16:19] リュカ数列はLucas数列と書くんですか。 ルカス数列と書いたほうが適切かもしれませんね。 30 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/01/22 22:59] >>29 その言い方からすると>>1かな？Lucasという人物を知らんと立てたの？ 31 名前：１３２人目の素数さん [04/01/23 03:05] >>29 別にどっちでもいい。 プトレマイオスの定理でもトレミーの定理でもかまわんのと同様。 ちなみにフィボナッチという人物は知ってる？ 日本では平安から鎌倉の人らしい。 32 名前：２０ [04/01/23 11:06] ２６さんが一般ＦＬ論をはじめて、いっぺんにハードルが高くなった気が しましたが、私の方は特殊ＦＬ論で、のんびり行こうと思ってます。 よろしく。 33 名前：１３２人目の素数さん [04/01/23 22:08] >>31 本名はフィリウス・ボナッチ（filius・Bonacci）ですよね。 34 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/01/23 22:55] >>33 違う気がする・・・ 35 名前：１３２人目の素数さん [04/01/23 23:09] >>34 違いましたっけ？・・・ 36 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/01/23 23:14] >>35 本名はレオナルドでしょう 37 名前：１３２人目の素数さん [04/01/23 23:44] >>36 調べてみたらそのようでした。 父の名がBonacciでfilius・Bonacciはボナッチの息子という意味だそうです。 名前ではありませんでした。 38 名前：２０ [04/01/24 10:02] ・・・とりあえず、 （１）加法定理 Ｆ（ａ+ｂ）＝Ｆ（ａ）Ｆ（ｂ+1）+Ｆ（ａ-1）Ｆ（ｂ）。 Ｆ（ａ-ｂ）＝（（-1）＾ｂ）（Ｆ（ａ）Ｆ（ｂ-1）-Ｆ（ａ-1）Ｆ（ｂ））。 （２）剰余定理 　　ｄ｜ｎ　ならば　Ｆ（ｄ）｜Ｆ（ｎ）。 （３）基本定理 Ｆ（ａ）＝Ｌ（ｂ）Ｆ（ａ-ｂ）-（（-1）＾ｂ）Ｆ（ａ-2ｂ）。 Ｌ（ａ）＝Ｌ（ｂ）Ｌ（ａ-ｂ）-（（-1）＾ｂ）Ｌ（ａ-2ｂ）。 （４）カッシーニの公式 Ｆ（ｎ+1）Ｆ（ｎ-1）-Ｆ（ｎ）＾2＝（-1）＾ｎ。 を四大定理とする。 39 名前：２０ [04/01/24 10:22] ２つのＦ数の自乗の和と差の公式 Ｆ（ｎ）＾2+Ｆ（ｎ-1）＾2＝Ｆ（2ｎ-1）。 Ｆ（ｎ）＾2-Ｆ（ｎ-1）＾2＝Ｆ（ｎ+1）Ｆ（ｎ-2）。 Ｆ（ｎ+1）＾2+Ｆ（ｎ-1）＾2＝3*Ｆ（ｎ）＾2+（（-1）＾ｎ）*2。 Ｆ（ｎ+1）＾2-Ｆ（ｎ-1）＾2＝Ｆ（2ｎ）。 40 名前：２０ [04/01/26 13:21] Ｆ（ｋｎ）/Ｆ（ｎ）は、Ｌ（ｎ）の多項式であらわすことが出来ます。 （後述） 41 名前：１３２人目の素数さん [04/01/26 13:59] ４０は宿題にします。 42 名前：１３２人目の素数さん [04/01/26 16:41] フィボナッチやリュカだけじゃなくて a_1=1,a_2=nとしても、 奇数、奇数、偶数のワンパターンな気がするんだがこれって証明ある？ 43 名前：sage [04/01/26 20:56] まあ、それは証明するまでもないでしょう？ そうしかならない事はすぐわかるから。 （そのパターンには気づかなかったけど） 44 名前：20 mailto:sage [04/01/27 04:40] ４０についてだが、数学の問題はエレガントな解法があるとは限らない・・・ データをたくさん集めて、形を予測し、あとは数学的帰納法で、という キタナイ解法しかないかも知れない。残念ですが・・・ 45 名前：２０ mailto:sage [04/01/27 05:30] 基礎公式集 ＦＬ数の自然な拡張 Ｆ（-ｎ）＝（（-１）＾（ｎ-１））Ｆ（ｎ） Ｌ（-ｎ）＝（（-１）＾ｎ）Ｌ（ｎ） ＦＬ数の自乗変換公式 ５Ｆ（ｎ）＾２＝Ｌ（ｎ）＾２-（（-１）＾ｎ）４ 46 名前：２０ mailto:sage [04/01/27 05:45] シグマ記法/例 Ｆ（ｎ）＾２＝Σ（（-１）＾ｖ）Ｆ（２ｎ-１-２ｖ）。 Σ【ｖ＝０からｖ＝ｎ-１まで】 シグマの範囲を上のようにあらわすことにする。シグマが複数ある場合は Σａ、Σｂなどと名づけて区別 この式の例 たとえば、Ｆ（５）＾２＝Ｆ（９）-Ｆ（７）+Ｆ（５）-Ｆ（３）+Ｆ（１） といった具合。 47 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/01/27 13:39] >>40 U(n)=(α^n-β^n)/(α-β), V(n)=α^n+β^n, Q=αβ∈Zとおくと、 U(kn)/U(n)=（α^(kn)-β^(kn)）/（α^n-β^n） =α^(k(n-1))β^n+....+α^n β^(k(n-1)) これはα^n, β^nに関するZ上の対称式なので、 U(kn)/U(n)はV(n)=α^n+β^n, および(αβ)^n=Q^nのZ上の多項式で表される。 Q∈Zより、U(kn)/U(n)はV(n)の多項式で表される。 48 名前：２０ mailto:sage [04/01/27 16:32] ４７さん、どうも。 ４７さんのやり方でＦ（ｋｎ）/Ｆ（ｎ）がＬ（ｎ）の多項式であらわせる 事が示せます。一般に対称式が、基本対称式であらわせることを使っています。 49 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/01/28 10:27] １０は証明されてる？ 50 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/01/28 20:31] >>49 補題　自然数nについてn≧F(k)＞n/2となるフィボナッチ数F(k)が存在する。 ∵n以下の最小のフィボナッチ数F(k)がn/2>F(k)とするとF(k)>F(k-1)より F(k+1)<n　が導かれF(k)の最小性に反する。 定理　全ての自然数nはいくつかの異なるフィボナッチ数の和で表すことができる。 n=1のときは明らかに成り立つ。 m以下の自然数で成り立つとする。 m+1に対してm+1≧F(k)>(m+1)/2となるものが取れる。(∵補題より) F(k)=m+1ならばそれでよい。　F(k)>m+1のとき m+1-F(k)<m　であるので、仮定より異なるフィボナッチ数の和(*)で表せる。 このときm+1-F(k)<(m+1)/2<F(k)であるので、表示(*)のなかにF(k)は含まれない。 よって　m+1=F(k)+(*)　は題意を満たす表示となる。 51 名前：２０ mailto:sage [04/01/29 09:32] ５０さん、どうもありがとう！ 52 名前：４０の解法 [04/02/01 20:55] 基本公式 Ｆ（ａ）＝Ｌ（ｂ）Ｆ（ａ−ｂ）−（（−１）＾ｂ）Ｆ（ａ−２ｂ）・・・（１） に、ａ＝ｋｎ，ｂ＝ｎを代入する事により（ｋ≧２とする）、 Ｆ（ｋｎ）＝Ｌ（ｎ）Ｆ（（ｋ−１）ｎ）−（（−１）＾ｎ）Ｆ（（ｋ−２）ｎ）・・・（２） 両辺をＦ（ｎ）で割り（ｎ≧１）、Ｆ（ｋｎ）/Ｆ（ｎ）＝Ｇ（ｋ）と置けば、 Ｇ（ｋ）＝Ｌ（ｎ）Ｇ（ｋ−１）−（（−１）＾ｎ）Ｇ（ｋ−２）・・・（３） 簡略化のために、Ｌ（ｎ）＝ｘ，（（−１）＾（ｎ−１））＝ｙと置くことにより 漸化式、Ｇ（ｋ）＝ｘＧ（ｋ−１）+ｙＧ（ｋ−２）・・・（４） を得る。 ただし、Ｇ（１）＝Ｆ（ｎ）/Ｆ（ｎ）＝１ Ｇ（２）＝Ｆ（２ｎ）/Ｆ（ｎ）＝Ｌ（ｎ）＝ｘ　である。 （つづく） 53 名前：２０ [04/02/03 02:10] もうしわけないが、以下、数学的帰納法で解く部分が相当煩雑な記述になって しもうので、割愛させていただく。右辺の２変数多項式の係数に２項係数が あらわれることが観察され、そこから一般形を予測し、帰納法で証明する。 結果として Ｆ（ｋｎ）/Ｆ（ｎ）＝Σ（ｙ＾ｖ）（ｋ−１−ｖＣｖ）（ｘ＾（ｋ−１−ｖ）） Σ【ｖ＝０から（ｋ−１）/２）の整数部分まで】 ただし、ｘ＝Ｌ（ｎ），ｙ＝（−１）＾（（ｎ−１）*ｖ） （ｋ−１−ｖＣｖ）は、もちろん２項係数 54 名前：訂正 [04/02/03 02:12] 下から２行目 ｙ＝（−１）＾（ｎ−１）の誤り 55 名前：訂正２ [04/02/03 02:14] １行目 ｘ＾（ｋ−１−ｖ）はｘ＾（ｋ−１−２ｖ）の誤り 56 名前：１３２人目の素数さん [04/02/03 02:23] 気色悪いのでもう一度、清書する・・・ Ｆ（ｋｎ）/Ｆ（ｎ） ＝Σ（（−１）＾（（ｎ−１）*ｖ））（ｋ−１−ｖＣｖ）Ｌ（ｎ）＾（ｋ−１−２ｖ） Σの範囲は、ｖ＝０から（（ｋ−１）/２）の整数部分まで どうもパソコンの画面で数学するのは・・・記法が煩雑になって苦しいですね。 57 名前：KingMathematician ◆5lHaaEvFNc [04/02/03 11:06] Re:>>56 分数と冪を扱えるソフトを使えば読みやすくなるのではないだろうか？ 58 名前：２０ mailto:sage [04/02/03 15:00] レス、ありがとう。 なにか色々、そういうテクがあるんでしょうね。私はそういった方面の 知識にはとんと、うとくて・・・。パソコンやインターネットが得意とは とてもいえない人間です。 59 名前：１３２人目の素数さん [04/02/06 20:01] かなり詳しいサイト発見。公式、応用などいろいろ載ってまつ。 www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/fib.html 公式が見たい人はここへ。参考文献もなかなか。 www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/fibmaths.html www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/fibFormulae.html 60 名前：１３２人目の素数さん [04/02/07 23:28] 英語にうといからな・・・ 61 名前：26 mailto:sage [04/02/07 23:40] >>26 ＞3. U(m+n)=U(m)U(n)-Q^n U(m-n), ＞V(n)=U(n+1)-QU(n-1). 訂正。 U(m+n)=U(m)V(n)-Q^n U(m-n), V(m+n)=V(m)V(n)-Q^n V(m-n)=DU(m)U(n)+Q^n V(m-n). ネタ本(Ribenboim, The New Book of Prime Number Records)の記述を そのまま写したらミスった。逝ってくる。 62 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/02/08 19:24] U_iをFibonacci数列とし、 LCM(a_1, ..., a_n)をa_1, ..., a_nの最小公倍数とする。このとき lim n→∞ (log(U_1U_2...U_n)/logLCM(U_1, U_2, ..., U_n))=π^2/6 参考： listserv.nodak.edu/scripts/wa.exe?A1=ind0011&L=nmbrthry#13 63 名前：２０ [04/02/09 01:12] 英語にうとい６０さんにも（そして私にも）朗報。６１さんの指摘した Ｒｉｂｅｎｂｏｉｍの本そのものではないが、それを元に編集された本 として、「素数の世界　その探求と発見」が共立出版から出ています。 さて、われわれはＦ（ｎ）を、（α＾ｎ−β＾ｎ）/（αーβ）と定義し ましたが、Ｆ（ｎ）には、他にもいろいろな表示があることが知られて います。たとえば、５２の（４）において、ｘ＝１、ｙ＝１と置けば、 これは（ｋについての）フィボナッチ漸化式になりますから、５６の結果 と、ｋをｎに再度、置きかえる事により、次式が得られます。 Ｆ（ｎ）＝Σ（ｎ−１−ｖＣｖ）・・・・・・・・・・・・・・（Ａ） ただし、Σの範囲は、ｖ＝０から、ｐ（ｎ）まで。 ただし、今後、ｐ（ｎ）は（（ｎ−１）/２）の整数部分を表わすものとします。 64 名前：２０ [04/02/09 01:30] 以下、いくつか私の知っているものを挙げてみます。まだまだ、あると 思いますが。 Ｆ（ｎ）＝（１/２＾（ｎ−1））Σ（ｎＣ2ｖ+1）５＾ｖ・・・・・（Ｂ） Σの範囲は、ｖ＝０から、ｐ（ｎ）まで Ｆ（ｎ）＝Π（１+４（ＣＯＳ（ｋπ/ｎ））＾２）・・・・・・・・（Ｃ） Πの範囲は、ｋ＝１から、ｐ（ｎ）まで （Πは積の記号です） Ｆ（ｎ） ＝（１/２＾（ｎ−1））Σａ｛Σｂ（ｎＣ2μ+1）（μＣｖ）｝４＾ｖ・・・・（Ｄ） ただし、Σａの範囲は、ｖ＝０から、ｐ（ｎ）まで Σｂの範囲は、μ＝ｖから、ｐ（ｎ）まで、です。 Ｂ，Ｃ，Ｄは、いづれも（私が）証明できていません。（Ｄは形をみてるだけで 鬱になりそうです・・・）誰か、証明法がわかる人がいたら、教えてください・・。 65 名前：２０ [04/02/09 01:43] ・・・しかし、いずれも和や積のパラメータの終値がきっかりそろえた ように、ｐ（ｎ）すなわち（（ｎ−１）/２）の整数部分（普通は、ガウス 記号を使いますね）になっているのは、実に印象的ですね。 66 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/02/09 03:11] (1+x)^n-(1-x)^n を考える。 二項定理より ( 二項係数を　C(n,k)　とかく事にする。) (1+x)^n-(1-x)^n =Σ[k=0 to n]C(n,k)x^k-Σ[k=0 to n]{(-1)^k}C(n,k)x^k kが偶数の項は打ち消しあって0になり,Kが奇数の項が2個残るので (1+x)^n-(1-x)^n =2Σ[k=0 to p(n)]C(2m,2k+1)x^(2k+1) =2xΣ[k=0 to p(n)]C(2m,2k+1)x^(2k) ここでx=√5を代入すると (1+√5)^n-(1-√5)^n)=2√5Σ[k=0 to p(n)]C(n,2k+1)5^k これの両辺を2^n√5で割ると、左辺はF(n)になり>>64のBが示せる。 67 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/02/09 03:39] 同様に(1+x)^n-(1-x)^n について、話を簡単にするためn=2mとして偶数の場合とする。 実数aについて　x^(2m)=a^(2m)と言う方程式を解くと、ドモアブルの定理より x=aexp(Kπi/m)　k=0,1,･･･2m-1　となり、このうち実数解はk=0,m　また共役な解をセットにすると x=±a,　aexp(±Kπi/m)　k=1,･･･m-1　となり　これより x^(2m)-a^(2m)=(x-a)(x+a)Π[k=1 to m-1]{x-aexp(kπi/m)}{x-aexp(-kπi/m)}=(x-a)(x+a)Π[k=1 to m-1]{x^2-2axcos(kπ/m)+a^2} を得る。これにx=(1+x)　a=(1-x)を代入して整理すると (1+x)^(2m)-(1-x)^(2m)=4xΠ[k=1 to m-1]{2+2x^2+2(1-x^2)cos(kπ/m)} 三角関数の半角公式etcを用いて整理すると　2m=n　だから 2+2x^2+2(1-x^2)cos(kπ/m)=4sin^2(kπ/n)+4cos^2(kπ/n)x^2=4+4cos^2(kπ/n)*(x^2-1)　これより (1+x)^(2m)-(1-x)^(2m) =4xΠ[k=1 to m-1]{4+4cos^2(kπ/n)*(x^2-1)} =(4^m)xΠ[k=1 to m-1]{1+cos^2(kπ/n)*(x^2-1)} x=√5　を代入して　両辺を4^m=2^(2m)　で割れば　>>64のCのn=2mの場合を得る。 n=2m-1　とした場合も最初の因数分解が少し変わるだけで後はほぼn=2mの場合と同じ。 68 名前：１３２人目の素数さん [04/02/09 05:04] 既出かな？ n個のフィボナッチ数列 1,1,2,3,…,F(n)の中から二つの数を ランダムに取り出す。( どの数を取り出す確率も等しい ) この時、二つの数が互いに素である確率をR(n)と置き、 R=lim[n→∞] R(n)　とすれば 8/(π^2)＞R＞7/(π^2) が成立する。 G(n) = Π[k=1,n] F(k) と定義するとき、n個の連続したフィボナッチ数列の 積はG(n)の倍数である事を示せ。 69 名前：２０ mailto:sage [04/02/09 12:19] >>66,67 すばらしい。あっというまに答えが返ってきました・・。数板の方はやはり優秀 なんですね。勉強になりました。 ところで、Ｄですが、もしかしたら書き間違いがあるかもしれません。いま、確かめ 中なので、少々、待ってください。（ご迷惑をかけていないといいのですが・・） >>68 ６８さん、出題ありがとうございます。 70 名前：67 mailto:sage [04/02/09 14:03] 夜中にやったから誤字が多いな。以下訂正。 7行目2+2x^2+2(1-x^2)cos(kπ/m)　→2+2x^2-2(1-x^2)cos(kπ/m) 9行目の最初のも同様。 13行目　4^m=2^(2m)　→2^(2m)√5　で割る。 Dは手をつけてないけど、Bをいじるのかな。 71 名前：１３２人目の素数さん [04/02/09 17:15] n番目までのフィボナッチ数の和 = F_n+2 - 1 既出？ ってか思いついた当初は普通にFn=α^n - β^n / α-βつかって証明したんだけど いま思うともっと簡単な照明方法あったかもしれない・・・ ところでFnの逆数の無限和はどうなるの？ ググって見たけど数セミに昔載ってたって事しか分からんかった。 72 名前：１３２人目の素数さん [04/02/09 18:05] www.amazon.co.jp/exec/obidos/ASIN/4535782814/ 当然お前ら、この本買ったよな？ 73 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/02/10 00:52] Thomas Koshy, Fibonacci and Lucas numbers with applications, John Wiley , 2001 これが今のところFibonacci数の初等整数論的性質を扱った本では 一番詳しいと思われ。 これ以外にも T.N. Shorey, R. Tijdeman, Exponential diophantine equations, CTM 87, Cambridge University Press, 1986, Graham Everese, Recurrence sequences, Mathematical surveys and monographs 104, AMS, 2003 www.ams.org/bookstore?fn=20&arg1=survseries&item=SURV-104 www.mth.uea.ac.uk/sequences/ が二階線形循環数列の数論的性質を扱ってるが超越数論的な方法を 使っているので少し難しいかも。 74 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/02/10 01:28] Ｋｏｓｈｙの本は、いくら位で手にはいるものですか。