数学基礎論の質問スレッド

1 名前：1 [04/10/13 18:26:50] 数学基礎論の質問スレッドが、今、無いようなので、新しくたてました。 ほかに質問のある方、どしどしと、質問してみてください。誰かが、教えてくれることもあるでしょう。 さて、私の質問ですが、 『論理学をつくる』という本の、一階述語論理の公理系の例のところに、 公理として、　∀ξ（ξ=ζ）　　　ξ、ζは個体変項をあらわす図式文字 というものがあがっていました。 公理ということは、恒真式なはずなんだけど、それが、なぜ、恒真式なのかが、わからなくて、疑問におもっています。 どなたか、わかる方、お教えください。 321 名前：４９００１２８ [2005/04/22(金) 05:44:21 ] 最後の有限順序数を抜いたAの総和は発散しないべ。 つーか最後の有限順序数とかいう概念てないのかい？ ないと僕は対角線論法が理解できないんだけど。 誰か丁寧におしえれ。百円やるから。 322 名前：４９００１２８ [2005/04/22(金) 05:52:12 ] 今からうんこするからやっぱいいや。 323 名前：１３２人目の素数さん [2005/04/22(金) 07:33:33 ] 始めがあっても終わりがない(場合もある)のが整列集合。 324 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/04/22(金) 19:47:01 ] いわゆる“フェルマーの無限降下法”ですね(^-^;) ω-1 ω-2 ω-3 ω-4 ω-5 ： ： 325 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/04/22(金) 23:33:58 ] あまり関係ないかと 326 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/04/23(土) 01:35:26 ] >>321 αが有限順序数ならばα+1も有限順序数だから 最後の有限順序数なんてものは存在しない。 わかったか？ほら百円よこせ。 327 名前：４９００１２８ [2005/04/23(土) 02:37:05 ] まあそんなことはわかるんだけどさ、 ωが最初の超限順序数なら、その一つ前が、 最後の有限だべ。具体的な値が存在しないのは 当たり前だけど。そう考えないと、 ２＾ｎの総和（ｎは自然数全てを動く）は発散しなくなるべ。 無限に足しても自然数になることになるべ。 328 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/04/23(土) 12:02:59 ] >>327 だからね、仮にω-1って順序数があったとしてもそれは有限では有り得ないの。 下4行は完全に電波でしかないし。 329 名前：１３２人目の素数さん [2005/04/24(日) 01:35:56 ] 公理的集合論の基礎を勉強し終わって、より深く勉強したいんだけど、 どんな本がいいかな？ 「巨大基数の集合論」ってどんな感じ？ www.springer-tokyo.co.jp/content/isbn4-431-70769-7.html 「Set Theory」これは？ www.amazon.co.jp/exec/obidos/ASIN/3540440852/qid=1114274068/sr=1-2/ref=sr_1_8_2/249-4064425-7064368 読んだことある人いたら、感想を聞きたいです。 330 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/04/24(日) 02:23:57 ] >仮にω-1って順序数があったとしても ねーだろｗｗｗ >>329 science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1064299337/ の上のほうを参照すればよいと思う 331 名前：１３２人目の素数さん [2005/04/24(日) 02:50:28 ] (log6 2)2 ログ６の２の二乗っていくつになるの？ 332 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/04/24(日) 03:49:40 ] >>310 333 名前：４９００１２８ [2005/04/25(月) 17:50:47 ] 有限の次が有限なのはわかるけどね、それを常に 適用させると有限である自然数を 並べ終わったあとに余る実数なり部分集合なりから、 一対一の矛盾を導く対角線論法がおかしくなるべ。 余った要素に対応する新しい有限である自然数を、 順次作ってけばよくなるから。あれは有限の自然数を無限に 並べる手順が完了したと仮定して導く背理法だからね。 仮に自然数を並べ終えたなら、そのときの最後を考えるべきだしょ。 で、２＾n（nは自然数のすべてを動く）の集合を Aとした場合、Aの部分集合を自然数の２進法表示と同一視すれば、 Aはすべて自然数だから、最後の自然数を抜いたAの総和は 最後の自然数をこえない。