- 1 名前：１３２人目の素数さん [03/11/19 01:07]
- 理系で数学が得意な高校生が２５～５０分で
解ける問題を考えてうぷするスレ。
これ以上の難易度の問題はスレ違いとなります。
関連スレへどうぞ
過去ログ
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ (第一問)
science.2ch.net/test/read.cgi/math/1000592003/l50
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ (第二問)
science.2ch.net/test/read.cgi/math/1046165076/l50
関連スレ
面白い問題おしえて～な 七問目
science.2ch.net/test/read.cgi/math/1064941085/l50
恐ろしく難解な問題をだせ！
science.2ch.net/test/read.cgi/math/1049652059/l50
- 60 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/11/24 16:52]
- 正方形の各点ABCDがあり、AからCに引いた直線とBからDに引いた直線の交点をEとします。
その交点Eを通る直線を辺DC上から引いたとし、その辺DC上との交点をFとします。
ただし、このときの∠CFEは40°以下であること。
この直線FEの延長上にある点Gを、AF＝EGとなる位置におきます。
この△AGE上をA君が歩くと3分40秒かかるそうです。
しかしA君の靴紐は1分間に一度必ずほどけてしまい、その度に20秒間のロスがあります。
その条件でA君の速さを50分間測定し、その平均をだすと時速2200Mとなりました。
同じように△FEC上をB君が歩くと2分30秒かかりました。
B君の歩く速さは常に一定で、時速0，00000000000000003光年となります。
ただし、1光年は9兆5千億kmと考えます。
このとき、A君の好きな人は誰でしょう？
- 61 名前：１３２人目の素数さん [03/11/24 16:59]
- >>60
この話は本当ですか？
ペトロナスタワー
www.kajima.co.jp/gallery/const_museum/kousou/main/honbun/img_p/18.jpg
まず左のタワーをハザマが建てた。
それをパクりながら三星が右のタワーを建てたが傾いた。
- 62 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/11/24 17:10]
- >>60
>>60
- 63 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/11/24 17:30]
- >>60>>62
おまいらなかなかやるな。
- 64 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/11/25 16:30]
- <<60
三行目ですでにダメなわけだがな。
- 65 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/11/28 17:57]
- >>64
出だしですでにダメなわけだがな。
- 66 名前：１３２人目の素数さん [03/12/03 22:34]
- 放物線y=x^2 をCとおく。いま、y>x^2を満たす領域にある点P(p,q)が
次の条件を満たすとき、p,qの満たすべき必要十分条件を求めよ。
(条件) Pを通るCの任意の弦を直径とする円が
常にある定点を通る。
- 67 名前：１３２人目の素数さん [03/12/03 22:43]
- >>66
昔、だいすうの学コンで、似たようなのが出てた気がする。
- 68 名前：１３２番目の素数さん [03/12/05 00:03]
- >>66
q=p^2 +1
- 69 名前：１３２番目の素数さん [03/12/05 13:44]
- フィボナッチ数列A_n+2=A_n+1 + A_n（n=1,2,3・・・）において、
13の倍数をとる項はnが7の倍数のもののみであり、nが7の倍数の項は全て13の倍数であることを証明せよ。
D＊＊＊＊
- 70 名前：１３２人目の素数さん [03/12/05 15:38]
- >>69
A_1=A_2=1が抜けてるがまあいいとしよう。
とりあえず簡単だろ。C***くらいじゃね？ 以下解答。
数列A_nを13で割った余りをR_nとする。すると数列{R_n}は以下のように循環数列になる。
1,1,2,3,5,8,0,8,8,3,11,1,12,0,12,12,11,10,8,5,0,5,5,10,2,12,1,0,
1,1,2,3,…
1行目の28個の項において第7項、第14項、第21項、第28項はいずれも0であるから。
第7n項（n=1,2,…）はいずれも0である。すなわちR_7n=0であるからA_7nは13の倍数。
また、それ以外の項はR_nが0でないから13の倍数でない。
これが13じゃなくて37とかだったら書き出す気も失せるが、
高々169項での循環ならこっちの方が早いかと。
そういえば、このようにひたすら1の位だけを計算させる試験みたいのがあったな。
- 71 名前：３流大学さん [03/12/05 15:58]
