★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第三問

1 名前：１３２人目の素数さん [03/11/19 01:07] 理系で数学が得意な高校生が２５〜５０分で 解ける問題を考えてうぷするスレ。 これ以上の難易度の問題はスレ違いとなります。 関連スレへどうぞ 　過去ログ ★東大入試作問者になったつもりのスレ★ (第一問) science.2ch.net/test/read.cgi/math/1000592003/l50 ★東大入試作問者になったつもりのスレ★ (第二問) science.2ch.net/test/read.cgi/math/1046165076/l50 　関連スレ 面白い問題おしえて〜な 七問目 science.2ch.net/test/read.cgi/math/1064941085/l50 恐ろしく難解な問題をだせ！ science.2ch.net/test/read.cgi/math/1049652059/l50 571 名前：１３２人目の素数さん [04/10/06 14:15:44] 数列a_n=2n^2+3n+1 (n=1,2,3・・・)の項のうち平方数のみすべて取り出し 小さい順にb_1,b_2,b_3・・・と並べた数列b_nの一般項を求めよ。 572 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/06 18:19:13] >>571 2n^2+3n+1=m^2 ⇔(4n+3)^2-2m^2=1 である。x^2-2y^2=1の整数解はβ=3+2√2、α=3-2√2とおいて x=(1/2)(β^k+α^k)、y=(1/2(√2))(α^k-β^k)(kは整数)と書けるから (1/2)(β^k+α^k)が4でわって3あまる4以上の整数になるkをもとめる。 それはkが3以上の奇数のとき。つまりk=2l+1 (lは自然数)と書けるときなので 結局b_l=m=(1/2(√2))(α^(2l+1)-β^(2l+1)) 573 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/06 18:40:23] まちごうた。 2n^2+3n+1=m^2 ⇔(4n+3)^2-2(2m)^2=1 だ。あとx^2-2y^2=1の正の整数解は x=(1/2)(β^k+α^k)、y=(1/(2√2))(α^k-β^k)(kは正の整数) よってもとめるのは (1/2)(β^k+α^k)が4でわって3あまる4以上の整数かつ (1/(2√2))(β^k-α^k)が偶数になるとき やはりkが3以上の整数。以下同じ。 ･･･ 正直Pell方程式の一般解に関する知識がなきゃ解けん。 574 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/07 15:35:00] 反応がないと自演か．．． 575 名前：１３２人目の素数さん [04/10/07 15:40:23] >>574 誤爆？ 576 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/07 16:57:14] おれ=>>572-573だけど自演じゃないぞ。 577 名前：１３２人目の素数さん [04/10/07 17:07:47] ┏━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ ┃ ┃　　　　　　　　- 自作自演厨の鉄の掟 - ┃　　　　　　　 　　1. 質問者には自作自演でも優しくしよう ┃　　　　　　　 　　2. 自作自演邪魔する香具師はむっしっし ┃　　　　　　　 　　3. 自作自演は目標全レス ┃　　　　　　　 ∧＿∧　 　。　　　　　　　　　　　　　Ｅ[]ヨ ┗━━━━　（ 　 ・３・） ／━━━━━━━━━━━━ 　　　　　　　　（つ　　つ 　　　　　　　|￣￣￣￣￣| 　　　　　　　| 　　 　 　 　 | 　　　　　　　| 　　 　 　 　 | 　　|￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣| 578 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/07 17:13:49] たぶん>>574=>>577にとっては “自演でないかぎり解けっこない” と思えるほどの 難問だったんだろうな･･･ 579 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/07 17:50:54] 箱の中に赤玉a個、白玉b個、黒玉c個が入っている。 この箱の中から1個ずつ玉を取りだしていき、最初にすべて取り出された玉が赤玉ならA君、 白玉ならB君、黒玉ならC君の勝ちとする。A君の勝つ確率を求めよ。 580 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/07 19:51:22] >>579 計算まちがってるかもしれないけど。 ボール全部とりだすとして全事象は(a+b+c)!/(a!b!c!)。最期にとりだしたボールが黒(C)である事象の数を かぞえる。最期が〜〜白黒黒･･･黒(最期黒を連続してc-i個ひく)事象の数をもとめる。 これは赤a個、白b-1個、黒i個をならべる組み合わせの数なので(a+b-1+i)!/(a!(b-1)!i!) 結局最期に黒ひく事象の数は�納i=0,c-1](a+b-1+i)!/(a!(b-1)!i!)=C[a+b-1,a]�納i=0,c-1]C[a+b-1+i,i]。 