値段のことですが。 （非常に、俗な質問で申し訳ないです） 75 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/02/10 03:27] >>64のDはやはりBから導けるね。 5^v=(1+4)^v=Σ[k=0 to v]C(v,k)4^k とできるので、Bより F(n)=1/2^(n-1)Σa[v=0 to p(n)]Σb[k=0 to v]C(n,2v+1)*C(v,k)*4^k とできる。ここでkの値に注目し、k=iとなる項全てを集めると、 C(n,2i+1)*C(i,i)*4^i　、C(n,2(i+1)+1)*C(i+1,i)*4^i、･･･ ･･･、C(n,2p(n)-1)*C(p(n)-1,i)*4^i　、C(n,(2p(n)+1)*C(p(n),i)*4^i となる。これらの和は　Σ[u=i to p(n)]C(n,2u+1)*C(u,i)*4^i　…(*) iはkのとる値であり、kは0からvまでを渡るが、vは0からp(n)までを渡るので 結局kも0からp(n)までの値を渡る。ゆえにiも0からp(n)間での値を取る。 (*)を全てのiに付いて足しあげれば、 Σa[v=0 to p(n)]Σb[k=0 to v]C(n,2v+1)*C(v,k)*4^k に含まれる項を漏れも重複もなく足し挙げる事ができるので Σa[v=0 to p(n)]Σb[k=0 to v]C(n,2v+1)*C(v,k)*4^k=Σ[i=0 to p(n)](*) 以上より　F(n)=1/2^(n-1)Σa[i=0 to p(n)]Σb[u=i to p(n)]C(n,2u+1)*C(u,i)*4^i 76 名前：１３２人目の素数さん [04/02/10 17:42] >>74 amazon では、12264円らしい。米国では 105ドルとか。 77 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/02/10 19:04] >>64 シグマの変数は”�納v=0,n]”みたいに書いてくれないか？ 正直読みにくい。 78 名前：１３２人目の素数さん [04/02/11 08:29] テスト 79 名前：２０ [04/02/11 08:39] あれ、書き込めた・・・。しばらくまんが喫茶からの書き込みは できなかったのに。 ６６＝６７＝７５さん、どうも。まだくわしく内容をみていないの ですが、Ｂから、５＾ｖ＝（４+１）＾ｖに注目して、Ｄが本当に 導けるのですね・・。まったく、考えもつきませんでした。 出題してみたかいがありました。本当に勉強になります・・。 >>77 わかりました 80 名前：２０ mailto:sage [04/02/14 00:00] ・・こんなのもありました。やはり証明がわかりません。教えてください。 Ｆ（ｋｎ） ＝Σ[ｖ＝１、ｋ]Ｃ（ｋ、ｖ）Ｆ（ｎ）＾ｖ*Ｆ（ｎ−１）＾（ｋ−ｖ）*Ｆ（ｖ） ただし、ｋ≧１、ｎ≧１。 81 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/02/14 00:48] つか、どこから見つけてくるの？ 参考書を見れば載ってるんじゃないの？ 82 名前：２０ mailto:sage [04/02/14 01:44] 自分では解き方がわからないのです。 83 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/02/15 03:32] 自分ではネタ出しできないんで、証明が出てないやつに手をつけてみる。 >>68の後半 n>rとしてG(n)/{G(n-r)G(r)}が常に整数となることを示せばよい。 G(n)/{G(n-r)G(r)=D(n,r)と書くことにする。また、便宜的にG(0)=1と定義しておく。 1≦r≦ｎ-1としたとき F(r+1)*D(n-1,r)+F(n-1-r)*D(n-1,r-1) =G(n-1)/{G(n-r)G(r)}*{F(n-r)*F(r+1)+F(n-r-1)*F(r)} >>38の3を用いると　F(n-r)*F(r+1)+F(n-r-1)*F(r)=F(n)　なので 　F(r+1)*D(n-1,r)+F(n-1-r)*D(n-1,r-1) =G(n-1)/{G(n-k)G(k)}*F(n)=G(n)/{G(n-r)G(r)} となり　F(r+1)*D(n-1,r)+F(n-1-r)*D(n-1,r-1)=D(n,r)　がえられる。 また定義に従って計算すれば任意の自然数nについてD(n,0)=D(n,n)=0 あとはnに関する帰納法でn=1のときD(1,0)=D(1,1)=1で n=1に対してD(n,r)は整数。　n=kのときD(k,r)が全て整数であるとして 1≦r≦kに対し　D(k+1,r)=F(r+1)*D(k,r)+F(k-r)*D(k,r-1)　となり整数の和と積で現されるので D(k+1,r)は整数。　r=0,k+1に対してもD(k+1,r)は整数なので n=k+1のときもD(n,r)が全て整数である事が示せる。 84 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/02/17 05:23] >>68前半 8/(π^2)＞R＞7/(π^2)というか、 まんまR=15/(2π^2)になる様な気がするんだが、 わざわざ不等式で書いてあるぐらいだし そんな簡単なもんじゃないのかな? 見てらっしゃったらコメント希望です。 85 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/02/18 21:37] arg(F(2n+2)+i)+arg(F(2n+1)+i)=arg(F(2n)+i) 面白い性質なので載せておきます。 86 名前：１３２人目の素数さん [04/02/18 23:42] 拡張させると、 arg(F(1)+i)+arg(F(3)+i)+arg(F(5)+i)+・・・＋arg(F(2n-3)+i)+arg(F(2n-1)+i)+arg(F(2n)+i) =( �納v=0,n-1]arg(F(2v+1)+i) )+arg(F(2n)+i) =π/4 初等幾何としてはどう解けるのでしょうか。分かりません。 87 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/02/19 22:08] 簡略化の為、m,nの最大公約数を{m,n}と書くことにする。すると {F(m),F(n)}＝F({m,n}) （d｜n　⇔　F(d)｜F(n)。の格調みたいな感じですかね・。） 88 名前：２０ [04/02/21 01:56] そろそろ、あげよ・・・ 以下において、ｐ＝（−１）＾ｎと置く F(２ｎ）＝L(ｎ）F(ｎ） F(３ｎ）＝（L（２ｎ）+ｐ）F(n） F(４ｎ）＝L(ｎ）L(２ｎ）F(ｎ） F(５ｎ）＝（L(ｎ）L(３ｎ）+１）F(ｎ） F(６ｎ）＝（L(２ｎ）+ｐ）（L(２ｎ）-ｐ）L(ｎ）F(ｎ） F(７ｎ）＝（L(ｎ）L(２ｎ）L（３ｎ）-ｐ）F(n） F(８ｎ）＝L(ｎ）L(２ｎ）L(４ｎ）F(ｎ） F(９ｎ）＝（L(６ｎ）+ｐ）（L（２ｎ）+ｐ）F(ｎ） F(１０ｎ）＝（L(ｎ）L(３ｎ）+１）（L(２ｎ）L(３ｎ）-L(ｎ））F(ｎ） ただし Ｌ（３ｎ）＝Ｌ（ｎ）＾３-３ｐ*Ｌ（ｎ） Ｌ（４ｎ）＝（Ｌ（ｎ）＾２-２ｐ）＾２-２ Ｌ（６ｎ）＝Ｌ（ｎ）＾２（Ｌ（ｎ）＾２-３ｐ）＾２−２ｐ 89 名前：２０ [04/02/21 02:07] ８８ではＦ（ｋｎ）の表現に「＾」を使わないこと、をルール にしてやってみました。（ｐだけは仕方がないです） 90 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/02/21 03:33] >>80　出来ますた。 F(n)α+F(n-1)=A(n)　F(n)β+F(n-1)=B(n)　とする。 A(n)^k　B(n)^k　について、二項定理から A(n)^k=Σ[v=0,k]C(k,v)*F(n)^v*F(n-1)^(k-v)*α^v　 B(n)^k=Σ[v=0,k]C(k,v)*F(n)^v*F(n-1)^(k-v)*β^v　となるので (A(n)^k-B(n)^k)/√5=Σ[v=1,k]C(k,v)*F(n)^v*F(n-1)^(k-v)*F(v)　が得られる。 A(n)=(α^n-β^n)*α/√5+{α^(n-1)-β^(n-1)}/√5 　　 ={α^(n+1)+β^(n-1)^}/√5+{α^(n-1)-β^(n-1)}/√5 　　 =α^(n-1)*(α^2+1)/√5 　 　=α^n 同様にしてB(n)=β^n　となるので (A(n)^k-B(n)^k)/√5={α^(kn)-β^(kn)}/√5=F(kn) ゆえ、F(kn)=Σ[v=1,k]C(k,v)*F(n)^v*F(n-1)^(k-v)*F(v) 91 名前：２０ [04/02/21 03:37] すばらすぃ〜 サンクス　　>>90 92 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/02/29 16:21] てすと 93 名前：２０ [04/02/29 16:30] また出題です。保守あげも兼ねて・・ Ｇ（ｋ）＝Ｆ（ｋｎ）/Ｆ（ｎ）、ｐ＝（−１）＾ｎ、 ＬＬ（ｍ）＝Π[ｋ＝１、ｍ]Ｌ（ｋｎ）　と置くとき ＬＬ（１）＝Ｇ（２）。ＬＬ（２）＝Ｇ（４）、ＬＬ（３）＝Ｇ（７）+　ｐ、 ＬＬ（４）＝Ｇ（１１）+　ｐ*Ｇ（５）、となりますが、では ＬＬ（５）以降はどうなるか？　 ４までのような簡明なかたちで表現できるでしょうか。 94 名前：２０ [04/02/29 17:00] ＬＬ（５）は、いま考えてみたら ＬＬ（５）＝Ｇ（１６）+　ｐ*Ｌ（２ｎ）*Ｇ（８） になってしまった・・。Ｌ（２ｎ）が目障りだなぁ。なんとか消えない ものか・・・。 95 名前：２０ mailto:sage [04/02/29 17:17] 無理やり、Ｌ（２ｎ）を消すとすれば ＬＬ（５）＝Ｇ（１６）+　ｐ*（Ｇ（４）Ｇ（８）/Ｇ（２）） か・・あまり、「キレイなかたち」にはならないのかな？ 一般項をもとめることは出来るかな？ 96 名前：２０ mailto:sage [04/02/29 18:03] 英語ができる人は、フィナボッチ・ウィークリーから面白そうな 結果をみつけて訳してくれると嬉しいのだが・・・。 97 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/03/03 10:16] てすと 98 名前：２０ [04/03/03 10:36] 考えてみたら、９４のＬ（２ｎ）は簡単に消すことができる。 >>38　の基本定理３を思い出すと Ｆ（ａ）＝Ｌ（ｂ）Ｆ（ａ−ｂ）−（（−１）＾ｂ）Ｆ（ａ−２ｂ） であった。この式のａに１０ｎを、ｂに２ｎを代入することにより Ｆ（１０ｎ）＝Ｌ（２ｎ）Ｆ（８ｎ）−Ｆ（６ｎ） すなわち Ｌ（２ｎ）Ｆ（８ｎ）＝Ｆ（１０ｎ）+Ｆ（６ｎ） したがって、両辺をＦ（ｎ）で割ることにより Ｌ（２ｎ）Ｇ（８）＝Ｇ（１０）+Ｇ（６） を得る。結果として ＬＬ（５）＝Ｇ（１６）+ｐ（Ｇ（１０）+Ｇ（６））。 では、ＬＬ（６）はどうなるでしょう？（みればわかる通り単なる計算問題です） 99 名前：１３２人目の素数さん [04/03/03 10:44] 前者に関して。 隣接２項の比は黄金比に収束する。 全部読んでないからすでにでてきてたらすまん。 100 名前：２０ mailto:sage [04/03/03 11:22] 一応、省略記号を使わない書き方でも書いておきます。 Ｌ（５ｎ）Ｌ（４ｎ）Ｌ（３ｎ）Ｌ（２ｎ）Ｌ（ｎ） ＝Ｆ（１６ｎ）/Ｆ（ｎ）+（（−１）＾ｎ）（Ｆ（１０ｎ）/Ｆ（ｎ）+ Ｆ（６ｎ）/Ｆ（ｎ）） 101 名前：２０ mailto:sage [04/03/04 06:24] フィボナッチ数論って、人気ないですねぇ。もちろん、孤立した小島のような ところがあるから無理もないかもしれませんが。 102 名前：２０ mailto:sage [04/03/05 10:16] ＬＬ（６）はできました。 ＬＬ（６）＝Ｇ（２２）+Ｇ（１０）+ｐ（Ｇ（１６）+Ｇ（１２）+Ｇ（４）） です。ＬＬ（７）は、まだ出来ない・・・。Ｌ（７ｎ）という項が出てきて なかなか消えてくれません・・。 103 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/03/05 11:08] >>102 G(k)L(ln)=G(k+l)+p^l*G(k-l)　(k≧lの場合)　,G(k+l)-p^k*G(l-k)　(K≦Lの場合) ただしG(0)=0としておく。 これより LL(7) LL(6)*L(7n) =G(29)+(17)+G(9)+G(5)+p{G(23)+G(19)+G(15)+G(11)} LL(8)=G(37)+G(25)+G(21)+G(17)+G(13)+G(9)+1+p{G(31)+G(27)+G(23)+G(19)+G(15)+G(11)+G(7)} 以下計算を繰り返してLL(9)、LL(10)を求められるが一般項を求められるかはよくわからん。 104 名前：２０ mailto:sage [04/03/06 09:58] >>103 ・・・その通りですね。僕はＧ（２９）の展開式のなかにＬＬ（７）の項が あらわれることから逆算して解こうとしていた。だから、Ｌ（７ｎ）の項が 消えてくれないなどと寝言を言っていた。それより、ＬＬ（６）の式の両辺 にＬ（７ｎ）を掛け、あとは基本定理の３をくり返し使うだけですよね・・・。 （１０３さんが使っているのは、３にａ＝（ｋ+ｌ）ｎ、ｂ＝ｌｎを代入した式 Ｆ（（ｋ+ｌ）ｎ）＝Ｌ（ｌｎ）Ｆ（ｋｎ）ー（（−１）＾（ｌｎ））Ｆ（（ｋ−ｌ）ｎ） を移行して、Ｆ（ｎ）で割ったものです。上記の式のほうが使いやすいかも 知れないので、定理３の系１として置きます。） 105 名前：２０ mailto:sage [04/03/06 10:10] もう少し、詳しく言いますと ２+２＝４、４+３＝７、７+４＝１１、１１+５＝１６、１６+６＝２２、 まず、ＬＬの展開式の最大項に上の関係が成り立つことから、２２+７＝２９ でＧ（２９）の展開式のなかにＬＬ（７）があらわれることが予測できたという 訳ですが・・・なんとも遠回りしてますね。 106 名前：２０ [04/03/08 09:33] １０４では、基本定理３を繰り返し使うだけ・・などと書いて しまいましたが、そんなに簡単ではありませんでした。 おもしろい箇所があるので、ぜひ実際に計算してみてください。 特に、ＬＬ（４）辺りの計算を。 107 名前：２０ [04/03/08 09:39] ＬＬ（９）以上の計算はきわめて膨大化するので、コンピュータ にやらせないと無理かも。僕も、ちょっとそちらの方面を勉強 してみようと思ってます。リサ/アジールは一応持ってるので・・・。 108 名前：２０ mailto:sage [04/03/10 11:29] Ｆ（ｎ+ｋ）＾２＋Ｆ（ｎ-ｋ）＾２ 　＝Ｌ（２ｋ）*Ｆ（ｎ）＾２-（（-1）＾ｋ）２Ｆ（ｋ）＾２ 　＝１/５｛Ｌ（２ｎ）*Ｌ（ｋ）＾２-（（-1）＾ｋ）２Ｌ（ｎ）＾２｝ 109 名前：１３２人目の素数さん [04/03/10 14:25] 期待あげ 110 名前：１３２人目の素数さん [04/03/14 14:21] なんかないのか？　いいネタ。 111 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/03/21 09:41] 自然数nを奇数の和で書き表す方法(和の順序を考慮にいれる.)の数をS(n)とする。 例えば　4=1+1+1+1=1+3=3+1　なのでS(4)=3 S(n)を求めよ。 112 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/03/22 15:30] これは面白いですね。ありがとうございます。 113 名前：１３２人目の素数さん [04/03/26 23:06] (�納v=1,∞]F(v)/(10^(v+2)))=1/89 114 名前：１３２人目の素数さん [04/03/27 13:56] １１３の証明、誰かわかる？ 115 名前：１３２人目の素数さん [04/03/27 23:03] S=(�納v=1,∞]F(v)/(10^(v+2)))=1/89　　とする。(ただしF(0)=0) S=F(1)/10^2+F(2)/10^3+F(3)/10^4+F(4)/10^5+・・・・・・ =(1/100)+(F(0)/10^3+F(1)/10^3)+(F(1)/10^4+F(2)/10^4)+(F(2)/10^5+F(3)/10^5)+・・・・・・ (並べ替えると) =1/100+(F(1)/10^4+F(2)/10^5+・・・・・・)+(F(1)/10^3+F(2)/10^4+F(3)/10^5・・・・・・) =1/100+S/10+S/100 よって、S=1/100+S/10+S/100　これを解くと 　　 S=1/89　　 116 名前：１３２人目の素数さん [04/03/28 14:43] もしくは、フィボナッチ数列の一般項　F(n)=(((1+5^2)/2)^n-((1-5^2)/2)^n)/5^2 から等比数列の和と出してもいいかな。めんどくさいけど・・・ 117 名前：１３２人目の素数さん [04/03/29 08:16] >>115 サンクス！ 118 名前：牛宿も入れようよ mailto:sage [04/03/29 20:12] ttp://science2.2ch.net/test/read.cgi/math/1059599142/767-783 リュカ数列参考にさせていただきました。他にもなにかあるんでしょうねぇﾜｸﾜｸ 119 名前：１３２人目の素数さん [04/04/04 18:48] fib 120 名前：１３２人目の素数さん [04/04/10 00:21] 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 パスカルの三角形を変形させて 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（各行の和） 1　　　　　　　　　　　　　　　　　　・・・・1　　 1 　 　　　・・・・1 1 1　　　　　　　　　　　　　　　・・・・2 2 1 　　　　　　　　　　　　　・・・・3 1 3 1　　　　　　　　　　　　・・・・5 3 4 1　　　　　　　 　　　・・・・8 1 6 5 1　　　　　　　　　・・・・13 4 10 6 1　　　　 　　　・・・・21 1 10 15 7 1　　　　　　・・・・34 5 20 21 8 1　 　　　・・・・55 1 15 35 28 9 1 ・・・・89 6 35 56 36 10 1　 ・・・・144 1 21 70 84 45 11 1・・・・233 121 名前：１３２人目の素数さん [04/04/17 00:06] >>120 www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/pascal/pascal.htm にあることのようですね。 122 名前：１３２人目の素数さん [04/04/21 10:31] 期待あげ 123 名前：１３２人目の素数さん [04/04/21 23:51] [nが素数]⇒[L(n)≡1(mod.n)]逆は謎。 