- 計算方法の基本である、カッコ内を優先して行わなければならない理由を、例に挙げて計算し、矛盾を示したうえで説明せよ。
- 72 名前：１３２人目の素数さん [03/12/05 16:07]
- >>71
おまいは何を考えているのかと小一時間（ry
- 73 名前：１３２番目の素数さん [03/12/05 16:24]
- あぁ・・・最初の２項について書き忘れていた・・・
>>70
正解。ただ試験中ここまで実験しきれる受験生はそこまで多くないだろうということでＤ。
また、小問二つに分けて、（１）でA_n+2=(A_k+3)・(A_n-k)+(A_k+2)・(A_n-k-1)を示させる問題にして（２）を>>69にしてはどうだろう。
まぁ、受験生を攪乱しているのか！と言われそうだが
- 74 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/12/05 16:25]
- 馬鹿か
- 75 名前：１３２番目の素数さん [03/12/05 16:26]
- >>66
エクストラ数学にあったな、それ。
円をベクトル表示して解いていくって作業が特徴的だが、そこまで難しくない。
- 76 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/12/05 16:43]
- 係数が全て整数の多項式f(x)において、f(x)=0の解が全て有理数ならば
f(x)=(m_1x+n_1)(m_2x+n_2)…(m_k+n_k) （m_i、n_iは全て整数）
と書けることを示せ。
- 77 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/12/05 16:57]
- >>76
「f(x)=0の根が全て有理数ならば」にしとく
- 78 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/12/05 19:10]
- 代数学の基本定理と、ガウスの定理ですか。
難しくないですか？
- 79 名前：１３２人目の素数さん [03/12/05 19:14]
- >>71
なるほどね、簡単だが気づかない奴には気づかないかもな。
ようするに、虚数の問題だな。
- 80 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/12/05 21:57]
- >>75
エクストラ数学って何？
- 81 名前：１３２人目の素数さん [03/12/05 22:22]
- >>79
ﾌﾟﾌﾟｯﾌﾟﾌﾟｸﾌﾟﾌﾟ
- 82 名前：１３２人目の素数さん [03/12/06 10:22]
- 1=√1 … (1)
=√(-1×-1) … (2)
=√(-1)×√(-1) … (3)
=i×i … (4)
=-1 … (5)
このような矛盾が起きるため、(2)から(3)に移るところカッコ内の計算を先にしなければならない。
よって、題意なり。
- 83 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/12/06 12:53]
- 括弧内の計算と言うよりも、
√ab = √a√b は高校まででは、a, b > 0 のときしか
成り立たない公式であると言うことが、いろいろとアレだと思う。
- 84 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/12/06 15:40]
- 本質的に非結合的な二項代数の例を挙げれば十分だしょ。
実数a,bに対し実数a§bをab-1かなんかで定義。この時
a§(b§c)≠(a§b)§c
例a=1,b=2,c=3
1§(2§3)=1§5=4
(1§2)§3=1§3=2
()内を先に計算すると約束してある。約束どおり計算しなければ結果が異なって
しまう。
- 85 名前：１３２番目の素数さん [03/12/06 20:10]
- 正十二面体の面と面とがなす角と360゜/πとの大小を明確な根拠を元に答えよ。
- 86 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/12/07 01:23]
- 2/3＜sin2であることを証明せよ。
- 87 名前：１３２人目の素数さん [03/12/07 06:16]
- 数値近似系は飽きた。
もっと違うの出すれよ
- 88 名前：１３２人目の素数さん [03/12/07 07:00]
- >>87
まぁ待て、出題したからにはエレガントな解答があるに違いないッ！
この前の tan2005°では、凸不等式をさりげなく使ってたしなぁ…
>>86
模範解答をキボンにゅ！
- 89 名前：１３２人目の素数さん [03/12/07 07:44]
- ｒ;;;;;ノヾ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
ﾋ‐=r=;' ∬ ／
'ヽ ▽/ っ━~~ ＜ 見せてもらおうか>>86、エレガントな解答とやらを・・・
＿と~,, ~,,,ﾉ_. ∀ ＼
ﾐ,,,,/~), │ ┷┳━ ￣￣￣￣￣￣￣￣￣
￣￣￣ .じ'Ｊ￣￣| ┃
￣￣￣￣￣￣￣ ┻
- 90 名前：１３２人目の素数さん [03/12/07 11:20]
- ﾁﾝ ☆ ﾁﾝ ☆
ﾁﾝ ﾏﾁｸﾀﾋﾞﾚﾀ～ ﾁﾝ ♪
♪
♪ ☆ﾁﾝ .☆ ｼﾞｬｰﾝ！ ﾏﾁｸﾀﾋﾞﾚﾀ～!
