- 1 名前：1 [04/10/13 18:26:50]
-
数学基礎論の質問スレッドが、今、無いようなので、新しくたてました。
ほかに質問のある方、どしどしと、質問してみてください。誰かが、教えてくれることもあるでしょう。
さて、私の質問ですが、
『論理学をつくる』という本の、一階述語論理の公理系の例のところに、
公理として、 ∀ξ（ξ=ζ） ξ、ζは個体変項をあらわす図式文字
というものがあがっていました。
公理ということは、恒真式なはずなんだけど、それが、なぜ、恒真式なのかが、わからなくて、疑問におもっています。
どなたか、わかる方、お教えください。
- 245 名前：１３２人目の素数さん [05/03/14 19:59:47 ]
- ランダム性の概念を数学的に追求した書物はありますか？
- 246 名前：１３２人目の素数さん [05/03/14 21:42:30 ]
- クレタ人はみんな頭がいいとクレタ人が言った
- 247 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/03/15 01:31:50 ]
- 坪井明人 モデルの理論 河合出版
- 248 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/03/15 02:12:08 ]
- へー、坪井先生 本書いてたんだー。（by元ゼミ生）
- 249 名前：１３２人目の素数さん [05/03/15 02:37:37 ]
- 高１です。すれ違いかもしれませんが質問がスレタイだったので質問させて下さい
因数分解なのですが、これって公式全部覚えないとダメなんでしょうか？
確か中学校の時、因数分解は
−2a / −b±√−b^2−4ac で解くと言ってたのですが。
複雑になってくると応用が利きません。
- 250 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/03/15 02:55:14 ]
- >>249
オマイさんは激しく勘違いしていると思われ。
数学基礎論ってのは大学くらいから専攻の対象になる数学の一分野のことで基礎の数学のことでは
ない。
ttp://messages.yahoo.co.jp/bbs?.mm=GN&action=topics&board=1835554&type=r&sid=1835554
Yahoo数学板の「高校生の為の数学質問コーナー」あたりで聞いてきなさいな。
- 251 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/03/15 19:47:27 ]
- ちょっとなごんだw
- 252 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/03/16 00:24:52 ]
- >>243
>>247
レスｻﾝｸｽｺ
>>247
のが手に入りそうなんで、とりあえず、それから読んでみます。
- 253 名前：１３２人目の素数さん [05/03/16 11:21:22 ]
- あのーみなさんは自由変数と束縛変数で文字の使い分けしてますか？
例えば自由変数にはa,b,cなどのアルファベットの最初の方を使い、
束縛変数にはx,y,zなどのアルファベットの後ろの方を使う、というような。
私はどうせ本質は変わらないのだからいちいち区別すんのやめよーー、
と思っていました。
最近GentzenのCut除去定理の証明をなぜかもう一度フォローしたくなって
読んでるんですが、この証明見ると自由変数と束縛変数を区別しなかったら
ちょっとやりにくいなあ、としきりに思えてくるわけです。そこでいろいろ
疑問がわいてきたのですが、私はもう社会人？？年生。いまさら近くにこんな
話題にのってくれる人もなし、文献もなし。どなたかご教示ください。
・そもそもGentzenのLKの形式って自由変数と束縛変数の区別をするのが普通な
のでしょうか？
・もし、GentzenのLKで自由変数と束縛変数を区別しない場合、例えば（∀右）
の推論規則は
Γ⇒Θ、A
−−−−−−−
Γ⇒Θ、∀xA
のように∀xを付け加えるだけなのでしょうか。それとも
Γ⇒Θ、A(x)
−−−−−−−−−
Γ⇒Θ、∀yA(y)
のように変数を換えてしまう（上記ではxをyに換えている）のも推論規則の
なかに含めてしまうのでしょうか。
＊そもそも自由変数と束縛変数を区別しないGentzenの流儀なんてなかったりして。
＊こんな細かいことってどこ探しても説明なんてないんだよなあ。
＊ほんと、誰かたすけてちょ。
- 254 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/03/16 14:11:26 ]
- >>253
自由変数と束縛変数を区別しない Hilbert 流の体系の本はたくさんあるので、
それを参考にすれば自然に作れるはずですが。
- 255 名前：253 [05/03/16 16:31:22 ]
- >>254
どうも舌足らずですみません。自由変数と束縛変数を区別しないだけなら
もちろん何の問題もないのですが、Cut除去定理の証明をどのように工夫する