124 名前：１３２人目の素数さん [04/04/24 15:41] ∀n,∃m Ｆ(m)≡0(mod.n) 125 名前：１３２人目の素数さん [04/04/28 01:36] 迫関数列f[n]について、 f[L(n)](n)=L(n) 126 名前：１３２人目の素数さん [04/05/02 22:54] ４つの連続するフィボナッチ数の積は、あるピタゴラスの三角形の面積。 127 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/05/09 03:56] 407 128 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/05/10 21:44] >126 ４つの数を b-a, a, b, a+b の積は (1/2)(2ab)(b^2-a^2). 129 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/05/10 22:08] ↓もありますた。（q=1) Σ[k=0,[n/2]]Ｃ[n-k,k] = F(n+1) シンプルで難しい問題 science2.2ch.net/test/read.cgi/math/1011067036/344 130 名前：129 mailto:sage [04/05/11 02:04] 120,121 にガイシュツ、スマソ． 131 名前：129 mailto:sage [04/05/11 02:31] Σ[k=0,[n/2]] Ｃ[n-k,k](-Q)^k = U_{n+1}(Q). ここに、U_n(Q)={(b^n)−(a^n)}/(b-a) は[26]の一般化フィボナッチ数列。 a,b は特性方程式 x^2-x+Q=0 の解 132 名前：129 mailto:sage [04/05/11 02:45] [26]の一般化フィボナッチ数列をU_n(P,Q)、特性方程式 x^2-Px+Q=0 の解をa,bとする。このとき U_n = {(b^n)-(a^n)}/(b-a) だから、 U_{n+1} - a･U_n = b^n, U_{n+1} - b･U_n = a^n. 辺々掛けて、 [U_{n+1}]^2 −P･U_n･U_{n+1} +Q･[U_n]^2 = Q^n. P^2-4Q>0 双曲線、 P^2-4Q=0 二直線、 P^2-4Q<0 楕円. 133 名前：１３２人目の素数さん [04/05/16 23:46] 任意の２０個の連続するフィボナッチ数の和はF(10)＝55で割り切れる。 134 名前：１３２人目の素数さん [04/05/21 23:08] 保守あげ。１３３の証明をしましょうね？ 135 名前：133 [04/05/22 13:34] F(n)+F(n+1)+･･･+F(n+19)＝F(n+21)-F(n+1) F(n+21)≡F(n+1)　(mod.F(10)) より 任意の２０個の連続するフィボナッチ数の和はF(10)＝55で割り切れる。 136 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/05/30 04:49] 414 137 名前：１３２人目の素数さん [04/05/30 18:05] (�納v=1,∞]1/(F(v)F(v+2))) ＝1/F(1)F(3)+1/F(2)F(4)+1/F(3)F(5)+F(4)F(6)+････ ＝1 138 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/06/01 12:16] >137 F(v+1) = F(v+2) - F(v) ∴ 1/{F(v)F(v+2)} = 1/{F(v)F(v+1)} - 1/{F(v+1)F(v+2)}. ∴ 与式 = 1/{F(1)F(2)}. 139 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/06/02 10:44] >>138 別に証明しろといってるわけではないのですが･･･ むしろ、何かいい性質･定理はないですか？ 140 名前：１３２人目の素数さん [04/06/05 19:59] フィボナッチの漸化式で定まる数列を「フィボナッチ型数列」と呼ぶことにする。 このとき、初項をうまく設定することで、全ての自然数が一度だけ表れるような 「フィボナッチ型数列群」を構成することができる。 141 名前：１３２人目の素数さん [04/06/11 13:31] 一週間書き込まないだけで何故ここまで落ちねばならぬ 142 名前：１３２人目の素数さん [04/06/15 21:51] 4n個の連続するフィボナッチ数の和はF(2n)で割り切れる。 143 名前：１３２人目の素数さん [04/06/26 03:16] 296 144 名前：１３２人目の素数さん [04/07/03 14:47] 　　　　　　　　　　　　 　 ,,. -‐''''''''''''''''''''''‐- ､ 　　　　　　　　　　　　 , ‐'":::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::｀'‐､ 　　　　　　　　　　　／:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::ヽ 　 　 　　　　　　　/ ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::　 ヽ 　　　　　　　　　/　　　 ::::::::::::ri:::::::::::::::::::::::::::::..........,,,,,,,,,,,,', 　 　 　　　　　 /:::::::::::;::::::/::::/! i:::::::::::::::::::::::::::::::::::::;;;;;;;;;;;;;;i 　　　　　　　　i::::|::::::;i:::::/l:::/ |　';:::::ﾄ;::::::::::::::::::::::::::;;;;;;;;;;;;;;;;i 　　　　　　　　|:::|:::::/|::/ |:/.　|　ヽ;::l ヽ:::i丶::::';:::::::;;;;;;;;;;;;;;;;;i 　　　　　　　　|:::|::/　!/ _ﾚ�＝@　v､::i　ヽ:', ＼::i丶:;;;;;;;;;;;;;;;;;;| 　　　　　　　　|::::i:;', '''''"　　　　　　 ヽ￣ ヾ''''＼:::::;;;;;;;;;;;;;;;;;;| 　書き込みはまだか… 　　　　　　　　|:::::::;;', -─‐-　　　　 -──--　i::::::;;;;;;;;;;;;;;;;;;| 　　　もう待ちくたびれた… 　　　　　　　　|:::::::;;;i |　　 l 　　　　　 l　　　|　 |::::::;;;;;;;;;;;;;;;;;;| 　　　　　　　　|::::::::;;;l.|　　| 　　 　 　 　l 　　|　 |::::::;;;;;;;;;;;;;;;;;;| 　　　　　　　　|::::::::;;;;i|　　|　　　　　　　 l　　|　 !:::::;;;;;;;;;;;;;;;;;;;| 　　　　　　　　|:::::::::;;;;;:ヽ ,|　　r───､|　　|-'|::::;::;;;;;;;;;;;;;;;;;;| 　 　 　 　 　　 |:::::::::;;;;;;;;;;;;;`''- ﾆ,─--,' ‐='"''"|::::;;:;;;;;;;;;;;;;;;;;;;| 　　　　　　　　 |::::;;:::;;;ri;;;;;;||::／　｀i￣i.:.:.|:.:.:.:i:.:|::::;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;| 　 　 　 　 　 　 |:::;;;;::;;;l.';;;;;y'　　　　'':.:.:.:.:.:.:'''　|::::;;;;;;;;;;i｀ヽ;;;;;;| 　　　　　　　　　|:::;;;;;;;;;| '/､ 　 　 　 　 　 　 　|:::;;;;;;i;;;/_,. へ;| 　 　 　 　 　　　 ';:|';;;;;;;l i､ ｀`''ｰ---------‐,l::;;;;;/リ　　_,,..ﾍ 　　　　　　　　 　 '! ヽ;;V. `|''ｰ-- ....,,,,,,,,,,,,,,..../:;／-‐''''"　　　'､ 145 名前：１３２人目の素数さん [04/07/03 14:58] 任意の自然数に対し、その倍数となるフィボナッチ数が存在するが、 リュカ数は5の倍数とならぬ。 146 名前：１３２人目の素数さん [04/07/03 15:01] フィボナッチ数スレから転載。 109 名前：１３２人目の素数さん ：04/06/26 17:32 F_(n+1)^3 + F_n^3 - F_(n-1)^3 = F_3n (Kingsberg) 111 名前：１３２人目の素数さん ：04/07/03 14:12 (F_m, F_n) = F_(m, n) 147 名前：１３２人目の素数さん [04/07/07 21:09] リュカ数と言わずにボナッチ数と呼ぼう。 148 名前：１３２人目の素数さん [04/07/07 21:33] >>147 Serre が Spinor に対して Pinor なる言葉を作ったのと同じ考え方から。 149 名前：１３２人目の素数さん [04/07/09 11:42] Lucasさんに失礼だろ。 150 名前：１３２人目の素数さん [04/07/09 11:48] ｎ＞ｍのとき F(ｎ)をF(ｍ)で割った余りをRとすると、RまたはF(ｍ)−Rがフィボナッチ数。 151 名前：１３２人目の素数さん [04/07/09 18:26] フィボ（ ● ´ ー ｀ ● ） 152 名前：１３２人目の素数さん [04/07/12 08:10] >>149 Lucasはおこりゃせんさ。 153 名前：１３２人目の素数さん [04/07/14 22:55] 今、「コンピュータの数学」って本のP.270で見たのだけど、 Fibonacci number systemって面白いね。 「自然数は必ずいくつかの異なるF(k)の和で表す事が出来る。」っての。 n = (b_m b_m-1 ... b_2)_F ⇔ n = Σ_{k=2...m}b_k*F(k) 具体的には 1 = (000001)_F, 10 = (010010)_F 2 = (000010)_F, 11 = (010100)_F 3 = (000100)_F, 12 = (010101)_F 4 = (000101)_F, 13 = (100000)_F 5 = (001000)_F, 14 = (100001)_F 6 = (001001)_F, 15 = (100010)_F 7 = (001010)_F, 16 = (100100)_F 8 = (010000)_F, 17 = (100101)_F 9 = (010001)_F, 18 = (101000)_F 154 名前：153 [04/07/14 22:58] あ。b_k=0または1ね。 155 名前：153 [04/07/14 23:12] あと、この無限和は収束し、その値は有理数となるってのも、率直で面白かった。 0.1 +0.01 +0.003 +0.0005 +0.00008 +0.000013 ... +10^(-n)*F(n) ... 156 名前：153 [04/07/14 23:58] また別の本から。n→∞で Σ1/F(n) は収束し、その値は無理数となる。 のだそうな、証明は、私にはまだ理解不能、、、。 また、その収束する値も具体的にはよくわからんけど、 試しに18項目まで足してみたら 3.359... と言った数字だった。 収束する値はもう少し大きくなりそう。収束めちゃ遅いっぽい。 ↓計算を試した結果。 1　　 1 1.0　　　　　　　 1.0 2　　 1 1.0　　　　　　　 2.0 3　　 2 0.5　　　　　　　 2.5 4　　 3 0.333333333333　　2.83333333333 5　　 5 0.2　　　　　　　 3.03333333333 6　　 8 0.125　　　　　　 3.15833333333 7　　13 0.0769230769231　 3.23525641026 8　　21 0.047619047619　　3.28287545788 9　　34 0.0294117647059　 3.31228722258 10 　55 0.0181818181818　 3.33046904076 11 　89 0.0112359550562　 3.34170499582 12　144 0.00694444444444　3.34864944026 13　233 0.00429184549356　3.35294128576 14　377 0.0026525198939　 3.35559380565 15　610 0.0016393442623　 3.35723314991 16　987 0.00101317122594　3.35824632114 17 1597 0.000626174076393 3.35887249522 18 2584 0.000386996904025 3.35925949212 157 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/07/16 17:58] >>155 は >>113 >>115 に詳しくあるよ。 逆数和についてはこの１０年でいくつか証明されているようですね。 158 名前：１３２人目の素数さん [04/07/16 18:11] ��1/F(n)が無理数というのが分かったのも1989年ですしね。まだ超越数かどうかは不明だそうです。 ��1/F(n)^2,��1/F(n)^4,��1/F(n)^6・・・が超越数だということは分かっているのですが。 ��1/F(n)^3,��1/F(n)^5,��1/F(n)^7・・・についてはどの一つも分かっていないようです。 また2003年には立谷洋平が 任意の整数a≧1,b≧0に対し ��1/F(an+b) が無理数であることも証明したそうです。 159 名前：１３２人目の素数さん [04/07/16 18:27] �納n=1,∞]F(n)a^n＝x/(1-a-a^2) (lal＜1/τ τ＝黄金比) �納n=1,∞]L(n)a^n＝(2-a)/(1-a-a^2) (lal＜1/τ) �納n=1,∞]nF(n)a^n＝a(1+a^2)/((1-x-x^2)^2) (lal＜1/τ) 160 名前：１３２人目の素数さん [04/07/17 16:04] なんとそんな最近の結果だったんですか。>>158 私の見た本ではもうひとつａ>=2,b>=0で ��1/F(a^n+b)が超越数だって書いてありました。96年のnishiokaって方の結果だそうです。 すいません。見えてなかったです。＜155 161 名前：１３２人目の素数さん [04/07/21 17:02] >>160 西岡久美子？ 162 名前：１３２人目の素数さん [04/07/21 17:38] ちんこがたってしょうがない 163 名前：１３２人目の素数さん [04/07/30 06:44] 217 164 名前：１３２人目の素数さん [04/07/30 13:19] F(2^m)＝L(2^(m-1))L(2^(m-2))・・・L(4)L(2)L(1) F(n)F(n+3)-F(n+2)^3＝(-(-1)^n)F(n+1) 165 名前：１３２人目の素数さん [04/08/05 22:17] age 166 名前：１３２人目の素数さん [04/08/13 04:24] 945 167 名前：１３２人目の素数さん [04/08/20 13:53] 629 168 名前：１３２人目の素数さん [04/08/21 08:57] >>164 F(2n) = F(n)L(n) より帰納法で。 169 名前：１３２人目の素数さん [04/08/24 23:07] 要するに明らか 170 名前：１３２人目の素数さん [04/08/29 14:54] L(2n + 1) は 5 の倍数でない。 #このスレをここまで全部読んだ人なら、自明に近いが、 #あなたは何秒で出来ますか??? 171 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/08/31 13:25] >>170 というより、L(ｎ)が5の倍数でないことが、2秒でいえると思うのだが・・ 172 名前：１３２人目の素数さん [04/09/02 05:56] >>171 確かにそうだな。 173 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/08 01:31] 170 174 名前：１３２人目の素数さん [04/09/13 00:01:32] 969 175 名前：１３２人目の素数さん [04/09/18 02:07:19] リュカ・・・聖路加病院の事だな 176 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/19 17:45:10] ・・・基地外病院 177 名前：１３２人目の素数さん [04/09/25 04:40:05] 530 178 名前：１３２人目の素数さん [04/09/29 21:42:51] 237 179 名前：１３２人目の素数さん [04/10/05 11:03:40] 465 180 名前：１３２人目の素数さん [04/10/10 16:23:07] 995 181 名前：１３２人目の素数さん [04/10/15 03:38:47] 　　　　　　　　　　　　 　 ,,. -‐''''''''''''''''''''''‐- ､ 　　　　　　　　　　　　 , ‐'":::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::｀'‐､ 　　　　　　　　　　　／:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::ヽ 　 　 　　　　　　　/ ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::　 ヽ 　　　　　　　　　/　　　 ::::::::::::ri:::::::::::::::::::::::::::::..........,,,,,,,,,,,,', 　 　 　　　　　 /:::::::::::;::::::/::::/! i:::::::::::::::::::::::::::::::::::::;;;;;;;;;;;;;;i 　　　　　　　　i::::|::::::;i:::::/l:::/ |　';:::::ﾄ;::::::::::::::::::::::::::;;;;;;;;;;;;;;;;i 　　　　　　　　|:::|:::::/|::/ |:/.　|　ヽ;::l ヽ:::i丶::::';:::::::;;;;;;;;;;;;;;;;;i 　　　　　　　　|:::|::/　!/ _ﾚ�＝@　v､::i　ヽ:', ＼::i丶:;;;;;;;;;;;;;;;;;;| 　　　　　　　　|::::i:;', '''''"　　　　　　 ヽ￣ ヾ''''＼:::::;;;;;;;;;;;;;;;;;;| 　書き込みはまだか… 　　　　　　　　|:::::::;;', -─‐-　　　　 -──--　i::::::;;;;;;;;;;;;;;;;;;| 　　　もう待ちくたびれた… 　　　　　　　　|:::::::;;;i |　　 l 　　　　　 l　　　|　 |::::::;;;;;;;;;;;;;;;;;;| 　　　　　　　　|::::::::;;;l.