☆ ﾁﾝ 〃 ∧＿∧ ヽ ／￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
ヽ ＿＿_＼（・∀・ #） ／＼＿／ ＜ >>86の解答 まだー？
ﾁﾝ ＼＿／⊂ つ ∥ ＼＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
／￣￣￣￣￣￣￣／| ∥ ﾏﾁｸﾀﾋﾞﾚﾀ～!
| ￣ ￣￣￣￣￣￣:| :| ／|＼
| |／
- 91 名前：１３２人目の素数さん [03/12/07 11:21]
- ｽｺｺｺﾊﾞｼｯｽｺﾊﾞﾄﾞﾄﾞﾄﾞﾝｽｺﾊﾞﾝｽｺ ＿∧＿∧＿∧＿∧＿∧＿∧＿
从 `ヾ/゛／' "＼' /". | |
〝 ≡≪≡ゞｼ彡 ∧＿∧ 〃ﾐ≡从≡=＜ まだぁー？ |
. '=巛≡从ミ.（・∀・# ）彡/ﾉ≡》〉≡ |＿ ＿ ＿ ＿ ＿ ＿ ＿＿ ＿|
... 《゛=!|l|》ﾘl⌒! Ｉ⌒I I⌒I I⌒I从=≡|l≫,
《 l|!|!l!((つT(つ) ((つT(つ)) !|l!|l;》;
《 l|!|￣|￣γ ⌒ ヽ γ ⌒ ヽ三ll≡|l》;
.. 《l|!| | （（TAMA））（（TAMA））||l|||l 》;
〝 ≡丿-へ/人 ＿ 人 人 ＿ 人//へヾ
ﾄﾞﾄﾞﾄﾞﾄﾞﾄﾞﾄﾞﾄﾞﾄﾞﾄﾞﾄﾞﾄﾞﾄﾞﾄﾞﾄﾞﾄﾞﾄﾞﾄﾞﾄﾞﾄﾞ
- 92 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/12/07 15:10]
- >>88
エレガントな解答がなくてスマン。
sinx＜x（0≦x≦1）より両辺2乗して整理すると1-x^2＜(cosx)^2=(1+cos2x)/2
∴1-2x^2＜cos2x ∴∫[0,1](1-2x^2)dx＜∫[0,1]cos2xdx ∴2/3＜sin2
- 93 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/12/07 15:11]
- sinx≦xだった。すまん。最後の積分の前まで＜→≦でよろ。
- 94 名前：１３２人目の素数さん [03/12/07 16:02]
- >>86
=sin(2*180/3.14)=sin(114.64)=sin(65.35)>sin(60)=3^.5/2=.866
>2/3=.666
- 95 名前：１３２人目の素数さん [03/12/07 16:20]
- 「１＋１」がなぜ「２」となるのかを記述しなさい。
- 96 名前：１３２人目の素数さん [03/12/07 17:59]
- >>95
定義の意味わかってないだろ。だってそれは定理じゃないっしょ。
- 97 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/12/07 18:39]
- n>2kである正の整数n,kをとる。ｎ個の円上にならべられた座席からk個の座席を
となり合う座席はえらばないように選ぶ。そのような選び方の組み合わせの数をもとめよ。
- 98 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/12/08 04:18]
- >>25の模範解答まだー？
- 99 名前：25 [03/12/08 17:17]
- もう流されたかと思っていたよ（汗
ってか、すまん（ぇ）0<a<π/4じゃなくて全てπ/2だよ（氏
答えには支障ないだろうけど、考えてくれた人がいるかどうかはわからんが、すまん・・・
－解法例１－
0<a<π/2、0<b<π/2、0<c<π/2より0<a+b+c<3π/2
そこでa+b+cがπ/2以下だと仮定すると、
cos(a+b+c)=cos(a)・cos(b+c)-sin(a)・sin(b+c)≧0
即ち、cos(a)・cos(b+c)≧sin(a)・sin(b+c)・・・（１）
0<a<π/2、0<b+c<πだから、sin(a)とsin(b+c)は正なので、両辺二乗しても符号は変化しない。
ここで条件式を使って、（１）の両辺を二乗したものを整理すると、（sinのみの式にして加法定理のみなので略ｗ）
cos(b+c)≦0、つまりb+c≧π/2
しかし、これは最初の仮定と矛盾するので、以上より、π/2<a+b+c<3π/2
∴cos(a+b+c)<0 である。
－解法例２－
方針「0<a+b+c≦π/2におけるa,b,cについて考えていく」
sinθは0<θ<π/2において単調増加・・・（１）
よって、A+b+c=π/2となる時、(sin a)^2+(sin b)^2+(sin c)^2≦(sin A)^2+(sin b)^2+(sin c)^2・・・（２）
また、（２）の右辺を整理すると、
(sin A)^2+(sin b)^2+(sin c)^2=3/2-1/2(cos2A+cos2b+cos2c)
=3/2-1/2(2cos(A+b)・cos(A-b)-cos2(A+b))
