- 1 名前：１３２人目の素数さん [2006/10/26(木) 18:36:06 ]
- 前スレ:1=0.999… その 9.999… science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1118452051/
前スレ:1=0.999… その10.999… science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1136133055/
前スレ:1=0.999… その11.999… science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1142173277/
前スレ:1=0.999… その12.999… science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1154943310/
一応激しい論議の結果、回答テンプレートが作成されました >2-5
今後書き込む際には、できるだけまず回答テンプレートを参照してから、それをふまえて行ってください。
また、回答テンプレートへの意見なども自由に書き込んでください。
- 136 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/11/03(金) 17:18:21 ]
- >>121
定義
0.999…は1に等しい。
定義終わり
で定義したことになると思っているのか。
究極の数学音痴だな。
- 137 名前：１３２人目の素数さん [2006/11/03(金) 17:31:45 ]
- 印象批判じゃなくてキチンと何処がどうダメか
明記しろよw
- 138 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/11/03(金) 17:41:49 ]
- >>137
まともに学校行ってりゃ、普通に解ることだよ。
- 139 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/11/03(金) 17:45:05 ]
- まず集合論で自然数を構成し、
それから実数を構成しましょう。
- 140 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/11/03(金) 18:17:31 ]
- >>136
なるよ。
>>138
君のように、まともに「大学」行ってない奴・まともに「大学の数学」勉強してない奴
には、「定義」の意味は解らないだろうな。
君がリーマン積分の定義を見たら、「それは値を決めただけであり、積分そのものの定義には
なっていない」とバカげた主張をするだろう。
- 141 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/11/03(金) 18:34:05 ]
- >>140
思考力の無い奴は、数学を志すなという典型だな。
ある系で定義されたことと、普遍的な定義との違いも解らんとは。
- 142 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/11/03(金) 18:40:27 ]
- >>141
「普遍的な定義」は幻想にすぎない。「普遍的な定義」など存在しない。
何を以って、普遍的だと判断するのか？普遍的とは何か？君の言う【普遍的】の
定 義 はどこ？君にはこの【普遍的】という言葉を 定 義 できるのか？
それも、”ある系で定義された”【普遍的】ではなく、”普遍的な定義の”
【普遍的】をね。
- 143 名前：132 mailto:sage [2006/11/03(金) 18:44:55 ]
- >>133-135
俺自身は(1)
でも1≠0.999…派だと(3)と答えそうな気がする。
そういう人が乗ってこなかったのは残念だけど機会があったら聞いてみたいな
>>135の計算を参考にして思いついた>>132の表現が適切でない説明
0.00…01＋0.00…09=0.00…10=0.00…010=0.00…01
0でない数を足したのに同じ数になってしまう。
だから、そもそもこんな数は存在しない。
あるいはこういう数も0に等しい。
これは説得に使えるだろうか？
- 144 名前：１３２人目の素数さん [2006/11/03(金) 19:05:16 ]
- あー。やっぱり「普遍的定義」なるものの存在を信じていたんだなｗ
そうじゃないかと思っていたが…。
「算数」だったら文科省が「これだ！！！」って決めたヤツが普遍的定義になるんかいな。
少なくとも日本内なら。
- 145 名前：１３２人目の素数さん [2006/11/03(金) 19:07:50 ]
- >>143
オレがそっち方面の話に乗らなかったのは、そういうのって結局論議している人毎に
イメージ（定義）が違うからいつまでたっても結論がまとまらないからだ。
そういったことで「説得」なんてそもそも無理なんじゃないのか？キチンとした定義も
そもそもないしさー。
- 146 名前：１３２人目の素数さん [2006/11/03(金) 20:53:04 ]
- 単に10進法の表記の場合、分母が10のベキになる
有理数の10進法表記は一意に決まらない、で済ましちゃうのも一つの手では？
- 147 名前：１３２人目の素数さん [2006/11/03(金) 21:05:50 ]
- 積分はある関数から別の関数を作る操作、その逆操作が微分。
それが極限操作だったり、網タイツだったりの差だけ
- 148 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/11/03(金) 21:14:35 ]
- ちょっと変なネタを思いついた。
自然数に関する命題P(n)について
「P(n)が真ならばn桁目は1、偽ならば0」