のかなあ、と思いまして。
もしかして、その区別をしない場合は
「終式（証明図の最後のSequent）を変えず」にCut除去するの
ではなくて、「束縛変数の違いを無視して、終式を変えずに」Cut除去
するのかなあ、と思ったわけです。
- 256 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/03/16 17:08:49 ]
- （∀右）と（∃左）の推論規則には、それの適用により
束縛されることになる変数に関する条件が付いているはず。
いつでもどこでも無制限に適用できるわけではないので、
本を読み返してみよう。
- 257 名前：253 [05/03/16 17:59:48 ]
- >>256
私が今読んでる証明は、数学的帰納法を2重に使用する方法でCutを除去する
のですが、その場合、今着目している証明図の固有変数(eigen variable)
が各々の（∀右）と（∃左）で”固有”なものとなるように書き換えを行う
んです。とすれば、
Γ⇒Θ、A(x)
−−−−−−−−−
Γ⇒Θ、∀yA(y)
のように変数を換えてしまうのも推論規則の中に含めていないと考えづらい
ですよね。そこで上記のような話になるんです。
「下式に固有変数がないこと」という条件を無視して推論すると言うこと
を言っているのではありません。
- 258 名前：１３２人目の素数さん [05/03/16 22:21:38 ]
- Bourbakiみたいに束縛変数のところを□に置き換えて、頭の quantifier と□を鎖
で結んじゃう流儀を使えば何にも問題なくなる。
- 259 名前：253 [05/03/16 22:42:01 ]
- >>258
それはそうですけど、私がひっかかってるのは、どちらかと言うと
Γ⇒Θ、A
−−−−−−−
Γ⇒Θ、∀xA
のように∀xを付け加えるだけの流儀も捨てがたいなあと言う気持ち
があるからなんです。
話は違いますが、鎖で結ぶってところが抵抗あるんですよねえ。
ワープロ（というよりTeXですが）で書きづらいし。
- 260 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/03/17 00:08:47 ]
- ＞ 話は違いますが、鎖で結ぶってところが抵抗あるんですよねえ。
□ が出てくるときは、いつも □ とそれより左にある quantifier とただ一本の
鎖で結ばれているから、□ とその quantifier の間にある記号の個数だけ □ に
ダッシュを付けた記号 □''…' を □ と鎖のかわりに使えばいい。
- 261 名前：253 [05/03/17 10:54:43 ]
- >>260
＞□ とその quantifier の間にある記号の個数だけ □ に
＞ダッシュを付けた記号 □''…' を □ と鎖のかわりに使えばいい。
なるほどねえ。簡単に工夫できるんですねえ。
>>255に誰か偉い人のコメントあるといいなあ。
- 262 名前：偉い人 mailto:sage [05/03/17 14:06:41 ]
- >>261
自分で考えろ
- 263 名前：253 [05/03/17 15:00:25 ]
- 残念(;_;)
- 264 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/03/17 15:49:18 ]
- >>244
にレスしてあげたいが気力がでない。
>>263
カット消去の証明を書き換えるのはまんどくさいので、区別無しの
システムを作って、区別ありのシステムとの間で証明図の相互書き換えが
可能であること示せば？
- 265 名前：253 [05/03/17 18:02:42 ]
- >>264
レスありがとうございます。
＞区別無しの
＞システムを作って、区別ありのシステムとの間で証明図の相互書き換えが
＞可能であること示せば？
とのことですが、証明図の終式（証明図最後のSequent）で、同じ変数が
自由変数としても束縛変数としても使用されている場合を考えると、あまり
うまくいかない気がします。やはり「終式（証明図の最後のSequent）を変えず」
にCut除去するのではなくて、「束縛変数の違いを無視して、終式を変えずに」
Cut除去すると言う風になるような気がしてきました。
- 266 名前：253 [05/03/17 18:12:22 ]
- あ、私も勘違いしてた。Cut除去の証明においては、自由変数と束縛変数を区別する
というよりも、もし区別しない流儀を選んだ場合、
>>253の
＞例えば（∀右）
＞ の推論規則は
＞ Γ⇒Θ、A
＞−−−−−−−
＞ Γ⇒Θ、∀xA
＞ のように∀xを付け加えるだけなのでしょうか。それとも
＞ Γ⇒Θ、A(x)
＞−−−−−−−−−
＞ Γ⇒Θ、∀yA(y)
＞ のように変数を換えてしまう（上記ではxをyに換えている）のも推論規則の
＞ なかに含めてしまうのでしょうか。
のところが良く分からないのです。
- 267 名前：１３２人目の素数さん [05/03/17 22:18:54 ]
- 集合論の基礎から高度な内容までを含んだ優れた書籍はありませんか？