=1-cos(A+b)(cos(A-b)-cos(A+b))
=1-2cos(A+b)・sinA・sinb・・・（※）
ここで、sinA>0、sinb>0、そしてA+b<π/2より、cos(A+b)>0であるので、（※）より、
(sin A)^2+(sin b)^2+(sin c)^2＜１
よって、A+b+c=π/2、（１）より(sin a)^2+(sin b)^2+(sin c)^2=1となるのは、π/2<a+b+c<3π/2
従って、cos(a+b+c)<0 である。
こんな感じ。
- 100 名前：１３２人目の素数さん [03/12/08 21:52]
- >>97
www.combinatorics.org/Surveys/ds5/VennNecklaceEJC.html
mathworld.wolfram.com/Necklace.html
- 101 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/12/08 22:28]
- >>100
ちがうよ。>>97は回転しておなじになるやつを同一視するとはひとこともかいてないでしょ？
- 102 名前：１３２人目の素数さん [03/12/09 00:03]
- >>97
k^(n-2k-1)
- 103 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/12/09 00:04]
- >>102
不正解
- 104 名前：１３２人目の素数さん [03/12/09 00:07]
- >>101
K^(n-2k)
- 105 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/12/09 00:07]
- >>104
不正解
- 106 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/12/09 00:12]
- すくなくともn>6個の円状の座席のなかからとなりあわない３席をえらぶくみあわせは
(1)条件がなければ(1/6)n(n-1)(n-2)
(2)うち一組がとなりあうくみあわせの数はn(n-4)
(3)うち２組がとなりあうくみあわせの数はn
∴その数は(1/6)n(n-1)(n-2)-n(n-4)-n=(1/6)n(n-4)(n-5)
k=3のときこれに一致しないのは正解ではない。
- 107 名前：１３２人目の素数さん [03/12/09 00:23]
- >>106
7*3*2/6=7
ababab^2=1
?
- 108 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/12/09 00:27]
- n=7のときは
○×○×○××
○×○××○×
○××○×○×
××○×○×○
×○××○×○
×○×○××○
×○×○×○×
の７通り。
- 109 名前：１３２人目の素数さん [03/12/09 00:33]
- >>106
nk^(n-2k-1)
- 110 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/12/09 00:41]
- >>109
ちがう。k=3のとき(1/6)n(n-4)(n-5)にならんといかんっちゅうに。
- 111 名前：１３２人目の素数さん [03/12/11 05:23]
- A_k=1/(sinkπ/2n)^2とする。
Σ[k=1～n-1]A_k={2(n^2)-2}/3となることを証明せよ。
- 112 名前：１１１ [03/12/11 05:23]
- ｎは３以上の整数、kは自然数とします。
- 113 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/12/11 10:06]
- >>111
ドモアブルと二項定理を用いてゴリゴリやる。
某スレでイヤというほどやったテク。
超既出。
- 114 名前：１３２人目の素数さん [03/12/11 13:58]
- >>113
具体的にはどうするん？
- 115 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/12/11 14:03]
- 某スレを隅々まで読んで考えろ！
- 116 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/12/11 14:08]
- ちなみに某スレはこちら
pink.bbspink.com/test/read.cgi/avideo/1061400369/
- 117 名前：１３２人目の素数さん [03/12/11 14:16]
- >>116
ありがとう・・・
(ノ｀m´)ノ ~┻━┻ (/o＼) お父さんやめてー