と小数を対応づけることができる。
またゲーデルの不完全制定理によると任意の自然数nについて偽であるが、
そのことが証明できない命題が存在する。
そのような命題に対応する小数は0に等しいと言えるだろうか？
言い換えると計算不可能だが0に等しい数。
試しにどこまで計算しても0しか出てこないみたいだが、
本当に1が現れないのか保証できない数。
- 149 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/11/03(金) 22:13:13 ]
- >>144-145
たとえば、１０＾（-ｎ）において、
n=∞としたときが定義できればいいのではないのか？
- 150 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/11/03(金) 22:18:29 ]
- >>148
ttp://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1143943264
ここで聞いてみたら？
- 151 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/11/03(金) 22:20:18 ]
- 自然数論でという制限するのも不自然だから言えるでいいでしょ？
- 152 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/11/04(土) 04:59:15 ]
- >>132-135＆>>143
1+(1-0.999)
＝2-0.999…
後は場合分け
0.999…＝1⇔2-0.999…＝1
0.999…≠1⇔2ｰ0.999…≠1
- 153 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/11/04(土) 14:38:28 ]
- 0.999…は1と等しいと何故定義してはいけないのか
まぁ当たり前だね
説明しにくいけど
はぁ？なんでしちゃいけねぇんだよ
って言うんだったら
１＋１は３と等しいと定義しても良いんだね？
まぁそれは駄目だろって言うと思うけどね
- 154 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/11/04(土) 14:41:02 ]
- "定義する"
と
"仮定する"
ってどう違うんですか？
- 155 名前：KingOfUniverse ◆667la1PjK2 [2006/11/04(土) 14:46:10 ]
- talk:>>154 定義を、言葉の意味の仮定だと思っているのか？
- 156 名前：１３２人目の素数さん [2006/11/04(土) 14:56:48 ]
- >>153
別に定義していいよ。１＋１＝３と。
単に２と３の役割を入れ替えればそれでＯＫ。
- 157 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/11/04(土) 15:16:32 ]
- 数学の問題の答えとかであるじゃん
αを実数と仮定すると、…
とか
定義と仮定の数学の問題的な意味は一緒なのかなと
まぁ辞書引いてくる
- 158 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/11/04(土) 15:34:33 ]
- >>153
＞１＋１は３と等しいと定義しても良いんだね？
>>156の言うように、「2」と「3」という記号に与えられた定義を適当に変更した上で、1＋1＝3が
成り立つようにすることは可能。また、「2」「3」の定義はそのままで、「＋」と「＝」の定義を
適当に変更した上では、やはり1＋1＝3とすることが可能である。実際、標数1の素体F1上では
1＋1＝3が成り立つ。
バカは消えろ。君のように、まともに「大学」行ってない奴・まともに「大学の数学」勉強してない奴
には、「定義」の何たるかは理解できない。
- 159 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/11/04(土) 15:52:34 ]
- 【定義】
概念の内容を限定すること。
すなわち、ある概念の内包を構成する本質的属性を明らかにし、他の概念から区別すること。
その概念の属する最も近い類を挙げ、さらに種差を挙げて同類のほかの概念から区別すること。
例えば「人間は理性的（種差）動物（類概念）である」。
「広辞苑第五版」岩波書店 より抜粋
意味が解りません
- 160 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/11/04(土) 16:27:02 ]
- [>>153脱字補正]
>>132-135＆>>143
1+(1-0.999…)
＝2-0.999…
後は場合分け
0.999…＝1⇔2-0.999…＝1
0.999…≠1⇔2ｰ0.999…≠1
- 161 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/11/04(土) 18:43:37 ]
- >標数1の素体F1
- 162 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/11/04(土) 22:05:58 ]
- なんて言うか、数学の定義ってそんなに自分勝手にできるものじゃないと思うんだ。
大学の数学の授業とかは天下り式に公理や定義から始まるけれど、
本当はwel-definedな定義を作ることこそが数学の重要なポイントだと思う。
- 163 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/11/04(土) 23:52:56 ]
- 今まで0.999…=1だと言われ、初等的な証明も厨房の頃に先生から