洋書でも結構です。
- 268 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/03/18 00:36:10 ]
- >>267
Jech or Kunnen
- 269 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/03/18 03:25:01 ]
- >>257
束縛変数と自由変数の区別をするかどうかの問題ではなく、
eigen-variable が固有であるという条件が保証されていない
場合に Gentzen の証明をどのように修正すればいいかという
問題を考えるべきでしょう。
- 270 名前：253 [05/03/18 08:18:46 ]
- >>269
その通りです。（>>266）
- 271 名前：１３２人目の素数さん [05/03/19 03:43:43 ]
- >>265
＞とのことですが、証明図の終式（証明図最後のSequent）で、同じ変数が
＞自由変数としても束縛変数としても使用されている場合を考えると、あまり
そんな終式での照明図ではそもそもcutは除去できないと思われ。
例えば「情報科学における論理」p.78でも読んでみれ。
- 272 名前：253 [05/03/19 11:01:16 ]
- >>271
情報提供ありがとうございます。早速取り寄せてみます。（品切れ？）
ところで、自由変数と束縛変数を区別しない場合、
（∀右）の推論規則として
Γ⇒Θ、A
−−−−−−−
Γ⇒Θ、∀xA
のように∀xを付け加えるだけのものしか許さない場合、もしかしてCutなしでは
証明できない簡単なSequentがあるのではないかと思って考えてみたら、
∀(x=y∧x∈z)⇒∀y(y∈z)・・・(1)
はもしかしてCutなしでは証明できないのではないでしょうか。もちろん
∀(x=y∧x∈z)⇒∀x(x∈z)・・・(2)
は簡単に証明できますから、
∀x(x∈z)⇒∀y(y∈z)・・・・・(3)
とのCutを使えば(1)は証明できますが、推論規則として上記の（∀右）しか
許さない場合は(1)はCutなしでは証明できないのではないでしょうか。
- 273 名前：偉い人 mailto:sage [05/03/19 11:32:10 ]
- ＞∀(x=y∧x∈z)⇒∀y(y∈z)・・・(1)
＞はもしかしてCutなしでは証明できないのではないでしょうか。
そもそも∀の後ろに何の変数もない式は証明できないだろう。
＞もちろん
＞ ∀(x=y∧x∈z)⇒∀x(x∈z)・・・(2)
＞は簡単に証明できますから、
それは、君が論理法則を誤解してるということ。
- 274 名前：253 [05/03/19 16:40:57 ]
- >>273
その通りですね。xが抜けていました。正しくは
∀x(x=y∧x∈z)⇒∀y(y∈z)・・・(1)
∀x(x=y∧x∈z)⇒∀x(x∈z)・・・(2)
です。失敬、失敬、(^^;)
- 275 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/03/19 18:15:54 ]
- >>274
∀x(x=y∧x∈z)⇒∀y(y∈z)
cut があろうとなかろうと、正しくない式が証明されてはいかん。
- 276 名前：253 [05/03/19 23:54:32 ]
- >>275
>>274の(2)は示せますか？
なんか、ガックシorz
- 277 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/03/20 02:07:38 ]
- >>275
>>274 の(1)や(2)は普通に正しい様だが。
- 278 名前：１３２人目の素数さん [05/03/20 02:19:19 ]
- 私は>>275じゃないですけど、(1)は何か
yのboundが少々おかしくないですか？
- 279 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/03/20 11:51:38 ]
- >>278
気持ちが悪いけど別に問題はないと思われ。free の y と、bound されてる
y は無関係なわけで。
だけど、こんな変数がある時は cut を消去できなかったような気が。
- 280 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/03/30(水) 13:50:46 ]
- あのーー。GentzenのLKやNKの形式的論理計算を支援してくれるようなソフト
探しているんですが、どなたかご存じないですか。まあ、日本語でHelpが読めるに
越したことはないですが、英語でもがんばってみたいと思うのですが。
（Hilbert式のでもいいかな。）
- 281 名前：280 [2005/03/30(水) 21:03:32 ]
- あ、すいません。当方MS-Windowsなので、MS-Windowsで使用できるものを
おながいします。
- 282 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/03/30(水) 21:18:11 ]