|　　| 　　 　 　 　l 　　|　 |::::::;;;;;;;;;;;;;;;;;;| 　　　　　　　　|::::::::;;;;i|　　|　　　　　　　 l　　|　 !:::::;;;;;;;;;;;;;;;;;;;| 　　　　　　　　|:::::::::;;;;;:ヽ ,|　　r───､|　　|-'|::::;::;;;;;;;;;;;;;;;;;;| 　 　 　 　 　　 |:::::::::;;;;;;;;;;;;;`''- ﾆ,─--,' ‐='"''"|::::;;:;;;;;;;;;;;;;;;;;;;| 　　　　　　　　 |::::;;:::;;;ri;;;;;;||::／　｀i￣i.:.:.|:.:.:.:i:.:|::::;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;| 　 　 　 　 　 　 |:::;;;;::;;;l.';;;;;y'　　　　'':.:.:.:.:.:.:'''　|::::;;;;;;;;;;i｀ヽ;;;;;;| 　　　　　　　　　|:::;;;;;;;;;| '/､ 　 　 　 　 　 　 　|:::;;;;;;i;;;/_,. へ;| 　 　 　 　 　　　 ';:|';;;;;;;l i､ ｀`''ｰ---------‐,l::;;;;;/リ　　_,,..ﾍ 　　　　　　　　 　 '! ヽ;;V. `|''ｰ-- ....,,,,,,,,,,,,,,..../:;／-‐''''"　　　'､ 182 名前：１３２人目の素数さん [04/10/20 01:40:39] 114 183 名前：１３２人目の素数さん [04/10/24 21:52:18] 690 184 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/24 21:57:31] フィボナッチ数列って一般項に√５とかはいってきたりして すごい嫌。 示唆に富んでる 185 名前：１３２人目の素数さん [04/10/31 00:13:27] 713 186 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/31 00:58:00] >>184 言っている事が矛盾している。 187 名前：ChaosicSoul ◆/yaJbLAHGw [04/10/31 11:58:24] それじゃあ、a(n+2)=2a(n+1)-a(n)にしてみるか？ これなら、一般項に無理数は入らない。 (これは等差数列になるんだけどね。) でもやっぱり√(5)とかが入ったほうが色々面白いことが起こるのではないか？ 188 名前：１３２人目の素数さん [04/10/31 12:08:50] _,,.. -──‐- .､.._. 　　　　　　　 　 ,　'´　　　　　 ╋　　 ヽ 　　　　　　　　〈:::::::　　　　　　　　　　 _:::) 　　　　 　 　 /´＼:::::::::_,.　- ― -　､.〃/ 　 　 　 　 , '/〈∨〉’‐'´ 　 　 　 　 　 ｀ ' ､ 　　　　　/ ,'. 〈∧〉/ ,.' , ｉ , ｌ }　! `, ヽ ヽ　＼ 　 　 　 ｛ｿ{. ﾆ二|,' / / _! Ll⊥ｌ|　.Ll_!　}　、.ヽ 　　　　 {ソl ﾆ二.!!ｲ /´/|ﾉ_l_,|.ﾉレ'ﾚ_l｀ﾉ|! | .l　} 　 　 　 ﾊｿt.ｰ-;ュ;Vl /,ｨｴ下 　 　 ｢ﾊ ﾚ| j| j|丿 ＼　　　!（(.ヽﾆ{fj ! l ` ﾊ|li_]　　　　|iﾘ {､|,ﾉ!'　　　／￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣ 　 <＼ｎ　)’（ (‘ｰｌ |　 ° ´　　__,'　 ﾟ,' ）　　　　 |　 Kiｎgくん♪ 　　/.）＼_,　 ｀ ） ﾉﾉ＼　　　　 ｔﾉ　／(（.　　　 ＜　 うんこ食べのお時間よ！ 　　Ｖ二ｽ.Y´|　 （(　(ｒ个　 . ___. イヽ） ）)　 　 　 |　 他の素数さんに迷惑だからおとなしくしなさいね♪ 　　 {. r_〉｀!　}>' 　） ／ ゝ ､,,_o]lム` ｰ- ､　　 　 ＼＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 　 　 ＼　 　 ｆ　 ,. '´／　　　　 　 o　..:::　 ＼ 　 　 　 `!　　{／⌒ヽ::::::　　　 　:::.　　＼_::　 ヽ 　　　 　 | 　 .|:::/::|　 ',:::::　　　　　 ::'､::　 ヾ::　 ,〉、 189 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/31 13:14:31] >>187 恥ずかしいコテ使ってんじゃねーよ 190 名前：１３２人目の素数さん [04/10/31 13:25:47] 無理数がお好みなら　a(n+2)=2(a(n+1)+a(n))　の一般項とかでも全然おｋ 191 名前：１３２人目の素数さん [04/11/05 15:08:39] 586 192 名前：１３２人目の素数さん [04/11/06 21:10:51] >>187>>189 別にどうでもいいが統一しろよ 193 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/11/13 03:31:23] 244 194 名前：１３２人目の素数さん [04/11/13 18:56:06] 寒いなぁ 195 名前：１３２人目の素数さん [04/11/15 20:42:54] GCD(U(n),V(n))=1 または 2 U(n), V(n) は 26 さんが定義した一般Lucas数列で GCD(a,b)は a, bの最大公約数とします. 私には証明できないので誰か証明していただけますか? 196 名前：１３２人目の素数さん [04/11/15 23:04:32] >>195 (P, Q)=1であるとする。 V(n)^2-DU(n)^2=4Q^n(>>26) より、U(n), V(n)をともに割り切る素数は2Qの約数。 U(n)≡V(n-1)(mod Q), V(n)≡P^n(mod Q)(>>27の8) より、(U(n), Q)=(V(n), Q)=1だから、(U(n), V(n))=1 or 2. なお、(P, Q)=1でなければ成立しないので要注意。 197 名前：195 [04/11/15 23:37:43] ありがとうございます。 ( P, Q )= 1　という条件を忘れていました＾＾ Lucas 擬素数, Euler-Lucas 擬素数, 強 Lucas 擬素数を 研究している者ですが、ついでにと思い証明しようと思ったら 出来なかったので・・・・ 本当にありがとうございました。 198 名前：１３２人目の素数さん [04/11/15 23:44:32] >>197 どんな本で(擬)素数について勉強したのでつか？ 199 名前：１３２人目の素数さん [04/11/15 23:47:42] >>198 P.リーベンボイム著の「素数の世界」(共立出版) だと思われ 200 名前：195 [04/11/15 23:56:32] はい。そうですよ。 第２版なのにミスプリが激しいあの本です。 201 名前：１３２人目の素数さん [04/11/16 00:03:08] 趣味として(擬素数を)研究してるんでつか？ >>200 202 名前：195 [04/11/16 00:09:21] 修論の材料のほんの一部です。 203 名前：１３２人目の素数さん [04/11/16 00:11:45] >>202 理科大？ 204 名前：195 [04/11/16 00:23:06] いやぁ大学名までは・・・ とりあえず院生です。 205 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/11/16 00:51:42] >>199-200 その原著 The New Book of Prime Number Records を持ってるけど、>>195の証明は載ってたよ。 206 名前：１３２人目の素数さん [04/11/21 18:39:48] 669 207 名前：１３２人目の素数さん [04/11/27 23:28:26] 510 208 名前：１３２人目の素数さん [04/11/30 21:35:01] ρ(p) | (p - (D/p)) が成り立つ。って本には書いてある。証明は知らない。 209 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/12/01 00:22:13] >>208 証明は P.リーベンボイム著の「素数の世界」(共立出版) に載ってますよ。 210 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/12/01 00:43:43] >>209 何ページに書いてます？ 見つからない。 211 名前：１３２人目の素数さん [04/12/01 18:52:28] >>61で式が間違ってたって書かれてますけど、そうなると >>28の12 n, k≧1ならばU(n)|U(kn) の証明はどうなりますか？ 212 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/12/01 20:41:36] >>28の12の証明（訂正） >>61より U((k+1)n)=U(n)V(kn)-Q^(kn) U(-(k-1)n)=U(n)V(kn)-Q^n U((k-1)n) ≡Q^n U((k-1)n)≡...≡(Qの累乗)*U(n)または(Qの累乗)*U(0)(mod U(n)). 213 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/12/02 01:18:45] >>210 44〜45ページにあるはず。 214 名前：213 mailto:sage [04/12/02 01:22:54] ただし日本語版で、原語でも一般化されたルカス巣列のところを探せば 載っていると思う。 215 名前：213 mailto:sage [04/12/02 01:45:13] この本に書かれている証明は以下のとおり C(n,k)を二項係数とする nが偶数のとき 2^(n-1)*U_n＝C(n,1)P^(n-1)+C(n,3)P^(n-3)+…+C(n,n-1)P*D^{(n-1)/2} (D/p)=-1のとき 2^p*U_(p+1)=C(p+1,1)P^(p-1)+C(p+1,3)P^(p-3)+…+C(p+1,p-1)P*D^{(p-1)/2} C(p+1,1)=C(p+1,p)=p+1≡1　(mod　p) 2≦i≦p-1なるiに対して、C(p+1,i)=(p+1)*p…*(p+1-i)/i!≡0　(mod　p) C(p+1,1)P^(p-1)+C(p+1,3)P^(p-3)+…+C(p+1,p-1)P*D^{(p-1)/2}≡P^p-PD^{(p-1)/2}≡P-P≡0　(mod　p) したがって、U_(p+1)≡0　(mod　p) 216 名前：213 mailto:sage [04/12/02 01:52:07] (D/p)=1のとき 2^(p-1)*U_(p)=C(p-1,1)P^(p-3)+C(p-1,3)P^(p-5)+…+C(p-1,p-2)P*D^{(p-2)/2} 1≦i≦p-1なるiに対して、(i!)C(p-1,i)=(p-1)*(p-2)…*(p+1-i)≡(-1)*(-2)*…*(-i)=(-1)^i*i!　(mod　p) したがって、C(p-1,i)≡(-1)^i C(p-1,1)P^(p-2)+C(p-1,3)P^(p-4)+…+C(p-1,p-2)P*D^{(p-2)/2}≡-P^(p-2)-P^(p-4)D-…-PD{(p-2)/2} ≡-P(P^(p-1)-D^{(p-1)/2})/(P^2-D)≡-P{1-1}/4Q≡0　(mod　p) したがって、U_(p-1)≡0　(mod　p) 本の大筋ではこうだった。 217 名前：213 mailto:sage [04/12/02 12:31:26] この本の43ページにあるρ(n)|k⇔n|U_kを使えば証明できるはず。 218 名前：213 mailto:sage [04/12/02 12:32:28] あとは、この本の43ページにあるρ(n)|k⇔n|U_kを使えば ρ(p)|p-(D/p)は示せるはず。 219 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/12/02 21:23:39] >>213 詳しくありがとうございます。 自分なりにやってみます。 220 名前：195 [04/12/05 01:26:33] 強 Lucas 擬素数　→　Euler-Lucas 擬素数 → Lucas 擬素数 誰か詳しい証明わかりますか？ 221 名前：213 mailto:sage [04/12/05 01:33:44] Euler-Lucas 擬素数 → Lucas 擬素数 NがEuler-Lucas 擬素数ならば N|U_({N-(D/N)}/2)ならばN|U_{N-(D/N)}=U_({N-(D/N)}/2)*V_({N-(D/N)}/2) N|V_({N-(D/N)}/2)ならばN|U_{N-(D/N)}=U_({N-(D/N)}/2)*V_({N-(D/N)}/2) よってNはLucas 擬素数である。 (Q/N)=1は関係ありませんでした。 222 名前：213 mailto:sage [04/12/05 02:00:26] 強 Lucas 擬素数　→　Euler-Lucas 擬素数 Pリーベンボイム著の「素数の世界」(日本語版)の40ページ〜49Nが強 Lucas 擬素数ならばN=2^s*d+(D/N)(dは奇数) N|U_dまたはN|V_(2^r*d) (0≦r＜s)となります。 N|U_dのとき IV15より U_d|U_({N-(D/N)}/2)だからN|U_({N-(D/N)}/2) Nの素因数pを任意に取る IV17より、ρ(p)|d、だからρ(p)は奇数である。 IV19より、ρ(p)|p-(D/p)=2*({p-(D/p)}/2)となる。 したがって、ρ(p)|U_({p-(D/p)}/2) よって、IV17よりp|U_({p-(D/p)}/2)となる。 IV23より、(Q/p)=1であることがわかる。 よって(Q/N)=Π(Q/p)=Π1=1 したがって、N|U_dならばNはEuler-Lucas 擬素数であることがいえました。ページの定理を引用します。 223 名前：213 mailto:sage [04/12/05 02:01:33] 強 Lucas 擬素数　→　Euler-Lucas 擬素数 Pリーベンボイム著の「素数の世界」(日本語版)の40ページ〜49ページの定理を引用します。 Nが強 Lucas 擬素数ならばN=2^s*d+(D/N)(dは奇数) N|U_dまたはN|V_(2^r*d) (0≦r＜s)となります。 N|U_dのとき IV15より U_d|U_({N-(D/N)}/2)だからN|U_({N-(D/N)}/2) Nの素因数pを任意に取る IV17より、ρ(p)|d、だからρ(p)は奇数である。 IV19より、ρ(p)|p-(D/p)=2*({p-(D/p)}/2)となる。 したがって、ρ(p)|U_({p-(D/p)}/2) よって、IV17よりp|U_({p-(D/p)}/2)となる。 IV23より、(Q/p)=1であることがわかる。 よって(Q/N)=Π(Q/p)=Π1=1 したがって、N|U_dならばNはEuler-Lucas 擬素数であることがいえました。 224 名前：213 mailto:sage [04/12/05 02:59:23] N|V_{(2^r)*d}、r＜s-1のとき U_({2^(r+1)}*d)=U_{(2^r)d}*V_{(2^r)*d}よりN|U_({2^(r+1)}*d) 2^(r+1)*d|{N-(D/N)}/2だからIV15より、U_({2^(r+1)}*d)|U_({N-(D/N)}/2) したがって、N|U_({N-(D/N)}/2)となる。 Nの素因数pを任意に取る IV17より、ρ(p)|{2^(r+1)}*d、ρ(p)の2の指数がr以下と仮定すると ρ(p)|(2^r)*dしたがってIV17よりU_{(2^r)*d}がpで割り切れる。 V_{(2^r)*d}もpで割り切れるので、U_{(2^r)*d}とV_{(2^r)*d}が奇素数の公約数pを持つ ことになり、IV25に反する。 よってρ(p)の2の指数はr+1であることがわかる。…※ またIV19より、ρ(p)|p-(D/p)だから2^(r+1)|p-(D/p)であることがわかった。…◎ ここで、ρ(p)|{p-(D/p)}/2⇔2^(r+2)|p-(D/p)を示そう。 (⇒) 2ρ(p)|p-(D/p)である。※より2ρ(p)の2の指数はr+2だから、2^(r+2)|p-(D/p)がいえた。 逆を示す 2^(r+2)|p-(D/p)より2^(r+1)|{p-(D/p)}/2 ※よりρ(p)={2^(r+1)}*f(fは奇数)と書ける。 IV19より、f*{2^(r+1)}=ρ(p)|p-(D/p)=2*({p-(D/p)}/2)である。 fは奇数よりf|{p-(D/p)}/2となる。 したがって、ρ(p)|{p-(D/p)}/2となる。 225 名前：213 mailto:sage [04/12/05 03:00:03] IV17,IV23より2^(r+2)|p-(D/p)⇔ρ(p)|{p-(D/p)}/2⇔p|U_({p-(D/p)}/2)⇔(Q/p)=1 したがって(Q/p)=-1⇔2^(r+2)が{p-(D/p)}を割り切らないもいえる。 ここで、(Q/p)=-1となるpは偶数個であることを示す。 N=Πp≡(Π[p-(D/p)が2^(r+2)で割り切れる](D/p))(Π[p-(D/p)が2^(r+2)で割り切れない]p)　(mod　2^(r+2))　 p-(D/p)が2^(r+2)で割り切れない素数p、p'をとる ◎よりp-(D/p)とp'-(D/p')は2^(r+1)で割り切れるので、 p=2^(r+1)*(2s+1)+(D/p)=2^(r+2)s+2^(r+1)+(D/p)、 p'=2^(r+1)*(2s'+1)+(D/p')=2^(r+2)s'+2^(r+1)+(D/p')、 pp'≡{2^(r+1)+(D/p)}{2^(r+1)+(D/p')}=2^(2r+2)+2^(r+1){(D/p)+(D/p')}+(D/pp') (D/p)+(D/p')は2あるいは0あるいは-2だから 2^(2r+2)+2^(r+1){(D/p)+(D/p')}+(D/pp')≡(D/pp')となる。 (Q/p)=-1となるpが奇数個と仮定すると Π[p-(D/p)が2^(r+2)で割り切れない]p≡2^(r+1)+Π[p-(D/p)が2^(r+2)で割り切れない](D/p) したがって、 N=Πp≡(Π[p-(D/p)が2^(r+2)で割り切れる](D/p))(Π[p-(D/p)が2^(r+2)で割り切れない](D/p))+2^(r+1)*(±1) =Π(D/N)≡(D/N)+2^(r+1)　(mod　2^(r+2))となる。 