教えられて、それで疑問もなかったが、意外と奥が深いのな。
0.111…×9を例に挙げて、小学生から
筆算で掛け算は掛ける数と掛けられる数を右に寄せる。
でも無限に続くなら掛ける数を置きようがないじゃないか。
と疑問が来た。
再び考え出すときりがないんだが、「無限に続く小数に整数を掛ける」
ことを「有限小数に整数を掛ける」と同様に実行できるか、と言われると
どう説明していいのだろうか…
- 164 名前：１３２人目の素数さん [2006/11/05(日) 01:53:09 ]
- >>162
wel-definedだと原理的に証明できんから仕方ない。
>>163
自然科学分野の筆算では、小数点を合わせる乗法の筆算もあるぞ。
- 165 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/11/05(日) 02:10:56 ]
- マンフリート・フォン・リヒト普遍
- 166 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/11/05(日) 06:24:07 ]
- 【>>90改訂(括弧足らず)の>>96、のそのまた補完】
0.1+0.9=(1ｰ0.9)
0.01+0.99=(1ｰ0.99)
0.001+0.999=(1ｰ0.999)
0.0001+0.9999=(1ｰ0.9999)
0.000…1+0.999…9=(1ｰ0.999…9)
lim[m→∞]
{Π[n=1～m]0.1
＋∑[n=1～m](9*0.1^n)}
=lim[m→∞]{0.1^m
＋∑[n=1～m](9*0.1^n)}
･ ･
=(1ｰ0.9)+0.9
=1 (∵m→∞)
- 167 名前：166､ｱﾙｺｰﾙ入り mailto:sage [2006/11/05(日) 06:36:10 ]
- 【>>166は脱字した、夜勤明け飲酒中陳謝】
脳内補完、よろ。
各右辺ｰ0.9～を付け足し、で。
- 168 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/11/05(日) 09:06:53 ]
- >>166
10^(-n) ＋∑[k=1～n](9*10^(-k))=1において、
ｎを充分大きい値としたときに、10^(-n)は充分小さい値として無視し得る。
よって、(n→∞）∑[k=1～n](9*10^(-k))=1
微積レベルの証明だったら、こんなもんでいいのでは？
あと必要なのは、循環小数と（級数？）0.999…が同値である証明？
- 169 名前：166 mailto:sage [2006/11/05(日) 10:17:26 ]
- >>168
＞微積レベルの証明だったら、こんなもんでいいのでは？
→勿論。しかし当ｽﾚでは一筋縄ではいかない。
- 170 名前：167の補正も、ｰでなく+だ!! mailto:sage [2006/11/05(日) 10:25:14 ]
- 0.1+0.9=(1ｰ0.9)+0.9
0.01+0.99=(1ｰ0.99)+0.99
0.001+0.999=(1ｰ0.999)+0.999
0.0001+0.9999=(1ｰ0.9999)+0.9999
0.000…1+0.999…9=(1ｰ0.999…9)+0.999…9
lim[m→∞]
{Π[n=1～m]0.1
＋∑[n=1～m](9*0.1^n)}
=lim[m→∞]{0.1^m
＋∑[n=1～m](9*0.1^n)}
･ ･
=(1ｰ0.9)+0.9
=1
- 171 名前：ﾔｹ酒、酔い醒め切らぬ mailto:sage [2006/11/05(日) 10:53:24 ]
- 【つか、酔ってなくても自分はｹｱﾚｽﾐｽ多い性格】
>>168
あと必要なのは、循環小数と(級数？)0.999…が同値である証明？
→(少なくとも>>168では、極限移行ではなく同一扱いだが、表現力が及ばず…)
仰る通り。
極限移行すると、例えば2-(1ｰ0.999…)×2、砕けた表示で0.999…→998も極限表示すれば1となってしまう。
【注意、…→として｢限り無く先｣としたが、これもまた表現不尽である為、脳内補完で宜しく】
つか、何より極限値を取って終わり、ではこの話題の結論には不足とも考える。単純回答として>>108氏参考。
- 172 名前：１３２人目の素数さん [2006/11/05(日) 12:51:53 ]
- >>168
ここは物理板ではなく、数学板です。
- 173 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/11/05(日) 13:39:55 ]
- >>172
だと、どうなるんだい？
- 174 名前：１３２人目の素数さん [2006/11/05(日) 14:20:48 ]
- 十分小さい値だから無視できるなんて使っちゃイカンってコト。
- 175 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/11/05(日) 15:20:02 ]
- >>174
lim(h→0){{f(x+h)-f(x)}/{(x+h)-x}]
f(x)=x^2のとき、
lim(h→0)[(x^2+2hx+h^2)-x^2}/{(x+h)-x}]
=lim(h→0){(2hx+h^2)/h}
ここで、h~2は充分小さい値として、無視できる。
∴lim(h→0){{f(x+h)-f(x)}/{(x+h)-x}]=2x
数学じゃ、どう説明してんの？
- 176 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/11/05(日) 15:44:55 ]
- 不等式を使う
- 177 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/11/05(日) 16:09:07 ]
- 不等式を使えば、数式の意味が変わる？