- >>280
Lisp かなんかで自分で作ったほうがいいんでは。
勉強になるし、拡張性も思いのままだし。
- 283 名前：280 [2005/03/30(水) 21:51:15 ]
- >>282
Lispってそういう文字列処理得意なんですか？
- 284 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/03/30(水) 23:20:42 ]
- >>283
MLとかOCaml使うべし。
再帰的データ型使えるしパーサとかも普通にライブラリに入ってるはず。
- 285 名前：280 mailto:sage [2005/03/30(水) 23:41:20 ]
- >>284
ちょっと検索してみましたが、MS-Winで使用するにはMeadowとかやんないと
いけないんでしょうか？
やっぱ、xyzzyじゃ無理？
（つっても、xyzzyもKaTeX使ってる程度だけど）
- 286 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/03/31(木) 01:11:15 ]
- >>280
別にMeadow入れる必要はないよ。
↓ここから辿って適当なコンパイラ落としてくればよろし。
ttp://www.jaist.ac.jp/~ohori/texts/mllinks.html
- 287 名前：280 mailto:sage [2005/03/31(木) 11:55:46 ]
- >>286
をを！おありがとうござりあんす！
- 288 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/03/31(木) 20:12:27 ]
- >>283
> Lispってそういう文字列処理得意なんですか？
もちろん。
文字列処理じゃなくて記号処理っていうべきだけど。
Windows では PLT-Scheme がお勧め。
- 289 名前：280 mailto:sage [2005/03/31(木) 21:00:26 ]
- >>288
をを！ありがとうございます。
するってえと、MLとLispとどっちにするか迷いますなあ。
- 290 名前：１３２人目の素数さん [2005/04/08(金) 21:43:50 ]
- モデル理論の超フィルタを使用した超積構造の作り方って、
ルベーグ積分の almost everywhere と似ていないか？
何か関係あるのかな。
- 291 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/04/09(土) 00:30:02 ]
- 基礎論の入門書の良書ってどんなのがありますか？
基礎論は全くわからないので、なんとなく流派とか色々ありそうで、
どんな本から読めばよいか分かりません。
（できれば、和書がよいのですが）どなたか教えてください。
- 292 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/04/09(土) 01:39:45 ]
- >>291
数学基礎論シリーズ
www.kawai-juku.ac.jp/bunkyo/7-2-c.html
- 293 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/04/09(土) 01:46:52 ]
- >>292
どうもです。参考にしてみます。
- 294 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/04/09(土) 02:38:36 ]
- クロスリーとかも入門書としてはよいような。
- 295 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/04/09(土) 11:12:17 ]
- 291ですが、因みに、基礎論に流派とかってありますか？
（なんかG.B.流（ゲーテル・ベルヌーイだったかな）とか聞いたことがあるんだけど。）
あったら、どんなのがあるのか教えてもらえませんか？
- 296 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/04/09(土) 14:02:43 ]
- 学派だったら無いこともないけど、
あまり数学で学派なんか気にしないですよ。
GBというのは多分ゲーデル、ベルナイスの事だと思うんですが、
単に公理的集合論の定式化に、BG式のものがあるだけで、
これも本質的にはZF式のものと同じものです。
- 297 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/04/09(土) 17:49:04 ]
- >>296
返答ありがとうございます。
じつは位相の本で、このＢＧ流を使われていたので
できれば、この体系から勉強したいと考えていて。
上に挙げていただいた本はどうなんでしょうか？
- 298 名前：１３２人目の素数さん [2005/04/09(土) 22:11:41 ]
- 数学基礎論の研究って盛んなの?