実はr+2≦sより、N=(2^s)*d+(D/N)≡(D/N)　(mod　2^(r+2))だから不合理 よって、(Q/p)=-1となるpは偶数個であることがいえた よって(Q/N)=Π(Q/p)=Π[偶数個](-1)=1となります。 226 名前：213 mailto:sage [04/12/05 03:09:11] N|V_{(2^r)*d}、r=s-1のとき 2^r*d={N-(D/N)}/2ですから、V_({N-(D/N)}/2)がNで割り切れる。 N=(2^s)*d+(D/N)=2^(r+2)*{(d-1)/2}+2^(r+1)+(D/N)≡2^(r+1)+(D/N)　(mod　2^(r+2)) であることを除けば、 >>224-225の証明とほぼ同様にして(Q/N)=-1がいえます。 よって、N|V_{(2^r)*d}のときも、NはEuler-Lucas 擬素数であることがいえました。 したがって、Nが強擬素数ならば、NがEuler-Lucas 擬素数であることが示されました。 227 名前：213 mailto:sage [04/12/05 03:11:28] >>220 証明は >>221 >>223-226 をご覧ください。 228 名前：195 [04/12/05 12:52:36] どうもありがとうございます。 229 名前：１３２人目の素数さん [04/12/12 00:02:56] 464 230 名前：１３２人目の素数さん [04/12/14 12:41:12] 保守あげ 231 名前：１３２人目の素数さん [04/12/14 12:42:08] １です。長い間、ほっといてごめんね。 232 名前：伊丹公理 [04/12/14 21:00:29] 既出かも氏らんがペル方程式 (L_n)^2 - 5*(F_n)^2 = ±4 233 名前：１ [04/12/15 20:10:14] プラスマイナス４というのは下せんな。もっと限定した表現があるはず・・・ 234 名前：伊丹公理 [04/12/15 21:08:57] n の偶奇によって決まる。 後は自分で調べろ 235 名前：風あざみ mailto:sage [04/12/15 23:59:52] >>223 の ＞IV19より、ρ(p)|p-(D/p)=2*({p-(D/p)}/2)となる。 ＞したがって、ρ(p)|U_({p-(D/p)}/2) ＞よって、IV17よりp|U_({p-(D/p)}/2)となる。 は IV19より、ρ(p)|p-(D/p)=2*({p-(D/p)}/2)となる。 したがって、ρ(p)|p-(D/p) よって、IV17よりp|U_({p-(D/p)}/2)となる。 の誤りだった。 236 名前：１３２人目の素数さん [04/12/22 08:21:34] 保守 237 名前：１３２人目の素数さん [04/12/22 14:51:49] >IV19より、ρ(p)|p-(D/p)=2*({p-(D/p)}/2)となる。 >したがって、ρ(p)|p-(D/p) >よって、IV17よりp|U_({p-(D/p)}/2)となる。 >の誤りだった。 は IV19より、ρ(p)|p-(D/p)=2*({p-(D/p)}/2)となる。 したがって、ρ(p)|{p-(D/p)}/2 よって、IV17よりp|U_({p-(D/p)}/2)となる。 の誤りですか？ 238 名前：風あざみ [04/12/22 18:03:33] >>237 そのとおり 239 名前：１３２人目の素数さん mailto: [04/12/23 19:01:45] 586 240 名前：１３２人目の素数さん [04/12/25 14:54:34] 強Lucas擬素数→Euler-Lucas擬素数を証明する際に IV17を使っているが, これは, (n,Q)=1 (本は (n,2Q)=1 だが, n は奇数だから, (n,Q)=1 で OK) という仮定があって, 初めて成り立つんじゃないの？ 一応証明しておこうか・・・・ 補題: n を D と互いに素な 1 以上の整数とする. n|U_k となるような k が存在すれば, (n,Q)=1. 証明: (n,Q)>1 と仮定し, p を (n,Q) の素因数とする. P が p で割り切れないならば, 任意の k>1 に対して U_k は p で割り切れない. これは仮定に反する. 一方, P が p で割り切れるならば, D は p で割り切れる. これは, (n,D)=1 に矛盾する. (証明終) 強Lucas擬素数→Euler-Lucas擬素数 の証明の途中に 「 N|U_({N-(D/N)}/2) 」 という条件があるから, ここで上の補題を使って (n,Q)=1 となるから IV17 が使えるようになると思う. どうだろう？間違えているかな？ 241 名前：風あざみ [04/12/25 18:34:18] >>240 そうだね。(Q/N)の値を調べることがメインだと思ったからスッコーンと抜けとった。 あとついでの話だが、実をいうとIV17の仮定の(N,2Q)=1なんだが、実は(N,Q)=1で良い (Nが偶数、奇数にかかわらず)んだよね。 242 名前：１３２人目の素数さん [04/12/25 18:43:18] ＞あとついでの話だが、実をいうとIV17の仮定の(N,2Q)=1なんだが、 ＞実は(N,Q)=1で良い(Nが偶数、奇数にかかわらず)んだよね。 あっ　そうなんですか？ 知りませんでした。ありがとうございました。 243 名前：風あざみ [04/12/25 19:07:59] >>242 一応証明しておく ρ(n)が存在し、(n,Q)=1となると仮定する。 n|U_m　⇔　ρ(n)|mとなる。 ⇒ mがρ(n)割り切れないと仮定する。m=ρ(n)s+r U_m*V_{ρ(n)s}-U_{ρ(n)s}*V_m=2Q^{ρ(n)s}*U_r…※ よって2Q^{ρ(n)s}*U_rはnで割り切れる。 nが偶数のとき n|U_m,U_{ρ(n)s}よりU_m,U_{ρ(n)s}は偶数、よってIV18よりV_m,V_{ρ(n)s}も偶数である。 よって U_m*{(V_{ρ(n)s})/2}-U_{ρ(n)s}*(V_m/2)=Q^{ρ(n)s}*U_r Qとnは互いに素だからU_rがnで割り切れる。 nが奇数のとき ※より nと2、nとQは互いに素だから　n|U_rとなる。 いずれにしても、n|U_rとなるが、これはρ(n)の最小性に反する。 逆はIV15より明らか。 244 名前：風あざみ [04/12/26 23:42:53] 命題 P,Qを以下のような整数とする。 (P,Q)=1かつ数列U_nはU_0=0、U_1=1、U_(n+2)=PU_(n+1)-QU_nを取ると n→∞ならば|U_n|→∞となる。 このときM≡1　(mod　K)となるパラメーター(P,Q)の強Lucas擬素数が無数に存在すること。 (強Lucas擬素数の定義はRibenboimの「素数の世界」のP91〜P92を参照ください。) 証明ではRibenboimの「素数の世界」のP40〜P49のIV1〜IV30とヤコビの記号の基本性質 LとNを正の奇数とすると (-1/L)=(-1)^{(L-1)/2}、(2/L)=(-1)^{(L^2-1)/8}、(N/L)=(L/N)(-1)^({(N-1)/2}{(L-1)/2}) となることを既知とする。 245 名前：風あざみ [04/12/26 23:43:25] 準備として、補題を二つ示す。 補題１ 任意のmをとる。 n≧γ(m)なる任意の自然数nに対して、U_{n+θ(m)}≡U_(n)　(mod　m) となるような0以上の整数、θ(m),γ(m)が存在する。 特に、(m,Q)=1のときは、γ(m)=0となる。 証明 {U_0,U_1}、{U_1,U_2}、…、{U_(m^2),U_(m^2+1)}とm^2+1個の組を考える。 |Z/mZ×Z/mZ|=m^2だから、U_i≡U_j　(mod　m)、U_(i+1)≡U_(j+1)　(mod　m) となるような自然数、iとj(0≦i＜j≦m^2)が存在する。 U_(j+2)≡PU_(j+1)-QU_j≡PU_(i+1)-QU_i≡U_(i+2)　(mod　m) 同様に、U_(j+3)≡U_(i+3)、…、U_(j+k)≡U_(i+k)　(mod　m)となる。 よって、n≧iなる自然数nに対して、U_(n+j-i)≡U_(n-i+j)≡U_n　(mod　m)となる。 特に(m,Q)=1のとき QU_(j-1)≡PU_j-U_(j+1)≡PU_i-U_(i+1)≡QU_(i-1)　(mod　m) (Q,m)=1よりU_(j-1)≡U_(i-1)　(mod　m) 同様に、U_(j-2)≡U_(i-2)　(mod　m)、…、U_(j-k)≡U_(i-k)　(mod　m) したがって、任意の整数n≧0に対して、U_(n+j-i)≡U_(n-i+j)≡U_n　(mod　m)となる。 (m,Q)=1のときγ(m)=0、θ(m)=j-i そうでないときγ(m)=i、θ(m)=j-iとおけばよい。 証明終 246 名前：風あざみ [04/12/26 23:44:47] 補題２ mを任意の自然数とする。 以下のような0以上の整数α(m)とβ(m)が存在する。 s≧β(m)、t≡1　(mod　α(m))ならば、U_(st)/U_s≡1　(mod　m)となります。 (IV15よりU_(st)/U_sは整数である) 証明 m=Π[pはQを割り切る]{p^a}*Π[qはQを割り切れない]{q^b}と書く。 以下mの素因数のうち、Qの素因数であるものをpそうでないものをqとする。 補題1よりn≧γ(p^a)なる任意のnに対してU_{n+θ(p^a)}≡U_n　(mod　p^a) γ(p^a)のうち、最大になるものをw、θ(p^a)たちの最小公倍数をvと置くと n≧wなる任意のnに対して、U_(n+v)≡U_n　(mod　p^a) したがって、g≡1　(mod　v)となる自然数gに対して、U_(gw)≡U_w　(mod　p^a)となる。 U_gのqの指数cを取る。 補題1より任意のnに対して、U_(n+θ{p^(b+c)})≡U_n　(mod　q^(b+c)) θ{p^(b+c)}たちの最小公倍数をv’とすると、U_(n+v’)≡U_n　(mod　q^(b+c)) よって、g’≡1なる任意の自然数g’に対して、U_(g’w)≡U_w　(mod　q^(b+c)) vとv’の最小公倍数をα(m)、wをβ(m)とする。 sをs≧β(m)なる整数、tをt≡1　(mod　α(m))となる自然数とする。 U_s*{U_(st)/U_s}≡U_s　(mod　p^a) (P,Q)=1だからIV24より(U_s,Q)=1だからU_sとpは互いに素 よってU_(st)/U_s≡1　(mod　p^a) U_s*{U_(st)/U_s}U_(st)≡U_s　(mod　q^(b+c)) {(U_s)/q^c}{U_(st)/U_s}≡U_s/q^c　(mod　q^b) U_s/q^cとqは互いに素だから、U_(st)/U_s≡1　(mod　q^b) よってU_(st)/U_s≡1　(mod　m)となります。 証明終 247 名前：風あざみ [04/12/26 23:49:42] さて命題を示す。 Kを任意の整数とする。 DをD=±(2^e)*h(hは奇数)と書く sやtを以下の性質を満たす素数とする。 s≡1　(mod　8h)、s≧β(8hf) t≡1　(mod　α(8hK)*(s-1))、U_sはtで割り切れない。 tはsに対して十分大きいものとする。 U_(st)/U_sは求める強Lucas擬素数である。 証明 M＝U_(st)/U_sとおく。 補題２よりM≡1　(mod　8hK)　したがって、(D,M)=1となる。 (D/M)=(±1/M)(2/M)^e(h/M)=(M/h)=1 同様に(D/s)=(D/t)=1となるから よってIV30より M*U_s=U_(st)≡U_s　(mod　t) U_sとtは互いに素だから、M≡1　(mod　t) (P,Q)=1だからIV30よりM≡M*U_s=U_(st)≡U_s≡1　(mod　s) よってM≡1≡(D/M)　(mod　st) U_t|U_(st)=M*U_s IV26よりU_sとU_tは互いに素だからU_t|Mとなる。 よってMは合成数である。 M=2^r*d+(D/M)=2^r*d+1(ただしrは正の整数かつdは奇数)とかけるので、d≡0　(mod　st) U_(st)≡0　(mod　M)だからU_d≡0　(mod　M)となる。 よってM= U_(st)/U_sは求める強Lucas擬素数である。 条件を満たす素数sとtは等差数列におけるDirichletの素数定理より無数に存在することがわかる。 よって、条件を満たすMも無数にある。 証明終 248 名前：風あざみ [04/12/26 23:55:37] さて命題を示す。 Kを任意の整数とする。 DをD=±(2^e)*h(hは奇数)と書く sやtを以下の性質を満たす素数とする。 s≡1　(mod　8h)、s≧β(8hK) t≡1　(mod　α(8hK)*(s-1))、U_sはtで割り切れない。 tはsに対して十分大きいものとする。 U_(st)/U_sは求める強Lucas擬素数である。 証明 M＝U_(st)/U_sとおく。 補題２よりM≡1　(mod　8hK)　したがって、(D,M)=1となる。 (D/M)=(±1/M)(2/M)^e(h/M)=(M/h)=1 同様に(D/s)=(D/t)=1となるから よってIV30より M*U_s=U_(st)≡U_s　(mod　t) U_sとtは互いに素だから、M≡1　(mod　t) (P,Q)=1だからIV30よりM≡M*U_s=U_(st)≡U_s≡1　(mod　s) よってM≡1≡(D/M)　(mod　st) U_t|U_(st)=M*U_s IV26よりU_sとU_tは互いに素だからU_t|Mとなる。 よってMは合成数である。 M=2^r*d+(D/M)=2^r*d+1(ただしrは正の整数かつdは奇数)とかけるので、d≡0　(mod　st) U_(st)≡0　(mod　M)だからU_d≡0　(mod　M)となる。 よってM= U_(st)/U_sは求める強Lucas擬素数である。 条件を満たす素数sとtは等差数列におけるDirichletの素数定理より無数に存在することがわかる。 よって、条件を満たすMも無数にある。 証明終 249 名前：風あざみ [04/12/27 00:16:01] >>246の ＞ g’≡1なる任意の自然数g’に対して、U_(g’w)≡U_w　(mod　q^(b+c)) は g’≡1　(mod　v')なる任意の自然数g’に対して、U_(g’w)≡U_w　(mod　q^(b+c)) だな。 250 名前：風あざみ [04/12/27 01:14:03] 自己満で>>244-249を使ってしまってスマソ 251 名前：195 [04/12/28 00:04:07] 自己満ですか＾＾ 252 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/12/28 12:28:08] 新しい結果なら、自己満じゃないでしょ？　だいたい自己満なんて 言い出したら、たいていの事は自己満なんだからさ。 253 名前：１３２人目の素数さん [04/12/29 15:15:11] age 254 名前：１３２人目の素数さん [05/01/05 08:41:47] 保守アゲ 255 名前：１３２人目の素数さん [05/01/08 19:34:17] 強 Lucas 擬素数　→　Euler-Lucas 擬素数 → Lucas 擬素数 の証明で, (P,Q)=1 という仮定をして良いのですか？ もし、仮定していないのならば >>224 の 「 U_{(2^r)*d}とV_{(2^r)*d}が奇素数の公約数pを持つ ことになり、IV25に反する。 」は嘘ですね. ここは, (P,Q)=1 という仮定があって成り立つのですから. 256 名前：風あざみ [05/01/08 20:04:12] >>255 そうだな、このままじゃ>>224は間違いだ。 訂正版 >>240の証明から (N,Q)=1となるはずだが、 U_{(2^r)*d}とV_{(2^r)*d}がpで割り切れるとき (pはNの公約数のひとつ) IV6より2Q^{(2^r)d}がpで割り切れることになるが pは奇素数だからQがpで割り切れるので(N,Q)=1に反する。 257 名前：風あざみ [05/01/08 20:16:38] IV6はこういう式ね (V_{(2^r)*d})^2-D(U_{(2^r)*d})^2=4Q^{(2^r)d} だから ＞IV6より2Q^{(2^r)d}がpで割り切れることになるが ＞pは奇素数だからQがpで割り切れるので(N,Q)=1に反する。 は IV6より4Q^{(2^r)d}がpで割り切れることになるが pは奇素数だからQがpで割り切れるので(N,Q)=1に反する。 だな。 258 名前：１３２人目の素数さん [05/01/08 20:28:58] なんという早いレス・・・ 259 名前：遅刻 [05/01/13 14:04:45] 高卒DQNですが、最近数学に興味を持ちました。 今から勉強するにはいったいどのようにするのがお勧めでしょうか。 どなたか是非ご指南ください。 ちなみに32歳です。 260 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/01/13 14:07:37] >>259高校のときの教科書と参考書 261 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/01/14 19:28:29] そんなもん捨ててしまっただろうよ 262 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/01/15 10:45:02] 高校用の参考書買え 263 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/01/15 14:24:31] F(n) を Fibonacci数列とするとき 　(1)　n>2を整数 とすると、Σ[k=1..n] 1/F(k) > (n^2)/{F(n+2)-1} 　(2)　Σ[n=1..∞] 1/F(n) > 803/240 を示せ。 science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1072510082/908 science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1072510082/871-873 264 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/01/16 06:50:00] ５／２＞１６／７。 265 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/01/16 17:05:48] >263 (1) 　F(2)=1 なので、相加･調和平均の不等式より 　左辺 > (n^2)/{Σ[h=1..n] F(h)} = (n^2)/{Σ[h=1..n] (F(h+2)-F(h+1)) = (n^2)/{F(n+2)-F(2)} = 右辺. science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1072510082/927 266 名前：265 mailto:sage [05/01/16 17:32:14] 【補足】 (相加･調和平均の不等式) 　A_1 ････ A_n >0 のとき、 　{Σ[h=1..n] A_h} {Σ[k=1..n] 1/A_k} = n^2 + Σ[k<h]{A_h/A_k +A_k/A_h -2} 　= n^2 + Σ[k<h] {A_h -A_k}^2 /{A_h･A_k} ≧ n^2. 