- 118 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/12/11 20:56]
- 実数a,b,cはある自然数の定数kに対して
a^(k-1)+b^(k-1)≦c^(k-1)
a^k+b^k=c^k
a^(k+1)+b^(k+1)≧c^(k+1)
の3式を同時にみたしている。
（1）abc=0のとき、a^2+b^2+c^2=2(ab+bc+ca)が成り立つことを示せ。
（2）abc≠0のとき、a,b,cはいずれも負であることを示せ。
- 119 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/12/12 17:54]
- >>118
１しか解けませんでした！
- 120 名前：１３２人目の素数さん [03/12/13 18:04]
- age
- 121 名前：１３２人目の素数さん [03/12/13 18:29]
- >>118
(1)
2式よりa=0⇒b=c
2式よりb=0⇒a=c
2式よりc=0,k≡0mod2⇒a=b=0
1式よりc=0,k≡1mod2⇒a=b=0
abc=0⇒a=0,b=c , b=0,a=c
ゆえに
- 122 名前：１３２人目の素数さん [03/12/13 21:59]
- >2式よりa=0⇒b=c
>2式よりb=0⇒a=c
嘘だ。やはりkの奇遇で場合わけが必要。
（2）は？
- 123 名前：１３２人目の素数さん [03/12/14 00:33]
- q
- 124 名前：118 mailto:sage [03/12/14 23:36]
- >>118の訂正。
（条件追加）ただし、0^0は0または1いずれかの好きなほうを選択して解答せよ。
（問題訂正）
（1）abc=0のとき、a^2+b^2+c^2=2(ab+bc+ca)が成り立つことを示せ。
↓
（1）abc=0のとき、a^2+b^2+c^2=2(-ab+bc+ca)が成り立つことを示せ。
- 125 名前：118 mailto:sage [03/12/14 23:41]
- すいません。やっぱり
（1）abc=0のとき、a+b=cが成り立つことを示せ。
にしてください。>>124を変形しただけですが。
- 126 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/12/15 00:20]
- >>125
>>118の設問なら0^0=1と考えるのが自然っぽいけど(∵実数^整数の形なので)
いづれにしても微妙だから受験問題のつもりならどちらかキチンと指定しておくか
k≧2にしておく方が試験問題としては安全だと思う。
- 127 名前：118 mailto:sage [03/12/15 00:59]
- >>126
確かに曖昧すぎたかもしれなかったですね。
k≧2の方が混乱が少なくていいのかな。
そんなわけで以下>>118の訂正版（+α）。
実数a,b,cはある2以上の自然数の定数kに対して
a^(k-1)+b^(k-1)≦c^(k-1)
a^k+b^k=c^k
a^(k+1)+b^(k+1)≧c^(k+1)
の3式を同時にみたしている。
（1）abc=0のとき、a+b=cが成り立つことを示せ。
（2）abc≠0のとき、a,b,cはいずれも負であることを示せ。
（3）kは偶数であることを示せ。
- 128 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/12/15 18:13]
- a_1 = p, a_n+1 = a_n(a_n - 2)となる数列{a_n}の一般項を求めよ。
- 129 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/12/17 02:41]
- >>128
回答例ヨロシクネ。
- 130 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/12/17 14:16]
- a_n=2cos(t_n)+1
- 131 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/12/17 20:02]
- >>129
誰か解いてくれてもなぁ。（この板の住人にとっては簡単だろうに
－略解－
（与式）より(a_n)-1=(b_n)+(1/b_n)とすると、(b_n+1)+1/(b_n+1)=(b_n)^2+(1/b_n)^2
よってp=(b_1)+1/(b_1)の解をα、βとすると、帰納的にa_nは下のように書け、一般項は求められた。
a_n=1+{α^(2^n-1)}+{β^(2^n-1)}（但し、α、βはb_1≠0より、二次方程式(b_1)^2-p(b_1)+1=0の解）
α、βは長くなるので、説明だけにしています。
- 132 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/12/18 12:26]