で公式�納i=0,∞]C[k+i,i]t^i=1/(1-t)^(k+1)をつかえば�納i=0,c-1]C[a+b-1+i,i]は(1/(1-t)^(a+b))･(1/(1-t))=1/(1-t)^(a+b+1) のc-1次の係数。つまりP[a+b+1+c-2,c-1]/(c-1)!。よってもとめる事象の数はC[a+b-1,a]P[a+b+1+c-2,c-1]/(c-1)!。 同様にして最期ひくボールが白も考えてたして･･･まんどくせ―――――― 581 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/07 21:03:52] >>579 bc(b+c)(2a+b+c)/((a+b+c)(b+c)(c+a)(a+b)) になった。 582 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/07 23:21:47] >>579 全部取り出された順に順位をつけて、A1位、B2位、C3位という事象をA_123とする。他も同様。 Pr(A_123∪A_132∪A_231)=aがbに勝つ確率=C[a+b-1,b]/C[a+b,b]=b/(a+b) Pr(A_123∪A_132∪A_213)=aがcに勝つ確率=c/(a+b) Pr(A_123∪A_132∪A_213∪A_213)=aが少なくともどちらかに勝つ確率=(b+c)/(a+b+c) よって、 Pr(A_123∪A_132)=b/(a+b)+c/(a+b)-(b+c)/(a+b+c) =>>581　（でも約分汁） 583 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/07 23:24:12] >>582 途中式、C[a+b-1,a]/C[a+b,a]に訂正。 584 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/08 07:30:25] >>582 2つめはc/(a+c)だな。答えの真ん中の項も。 585 名前：１３２人目の素数さん [04/10/08 08:09:03] xの三次方程式x^3+ax^2+bx-a+b=0 (a,bは整数) が整数解を持つなら、その整数解は-2か0であることを示せ。 586 名前：１３２人目の素数さん [04/10/08 09:46:29] >>585 ｘ＾2-ｘ+1-1/（ｘ+1）+ａ（ｘ-1）+ｂ＝0 簡単すぎないか？ 587 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/08 09:59:15] 宿題を質問スレに書いたからね、585は。 588 名前：１３２人目の素数さん [04/10/08 11:45:12] クズばっか 589 名前：１３２人目の素数さん [04/10/08 13:24:09] f_1(x)=a^x, f_n(x)=a^f_(n-1)(x) (a>1,n=2,3,4,・・・)で定義される関数f_n(x)について f_n(x)=xを満たす整数xがちょうど2つであるようなaを求めよ。 590 名前：１３２人目の素数さん [04/10/08 15:06:30] これできるか？ って そんな頭いい奴いるわけねーかorz 問題：定規とコンパスのみを用いて正１７角形を作図せよ。 591 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/08 15:13:16] 中心 O の円を描き, 直交する二つの直径 AB, CD を描く。 AE : EO = 3:1 になるような 内分点 E を採る。 直線 AB 上に CE = EF = EG, CF = FH, CG = GI となる点 G, H, I を採る。 又, AI の中点 J を中心とし, 半径 JI の円を描き, OC との交点を K, KL = OH/2 となる点 L を AO 上に採る。 LK を半径として, OA の延長上に点 M を, ON = OM/2 なる点 N を AO 上に採る。 そして, ON ⊥ PQ となる点 P, Q を円周上に採ると, これらが正 17 角形の一辺となる。 592 名前：１３２人目の素数さん [04/10/08 15:58:46] え？ これはガロワが解いた問題なんだけど、 定規ってのは直線を描くためだけに使うんであって、 長さは測っちゃだめだよ、確か。 593 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/08 16:11:24] どこで長さを測る必要がある？ 594 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/08 16:11:36] ガウスの間違いだと思われ 595 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/08 16:27:04] てゆーか自作問題うぷしろよ 596 名前：自作くん [04/10/08 21:32:18] 【問】 xについての方程式 A: x^3+lx^2+mx+n=0 について考える．但し、l,m,nは (a:方程式Aの自然数解の個数) (b:方程式Aの整数解の個数) (c:方程式Aの実数解の個数) のいずれかであるとする． (1) l,m,nがa,b,cとある対応をしたときl,m,nの値がそれぞれ確定した． このときのl,m,nとa,b,cとの対応及びl,m,nの値及び方程式Aの解を求めよ． (2) l,m,nがそれぞれある値だったとき、l,m,nとa,b,cの対応が確定した． このときのl,m,nとa,b,cとの対応及びl,m,nの値及び方程式Aの解を求めよ． 