- 178 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/11/05(日) 16:18:59 ]
- >ここで、h~2は充分小さい値として、無視できる。
>∴lim(h→0){{f(x+h)-f(x)}/{(x+h)-x}]=2x
記号limを使ってる以上、無視とかそういう問題ではない。
f(x) = x^2のとき、
lim(h→0){{f(x+h)-f(x)}/{(x+h)-x}] = lim(h→0){(2hx+h^2)/h} = lim(h→0){2x+h} = 2x
以上。
- 179 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/11/05(日) 16:34:56 ]
- >>177
端的に言うとε-δ論法。
- 180 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/11/05(日) 16:39:16 ]
- >>178
lim(h→0){(2hx+h^2)/h} = lim(h→0){2x+h}:このときh=0ならば、不能。
lim(h→0){2x+h} = 2x：このときに、h=0という値を取れるとしたら、矛盾。
- 181 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/11/05(日) 16:41:16 ]
- >>179
ε-δ論法は、必要なだけ小さい値とすることが出来る、
という意味ではないのか？
- 182 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/11/05(日) 16:43:01 ]
- >>180
真面目に書いてます？
- 183 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/11/05(日) 16:55:25 ]
- >>182
どこが不真面目に思える？
- 184 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/11/05(日) 17:00:39 ]
- >>180
>lim(h→0){(2hx+h^2)/h} = lim(h→0){2x+h}:このときh=0ならば、不能。
h→0の極限では当然h≠0
>lim(h→0){2x+h} = 2x：このときに、h=0という値を取れるとしたら、矛盾。
意味不明。
- 185 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/11/05(日) 17:30:18 ]
- >>184
では何故、
lim(h→0){2x+h} = 2x
といえるのか説明してくれ。
- 186 名前：１３２人目の素数さん [2006/11/05(日) 17:41:39 ]
- 中学生の考えですけど正しいですかね？
誰か指摘よろ。
Ｓ = 0.99 …とおく
0.1Ｓ = 0.099…
Ｓ－0.1Ｓ
= 0.9Ｓ
= 0.9-0.000…9
0.00…9の１が存在する桁目はスレタイのより無限。
∴ 0.00…9 = 0.9*0.1^n ( n → ∞ )
0.9Ｓ = 0.9 - 0.9*0.1^n ( n → ∞ )
Ｓ = 1 - 0.1^n ( n → ∞ )
0.1^n = 1 / 10^n → 0 ( n → ∞ )
∴ Ｓ = 1 = 0.99…
有限桁、つまり桁の終端が存在する時(つまり、n → ∞でない時。)に0.1^n≠0となりＳ≠１となる。
終わり。
- 187 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/11/05(日) 17:51:28 ]
- >>185
lim(h→0){2x+h} = lim(h→0){2x} + lim(h→0){h} = 2x + 0 = 2x
前提として
①極限が加法に関して展開可能であること（ lim(f+g) = lim(f) + lim(g) ただしいずれも有限確定のとき）
②lim(h→0){h} = 0
を使用しているが、必要ならばいずれもε-δで証明できる。
省略しているだけで「無視できるから」では断じてない。
- 188 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/11/05(日) 17:55:23 ]
- lim(h→0){(2hx+h^2)/h} = lim(h→0){2x+h}:このときh=0ならば、不能。
え？不能なの・・・
普通に＝2xじゃないんですか
- 189 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/11/05(日) 17:58:33 ]
- >>188
「ゼロで割れない」っていいたんじゃないの？ｗ
- 190 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/11/05(日) 18:00:46 ]
- >>188
｢#DIV/0!｣
- 191 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/11/05(日) 18:15:38 ]
- いや、でもちゃんと約分してるから大丈夫なのでは？
っていうか
lim(h→0){(2hx+h^2)/h}
だけのことを言ってたのか
数学の先生曰く
「lim(h→0){(2hx+h^2)/h}とlim(h→0){2x+h}は『関数的に』違う」
だそうです
- 192 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/11/05(日) 18:19:04 ]
- 「約分してるから」ってのはそれはそれで間違い。