- 二次の正方行列A=|0 -1 |（自然数p,qは互いに素）が存在する。
|1 2cos(qπ/p)|
A^n=Aとなる２以上の自然数nを求めよ。
- 133 名前：１３２ mailto:sage [03/12/18 12:33]
- a_11=0、a_12=-1、a_21=1、a_22=2cos(qπ/p)ね。
- 134 名前：１３２人目の素数さん [03/12/18 13:15]
- p=1のとき解なし。
p≠1かつqが奇数のとき2mp+1（mは任意の自然数）
p≠1かつqが偶数のときmp+1（mは任意の自然数）
- 135 名前：１３２ mailto:sage [03/12/18 13:45]
- >134
正解
- 136 名前：１３２人目の素数さん [03/12/18 14:15]
- 0以上1以下の数１つを実数を生み出す乱数発生装置がある。
この乱数発生装置は故障していて，ある数が生み出される確率は，
その数の大きさに比例するという。
このとき，この乱数発生装置によって生み出される数の期待値を求めよ。
･･･微妙か？日本語変だったら直してくれ。
- 137 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/12/18 14:52]
- 2/3
- 138 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/12/18 14:59]
- やるじゃん。
- 139 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/12/18 20:42]
- 誰かスレの最初の方のかたずいていない問題解いてくれー
（ってか出題者、解答だせ）
- 140 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/12/18 20:46]
- >>139
ドレが解かれてないか調べるのが面倒だ。挙げてくれ。
- 141 名前：１３２人目の素数さん [03/12/18 21:39]
- >>139
（誤）かたずいていない
（正）かたづいていない
早く日本語覚えてね。在の方
- 142 名前：１３２人目の素数さん [03/12/18 21:46]
- >>97まだだよ。
- 143 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/12/18 21:49]
- >>136
真面目に考えると面倒だけど、答えだけなら三角形の重心を考えれば瞬殺
- 144 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/12/18 21:55]
- >>143
同感
てか問題見た時にそっちにイメージがいってしまった。
- 145 名前：未解決問題 mailto:sage [03/12/18 22:02]
- ■■１■■
一般項がan=np^nで与えられる数列an(n=1,2,3…)に於いて、任意の自然数nに対してa1≦anが成り立つ為に実数pが満たすべき必要十分条件を求めよ。但し、必要ならば｜p｜＜1の時、n→∞ならばnp^n→0であることを用いても良い。」
■■２■■
OA=OB=8を満たす二等辺三角形△OABがある。（１）,（２）に答えよ｡
（１）点Oを中心とする半径6の円C1、点Aを中心とする半径1の円C2、点Bを中心とする半径1の円C3とする。
円C1上の点P、円C2上の点Q、円C3上の点Rを結ぶと△PQRが正三角形となるような辺ABの長さの範囲を求めよ。
（２）点Oを中心とする半径6の球S1、点Aを中心とする半径1の球S2、点Bを中心とする半径1の球S3とする。
球S1上の表面上の点P´、球S2上の表面上の点Q´、球S3上の表面上の点R´を結ぶと△P´Q´R´が正三角形となるような辺ABの長さの範囲を求めよ｡
- 146 名前：未解決問題 mailto:sage [03/12/18 22:04]
- ■■３■■
（１）与えられた四面体の6つの2面角(即ち隣り合う面の間の角)の内5つが等しいときこの四面体は正四面体であるかどうかを示せ。
（２）1辺の長さが2の立方体の内部(表面とは限らない)に立方体の最も遠い2つの頂点を結んでいる折れ線がある。
折れ線の頂点は立方体の表面にあり折れ線を構成する各辺の長さは3である。このような折れ線の辺の数の最小値を求めよ。
（３）平行で相違なる2枚の平面Π1,Π2上に各々凸多角形α=A1A2...Am,β=B1B2...Bnがある。
点P,Qが各々多角形α,β上を動くとき線分PQが動いてできる立体Tをα,βを底面とするプリズム体と呼ぶ。Π1とΠ2の丁度中央(両平面から等距離)にある平面Π3によるTの切り口をμとする。
α,β,μの面積がa,b,mであり,Π1とΠ2の間の距離がhであるときプリズム体Tの体積をa,b,m,hを用いて表せ。