外国でも?
- 299 名前：１３２人目の素数さん [2005/04/11(月) 00:02:51 ]
- age
- 300 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/04/11(月) 15:31:04 ]
- >>298
日本は盛んではない国だったと思うが？
- 301 名前：１３２人目の素数さん [2005/04/12(火) 21:29:33 ]
- アメリカじゃナウい学問
- 302 名前：１３２人目の素数さん [2005/04/12(火) 23:43:20 ]
- >300
何故だろうか？
- 303 名前：１３２人目の素数さん [2005/04/12(火) 23:45:48 ]
- 隈部正博って知ってる？
- 304 名前：１３２人目の素数さん [2005/04/13(水) 00:24:53 ]
- 竹内外史ゆかりの人か？
- 305 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/04/13(水) 17:26:33 ]
- 誤差を含めた割り算ってどうやるんですか？
誤差のある重さと誤差のある体積を使って密度を求める問題がわからない…orz
- 306 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/04/13(水) 20:04:48 ]
- >>303
出身が早稲田、専門が帰納的関数論だから廣瀬健先生の門下かな？
- 307 名前：１３２人目の素数さん mailto:age [2005/04/13(水) 21:41:49 ]
- 写像ｆ：Ｘ→Ｙが単射であるとは一体何を示せばいいのですか？
- 308 名前：１３２人目の素数さん [2005/04/13(水) 22:38:06 ]
- 微分係数と導関数って何を求めてるの？
- 309 名前：１３２人目の素数さん [2005/04/13(水) 23:43:51 ]
- >303
放送大学助教授。
- 310 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/04/17(日) 12:14:24 ]
- >>305 >>307 >>308
スレ違いです。
数学基礎論は「数学の基礎」ではありません。
- 311 名前：１３２人目の素数さん [2005/04/19(火) 21:54:59 ]
- 理論の公理がr.e.なら、定理もr.e. 、というのが書いてあったのですが、
論理式の集合（定理）がr.e.なら、それは、r.e.公理化可能である、という逆の方向も言えますか？
- 312 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/04/20(水) 01:58:28 ]
- >>311
言える。定理がr.e.なら、その定理の集合は公理化可能。証明はクレイグによる。
- 313 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/04/20(水) 16:37:24 ]
-
ありがﾄﾝ
- 314 名前：４９００１２８ [2005/04/21(木) 04:54:14 ]
- 2^nで表されるゼロ以外の自然数の集合をA、その冪集合をBとする。
Bをωー１を含んでる集合Cと含まない集合Dにわける。
Dの各要素が含んでいるAの元をそれぞれ足し合わせる。
Φ＝０、（１）＝１、（２）＝２、（１、２）＝３、（４）＝４
（１、４）＝５、・・・・・（１、２、４、８）＝１５、・・・・・・・
（１、２、４、８、・・・・ωー１/4、ωー１/２）＝ωー１
｜
１+１/2+１/４+１/８+・・・・・１/ωー１/2+１/ωー１＝２
＝１＋２＋４＋８＋・・・・・・ωー１/ωー１＝２
従って、１＋２＋４+８＋・・・・ωー１/２＝ωー１
Cを下のように無限順序数に対応させる。
（ωー１）＝ω、（ωー１、１）＝ω＋１、（ω−１、２）＝ω＋２・・・
（ωー１、１、２、４、８、・・・・ωー１/２）＝ω＋ωー１
よって、AとBは対等。
４９００１２８てついそううつそうき
- 315 名前：４９００１２８ [2005/04/21(木) 06:00:06 ]
- 誰かかまって
- 316 名前：１３２人目の素数さん [2005/04/21(木) 10:27:34 ]
- ωー１?