ゼロになる可能性があるなら約分もしちゃだめ。
ただしh→0の極限を考えているときには問題ない。
- 193 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/11/05(日) 19:07:36 ]
- >>186
0.000…9 って表記はおいといて、
> Ｓ－0.1Ｓ
> = 0.9Ｓ
> = 0.9-0.000…9
２行目から３行目はどうして出てくるの？
- 194 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/11/05(日) 19:31:19 ]
- >>187
何度も言うようだが、ε-δは必要ならいくらでも小さい値が取れるという意味で、
ゼロとしていいという意味ではないだろう。
省略というが、証明できるならしてみてくれ。
- 195 名前：非187 mailto:sage [2006/11/05(日) 19:38:04 ]
- >>194
日本語として、｢必要なだけ｣は語弊がある希ｶﾞｽ。
限り無く…
つ無限小
{0|無限小,φ}(無限小≠φ)
- 196 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/11/05(日) 19:43:00 ]
- 必要ならいくらでも小さい値が取れる = 極限がゼロである
と定義されている。
ってそんな前提もなしに話してるのかよ。
- 197 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/11/05(日) 19:51:45 ]
- (limの定義)
x＝aの近傍Vで定義された関数f(x)の、x→aにおける極限値がαであるとは、
∀ε＞0, ∃δ＞0 s,t x∈(a－δ, a＋δ)∩(V－{a}) → ｜f(x)－α｜＜ε
が成り立つときを言う。このときα＝lim[x→a]f(x)と表記する。この
定義から明らかなように、lim[x→a]f(x)が存在すれば、fの定義域Vを
新たなaの近傍V'に拡張しても制限しても、lim[x→a]f(x)の値は変わらない。
なお、集合Vがaの近傍であるとは、(a－t, a＋t)⊂Vを満たすt＞0が
存在するときを言う。
(lim[h→0]h＝0の証明)
VとしてRがとれる。任意のε＞0に対して、δ＝ε/2＞0とすれば、h∈(0－δ, 0＋δ)∩(R－{0})
ならば｜h－0｜＜ε が成り立つので、定義からlim[h→0]h＝0となる。
- 198 名前：純粋理性批判 mailto:sage [2006/11/05(日) 21:45:08 ]
- 【By>>195】
>>196
前提を知らぬ未就学者に、
そのまま向けられる言葉遣いではないと思った。
>>197
乙。
- 199 名前：186 [2006/11/05(日) 21:59:29 ]
- >>193
文字式で計算したのが二行目
Ｓ－0.1Ｓ = 0.9Ｓ … 左辺
代入して計算したのが三行目です。
0.999… - 0.099… = 0.9 - 0.00…9
- 200 名前：(0.00…9の記述法では有限少数値！) mailto:sage [2006/11/06(月) 06:08:56 ]
- 【下記は自分の意見ではなく、>>199への問い直し】
【これと同じ事？limで極論移行している？】
※小数点下以降の000…も記述する。
1.000…－0.999…
＝0.000… (本式中混同無い為以下=0.1^n且つn→∞)
⇔1.000…＝0.999…+0.1^n (n→∞)
で、n→∞ ⇔ 0.1^n→0 である。
∴ Ｓ = 1 = 0.99…
- 201 名前：199 [2006/11/06(月) 17:56:58 ]
- >>200
だいたい、その通りです。
- 202 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/11/06(月) 23:12:14 ]
- ってかいまおもた
1-0.999…=0.000…(1)=0になるらしいが
0.999…=0.9+0.09+0.009+…0.000…(9)となって最後が0になるのでは・・・
- 203 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/11/06(月) 23:18:21 ]
- 末尾の()は何？
- 204 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/11/06(月) 23:22:29 ]
- ∞桁目とか言いたいんじゃねーの？
- 205 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/11/07(火) 00:33:05 ]
- 1-0.999…=0.000…=0になるらしいが
0.999…=0.9+0.09+0.009+…0.000…となって最後が0になるのでは・・・
- 206 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/11/07(火) 08:52:22 ]
- >>205
>>170みたいに並べて、の末に…と言う意味か？
- 207 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/11/07(火) 09:42:33 ]
- >>205
てか最後ってなんだ
- 208 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/11/07(火) 19:24:51 ]
- 1-0.999…=0.000…=0になるらしいが
0.9+0.09+0.009+…と続けていくと0.000…(=0)が出てきて0.999…にならないのでは？