■■４■■
xy平面上に(0,0)(0,100)(100,100)(100,0)を頂点とする正方形がある。
この正方形の内部、及び周上に点を打ち、その点を中心とする半径１の円を描く。
次の問１、２に答えよ。
ただし、点は無作為に打つものとし、円周率π=3.1415・・・とする。
（１）点をいくつ以上打てば、点（a,b)（0≦a≦100、0≦b≦100）が描かれた円内に入っている確率が1/2を越えるか求めよ。
（２）正方形内で描かれた円の占める面積が5000以上になるには、いくつ以上の点をうつのが妥当か求めよ。
次に一辺の長さが100の立方体内に点を無作為にうち、この点を中心とする球を置く。
次の問３に答えよ。
（３）この立方体内に置かれた球の占める体積が500000以上になるには、いくつ以上の点をうつのが妥当か求めよ。
- 147 名前：未解決問題 mailto:sage [03/12/18 22:04]
- ■■５■■
係数が全て整数の多項式f(x)において、f(x)=0の根が全て有理数ならば
f(x)=(m_1x+n_1)(m_2x+n_2)…(m_k+n_k) （m_i、n_iは全て整数）と書けることを示せ。
■■６■■
正十二面体の面と面とがなす角と360゜/πとの大小を明確な根拠を元に答えよ。
■■７■■
n>2kである正の整数n,kをとる。ｎ個の円上にならべられた座席からk個の座席を
となり合う座席はえらばないように選ぶ。そのような選び方の組み合わせの数をもとめよ。
■■８■■
A_k=1/(sinkπ/2n)^2とする。
Σ[k=1～n-1]A_k={2(n^2)-2}/3となることを証明せよ。
■■９■■
実数a,b,cはある2以上の自然数の定数kに対して
a^(k-1)+b^(k-1)≦c^(k-1)
a^k+b^k=c^k
a^(k+1)+b^(k+1)≧c^(k+1)
の3式を同時にみたしている。
（1）abc=0のとき、a+b=cが成り立つことを示せ。
（2）abc≠0のとき、a,b,cはいずれも負であることを示せ。
（3）kは偶数であることを示せ。
- 148 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/12/18 22:10]
- 147の６番って隣り合う面だと思われ。
（面と面の組み合わせ何通りもあるし
- 149 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/12/18 22:40]
- >>143
そう？
x が出る確率を p(x) = ax とする。∫[0,1] p(x) dx = 1 より、 a = 2
従って期待値は ∫[0,1] x p(x) dx = 2/3.
- 150 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/12/18 22:56]
- >>149
それだと、（漏れは）10秒くらい掛かるから瞬殺とは言えない
- 151 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/12/18 23:44]
- 有理数xの循環節の長さをL(x)とする。
（例えば、1/7=0.1428571・・・なのでL(1/7)=6、13/11=1.181・・・なのでL(13/11)=2）
この時、以下の問いに答えよ。
（１）0<x<1においてL(x)=n（nは自然数）となる有理数xの個数を求めよ。
（２）0<x<1においてL(x)=k（kは自然数）となる確率をP(k)とする。
lim[n→∞](n^p)Σ[k=1→n]k・P(k)が0以外に収束するための条件を求めよ。
- 152 名前：151 mailto:sage [03/12/18 23:47]
- （２）に以下の文を追加します。
「0<k<nであり、P(k)はL(k)/Σ[m=1→n]L(m)と定義する。」
- 153 名前：151 mailto:sage [03/12/18 23:48]
- k≦nです。申し訳ありません。
- 154 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/12/18 23:52]
- >>151
x=0.1378463123123123123123123123123123･･･
とかだとL(x)=3にするの？
- 155 名前： ◆MC1Z7pcz5k [03/12/19 00:28]
- >>147
■■８■■ について
この問題はいろいろな解法があると思いますが, 1990 年 東京工業大学後期 に出題されています。
まずは, そこから確認してみてください。
- 156 名前：151 mailto:sage [03/12/19 00:41]
- >>154
失礼しました。純循環小数についての問題と見て下さい。