だから最後の自然数を抜いたAは 自然数と一対一の対応がつくべ。そうすると最後の自然数を 含んでいるAの部分集合も自然数に対応しるから、Aの冪集合は 可算濃度だべ。 最後の自然数を考えないとしると、２進法と同一視したAの部分集合を 小さい順に並べてったとき、２＾Nが自然数であるかぎり それより小さい要素でできている部分集合はすべて自然数に 対応する。よって、この操作が完了したと仮定すると この列は全て自然数になる。 でも無限の要素をもつ部分集合は自然数に対応しないので、 背理。 334 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/04/25(月) 19:13:52 ] 順序数には、一つ前がある後続順序数（successor ordinal）と 一つ前がない極限順序数（limit ordinal）があるんだよ（０は除く）。 極限順序数が存在するというのは無限公理から導かれて、 最初の極限順序数がωなわけ。 だから、ωの一つ前というのは存在しないの。 集合論は独学だと電波方面に行きやすいから注意が必要。 迷ったら教科書を開いて、定義や公理に立ち返った方がいいよ。 335 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/04/26(火) 03:32:41 ] >>333 >>science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1064299337/626にレスしました 336 名前：４９００１２８ [2005/04/26(火) 04:28:31 ] ＞＞有限である自然数を並べ終わったあと 有限の値である自然数を無限個並べ終わったあとね、かきまちがった。 最大の自然数が存在しないのもわざわざおせーてもらわなくても わかるんだけどね、おれがつくった集合Aの部分集合を自然数の二進法表示と 同一視して考えると、ある自然数２＾ｎがあった場合、それ以下の要素のみで できてる部分集合は要素が無限個あっても自然数２＾ｎより小さいから、 全部自然数になるだろ。 ２＾ｎの２乗もその２乗も無限に自然数だから、 自然数からなる集合Aの部分集合はすべて自然数に対応して、 Aの冪集合は可算濃度になるべ。 337 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/04/26(火) 04:57:09 ] こっちのスレは少々スレ違い、ということなんだけどなあ ま、高校の数学の質問がくるより良いか >集合Aの部分集合を自然数の二進法表示と >同一視して考えると A={m ; m=2^n , nは自然数}という意味だと思うんだが Aの冪集合P(A)とNは一対一に対応しません。 対応するのはAの「有限」部分集合 338 名前：４９００１２８ [2005/04/26(火) 05:34:52 ] 朝早いのに応えてくれてありがと。 有限の部分だけ対応するね。 ２＾ｎが有限だとすると、それ以下でできてる 部分集合も有限でしょ。Aの中には有限しかないんだから、 Aのどの要素をとっても、それ以下の要素のみでできてる部分集合は 全部有限でしょ。とするとある２＾ｎが最大の自然数で、２＾ｎの次から 無限というへんてこなこと考えないと「無限」部分集合はつくれなく なりません？ 339 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/04/26(火) 05:41:22 ] ならないですよ 2^nはnを大きくするといくらでも大きくなるから。 有限個しかないのと、有限のnしかない （無限大の自然数なんて無いんだから、言い方がおかしいけど） というのは区別しないといけない 340 名前：４９００１２８ [2005/04/26(火) 05:53:56 ] 自然数の無限列が自然数じゃないないんだから、無限の元をもつ部分集合を 有限とするか、自然数におわりをつくるかしないと、 、論理的におかしくなりません？ 341 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/04/26(火) 06:00:46 ] 2^nという形では有限部分集合しか対応させられないよ。 無限部分集合に対応させるには、2^ωにしないとダメ。 342 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/04/26(火) 06:20:39 ] 4900128さん 次の論法のおかしさを見抜いてください。 "各自然数nについて、 S_[n] ={0,1,...,n} は有限集合である。 集合 S_[0]={0} は有限集合である。 ゆえに集合 S={0,1,2,...} (自然数全体) は有限集合である(!)." 343 名前：339 mailto:sage [2005/04/26(火) 06:46:53 ] >>340 なりません どうしてなるのか分からない 有限、無限はきちんと定義できます。 