- 209 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/11/07(火) 19:29:55 ]
- だったら、
> 0.9+0.09+0.009+…と続けていくと0.000…(=0)が出てきて
その場合の和の結果は何なの？
- 210 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/11/07(火) 21:49:04 ]
- 【1≠0.999…の証明】
ｘ＜1でｘの最大値を求めると
解は0.999…
この解はｘ＜1という条件から1≠0.999…である
テンプレの>>4に対して
0.333…∞に3が続く＝0.333…∞に3が続く
である為には
（左辺の∞）＝（右辺の∞）
でなければならず計算不能
∴0.333…や0.111…なども計算不能であり証明不足
- 211 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/11/07(火) 21:56:22 ]
- >ｘ＜1でｘの最大値を求めると
そんなものは存在しない。以上。
- 212 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/11/07(火) 22:22:09 ]
- >>210
∞＝∞はOKなんでない？
確か
∞+1＝∞
∞+∞＝∞
は成り立ってたと思うし
∞＝∞ってのは聞いたことがないが上の式から成り立つだろ
- 213 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/11/08(水) 14:59:23 ]
- >>210-211
>>101とその補足者>>110&>>131が別表現で既出。
>>212
不充分。
>>170の様に桁が揃っている事を前提にすれば正しくなる。
が、それも1＝0.999…⇒1/3＝0.333…、1≠0.999…⇒1/3≠0.333…
本スレでは両者の内、どちらがより正確なのかという事を議論する。
(明らかに>>110&>>131は1と0.999…を分別している為、後者を選んでいる。)
- 214 名前：213補足 mailto:sage [2006/11/08(水) 15:09:34 ]
- 1/3＝0.333…、余り無限小＝0.333…
1/3＝0.333…、余り無限小≠0､333…
>>101数直線上だと隣り合う二点を、如何に処理すべきか。
- 215 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/11/08(水) 22:32:27 ]
- >>213
桁が揃ってないとまずいの？
∞+1＝∞より
0.33＜0.333＜0.3333＜0.333…（∞-1個）3＝0.333…（∞個）3＝0.333…（∞+1個）3─────①
が成り立つとは言えないの？
①は3を増やしていると途中から不等号が変わるのではなく
0.333…（∞-1個）3は無限小数を数えきった値であり、その値に桁を増やすことは不可能
0.333…（∞-1個）3と0.333…∞3は既に同じ桁であり前提にする必要はない
- 216 名前：１３２人目の素数さん [2006/11/08(水) 23:12:55 ]
- >>213 前にも自分の考えを書いたもんだけど、きちんと数学的に考えた上で、
なおかつ小数表記に優劣つけるなら、やっぱり如何なる数も無限小数表記にするのが
妥当では？10のベキ乗を分母（既約な分母として）として持つ数だけ有限小数表記を
持つのが当然、と考える方が失礼でしょう。もし、有理数まで実在の数と考えるのなら。
- 217 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/11/09(木) 02:33:50 ]
- >>215の考え方でいくと
0.333…∞個3…∞個0はどうなるんだ
仮に0.333…∞個3と等しいとすると
0.333…∞個3…∞個1とも等しくなっちゃいそうだが…
- 218 名前：213-214 mailto:sage [2006/11/09(木) 05:37:32 ]
- >>215
>>217質疑をどう処理するか？
>>216
ならば、それは>>200(但し結論中｢1｣を1.000…として)に振る。
- 219 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/11/09(木) 08:02:42 ]
- f:R→R を f(x) = （xの小数点以下を切り捨てた数）
と定義すれば
f(1)=1 だが f(0.999...)=0 となる・・・
と思ったけどこれはただ単にfが写像として定義できないだけのことか？
- 220 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/11/09(木) 10:55:17 ]
- >>219
CPU言語でintxになるな。
正実数に限れば只単に[x](ｶﾞｳｽ記号)になるのう。
- 221 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/11/09(木) 11:07:03 ]
- >>219の f とガウス記号は別物ということだ。
- 222 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/11/09(木) 11:48:56 ]
- >>219
fは写像として定義できるが
Rからの写像ではなく
数字の列からの写像になる
ということでは
- 223 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/11/09(木) 12:14:00 ]
- >>219
あなたの言う通り。
a=b⇒f(a)=f(b) が成り立てば well-defind.