597 名前：１３２人目の素数さん [04/10/08 21:38:19] >>596 問題の日本語に不備ありすぎ 598 名前：１３２人目の素数さん [04/10/08 22:09:55] >>597 そうか？ 599 名前：１３２人目の素数さん [04/10/08 23:28:35] >>596 対応と確定を使わず表現してくれ 600 名前：１３２人目の素数さん [04/10/08 23:55:31] CE = EF = EG, CF = FH, CG = GI とか AE : EO = 3:1 とかって 長さをはからずに コンパスと定規で可能？ 601 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/08 23:58:09] >>600 おまえ馬鹿だろ？ 602 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/08 23:58:26] 長さを測る必用がないなら、コンパスは不要では？ 603 名前：１３２人目の素数さん [04/10/10 20:15:29] 次の命題を証明せよ。 「関数 f(x)＝1/｛1+(sin x)^2｝ は任意の閉区間 [a，b] で x の多項式で表す事ができない。」 604 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/10 20:20:13] >>603 ｘの多項式ｆ(x)は、ｘで何度か微分を繰り返すことで、恒等的に0となるが、 1/(1+(sinx)^2)は何度微分繰り返してもならない。・・でいいんじゃないのか？ 605 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/10 20:28:23] 「1/(1+(sinx)^2)は何度微分繰り返しても０にならない」の証明は？ 606 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/10 20:30:04] >>605 実際ｎ次導関数求めればいいんじゃない？大変だろうか 607 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/10 20:38:47] ｎで簡単に表されるとは思えないが。 608 名前：１３２人目の素数さん [04/10/10 21:15:17] >>603 “任意の閉区間 [a，b]”じゃなくて“実数全体”なら瞬殺なんだけどな。 609 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/10 21:17:52] >>608 その条件だったら出題するまでもなかろう・・・ 610 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/10 21:24:53] {f(x)-1}の零点が無限に存在する（x=kπ）から、なんてのは駄目？ 611 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/10 21:27:00] >>610 >>608-609 612 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/10 21:28:02] 任意の閉区間 [a，b]だから駄目だね。 613 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/10 21:28:59] >>610 有界閉区間には{f(x)-1}の零点は有限個しか含まれない 614 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/10 21:32:01] 全然駄目ですね思慮不足でした 615 名前：１３２人目の素数さん [04/10/10 21:49:25] 大体できたかな。 多項式をf(x)とおくと cos(2x)＝3-2/{f(x)}^2 これを2回微分して f(x)の微分方程式をつくる。 あとは簡単。 616 名前：615 [04/10/10 21:53:27] × cos(2x)＝3-2/{f(x)}^2 ○ cos(2x)＝3-{2/f(x)} 617 名前：１３２人目の素数さん [04/10/10 21:56:23] 今日エナ行きました。奥田先生は東大の教官は教科書を横に置いて問題を作るといってました。 ホエールバックの定理が東大頻出、とかいっていたんですが、 検索しても出てきません。名称からアソシエートして正しい定理を教えて下さい。 618 名前：１３２人目の素数さん [04/10/10 22:02:01] それからわがままですみませんが、１度問題を編纂して 直前期に繰り返せば８０点はカタイ（エナ生に通える高所得の家庭の子供はそういう） という問題集を作ってはくれませんか？とりあえず黒大数の東大の過去問やりますけど。 明日あたりにまた来ます。 619 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/10 22:03:36] >>618 氏ね 620 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/10 22:03:42] >>618 マジレスすると、このスレの人間は自分のペースで ゆっくり問題を作ったりといたりしているから 人に何かをやってくれとか言われても、絶対にやらないと思われ。 621 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/10 22:11:06] >>615-616 なるほどね。 