それと用語は正しく使いましょう。 344 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/04/26(火) 08:40:46 ] 2^nはどれも有限なのに2^ωまで行くと 可算無限なんて飛び越して 一足飛びに連続の濃度に行ってしまうのが 気持ち悪くて仕方がなかった5年前の俺 345 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/04/26(火) 15:24:28 ] >>344 全てのnに対する2^nの直和なら可算無限なんだけどね。 346 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/04/26(火) 21:11:39 ] >>342 4900128ではないですが，自然数全体の集合はinductiveに定義できない（F(n+1) = {n+1} ∪ F(n)のlfpではない） のにinductionを適用しているということでしょうか？ 347 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/04/26(火) 21:53:58 ] >>346 4900128さんに考えていただきたいのは、ω-1なるものが仮に存在するとして、帰納法の 適用により (ω-1)+1 = ω は有限集合ということになるわけだから、ωの定義に反するわけ だということだったのですが。 348 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/04/26(火) 21:58:22 ] その例だと帰納法を適用できるかどうかの方が問題になってしまうと思う。 使うとしたら余帰納法だろう。 349 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/04/26(火) 22:50:02 ] >>348 有限順序数は帰納的順序数として定義されているのではなかったか。 350 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/04/27(水) 00:12:26 ] 可算、非可算てのは個数というより位相的な性質なのであって、 「濃度」という訳はけっこう名訳のような気がする。 351 名前：１３２人目の素数さん [2005/04/28(木) 00:41:45 ] 不完全性定理の補助定理で Aが公理系Nで証明可能であるなら、AからPr（g（A））を導き出してよい 公理系Nがｗ無矛盾であるなら、Pr（g（A））からAを導き出してよい というのがありますが、 これは、「Aが証明可能である」から、（そういう意味のようなものを持ってる）Pr（g（A））を使ってもいいよ、 ということなのか、 そんなことではなくて、 ただ、形式的体系上の２つの記号列の関係として、（推論規則のような形で） Aという論理式からPr（g（A））という論理式を導き出してもいい、（意味のようなものは関係なくて） ということなのか、 ちょっと、わからないでいます。 誰か教えてください。 352 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/04/28(木) 01:13:23 ] >>351 > Aが公理系Nで証明可能であるなら、AからPr(g(A))を導き出してよい まともな本には、曖昧さのない形で述べてあると思うのだけど。 何という本を参照していますか。 353 名前：１３２人目の素数さん [2005/04/28(木) 02:14:25 ] 野矢茂樹『論理学』 田中一之『数学基礎論講義』 というのを、今、読んでいます。 いぜん、 Prなる述語記号が持っているとされる、妙な意味のようなものが、 上の補助定理と関係あるのか、が、わかりません。 354 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/04/28(木) 03:04:01 ] 論理式とそうでないメタ数学的命題は 区別できるように書いてないですか？ そもそも>>妙な意味のようなもの が云々、というのは本には全く書いてないと思うのだけど 355 名前：１３２人目の素数さん [2005/04/28(木) 12:03:03 ] すんません、自分が妙な意味のようなものとよんでいるのは、 Pr（g（A））という論理式が表現しているとされるメタ数学的命題、 「Aは公理系Nで証明可能である」のことです。 で、教えてほしいのは、 Aが公理系Nで証明可能であるなら、AからPr（g（A））を導き出してよい （不完全性定理に出てくる補助定理） に関して、 Pr（g（A））が持っているとされる、「Aは公理系Nで証明可能である」という意味論的な内容が関係を持っているのか、ということについてです。 356 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/04/28(木) 14:16:38 ] 直接の関係はないよ。