267 名前：風あざみ mailto:sage [05/01/19 03:29:01 ] age 268 名前：263 mailto:sage [05/02/04 20:04:10 ] Fibonacci数列Ｆ(n)に対して (3)　Ｆ(2n) = Ｆ(n+1)^2 -Ｆ(n-1)^2 = F(n){Ｆ(n+1) +Ｆ(n-1)}. (4)　{Σ[k=1,n] Ｆ(k+1)^2}{Σ[k=1,n] 1/Ｆ(2k)} ≧ n^2. science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1105911616/58 269 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/02/16 13:21:46 ] 109 270 名前：１３２人目の素数さん [05/02/26 08:03:31 ] 641 271 名前：１３２人目の素数さん [05/02/27 08:57:42 ] >>268 F(ｎ+１）+F(ｎ−１）＝L(ｎ）（リュカ数）ですので F(２ｎ）＝F(n)L（ｎ）となります。３９以降を参考にしてください。 272 名前：１３２人目の素数さん [05/03/01 14:43:35 ] U_n(2,4)=((2^n)/√3)sin(nπ/3) V_n(2,4)=2^{n+1}cos(nπ/3) 他にもたくさん sin cos がらみのLucas数列あり. 273 名前：１３２人目の素数さん [05/03/06 09:15:38 ] ２７２は、本当に正しい？　フィボナッチ数なら単調増加するはずだが・・・ 274 名前：272 [05/03/07 13:48:56 ] >>273 判別式が「プラス」なら単調増加になるかも知れんが、 上の判別式は「マイナス」だから・・・ 275 名前：272 [05/03/07 17:50:04 ] U_1(2,4)〜U_15(2,4), V_1(2,4)〜V_15(2,4) を プログラムを作って実際に求めてましたよ。 U_0 = 0　　　　　　　 V_0 = 2 U_1 = 1 　 　　　　　 V_1 = 2 U_2 = 2 = 2　　　　　 V_2 = -4 = -2^2 U_3 = 0 　　　　　　　V_3 = -16 = -2^4 U_4 = -8 = -2^3　　　 V_4 = -16 = -2^4 U_5 = -16 = -2^4　　　V_5 = 32 = 2^5 U_6 = 0　　　　　　　 V_6 = 128 = 2^7 U_7 = 64 = 2^6　　　　V_7 = 128 = 2^7 U_8 = 128 = 2^7 V_8 = -256 = -2^8 U_9 = 0 V_9 = -1024 = -2^10 U_10 = -512 = -2^9 V_10 = -1024 = -2^10 U_11 = -1024 = -2^10 V_11 = 2048 = 2^11 U_12 = 0 V_12 = 8192 = 2^13 U_13 = 4096 = 2^12 V_13 = 8192 = 2^13 U_14 = 8192 = 2^13 V_14 = -16384 = -2^14 U_15 = 0 V_15 = -65536 = -2^16 276 名前：１３２人目の素数さん [05/03/09 08:59:38 ] ２７２で示されたのはリュカ数列の一種な訳ですか？ 私の知っているリュカ数列とずいぶん違う気が・・・。 277 名前：272 [05/03/09 14:23:22 ] >>272 は >>26 で定義された一般Lucas数列ですね. Lucas数列 というのは普通は V_n(1,-1) のよですが, 混乱がないのなら >>26 で定義された U_n(P,Q), V_n(P,Q) もLucas数列と呼ぶときがあります. 同伴Lucas数列と呼ぶときもありますしね. いろいろ呼び方があるんですよ. ただ１つ言えることは, U_n(2,4)=((2^n)/√3)sin(nπ/3) V_n(2,4)=2^{n+1}cos(nπ/3) この２つの数列は何て読んでよいかは正確にはわかりませんが, 式が正しいのは間違いありません. お詫び >>275 の計算結果, 見にくくなってしまい申し訳ありませんでした. 278 名前：１３２人目の素数さん [05/03/19 14:27:42 ] 723 279 名前：１３２人目の素数さん [05/03/19 21:36:04 ] みんなきとるな・・・ 280 名前：風あざみ ◆c/j2mAZ2V6 [05/03/20 11:42:51 ] 何も驚くことはない。 一般Lucas数列のすべてが、単調増加ではないということ。 (俺も気づいていたがあえて書かなかった) 281 名前：Arith ◆Arithtz1sk mailto:sage [05/03/20 19:21:07 ] 正の判別式のLucas数列の絶対値なら単調増加するけどね。 定理： n≧1, |α|≠|β|ならば|W_{n+1}|≧|W_n|(W_i=U_i(P, Q) or V_i(P, Q)) 等号はn=1, P=±1, Q<0, W_i=U_i(P, Q)のときのみ成り立つ。 証明： α, βの順序、符号を入れ替えα>0, |α|>|β|とする。 |αβ|≧1よりα>1だから、 α^(n+1)±β^(n+1)-(α^n±β^n)=α^n(α-1)±β^n(β-1)≧α^n|α-1| -|β|^n |β-1| =|β|^n （|α/β|^n|(α-1)/(β-1)|-1）. （β=0または1のときはα^n|α-1| -|β|^n |β-1|=α^n|α-1|>0） また そこで|α/β|^n|(α-1)/(β-1)|と1の大小を比較する。 282 名前：Arith ◆Arithtz1sk [05/03/20 19:21:55 ] (2/2) n=1のときを考える。 β>1のとき。α>β>1より (α/β)(α-1)/(β-1)-1=（α^2-β^2-(α-β)）／（β(β-1)）=(α-β)(α+β-1)／（β(β-1)）>0. 1>β>0のとき。 (α/β)(α-1)/(1-β)-1=（α^2+β^2-(α+β)）／（β(1-β)）=（α(α-1)+β(β-1)）／（β(1-β)）. α>1より、P=α+β≧2. よって α(α-1)+β(β-1)≧(2-β)(1-β)+β(β-1)≧2(β-1)^2>0. β<0のとき。 (α/β)(α-1)/(β-1)-1=（α^2-β^2-(α-β)）／（β(β-1)）=(α-β)(α+β-1)／（β(β-1)）. α>|β|よりα+β≧1である。α+β>1ならば(α/β)(α-1)/(β-1)>1。α+β=1ならば(α/β)(α-1)/(β-1)=1。 よって、|α/β|^n|(α-1)/(β-1)|≧1, 等号はα+β=1, β<0かつn=1のときのみ成り立つ。 Q.E.D. 283 名前：１３２人目の素数さん mailto:age [2005/03/22(火) 20:24:41 ] それよりも、むしろこちらこそが臭い中年(30)の悪臭腹話劇かと。 敵役キャラの導入の仕方が毎度のことながら池沼丸出しｗ ttp://ex9.2ch.net/test/read.cgi/kyozin/1111230255/ 120 名前：ナナシマさん 投稿日：2005/03/22(火) 19:44:43 ??? 臭ヲタは「臭」の字が大好き　ｍ９(^д^)ﾌﾟｷﾞｬｰ 121 名前：ナナシマさん 投稿日：2005/03/22(火) 19:45:21 ??? 臭ヲタは文字通り臭すぎ　ｍ９(^д^)ﾌﾟｷﾞｬｰ! 122 名前：ペプタイドＸ 投稿日：2005/03/22(火) 20:16:12 7fn/imhY >>120->>121 連レス乙。腋臭は自分では気付かないってホントなんだね？香水でも買うといいよｗ 123 名前：ナナシマさん 投稿日：2005/03/22(火) 20:17:29 ??? >>122　臭い粘着臭ヲタ　ｍ９(^д^)ﾌﾟｷﾞｬｰ! 124 名前：ペプタイドＸ 投稿日：2005/03/22(火) 20:20:50 7fn/imhY >>123 粘着乙。ｍ９(^д^)ﾌﾟｷﾞｬｰ! とかいいながらお前必死な。あっオナニー中 だったらゴメンｗ 284 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/03/22(火) 20:25:48 ] 誤爆した。逝って来る。 285 名前：272 [2005/03/28(月) 13:38:30 ] 気分直しに・・・ P, Q を 0 でない整数とし, n を奇の合成数 >0 とする. このとき, n が底(P,Q)に関する Lucas 擬素数 ⇔ n が底(-P,Q)に関する Lucas 擬素数 n が底(P,Q)に関する Euler-Lucas 擬素数 ⇔ n が底(-P,Q)に関する Euler-Lucas 擬素数 n が底(P,Q)に関する 強Lucas 擬素数 ⇔ n が底(-P,Q)に関する 強Lucas 擬素数 基本過ぎるかな. 286 名前：風あざみ ◆c/j2mAZ2V6 [2005/03/28(月) 23:46:02 ] U_n(-P,Q)=(-1)^n*U_n(P,Q) V_n(-P,Q)=(-1)^n*V_n(P,Q) だから N|U_n(-P,Q)⇔N|U_n(P,Q) N|V_n(-P,Q)⇔N|V_n(P,Q) 287 名前：272 [2005/03/29(火) 14:42:34 ] >>286 U_n(-P,Q)=(-1)^n*U_n(P,Q) は U_n(-P,Q)=(-1)^{n+1}*U_n(P,Q) の間違いですか？ V_n(-P,Q)=(-1)^n*V_n(P,Q) は正しいようで. 288 名前：風あざみ ◆c/j2mAZ2V6 [2005/03/29(火) 22:20:05 ] >>287 そうだな。 289 名前：１３２人目の素数さん [2005/04/14(木) 03:11:00 ] 358 290 名前：１３２人目の素数さん [2005/05/02(月) 17:33:54 ] 319 291 名前：１３２人目の素数さん [2005/05/19(木) 06:20:12 ] 463 292 名前：１３２人目の素数さん [2005/06/19(日) 18:22:05 ] 231 293 名前：１ [2005/06/24(金) 10:16:13 ] まだ、落ちてなかった。良かったなあ。もう少しゆとりができたら 新しく書き込みますんで・・・。 294 名前：１３２人目の素数さん [2005/06/24(金) 10:53:12 ] 激しく期待 295 名前：１３２人目の素数さん [2005/07/10(日) 09:24:34 ] 数学できるって、ゆとりの証拠だよ。。。ゆとりがないと数学できない。 296 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/07/11(月) 21:06:59 ] [805] 次を示してくださいです。 　(F_n)^4(F_{n+1})^4 ≦ (n^3){(F_1)^8 + (F_2)^8 + … + (F_n)^8} College Math. Journal, Vol.36, No.3, (2005 May) www.math.northwestern.edu/~mlerma/problem_solving/problems/col_math_jou-36-3-may05.pdf deadline: 2005/08/15 297 名前：１３２人目の素数さん [2005/07/20(水) 08:48:55 ] あ〜〜。新しい書き込みだ。うれしいね。考えてみます。 298 名前：297 [2005/07/22(金) 08:20:27 ] 解けますた。みかけはごっついけど、解いてみると初等的な手段でキレイに 解けるのできもちいい問題ですね。いい出題だと思いました。まだ、考え中 のひとがいるかも知れないので、解答は１週間くらい後にカキコしようと 思います。 299 名前：同上 [2005/07/27(水) 08:30:21 ] あ〜、っと。。。。 ちょっとしたカン違いでした。解けてなかった。ゴメンね。 300 名前：同上 [2005/07/27(水) 13:41:58 ] ２９６さん、ギブアップするから早く答えをおしえて！ 301 名前：同上 [2005/07/29(金) 09:17:29 ] ・・そうだ。８月１５日なんて遅すぎる。待ちきれないので、答えを教えて ほしい。誰でもいいから、わかった人。 302 名前：１３２人目の素数さん [2005/07/31(日) 08:33:07 ] 誰にも解けないほどの難問なのか、あるいは間違った不等式で反例があり得る のか、どちらかだな。 303 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/08/01(月) 05:17:26 ] F_nF_(n+1)=Σ[k=1,n](F_k)^2=nΣ[k=1,n](1/n)(F_k)^2　より {F_nF_(n+1)}^4=n^4{Σ[k=1,n](1/n)(F_k)^2}^4 x^4は下に凸な関数なので、凸不等式より {Σ[k=1,n(1/n)](F_k)^2}^4≦Σ[k=1,n](1/n){(F_k)^2}^4=1/nΣ[k=1,n](F_k)^8　ゆえ {F_nF_(n+1)}^4≦n^3Σ[k=1,n](F_k)^8 304 名前：１３２人目の素数さん [2005/08/01(月) 23:22:49 ] >>303 チェビシェフ一発ですか・・案外簡単に解けるんですね。 ｎが大きいときに自明な不等式なので、あまりいい問題とは言えない気がします。 305 名前：１３２人目の素数さん [2005/08/09(火) 01:42:43 ] あまりいい問題でなくとも、何もださないよりははるかにいいですよ。 306 名前：１３２人目の素数さん [2005/09/03(土) 16:55:09 ] >>305 じゃあ問題^^ 自然数nに対しf(F(n),F(n+1))＝1を満たす、斉次多項式 f(x,y)を全て求めよ。 307 名前：１３２人目の素数さん mailto:下げ [2005/09/04(日) 00:08:05 ] 数学はどうやったら得意になるのか教えてください。現在、哲学科4年生なのですが、苦手でも数学科に編入したいと思っておりまして。みなさんは昔から数学が好きでしたか？ 308 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/09/13(火) 02:23:25 ] >>307 スレ違い 309 名前：１３２人目の素数さん [2005/09/16(金) 03:10:43 ] age 310 名前：１３２人目の素数さん [2005/09/25(日) 18:00:45 ] >>307 フィボナッチ数の勉強から 311 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/07(金) 13:30:45 ] 何で数学科に行くの？ 312 名前：すれ違いですみません [2005/10/25(火) 14:01:14 ] だれか至急解いてください↓ 1 2 2 2 4 8 16 (64)となる理由をききたいです 313 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/25(火) 23:28:24 ] 何を解くのか分からないんだけど・・・ 1,2,2,2,4,8,16,64,512,8192・・・ とかいう数列だったらｳｹる。 314 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/26(水) 01:14:07 ] たぶんそれです なぜそうなるか教えてください 315 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/26(水) 04:34:46 ] >>314 a[n+3]=a[n+2]*a[n] 316 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/26(水) 15:08:57 ] これにあてはめてこの数列になりますかね？計算あいませんよ 317 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/10/27(木) 02:49:00 ] 合うでしょ。 a[1]=1 a[2]=2 a[3]=2 だよ。 318 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/27(木) 03:38:51 ] aは初こうですよね？ 319 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/27(木) 04:21:30 ] 先頭３つの項は適当に定義してよいと思われます。 数列の増えかたは規則の通りです。 320 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/18(金) 10:45:52 ] 140 321 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/18(日) 06:35:22 ] 944 322 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/12/23(金) 00:21:14 ] すみません、レベルの高いスレでアホなことを聞いて申し訳ないのですが 下記を馬鹿にもわかるように証明してください。 任意の連続する10個のフィボナッチ数列の和は、7番目の値の11倍に等しい。 よろしくお願いします。 323 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/12/23(金) 02:17:25 ] フィボナッチ数列をF_nと書き、a_n=Σ[k=0,9]F_(n+k)　と置く。 a_nは漸化式　a_(n+2)=a_(n+1)+a_n　を満たし a_1=143=11*F_7　a_2=231=11*F_8　となる。 後は帰納法でも何でも。 324 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/12/23(金) 11:36:59 ] >>323 ありがとうございます。すっきりしました。 325 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/12/27(火) 01:01:33 ] >322 　フィボナッチ数列をF_nと書き、d_n = F_(n+2) -F_(n+1) -F_n と置く。 　�納k=0,9]F_(n+k) - 11*F_(n+6) 　= -d_n -2d_(n+2) +d_(n+3) -4d_(n+4) +4d_(n+5) +2d_(n+6) +d_(n+7) 　= 0. 326 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/12/27(火) 01:03:00 ] 291 ：簡単かなぁ ：2005/12/26(月) 20:26:43 コインをn回投げる時、表が2回続けて現れる確率は？ ☆東大入試作問者スレ☆６ science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1134000000/291 ,296-297 327 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/01/02(月) 04:08:34 ] 340 328 名前：１３２人目の素数さん [2006/01/02(月) 04:17:47 ] age 329 名前：１ [2006/01/12(木) 00:58:50 ] うわあん！ごめんな、我が子よ・・・。漏れにはもう無理です・・・。 ひとりでたくましく生き延びてくれい・・・。 330 名前：なんという偶然！！ [2006/01/12(木) 01:01:47 ] 今日はおまえの２歳の誕生日だね・・・。ハッピーバースディ、ツーユー！！ 331 名前：ダメ親父 [2006/01/12(木) 01:22:50 ] お前の弟、「連結碁＆ライフゲーム倶楽部」のやつもまだまだ元気だ・・。 兄弟なかよく、できるだけ長生きしておくれ・・・。 332 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/01/12(木) 23:45:30 ] 二年。 333 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/02/05(日) 06:11:08 ] 486 334 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/03/02(木) 16:29:08 ] 374 335 名前：１３２人目の素数さん [2006/03/04(土) 12:53:28 ] age 336 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/03/26(日) 14:09:28 ] 337 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/04/15(土) 19:27:49 ] 338 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/04/23(日) 21:09:41 ] 　　　　　　　　　　　　　　 　 　　　　 　　　┌-―ー-'; 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　　| (・∀・) ﾉ 　　　　　　　　　 　 　　 ＿＿＿＿ 　　　　上―-―' 　　　＿＿＿_ 　　　　　　 　　　　　　　| （･∀･） ｜ 　 ／　 ＼　　　　　 | (・∀・) | 　　　　　　　　　　 　 　 |￣￣￣￣ 　 （￣￣￣） 　 　 　 |￣￣￣ 　 　 　 　 　　 　 　 　 ∧ 　　　　　　 （[[[[[[|]]]]]） 　 　 ,∧ 　　　　　　　　　　　　<⌒>　 　 　 　 [=|=|=|=|=|=]　　　<⌒> 　　　　　　　　　　　／⌒＼ 　 　 　 _|iﾛi|iﾛiiﾛi|iﾛ|_∧ ／⌒＼_ 　　　　　　　　　　　］皿皿［-∧-∧|ll||llll||lllｌ||lllｌ|lll|￣|]皿皿[_| 　　　　　　　　　　　|_／＼_|,,|「|,,,|「|ﾐ^!､|]|[|]|[|][]|_.田 | ∧_ 　] 　　　　　　　　　　　| . ∩　 |'|「|'''|「|||:ll;|||}{|||}{|||}{|||}{|,田田.|__| 　　　　　　　　　　　|￣￣￣￣|「|￣￣||[[|門門門|]]|[_[_[_[_[_[ 　　　　　　　　　　／i~~i' l ∩∩l　.ｌ　∩　∩　 l　　|__| .| .∩|　.|　l-, 　　　　　　　,,,,,='~|　|　|' |,,=i~~i==========|~~|^^|~ ~'i----i==i,, | 'i 　　 　 　 　 |　l ,==,-'''^^　 l　 |. ∩. ∩. ∩. |　 |∩| 　 |∩∩|　 |~~^i~'i、 　　　　　 ,=i^~~.|　 |.∩.∩ |,...,|__|,,|__|,,|__|,,|__|,....,||,,|.|,.....,||,|_|,|.|,....,| 　 |　|~i 　　　　 l~| .|　　|　,,,---== ヽﾉ　　　 i　　　　ヽﾉ~~~ ヽﾉ　　 ~ ソ^=-.i,,,,|,,,| 　　　　.|..l　i,-=''~~--,,,　　＼　 ＼　 l　　　／　　　／　　　　／　　__,-=^~ 　　　　|,-''~　-,,,＿　　~-,,.　 ＼ .＼ |　.／　　 ／　　＿,,,-~　 　／ 　　　　 ~^''=、＿ _ ^'- i=''''''^~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~^''''''''=i -'^~ 　　　　　　　　　　 ~^^''ヽ　ヽ 　i　ｼﾞｴﾝｷｬｯｽﾙ　/　 ／　 ノ 　　　　　　　　　　　　　　ヽ　　、 l　 |　 ｌ　 l　/ .／　　／ 　　　　　　　　　　　　 　 　 ＼_　、i ヽ　 i　 /　　　,,==' 　　　　　　　　　　　　　　　　　 ''==,,,,＿＿＿,,,=='~ 339 名前：１３２人目の素数さん [2006/04/27(木) 07:30:30 ] age 340 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/05/13(土) 21:12:00 ] 715 341 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/05/26(金) 12:51:04 ] 158 342 名前：１３２人目の素数さん [2006/06/04(日) 13:13:56 ] 0.　　, -┴- 、 0.　./,-、,-、,-ヽ ,-‐‐‐-、 0.　　　　|　　　.|.　　　　|　　　　 0.　　　　‐――|‐┰┰‐|――‐　 0.　　　　|　　　.|（￣￣）|　　　　　 ｿﾚｶﾗﾄﾞｼﾀﾉ? 0.　　　 〇ニニ|/TTTヽ|ヽ、　　 0.　　　 J　 　　|LLLLLl|`〇　 0.　　　　　 (￣￣)―(￣￣) 343 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/06/16(金) 01:40:00 ] 703 344 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/07/28(金) 15:55:12 ] 357 345 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/08/30(水) 14:59:59 ] 136 346 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/10/01(日) 03:08:59 ] トリボナッチ数 　T_1=1, T_2 =1, T_3=2, 　T_n = T_(n-1) + T_(n-2) + T_(n-3). science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1159088715/264-287 分かスレ２５９ 347 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/10/01(日) 03:12:04 ] >346 特性方程式 x^3 -x^2 -x-1=0 の3根を a,b,c とする。 　x^3 -x^2 -x-1 = (x-a){x^2 +(a-1)x+(1/a)} 　a = {1 + (19-3√33)^(1/3) + (19+3√33)^(1/3) }/3 = 1.83928675521416113255185256465329… トリボナッチ定数 　b = (1/√a)exp(iθ), 　c = (1/√a)exp(-iθ). 　θ = arccos{-(1/2)(a-1)√a} = 90ﾟ + (1/2)arccos{(a-1)^2 /2} = 124.68899739147561093738917517977…ﾟ 　T_n = k_1･a^n + {k_2･cos(nθ) + k_3･sin(nθ)}(1/a)^(n/2). k_1 = -k_2 = 0.33622811699493…, k_3=0.3996482801623… 348 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/10/01(日) 03:14:23 ] >346 ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%82%A3%E3%83%9C%E3%83%8A%E3%83%83%E3%83%81%E6%95%B0 mathworld.wolfram.com/TribonacciNumber.html mathworld.wolfram.com/TribonacciConstant.html 349 名前：１３２人目の素数さん [2006/10/01(日) 19:19:41 ] age 350 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/10/03(火) 02:17:24 ] n-bonacci 数 　F_k = F_(k-1) + F_(k-2) + …… + F_(k-n). 特性方程式 　x^n = x^(n-1) + … + x+1. 　x^(n+1) -2･x^n +1 =0,　x≠1. 　2-x = (1/x)^n,　x≠1. x_2 = (1+√5)/2 = 1.61803398874989… x_3 = {1 + (19-3√33)^(1/3) + (19+3√33)^(1/3)}/4 = 1.839286755214161132…. x_4 = {1 +√u +√(11-u +26/√u)}/4 = 1.927561975482925..., 　u = {11 +2*(12*√1689 -260)^(1/3) -2*(12*√1689 +260)^(1/3)}/3 = 1.704371307008… 　u^3 -11u^2 +115u -169 =0 の実根 nが大きいとき x_n ≒ 2 - (1/N) - (n/2)(1/N)^2 - {n(3n+1)/8}(1/N)^3 - {n(2n+1)(4n+1)/24}(1/N)^4 -… ここに N=2^n. mathworld.wolfram.com/Fibonaccin-StepNumber.html mathworld.wolfram.com/FibonacciNumber.html mathworld.wolfram.com/TribonacciNumber.html mathworld.wolfram.com/TetranacciNumber.html mathworld.wolfram.com/PentanacciNumber.html mathworld.wolfram.com/HexanacciNumber.html mathworld.wolfram.com/HeptanacciNumber.html 351 名前：350 mailto:sage [2006/10/04(水) 00:39:41 ] >350 (補足) x_2 = (1+√5)/2 = 1.61803398874989484820458683436564… x_3 = {1 + (19-3√33)^(1/3) + (19+3√33)^(1/3)}/３ = …. ｽﾏｿ x_4 = 1.92756197548292530426190586173648… (u = 1.70437130700810135321359904631276…) 352 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/11/13(月) 00:32:25 ] 606 353 名前：1 [2006/12/21(木) 17:35:32 ] (F_(n+1))^7 - (F_n)^7 - (F_(n-1))^7 = 7(F_(n+1))(F_n)(F_(n-1))(2(F_n)^2+(-1)^n)^2 354 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/12/30(土) 01:26:02 ] age 355 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/12/30(土) 01:27:17 ] 375 356 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/12/30(土) 01:36:34 ] 開成の数研は毎年必ずこれ 357 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/01/12(金) 23:45:18 ] 三年。 358 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/01/28(日) 04:04:46 ] >>357 3年？どうですか？ ここ開成のシェルターにするかな 359 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/02/02(金) 13:00:35 ] よろ。 360 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/02/04(日) 02:34:22 ] 新厨三よろ。 361 名前：１３２人目の素数さん [2007/02/05(月) 04:58:47 ] age 362 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/02/17(土) 23:33:37 ] 新高2よろ。 363 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/02/17(土) 23:34:25 ] 咲いた咲くかね 364 名前：１３２人目の素数さん [2007/02/24(土) 16:13:55 ] n[i]を整数としS[k]=�納i=1→k] n[i]とおく ここで1≦i≦2^(k-1)、1≦j≦kとする aをbで割ったときの余りをa mod bと表す δ[i,j]を以下のように定義する (1)j=1のとき iが奇数 ⇒ δ[i,j]=1 iが偶数 ⇒ δ[i,j]=0 (2)1<j<kのとき 1≦i mod 2^j≦2^(j-2) ⇒ δ[i,j]=1 2^(j-2)<i mod 2^j≦2^j - 2^(j-2) ⇒ δ[i,j]=0 2^j - 2^(j-2)<i mod 2^j≦2^j ⇒ δ[i,j]=-1 (3)i=kのとき 1≦i≦2^(k-2) ⇒ δ[i,j]=0 2^(k-2)<i≦2^(k-1) ⇒ δ[i,j]=-1 フィボナッチ数列をF[n]と表せば F[S[k]] = �納i=1→2^(k-1)] Π[j=1→k] F[n[j]+δ[i,j]] が成り立つ 365 名前：１３２人目の素数さん [2007/02/24(土) 16:15:58 ] >>364 はフィボナッチ数列の加法定理の1つの拡張 ただし、全く実用的でないし何も新しい結果を導き出さない 366 名前：１３２人目の素数さん [2007/02/24(土) 16:49:15 ] 数学とはそもそも実用的でないものだよ 367 名前：１３２人目の素数さん [2007/03/07(水) 08:12:48 ] リュカ数列がメルセンヌ素数の判定に使われるとは知らなかった。 368 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/03/11(日) 21:33:48 ] 157 369 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/03/18(日) 21:50:18 ] >>363 割いたよね　賞とってしつこいくらいにやなひとだよね 370 名前：１３２人目の素数さん [2007/06/23(土) 23:44:20 ] あ 371 名前：１３２人目の素数さん [2007/07/11(水) 05:45:41 ] >>367 誤解している 372 名前：１３２人目の素数さん [2007/07/11(水) 10:30:49 ] メルセンヌ素数の判定に使われてるのは一般ルーカス数列の一種。 V_n=α^n + β^n、α, β は x^2-2x-2=0 の解。 373 名前：１３２人目の素数さん [2007/07/11(水) 23:34:43 ] 2^n+1という形の数が素数ならばnは2の累乗（フェルマー数） 2^n-1という形の数（メルセンヌ数）が素数ならばnは素数 {(1+√5)/2}^n+{(1-√5)/2}^nという形の数（リュカ数）が素数ならば nは素数または2の累乗 [{(1+√5)/2}^n-{(1-√5)/2}^n]/√5という形の数（フィボナッチ数）が 素数ならばnは素数または2の累乗 374 名前：１３２人目の素数さん [2007/07/15(日) 20:21:59 ] 高校生のときに見つけたフィボナッチたんの法則 何年も前に発見済みなんだろうけどさ 桁が上がるまでの計算回数に規則性がある 375 名前：１３２人目の素数さん [2007/08/22(水) 02:25:56 ] >>3の証明を教えていただけないでしょうか 376 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/08/22(水) 03:31:46 ] >>375 以下の式を全部足す。 F(2n) = F(2n-1)+F(2n-2) F(2n-2) = F(2n-3)+F(2n-4) ... F(6) = F(5)+F(4) F(4) = F(3)+F(2) 377 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/08/22(水) 08:50:46 ] >>376 ありがとうございます 378 名前：１３２人目の素数さん [2007/09/12(水) 02:08:36 ] Σ[n=0,∞] 1/(F(2n+1)+1) = √5/2 Σ[n=0,∞] 1/F(2n+1) = (1/2)√{Σ[n=1,∞] (3/F(n)^2 + 5/L(n)^2)} 　　　　　　　　　　　= (3-φ){Σ[n=0,∞] φ^(-2n(n+1))}^2, φ=(√5+1)/2 379 名前：１３２人目の素数さん [2007/09/14(金) 12:01:15 ] news22.2ch.net/test/read.cgi/newsplus/1189613682/l50 10日ぶりの解決 380 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/09/14(金) 15:34:39 ] Σ[n=1,∞] 1/F(n)^2 = Σ[n=1,∞] (-1)^(n+1) L(2n)/F(2n)^2 381 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/09/14(金) 18:13:48 ] 1 + 4Σ[n=1,∞] 1/L(2n) = √{1 + 8Σ[n=1,∞] 1/L(n)^2} 　　= (π/(2logφ)) {Σ[n=-∞,∞] e^(-(πn)^2/(2logφ))}^2, 　　φ=(√5-1)/2 382 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/09/14(金) 19:26:34 ] >>381 φ=(√5+1)/2 Σ[n=0,∞] 1/F(2n+1)^3 = 3αβ-2α^3, 　α = Σ[n=0,∞] 1/F(2n+1), 　β = Σ[n=1,∞] 1/F(n)^2 383 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/10/07(日) 18:49:29 ] 〔補題〕 任意の自然数mに対して、F[n] がmの倍数になるような 自然数nが存在する。 (略証) 便宜上 F[0] =0 とする。 F[n] を mを割った余りを a[n] とおく。 　F[n] ≡ a[n]　(mod m) 　0 ≦ a[n] ≦ m-1, さて，m^2+1個の組 　(a[0],a[1]), (a[1],a[2]), (a[2],a[3]), ……, (a[m^2],a[m^2+1]) を考える。 F[n] を m で割った余りa[n] は 0〜m-1 の m 通りしかないので，組の組合せは m^2 通りしかない。 よって，上記の m^2+1 個の組の中には，同じ組がある。*) それを (a[j], a[j+1]) と (a[k], a[k+1]) とする。（0≦j＜k≦m^2） 　F[j-1] = F[j+1] - F[j] と F[k-1] = F[k+1] - F[k] より 　a[j-1]≡a[j+1]-a[j] と a[k-1]≡a[k+1]-a[k] ， 　(a[j-1],a[j]) と (a[k-1],a[k]) も同じ組になっている。 これを繰り返すと，(a[0],a[1]) と (a[k-j],a[k-j+1]) も等しいことが言える。 k-j>0 より k-j=n は自然数で，a[n] = a[0] = 0 なので， F[n] が m の倍数となる自然数 n が存在する。(終) *) 鳩の巣原理、ディリクレの引出し原理 とか言うらしい。 science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1190854032/476 東大入試作問者スレ１１ 384 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/10/07(日) 23:50:02 ] >>14,11 　双曲線函数の方だお･･･ 　α = logφ = log((1+√5)/2) ≒ 0.481211825 とおくと >>13 より 　F(n) = (2/√5)cosh(nα),　L(n) = 2sinh(nα)　　(n:奇数), 　F(n) = (2/√5)sinh(nα),　L(n) = 2cosh(nα)　　(n:偶数), 385 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/10/30(火) 13:55:04 ] 336 386 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/03(木) 16:28:48 ] 　　Π_(k=1, [n/2]) (1 + 4*cos(kπ/n)^2) = F_n,　　　(n≧2) (解説) カステレインは平方格子グラフ上のダイマー模型について分配函数Zを計算した。 これはグラフの隣接行列に適当な重みと符号を乗じて得られる反対称行列（カステレイン行列） のパフ形式（Pfaffian）として表わされた。 その後、（平方格子でない）一般の平面的２部グラフに拡張された。 (文献) 1. P.W.Kasteleyn, Physica, ２７, p.1209-1225 (1961) 　"The physics of dimers on a lattice" 2. www.math.h.kyoto-u.ac.jp/~takasaki/res/kok0608.pdf 　「ダイマー模型とその周辺」 (京都大 人間･環境学部) 3. 細矢, ｢数学100の問題｣, 数セミ増刊, 日本評論社, p.90-92 (1984.9) 　「フィボナッチ数の問題｣ 387 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/07(月) 22:40:39 ] 問題18) フィボナッチ数列をF(n)とおく。 p,q,r を任意の整数とするとき、 　F(p+1)F(q+1)F(r+1) + F(p)f(q)F(r) - F(p-1)F(q-1)F(r-1) = F(p+q+r), が成立する事を証明せよ。 www.iis.it-hiroshima.ac.jp/~ohkawa/math/math_problem_all.htm 388 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/07(月) 22:51:13 ] 〔加法公式〕 　F_n の隣接する3項の間に斉1次な漸化式が成立つならば、ある2次の対称行列Cがあって、 　F(m+n) = Σ[1≦i,j≦2] F(m+i-1)C(i,j)F(n+j-1) が成立つ。 (略証) 　A = [ F(0), F(1) ] 　　　[ F(1), F(2) ] とおき、さらに C=A^(-1) とおく。 m=0,1 のときは 　(右辺) = Σ[j=1,2] {Σ[i=1,2] F(m+i-1)*C(i,j)} F(n+j-1) 　　= Σ[j=1,2] {Σ[i=1,2] A(m+1,i)*C(i,j)} F(n+j-1) 　　= Σ[j=1,2] δ_(m+1,j) F(n+j-1) 　　= F(m+n), m>1 のときも、斉1次な漸化式により成立つ。(終) 例) フィボナッチ数列 　A = [ 0, 1 ] 　　　[ 1, 1 ] 　C = [-1, 1 ] 　　　[ 1, 0 ] ゆえ 　F(m+n) = F(m)F(n+1) + F(m+1)F(n) - F(m)F(n), >387 　これを2回使えば出るだろう。 389 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/07(月) 23:01:18 ] >386 ド・モアブルの定理から x^(2n) - 1 = Π[k=0,2n-1]{x-exp(ikπ/n)} = Π[k=-n,n-1]{x-exp(ikπ/n)} k=1,…n-1 について {x-exp(ikπ/n)}{x-exp(i(2n-k)π/n)} = {x-exp(ikπ/n)}{x-exp(-ikπ/n)} = x^2 -2cos(ikπ/n)x +1 science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1197828000/313 308 390 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/07(月) 23:38:09 ] >>64>>67 391 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/28(月) 04:45:16 ] 四年十五日五時間。 392 名前：１３２人目の素数さん [2008/02/10(日) 19:57:44 ] ここのサイトに書かれている「還暦数」って考え方が面白い。 yohei627.hp.infoseek.co.jp/ 393 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/03/28(金) 17:17:45 ] 592 394 名前：１３２人目の素数さん [2008/03/29(土) 02:30:16 ] age 395 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/04/20(日) 21:58:21 ] 〔問題〕 数列a[n] (n=0,1,2,････) は以下の条件を満たすとする。 　・a[0] =0, a[1] =1, 　・a[n+1] = (1/a[n])�納k=1〜n] (a[k])^2, (1) a[n] を n の式であらわせ。 (2) b[n] = a[n+1]/a[n] とおくとき、lim[n→∞) b[n] を求めよ。 science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1204606214/390 ,402 東大入試作問者スレ１４ 396 名前：１３２人目の素数さん [2008/04/28(月) 15:06:26 ] 上げ 397 名前：１３２人目の素数さん [2008/05/29(木) 10:57:25 ] 保守 398 名前：１３２人目の素数さん [2008/07/12(土) 13:49:47 ] 保守 399 名前：１３２人目の素数さん [2008/07/22(火) 08:27:57 ] 保守 400 名前：１３２人目の素数さん [2008/07/22(火) 19:53:22 ] まだこのスレのやつも気づいてないようだなｗ F(n)を行列で(おもしろおかしく)∩(へぇ〜)みたいな感じでL(n)との関係を(ry 401 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/06(水) 08:58:43 ] 保守 402 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/06(水) 18:03:56 ] あるスレで見たんだが。 f(1)=0 f(2)=2 f(3)=3 f(n+3)=f(n+1)+f(n) のとき、 f(n)/n が整数となるのはｎがどのような値のときか。 ってフィボナッチと関係あるの？ 403 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/06(水) 20:08:07 ] S(f(n+3)-f(n+2))=S(f(n+1)-f(n-1)) f(n)/n=(f(4)+f(1)+f(2)+f(n-3)+f(n-2))/n=(4+f(n-3)+f(n-2))/n 404 名前：１３２人目の素数さん [2008/09/05(金) 14:41:38 ] >>402 むしろルカスと関わりがある。 405 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/26(日) 12:12:40 ] 188 406 名前：１３２人目の素数さん [2008/10/30(木) 09:25:23 ] F(1)^2-F(2)^2+F(3)^2-F(4)^2+……+(-1)^n-1*F(n)^2=1/5{2n+1+(-1)^n-1*F(2n+1)} 左辺 第1項の2乗から2項の2乗を引いて、その後も引いて足してを繰り返す。 nが奇数なら+、偶数なら-、って感じ?? このフィボナッチの定理を証明しろと言われたｹﾄﾞ、根本的にやり方が分からんから困った。 誰か証明の解説して下さい。 407 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/30(木) 22:04:39 ] >>406 n=1から成立が怪しい感じなんだが、初期値はどういう設定よ？ 408 名前：１３２人目の素数さん [2008/10/31(金) 20:49:03 ] 今日、ガリレオの再放送見てたら出てきた レッドマーキュリー　ﾅﾂｶｼｽ… 409 名前：１３２人目の素数さん [2008/11/03(月) 22:00:47 ] >>407 普通にn=正の整数だぜ あとn=1でも成り立つよ 410 名前：１３２人目の素数さん [2008/11/29(土) 06:51:19 ] ６乗和の新公式 　F(1)^6＋F(2)^6＋…＋F(n)^6 ＝ (F(n)^5 F(n+3)+F(2n))/4 「数学の花束」より 411 名前：１３２人目の素数さん [2008/12/07(日) 14:49:58 ] I am Fibonacci 412 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/12/07(日) 14:53:58 ] >>410 それはいちいち特筆すべきレベルのものか? n乗和を計算しましたと言っても、別に等比数列の 和を計算しましたってのと大差ないし。 413 名前：１３２人目の素数さん [2008/12/07(日) 15:31:29 ] ↑　 あなたには、この公式の導出は無理だと思う。 414 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/12/07(日) 16:04:33 ] 俺が導出できるできないなんてどうでもいいよ。 導出できようができまいが、6乗和が何らかの 閉じた形で表現できるってのは当たり前で、 >>410に見るべき点があるとしたら、それはその 「閉じた形」が右辺のように書けるってことか、 右辺のように書くことで証明が簡潔になるかって ことぐらいしかない。これはそのどちらなの? もしくは>>413の指摘どおり馬鹿な俺には考えも付かない 重要な事項が他にあるの？その辺をぜひご教示くださいよ。 415 名前：１３２人目の素数さん [2008/12/07(日) 18:19:46 ] www 416 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/12/07(日) 18:39:01 ] まぁその程度だよね。 417 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/01/11(日) 09:52:39 ] 705 418 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/01/13(火) 23:45:16 ] 五年一日。 419 名前：１３２人目の素数さん [2009/01/14(水) 14:28:23 ] age 420 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/01/29(木) 09:39:51 ] 661 421 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/02/28(土) 14:26:52 ] 〔問題585〕 　フィボナッチ数列を三角関数で表現しなさい. science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1220115988/585 東大入試作問者スレ１６ 422 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/02/28(土) 14:29:03 ] >>421 　φ = (1+√5)/2,　-1/φ = (1-√5)/2, とおくと、 　φ + (-1/φ) = 1, 　φ - (-1/φ) = √5, 　φ^2 + (-1/φ)^2 = 3, 　φ･(-1/φ) = -1, これと「ビネの公式」より 　F_n = {φ^n - (-1/φ)^n} / √5, 　　　= Π[k=1,[(n-1)/2]] {3 + 2cos(2kπ/n)} 　　　= Π[k=1,[(n-1)/2]] {1 + 4cos(kπ/n)^2}, 〔補題〕 n≧3 のとき 　x^n - y^n = (x-y)Π[k=1,n-1] {x - y･exp(2ikπ/n)} 　= (x-y){(x+y)^d}Π[k=1,[(n-1)/2]] {x^2 +y^2 -2xy･cos(2kπ/n)}. 　nが偶数のとき　d=1, nが奇数のとき d=0, (参考) 1.　数セミ増刊「数学100の問題」, 日本評論社 (1984.9) ISBN:4-535-70405-8 　　　p.90-92, 細矢治夫, 「フィボナッチ数の問題」 2.　P.W.Kasteleyn, <<Physica>>, ２７, p.1209-1215 (1961) 　"The statistics of dimers on a lattice" 正方格子上のある量(分配函数Z)を統計力学的に数え上げた際に出てきた式の副産物とか。 423 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/02/28(土) 14:51:42 ] 既出 424 名前：１３２人目の素数さん [2009/03/04(水) 02:18:47 ] さあ 425 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/04/25(土) 15:04:11 ] 405 426 名前：１３２人目の素数さん [2009/05/03(日) 12:48:10 ] さあ 427 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/01(水) 22:39:52 ] >>388 便宜上 F(0) =0 とする。 　[ F(n-1), F(n) ] 　[ F(n), F(n+1) ] という行列 M(n) を作ると、M(1) = A のn乗になるから、 M(m+n) = M(m)･M(n) より加法公式が出てくるちゅーこと。 science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1245060000/084 不等式スレ４ 428 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/18(火) 09:32:07 ] 128 429 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/05(土) 03:38:40 ] 681 430 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/27(日) 10:39:52 ] 430 431 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/12/05(土) 00:52:55 ] 133 432 名前：１３２人目の素数さん [2009/12/08(火) 14:18:11 ] ぶりぶり 433 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/01/19(火) 02:45:16 ] 六年六日三時間。 434 名前：１３２人目の素数さん [2010/01/24(日) 11:19:27 ] ひさしぶりの保守 435 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/10(水) 16:27:24 ] 314 436 名前：１３２人目の素数さん [2010/03/15(月) 12:56:41 ] age

---

---

[ 新着レスの取得/表示 (agate) ] / [ 携帯版 ]

read.cgi ver5.27 [feat.BBS2 +1.6] / e.0.2 (02/09/03) / eucaly.net products.
担当:undef