混循環小数も混ぜるとあり得なくなるね・・・
- 157 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/12/19 00:46]
- >>156
じゃこれは何？
＞152 名前：151[sage] 投稿日：03/12/18 23:47
＞（２）に以下の文を追加します。
＞「0<k<nであり、P(k)はL(k)/Σ[m=1→n]L(m)と定義する。」
＞153 名前：151[sage] 投稿日：03/12/18 23:48
＞k≦nです。申し訳ありません。
L(m)とかL(k)ってm=m.0000000000000000000･･･もk=k.00000000000000000000･･･も混循環小数とかいうやつになるじゃん。
- 158 名前：127 [03/12/19 00:49]
- >>147
単純に場合分けするだけなのですが、これだけのことを時間内に処理しきれるかは
文字計算（特に正負入り混じったもの）に慣れていることが重要かと。
かなり点数に差が出るのではと思います。
（1）
[ I ] a=0のとき、kが奇数ならば第二式よりb=cとなりa+b=cをみたしている。
kが偶数のとき第二式よりb=±c。b=cはa+b=cをみたしている。
b=-cとすると第一式、第三式より
b^(k-1)≦-b^(k-1), b^(k+1)≧-b^(k+1) （∵k-1は奇数）
ゆえにb=0。したがってc=0。これはa+b=cをみたしている。
[ II ] b=0のとき、[ I ]と同様。
[ III ] c=0のとき、kが奇数ならば第二式よりa=-b。これを第一式に代入して
2b^(k-1)≦0 （∵k-1は偶数）
ゆえにb=0。したがってa=0。これはa+b=cをみたしている。
kが偶数のときは第二式よりa=b=0となり、やはりa+b=cをみたす。
- 159 名前：127 [03/12/19 00:49]
- （2）
[ I ] c＞0のとき
( i ) a＞0かつb＞0のとき、第二式より0＜a＜cかつ0＜b＜cである。
第二式の両辺にcをかけて
c^(k+1)=(a^k)c+(b^k)c＞(a^k)a+(b^k)b=a^(k+1)+b^(k+1)
これは第三式に矛盾。
( ii ) a＞0かつb＜0のとき、kが奇数ならば第二式より0＜c＜-bである。このとき
a^(k-1)+b^(k-1)＞b^(k-1)＞c^(k-1) （∵k-1は偶数だからb^(k-1)＞c^(k-1)＞0）
となり第一式に矛盾。kが偶数ならば第二式より0＜a＜cかつ0＜-b＜cである。このとき
a^(k+1)+b^(k+1)＜a^(k+1)＜c^(k+1) （∵k+1は奇数だからb^(k+1)＜0）
となり第三式に矛盾。
( iii ) a＜0かつb＞0のとき、( ii )と同様。
( iv ) a＜0かつb＜0のとき、kが奇数ならば第二式に、kが偶数ならば第一式に矛盾。
[ II ] c＜0のとき
( i ) a＞0かつb＞0のとき、kが奇数ならば第二式に、kが偶数ならば第三式に矛盾。
( ii ) a＞0かつb＜0のとき、kが奇数ならば第二式よりb＜c＜0である。このとき
a^(k-1)+b^(k-1)＞b^(k-1)＞c^(k-1) （∵k+1は奇数だからb^(k-1)＞c^(k-1)＞0）
となり第三式に矛盾。kが偶数ならば第二式より0＜a＜-cかつc＜b＜0である。このとき
a^(k-1)+b^(k-1)＞b^(k-1)＞c^(k-1) （∵k-1は奇数だから0＞b^(k-1)＞c^(k-1)）
となり第一式に矛盾。
( iii ) a＜0かつb＞0のとき、( ii )と同様。
以上よりa＜0かつb＜0かつc＜0が必要。
- 160 名前：127 [03/12/19 00:50]
- （3）
逆にa＜0かつb＜0かつc＜0のとき、kが奇数ならば第二式に矛盾。したがってkが偶数であることが必要。
a＜0かつb＜0かつc＜0でkが偶数のとき、第二式をみたす(a,b,c)の組は無数に存在するが、
その(a,b,c)の組すべてに対して第二式よりc＜a＜0かつc＜b＜0が成り立ち、
c^(k-1)=(a^k)c^(-1)+(b^k)c^(-1)＞(a^k)a^(-1)+(b^k)b^(-1)=a^(k-1)+b^(k-1)
c^(k+1)=(a^k)c+(b^k)c＜(a^k)a+(b^k)b=a^(k+1)+b^(k+1)
より第一式、第三式も成り立っている。
補足
（1）～（3）より第一式～第三式をみたす(a,b,c,k)の組は
(0,t,t,m+1),(t,0,t,m+1),(u,v,{u^(2m)+v^(2m)}^{1/(2m)},2m)
（tは任意の実数、u,vは互いに独立な任意の正の数、mは任意の自然数）
とかける。
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