あえて言えば Prが証明可能性を表現するように設計した →だから、その定理が成り立ってくれれば設計意図が一応満たされたといえる くらいの間接的な関係。 357 名前：１３２人目の素数さん [2005/04/28(木) 21:26:03 ] 高校の数学の教科書を見ていると、ＡとＢの掛け算を Ａ×Ｂ と書かずに Ａ・Ｂ と書かれてるのですが、「×」と「・」は同じ意味と考えて良いのでしょうか？ また、なぜ二種類の書き方があるのでしょうか？ ご存知の方教えて下さい。お願いいたします。 358 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/04/28(木) 21:57:21 ] >>353 野矢「論理学」の該当部分を眺めてみました。 この本では Pr(x) の定義を与えていないので、証明できるわけがないですね。 この箇所まで読んだ時点では、想像をたくましくしても無駄です。 「数学基礎論講義」なり、前原「数学基礎論入門」を読むことをお薦めします。 359 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/04/29(金) 05:17:45 ] 田中さんて人が書いてる本をもう一冊かりてきて読んでたら、なんか解決しました。 >>357 スレ違いです。 数学基礎論は「数学の基礎」ではありません。 とのことです。 数学基礎論的に言えば、 算術の言語の語彙としてのそれなら、混乱が避けられているかぎり、 ×や・に替わって、＄でも￥でも好きなものを使ってかまわないと思います。 360 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/04/29(金) 10:19:19 ] 「数学の基礎をめぐる論争」　(^-^;) 361 名前：１３２人目の素数さん [2005/04/29(金) 12:08:52 ] 数学基礎論は数学の基礎だよ. しかし基礎の数学ではない. 362 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/04/29(金) 12:19:57 ] まあそれは言い方の問題じゃないですか？ ただ、初等数学とはあまり関係のない、 数学の一分野であることは確かですね。 数学基礎論とは何か、と言うとまた 難しい問題になりますけど 363 名前：１３２人目の素数さん [2005/04/29(金) 12:55:06 ] 「数学基礎論は時代の関数」と言ったの誰だっけ？ 364 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/04/29(金) 12:59:06 ] Atiyah たしか厳密性は時代の函数 365 名前：１３２人目の素数さん [2005/04/29(金) 13:58:52 ] 物理のコンセプトを用いている数学者達に対する 厳密性云々というのは、数学基礎論とは別カテゴリー？ 366 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/04/29(金) 14:01:25 ] 小数第2位を四捨五入すると　2.55　は2.6になるのでしょうか？それとも3ですか？ 367 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/04/29(金) 14:06:59 ] >>366 >>310 368 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/04/29(金) 14:09:33 ] >>367 すみませんでした。 369 名前：べーた　LVβ5　402 403 407 410 [2005/04/29(金) 15:03:34 ] >>368 いいですよ 370 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/04/29(金) 15:05:30 ] 荒らすな 371 名前：べーた　LVβ5　402 403 407 410 [2005/04/29(金) 15:06:36 ] >>370 そうですよ！ 372 名前：１３２人目の素数さん [2005/05/01(日) 00:49:06 ] ＞365 微妙です。 373 名前：１３２人目の素数さん [2005/05/03(火) 19:26:23 ] ラッセル、ノイマン、コーエン、後世に残したインパクトの大きさでは 誰が一番？ 374 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/05/03(火) 22:49:20 ] 基礎論ならラッセル，集合論ならコーエン， 経済学とか解析学とかならノイマン． 他分野の人間を比較するのは， 極端なことを言えばアインシュタインとトロツキーは どちらが強い影響を及ぼしたか，とかと同じくらい意味が無いような 375 名前：１３２人目の素数さん [2005/05/03(火) 23:04:50 ] ＞374 恐縮です。 