1=0.999...を認めるならば写像が定義できてない、というだけの話。
- 224 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/11/09(木) 12:22:16 ]
- >>223
だからさ
数字の列からの写像としては定義できるんだよ
実数からの写像としてはwell-definedにならないが
- 225 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/11/09(木) 13:29:10 ]
- >>224
{数字の列}という集合を考えたら何が嬉しいのかは判らないが、
まあ、そうなんでしょう。
- 226 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/11/09(木) 13:41:56 ]
- > 何が嬉しいのかは判らないが
まあそう言われるとは思ったけど
数学的な事実は事実だから仕方ないよ
- 227 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/11/09(木) 13:51:15 ]
- 対角線論法とか見たことある？
普通は数字の列の集合と対応させて
|N|<|R|を証明すると思うけど
- 228 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/11/09(木) 15:25:46 ]
- >>227
ああ、そうか。
あれ、対角線論法って0.999...の扱いはどうしてたっけ。
- 229 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/11/09(木) 15:44:04 ]
- >>228
どの数字列も無限に桁があることにするので
最後がn（≠0）で終わる有限小数については
****n0000・・・
****(n-1)9999・・・
のどちらかに揃えると思う
- 230 名前：１３２人目の素数さん [2006/11/09(木) 18:07:16 ]
- >>219
コンピュータにそのまま実行させるからそうなる。
無限桁をメモリーを持つコンピュータなら f(0.999...)=1 だろ。
そうならないのは、コンピュータが有限のメモリーと有限の実行時間をもっているせい。
通常… #define GOSA 1.0D-10 なんて定義して…
f(x) = int(x+GOSA)
ってやれば無問題だろ。当然、f(0.999...)=1 だな。
- 231 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/11/09(木) 18:59:03 ]
- GOSAって何かと思ったら
もしかして「誤差」？
君はひょっとして天才か？
- 232 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/11/09(木) 20:12:11 ]
- >>230
fの定義は
f(x) ＝( x の 小 数 点 以 下 を 切 り 捨 て た 数 )
なので、メモリーが無限桁であろうがなかろうが、
f(0.999…)＝( 0.999…の小数点以下を切り捨てた数 )＝0
となる。一方で0.999…＝1だから、
f(1)＝( 1の小数点以下を切り捨てた数 )＝1
となる。よって、どのみちfはwell-definedでない。
- 233 名前：１３２人目の素数さん [2006/11/09(木) 20:24:41 ]
- コンピュータが内部で 1 と 0.999・・・を区別するかどうかによるだろ
- 234 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/11/09(木) 20:37:08 ]
- ほらな
コンピュータが0.9999・・・を
1とは異なる数字の列と扱えば出力が違うし
実数として1と同じと扱えれば同じ出力になるんだよ
well-definedかどうかで考えるのは誤解の元
- 235 名前：1 ≠ 0.99…の世界に行ってきた。 [2006/11/09(木) 21:25:27 ]
- 全ての数ｎ÷ｎにおいて
最初の商に０を立てると次の位には９が立ち、以下同じ数字が繰り返されるので
ｎ÷ｎ = 0.99…
また、最初の商に１を立てると
ｎ÷ｎ = 1
∴ ｎ÷ｎ = 1 = 0.99…
ここで定義より1≠0.999だが明らかに矛盾。
故に1≠0.99…ならばｎ÷ｎは存在しない。
- 236 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/11/09(木) 21:27:02 ]
- >>233-234
そりゃまあ>>232は
f(x) ＝(xの小数点以下を切り捨てた数)
を
f(数字列x) ＝(数字列xの小数点以下を切り捨てた数)
と読んでるんだからある意味当然だわな。
xが実数のつもりならまず十進展開の仕方（形式的には
関数g : R→{数字列}）を決めねばならんし。
それでやっとお望みの
fg : R→{数字列}→Z
が定義できるんだからな。
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