- 317 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/04/21(木) 12:41:54 ]
- >>314
君が順序数を全く理解していないことはわかったから
とりあえず日本語と、式の書き方のマナーを1から勉強して出直してくれ。
- 318 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/04/21(木) 17:32:58 ]
- 順序数を理解してないのに１からといわれても。。。
- 319 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/04/22(金) 00:24:26 ]
- >>318
ウマい。座布団一枚！
- 320 名前：１３２人目の素数さん [2005/04/22(金) 05:16:51 ]
- 最後の有限順序数はなんて表現すんの？
- 321 名前：４９００１２８ [2005/04/22(金) 05:44:21 ]
- 最後の有限順序数を抜いたAの総和は発散しないべ。
つーか最後の有限順序数とかいう概念てないのかい？
ないと僕は対角線論法が理解できないんだけど。
誰か丁寧におしえれ。百円やるから。
- 322 名前：４９００１２８ [2005/04/22(金) 05:52:12 ]
- 今からうんこするからやっぱいいや。
- 323 名前：１３２人目の素数さん [2005/04/22(金) 07:33:33 ]
- 始めがあっても終わりがない(場合もある)のが整列集合。
- 324 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/04/22(金) 19:47:01 ]
- いわゆる“フェルマーの無限降下法”ですね(^-^;)
ω-1
ω-2
ω-3
ω-4
ω-5
：
：
- 325 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/04/22(金) 23:33:58 ]
- あまり関係ないかと
- 326 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/04/23(土) 01:35:26 ]
- >>321
αが有限順序数ならばα+1も有限順序数だから
最後の有限順序数なんてものは存在しない。
わかったか？ほら百円よこせ。
- 327 名前：４９００１２８ [2005/04/23(土) 02:37:05 ]
- まあそんなことはわかるんだけどさ、
ωが最初の超限順序数なら、その一つ前が、
最後の有限だべ。具体的な値が存在しないのは
当たり前だけど。そう考えないと、
２＾ｎの総和（ｎは自然数全てを動く）は発散しなくなるべ。
無限に足しても自然数になることになるべ。
- 328 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/04/23(土) 12:02:59 ]
- >>327
だからね、仮にω-1って順序数があったとしてもそれは有限では有り得ないの。
下4行は完全に電波でしかないし。
- 329 名前：１３２人目の素数さん [2005/04/24(日) 01:35:56 ]
- 公理的集合論の基礎を勉強し終わって、より深く勉強したいんだけど、
どんな本がいいかな？
「巨大基数の集合論」ってどんな感じ？
www.springer-tokyo.co.jp/content/isbn4-431-70769-7.html
「Set Theory」これは？
www.amazon.co.jp/exec/obidos/ASIN/3540440852/qid=1114274068/sr=1-2/ref=sr_1_8_2/249-4064425-7064368
読んだことある人いたら、感想を聞きたいです。
- 330 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/04/24(日) 02:23:57 ]
- >仮にω-1って順序数があったとしても
ねーだろｗｗｗ
>>329
science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1064299337/
の上のほうを参照すればよいと思う
- 331 名前：１３２人目の素数さん [2005/04/24(日) 02:50:28 ]
- (log6 2)2 ログ６の２の二乗っていくつになるの？
- 332 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/04/24(日) 03:49:40 ]
- >>310
- 333 名前：４９００１２８ [2005/04/25(月) 17:50:47 ]
- 有限の次が有限なのはわかるけどね、それを常に
適用させると有限である自然数を
並べ終わったあとに余る実数なり部分集合なりから、
一対一の矛盾を導く対角線論法がおかしくなるべ。
余った要素に対応する新しい有限である自然数を、
順次作ってけばよくなるから。あれは有限の自然数を無限に
並べる手順が完了したと仮定して導く背理法だからね。
仮に自然数を並べ終えたなら、そのときの最後を考えるべきだしょ。
で、２＾n（nは自然数のすべてを動く）の集合を
Aとした場合、Aの部分集合を自然数の２進法表示と同一視すれば、
Aはすべて自然数だから、最後の自然数を抜いたAの総和は
最後の自然数をこえない。だから最後の自然数を抜いたAは
自然数と一対一の対応がつくべ。そうすると最後の自然数を
含んでいるAの部分集合も自然数に対応しるから、Aの冪集合は
可算濃度だべ。