ノイマン、コーエンも数学基礎論に貢献した人物かと思っていました。 376 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/05/03(火) 23:33:52 ] ノイマンもいくらか仕事はしてるけど， 基礎論に関する限り，それほど大きな仕事はしてないような （弱い算術の無矛盾性の証明とかだったような． ほかは不勉強で知らない．） たしかにforcing知ってれば再帰函数論とかで有利みたいですけど 基礎論は必ずしも集合論を知らなくても出来ますし， ACは十分自然な公理であって，ACの独立性など あまり重要ではない，という人も居ます． また，ノイマンの階層論理も，ロジックプロパーな人は よく使うみたいですから，どっちがインパクトが大きいとも言えないかと． 377 名前：１３２人目の素数さん [2005/05/03(火) 23:46:20 ] ＞376 なるほど。 ご教示いただき感謝します。 378 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/05/03(火) 23:52:53 ] あ，ごめん ノイマンの階層論理じゃなくてラッセルの階層論理です． 訂正 379 名前：１３２人目の素数さん [2005/05/04(水) 00:06:06 ] 幼稚な質問ですが、教えてください dx/dtの読み方・書き順ですが 読み方、dx dt 書き順も分子から dx / dt となるのは、どうしてですか？ おねがいします。 380 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/05/04(水) 00:10:52 ] >>379 >>310参照 ◆ わからない問題はここに書いてね １６３ ◆ science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1114465980/ にレスします． 381 名前：１３２人目の素数さん [2005/05/04(水) 01:13:22 ] >>376 クラス概念の導入が基礎論にとって大きな仕事でないというならば そうだろうね。 382 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/05/04(水) 01:44:46 ] >>381 それならベルナイスも少なくとも同程度に 評価すべき． 383 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/05/04(水) 04:13:34 ] >>382 GBN を GN と書かれてベルナイスの泣きが入ったというエピソードもあったね。 384 名前：１３２人目の素数さん [2005/05/04(水) 18:43:41 ] ∀x(P(x)->Q(x))->(∀xP(x)->∀xQ(x)) ∃x(P(x)->Q(x))->(∃xP(x)->∃xQ(x)) これは二つとも成立しますよね？ 385 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/05/05(木) 08:06:13 ] ＞384 ２番目の式は、Ｐ が１箇所だけ真、Ｑ が全部偽な場合を考えてみるべし 386 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/05/05(木) 08:12:51 ] 1箇所Pを偽にしとくのも忘れずにねー 387 名前：１３２人目の素数さん [2005/05/05(木) 12:35:21 ] 不完全性定理の一般向け啓蒙書としては、「ゲーデル・エッシャー・バッハ」 が傑作？ 388 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/05/05(木) 14:20:38 ] あれって不完全性定理に関してそこまで 書かれているわけじゃないような というか，不完全性定理スレが荒らされていてびっくり 389 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/05/05(木) 15:48:53 ] >>385-386 わかりました。ありがとうございます。 390 名前：１３２人目の素数さん [2005/05/09(月) 15:14:12 ] 誰か教えてください。 本に、次のように書いてあるのですが、よくわかりません。 原始式から命題結合記号と有界量化記号∀ｘ＜ｔ、∃ｘ＜ｔだけを使って作られる論理式を有界な（bounded)論理式と呼ぶ。 ここで∀ｘ＜ｔは∀ｘ（ｘ＜ｔ→・・・）、∃ｘ＜ｔは∃ｘ（ｘ＜ｔ∧・・・）の省略形で、ｔはｘを含まない項とする。 はじめ、普通の量化子∀ｘになんらかの制限を課したものかな、くらいに思ってたのですが、上の説明文の２行目の意味がよくわからなくて、こんがらがってます。 （「∀ｘ＜ｔは∀ｘ（ｘ＜ｔ→・・・）の省略形で」というのがよくわかんないんですが、 ∀ｘ＜ｔ（普通の論理式の形をしたもの）と表記されている論理式が、∀ｘ（ｘ＜ｔ→・・・）（ふつうの論理式の形をしたもの）ということでは、おそらく、ないはずで、 ということは、別のことを言ってるはずなんですが、その内容がいまひとつよくわからない・・） 391 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/05/09(月) 15:37:33 ] 例えば ∀x＜t ( Fx ∨ Gx ) は ∀x ( x＜t → ( Fx ∨ Gx )) の省略形 392 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/05/10(火) 00:09:33 ] ありがとうございました。わかりました。 にしても、何故略記？とか、考えてるんですが、 なんか意味があるんでしょうね 393 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/05/10(火) 05:52:58 ] ∀x(x<t→P(x)) は、「全てのxについて、xがtより小さいならばP(x)が成り立つ」 ∀x<t(P(x)) は、「tより小さい全てのxについてP(x)が成り立つ」 と読み下せるけど、両者は同じ意味になる。 394 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/05/10(火) 12:48:53 ] >>392 何を悩んでるのかがよくわからん。 なぜ ∀x＜t を、基礎的な量化子ではなくて略記法という ことにするのか、ってこと？ ∀x を使って同じ意味の表現を与えられるんだったら 基礎的な記号の数を増やす意味があまりない。 というかこの場合はかえって有害。 ∀x＜t を言語に含まれる無定義の記号ということすると、 「引数をとる量化子」なんて新しいカテゴリを導入しなくては ならなくなるし、完全性やらのメタ証明でチェックする項目が 1個無意味に増える。 一方、理論の中じゃなくてメタのレベルで略記してるだけ、 ってことにすればメタ定理の証明では無視できる。 古典論理の文脈では、∀x＜t だけじゃなく、∃x と ∀x の 一方を他方で定義した略記法として処理することも多い。 395 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/05/10(火) 14:56:25 ] 例題みたいなのの内容を眺めている最中なんですが、 ド･モルガンの法則は使えるんですね、これ ¬（∃y＜ｘ¬Pｙｎ） で ∀ｙ＜ｘPｙｎ みたいなかんじで、 略記したものなんだろうけど、扱いは、なんか基礎的な量化子っぽいですね。 ¬（∃y＜ｘ¬Pｙｎ） ¬（∃y（ｙ＜ｘ∧¬Pｙｎ） ∀y（¬（ｙ＜ｘ）∨Pyn） ∀y（ｙ＜ｘ→Pyn） ∀ｙ＜ｘPｙｎ か 396 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/05/10(火) 15:02:19 ] ついでに質問させてください。 自分が、この有界量化記号∀ｘ＜ｔ、∃ｘ＜ｔというのに不案内なのも関係しているんだと思いますが、 ある関係Aはロビンソン算術に不等号を加えた公理系において、∃ｘ（θ1ｘｚ∧∃ｙ＜ｘθ2ｙｚ）・・・�@によって表現される。 というときの、�@がでてくる脈絡がよくわかりません。 Aが成り立たない、の出発点になるところの ¬∃ｘθ1xｎ∧∃ｙθ2ｙｎ・・・�A これは文意が読み取り易いんですが、 それに対応する、 Aが成り立つ、の出発点になるところの ∃ｘ（θ1ｘｚ∧∃ｙ＜ｘθ2ｙｚ）・・・�@ というのが、なんでこういうことになってんのかが、よくわかりません。 〜より小さい、というのが、どこから出てきて、なんで必要なんだろう、ということがわかりません。 397 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/05/11(水) 09:43:13 ] >>392 例えば、このような表記は日常的な推論を記号化する場合などに便利。 日常で「すべて」とか考える場合に、その世の中にあるありとあらゆるもの全てを 想定して考える場合はまれでしょ？なんらかの範囲のなかで「すべて」を 考えている場合が多いはず。 あらかじめたくさんの種類の量化子を導入するタイプの論理は、 many-sorted logic とよばれる。ぐぐってみ。 >>393 の言う通り、一般の一階述語論理の中では解消可能とされるが、 いろいろ面白い性質があるらしいぞ。 398 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/05/11(水) 12:08:29 ] >>396 数論の場合は、有界の量化子が成り立つかどうかは 必ず有限の時間で判定がつくでしょ。 有界でなければそうとは限らない。 後々、その述語の判定のしやすさを扱うときに、 量化子が有界かどうかは重要になってくるよ。 399 名前：１３２人目の素数さん [2005/05/11(水) 12:46:29 ] ここ数日間、本を読んでてよくわからなくなった部分周辺を見回していますが、 ∀x<t >>393 のような意味で用いられてるみたいですね ここにくるまで、そういう表現が特に必要がなくて、で、いまだに、どうして、こういう表現が必要なんだろう、というところで、ぐるぐる混乱しています。 >>396のはなかったことにして、 ロッサーの可証述語というものについて、誰か教えてください。 Pr'（ｘ）≡∃ｙ（Prov(y,x)∧¬∃ｚ＜ｙDispr(z,x)) Pr'（φのゲーデル数の数項）で、意味は、 「ある論理式φの証明ｙがあって、ｙよりゲーデル数が小さなものはどれも¬φの証明ではない」ということらしいですが、 なんで、〜より小さなもの、ということを言わなければいけないのか、がわかりません。 「ある論理式φの証明があって、ある¬φの証明は無い」ではだめなのでしょうが、その理由がよくわかりません。 400 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/05/11(水) 12:56:08 ] >>398 レスついてんの気が付きませんでした・ とすると、ロッサーの可証述語というやつも、そういうことからの要請なんですかね 401 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/05/11(水) 14:01:23 ] > ある論理式φの証明ｙがあって、ｙよりゲーデル数が小さなものはどれも¬φの証明ではない それは読み間違いです。 402 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/05/11(水) 14:12:11 ] >>400 > とすると、ロッサーの可証述語というやつも、そういうことからの要請なんですかね ええと、それは、ちょっと関係なくて、 ゲーデル文を改良するためのトリックです。 403 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/05/11(水) 16:24:20 ] Pr'（ｘ）≡∃ｙ（Prov(y,x)∧¬∃ｚ＜ｙDispr(z,x)) これだけを見ると、よく文意がわからないんですよね ∃ｙが全体にかかってて、で、∃ｚ＜ｙってのは、例のごとくなんかの省略なわけで、ｙが縛られているのかどうかもよくわかんねえし（有界量化子ってなんだよ、という上の質問もここらへんの関係から） ということは、コレ自体がなんかの目的で作られたというよりは、なんかを変形して流れ着いたのが、これなんじゃないか、というように勘ぐってたら、 今、『数学基礎論講義』という本を読んでるんですが、 ＞Pr'（ｘ）≡∃ｙ（Prov(y,x)∧¬∃ｚ＜ｙDispr(z,x)) の意味は、 ＞「φの証明ｙがあって、ｙよりゲーデル数が小さなものはどれも¬φの証明ではない」 とあって、 ふ〜ん、そうなんだ、と、よくわかんないまま、そのまま引用したのが >>399 の書きこみです。 >>402 もうひとこと、さらなる書きこみ、ﾏｯﾃﾏｽ 404 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/05/11(水) 18:53:57 ] >>403 ごめん、読みはそれであってますわ。 詳しくは nl.ijs.si/~damjan/Rosser.html でも読んでね。 405 名前：１３２人目の素数さん mailto:age [2005/05/11(水) 21:43:11 ] 集合α1,i⊇0,を命題論理における複雑さi以上の論理式集合全体の集合と定義し、 A={a0,a1,a2,…}と定義する。 このとき∩Aは命題論理におけるどんな論理式全体の集合になるか分かる人います？？ 406 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/05/11(水) 21:47:02 ] いない。バイバイ 407 名前：１３２人目の素数さん mailto:age [2005/05/11(水) 23:33:11 ] >>405 |│　／ |￣＼ |− ﾟ ）─ |＿／ |∧　＼ |−ﾟ） |∧∧ | ﾟ−ﾟ）　ｿｰ |⊂/ 【解説＆解答随時受付中】 408 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/05/11(水) 23:36:02 ] いないっつってんだろ。かえれ無礼者 409 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/05/12(木) 00:39:11 ] >>405 空集合じゃないの？ 410 名前：１３２人目の素数さん [2005/05/12(木) 01:34:28 ] 内積ベクトル空間の任意のベクトルaに対してa0=0になることを証明せよ。