最後の自然数を考えないとしると、２進法と同一視したAの部分集合を
小さい順に並べてったとき、２＾Nが自然数であるかぎり
それより小さい要素でできている部分集合はすべて自然数に
対応する。よって、この操作が完了したと仮定すると
この列は全て自然数になる。
でも無限の要素をもつ部分集合は自然数に対応しないので、
背理。
- 334 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/04/25(月) 19:13:52 ]
- 順序数には、一つ前がある後続順序数（successor ordinal）と
一つ前がない極限順序数（limit ordinal）があるんだよ（０は除く）。
極限順序数が存在するというのは無限公理から導かれて、
最初の極限順序数がωなわけ。
だから、ωの一つ前というのは存在しないの。
集合論は独学だと電波方面に行きやすいから注意が必要。
迷ったら教科書を開いて、定義や公理に立ち返った方がいいよ。
- 335 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/04/26(火) 03:32:41 ]
- >>333
>>science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1064299337/626にレスしました
- 336 名前：４９００１２８ [2005/04/26(火) 04:28:31 ]
- ＞＞有限である自然数を並べ終わったあと
有限の値である自然数を無限個並べ終わったあとね、かきまちがった。
最大の自然数が存在しないのもわざわざおせーてもらわなくても
わかるんだけどね、おれがつくった集合Aの部分集合を自然数の二進法表示と
同一視して考えると、ある自然数２＾ｎがあった場合、それ以下の要素のみで
できてる部分集合は要素が無限個あっても自然数２＾ｎより小さいから、
全部自然数になるだろ。
２＾ｎの２乗もその２乗も無限に自然数だから、
自然数からなる集合Aの部分集合はすべて自然数に対応して、
Aの冪集合は可算濃度になるべ。
- 337 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/04/26(火) 04:57:09 ]
- こっちのスレは少々スレ違い、ということなんだけどなあ
ま、高校の数学の質問がくるより良いか
>集合Aの部分集合を自然数の二進法表示と
>同一視して考えると
A={m ; m=2^n , nは自然数}という意味だと思うんだが
Aの冪集合P(A)とNは一対一に対応しません。
対応するのはAの「有限」部分集合
- 338 名前：４９００１２８ [2005/04/26(火) 05:34:52 ]
- 朝早いのに応えてくれてありがと。
有限の部分だけ対応するね。
２＾ｎが有限だとすると、それ以下でできてる
部分集合も有限でしょ。Aの中には有限しかないんだから、
Aのどの要素をとっても、それ以下の要素のみでできてる部分集合は
全部有限でしょ。とするとある２＾ｎが最大の自然数で、２＾ｎの次から
無限というへんてこなこと考えないと「無限」部分集合はつくれなく
なりません？
- 339 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/04/26(火) 05:41:22 ]
- ならないですよ
2^nはnを大きくするといくらでも大きくなるから。
有限個しかないのと、有限のnしかない
（無限大の自然数なんて無いんだから、言い方がおかしいけど）
というのは区別しないといけない
- 340 名前：４９００１２８ [2005/04/26(火) 05:53:56 ]
- 自然数の無限列が自然数じゃないないんだから、無限の元をもつ部分集合を
有限とするか、自然数におわりをつくるかしないと、
、論理的におかしくなりません？
- 341 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/04/26(火) 06:00:46 ]
- 2^nという形では有限部分集合しか対応させられないよ。
無限部分集合に対応させるには、2^ωにしないとダメ。
- 342 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/04/26(火) 06:20:39 ]
- 4900128さん
次の論法のおかしさを見抜いてください。
"各自然数nについて、
S_[n] ={0,1,...,n}
は有限集合である。
集合
S_[0]={0}
は有限集合である。
ゆえに集合
S={0,1,2,...} (自然数全体)
は有限集合である(!)."
- 343 名前：339 mailto:sage [2005/04/26(火) 06:46:53 ]
- >>340
なりません
どうしてなるのか分からない
有限、無限はきちんと定義できます。
それと用語は正しく使いましょう。
- 344 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/04/26(火) 08:40:46 ]
- 2^nはどれも有限なのに2^ωまで行くと
可算無限なんて飛び越して
一足飛びに連続の濃度に行ってしまうのが
気持ち悪くて仕方がなかった5年前の俺
- 345 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/04/26(火) 15:24:28 ]
- >>344
全てのnに対する2^nの直和なら可算無限なんだけどね。
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