この当たり前の事をどう証明していいかわかんないんです、、、お願いします 411 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/05/12(木) 01:43:58 ] マルチさん乙！ 412 名前：１３２人目の素数さん [2005/05/13(金) 20:07:30 ] 数学嫌い数学嫌い数学嫌い数学嫌い数学嫌い数学嫌い数学嫌い 413 名前：１３２人目の素数さん [2005/05/15(日) 17:04:14 ] >>399 ＞ロッサーの可証述語というものについて、誰か教えてください。 教えてやってもよいが、いくら払う？ ＞「ある論理式φの証明ｙがあって、ｙよりゲーデル数が小さなものは ＞どれも¬φの証明ではない」ということらしいですが ＞なんで、〜より小さなもの、ということを ＞言わなければいけないのか、がわかりません。 わからん、とすればそこだろうな ＞「ある論理式φの証明があって、ある¬φの証明は無い」 ＞ではだめなのでしょうが、その理由がよくわかりません。 その文章ではダメだな。せめて 「ある論理式φの証明があって、どれも¬φの証明では無い」 くらいにいわんと。 414 名前：１３２人目の素数さん [2005/05/15(日) 17:17:44 ] >>413 しかし 「ある論理式φの証明があって、どれも¬φの証明では無い」 を論理式でかくと、∃ｙProv(y,x)∧¬∃ｚDispr(z,x) となってしまって、zはyと何のかかわりもなくなる。 ∃ｙ(Prov(y,x)∧¬∃ｚ((ｚ＜ｙ)∧Dispr(z,x))　 だとｚはｙに依存する。 415 名前：１３２人目の素数さん [2005/05/15(日) 17:42:32 ] >>414 ｙを具体的に与えたとき Prov(y,x)∧¬∃ｚ((ｚ＜ｙ)∧Dispr(z,x)) を判定する述語はつくれるが、zがyと独立だった場合 ¬∃ｚDispr(z,x) （つまり∀ｚ¬Dispr(z,x)）を 判定するのは無理。 416 名前：１３２人目の素数さん [2005/05/15(日) 18:56:06 ] 解析接続てなんですか？ 417 名前：GreatFixer ◆ASWqyCy.nQ [2005/05/15(日) 18:59:41 ] Re:>>416 正則関数の定義域を広げること。 418 名前：１３２人目の素数さん [2005/05/16(月) 13:05:23 ] 可証性述語を表現するとされる論理式を、ちょっと強くしたんだろうな、 くらいで通り過ぎようと思っていましたが、なんか教えてもらえそうなので、もう少しくらいついてみます。 >>413 >>414 >>415 ∃ｙProv(y,x)∧¬∃ｚDispr(z,x) 「ある論理式φの証明があって、どれも¬φの証明では無い」では、ｚがｙと関係付けられていないので、まずい、 〜より小さい、というのは、ｚをｙと関係付ける一つの方法だ、 というように読めるのですが、 それが、 ・〜より小さい、という表現を用いている ・「ある論理式φの証明があって、どれも¬φの証明では無い」 ではだめ ということの理由ですか 419 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/05/16(月) 14:46:36 ] >>418 つーか、>>414ぬきに、>>415で"ｙより小さい"という 限定を行って計算可能になったからＯＫなのでは？ 420 名前：１３２人目の素数さん mailto:age [2005/05/16(月) 21:22:37 ] >>409 詳細キボンヌ　ハァハァ 421 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/05/16(月) 23:51:08 ] >>418 T を PA を含む帰納的な理論、Prov(y,x) を T の標準的な可証性述語、 P が T の証明図、A が T の論理式のとき、g(P), g(A) をそれぞれ P, A のゲーデル数を表す数字とする。 このとき、ゲーデルの第一不完全性定理は次の表現可能性と対角化補題 から導くことができる。 P が論理式 A の T での証明図 ⇔ Prov(g(P),g(A)) が T で証明可能. 一方、Prov'(y,x) ≡ Prov(y,x)∧¬∃z＜y Dispr(z,x) とおくと、 T が無矛盾という仮定の下で、次が成立する。 ロッサーの不完全性定理は、これよりゲーデルの第一不完全性定理と 同様の方法で証明できる。 P が論理式 A の T での証明図 ⇔ Prov'(g(P),g(A)) が T で証明可能 ところが、Prov*(y,x) ≡ Prov(y,x)∧¬∃z Dispr(z,x) とおくと、 T が無矛盾という仮定があったとしても、 「P が論理式 A の T での証明図」と「Prov*(g(P),g(A)) が T で証明可能」 との同等性が証明できない。

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