もっと簡単にできそうだが．．．できない。 622 名前：１３２人目の素数さん [04/10/10 22:12:36] PDFにしてるけどこれは自分のためであって人にやるもんでもない。 問題提供者には感謝する。 623 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/10 22:53:25] >>603 受験の解答だとこんなもん？ a<bという仮定は当然あるものとして まず多項式P,Q,Rについて Psin2x+Qcos2x=R―(1) が(a,b)で成立するときP=Q=R=0であることを示す。 degP+degQに関する帰納法。degP+degQ=0なら(P,Q)=(0,0)でなければ左辺は 0でない３角関数で何回微分しても0じゃないけど右辺は何回か微分すると0なので矛盾。 よってP=Q=R=0。degP+degQ<n≠0のとき成立するとしてdegP+degQ=nのときは Psin2x+Qcos2x=Rを2回微分して(P''-4Q'-4P)sin2x+(Q''+4P'-4Q)cos2x=R''―(2)。 (1),(2)より(P''-4Q')sin2x+(Q''+4P')cos2x=4R+R''。よって帰納法の仮定から P''=4Q'、Q''=-4P'、R''=-4R。P,Q,Rは多項式だからP'''=-16P'、Q'''=-16Q'、R''=-4Rより P'=Q'=R=0。よってP,Qは定数でdegP+degQ=0であるがこれはdegP+degQ=n≠0に反する。 よってdegP+degQ=n≠0となるこのような多項式は存在しない。 もしf(x)＝1/｛1+(sin x)^2｝が開区間(a,b)で成立し、かつf(x)が多項式なら (3-cos2x)f(x)=2、よって(3-cos2x)f(x)+2sin2xf'(x)=0、よって2f'(x)sin2x-f(x)cos2x=-3f(x)。 よってf(x)=0でなければならないがf(x)は開区間(a,b)で0関数に成り得ないので矛盾。 624 名前：１３２人目の素数さん [04/10/10 23:10:53] >>623 >>615-616見てない？ 6{f(x)}^3-4{f(x)}^2-2{f'(x)}^2+f"(x)f(x)=0 625 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/10 23:13:23] もっと一般化してみたいね。 恒等的に０ではない、三角関数の合成関数ｆ（sinx,cosx)は任意区間でｘの多項式ｇ(ｘ)にはならない。 626 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/10 23:15:15] 多項式以外の初等関数だったら言えるよ。 627 名前：１３２人目の素数さん [04/10/10 23:17:57] >>625 f(x，y)＝x^2+y^2 ならどうする？ 628 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/10 23:19:26] >>627 (ﾉ∀｀)ｱﾁｬｰそうだったね。 なんて説明すればいいかわかんね 629 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/10 23:19:51] >>624 みてなかった。須磨 630 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/10 23:22:16] まあたぶんいいたいのはR[sin(x),cos(x)]がR[U,V]/(u^2+v^2-1)に環として 同型とかそんな感じのはなしを受験問題にできないかということかな？ 631 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/10 23:22:25] かわういね ＞ (ﾉ∀｀)ｱﾁｬｰ 632 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/10 23:23:18] (ﾉ∀｀)ｱﾁｬｰ 633 名前：あぼーん mailto:あぼーん [あぼーん] あぼーん 634 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/11 01:05:27] ねー、これは簡単には示せへんの？ f(x),g(x)が共に何回でも微分可能なとき、 x∈[a,b]でf(x)=g(x)　ならば　x∈Ｒでf(x)=g(x) 635 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/11 01:10:55] >>634 それは反例があるのでダメ。 636 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/11 01:33:57] >>634 その定理を複素関数にして、解析接続っぽい形にすればOK 637 名前：１３２人目の素数さん [04/10/11 07:40:27] >>620なるほど、独善ぶりも東大教官の如くやるわけですね。 でもホエールバック（？）の定理の正式名称を考えてくれませんか？ 638 名前：１３２人目の素数さん [04/10/11 08:05:42] 僕も出題しておきます。a[n]=(1-S[n])(1-S[n-1])の一般項を求めよ。 639 名前：あぼーん mailto:あぼーん [あぼーん] あぼーん 640 名前：あぼーん mailto:あぼーん [あぼーん] あぼーん 641 名前：LettersOfLiberty ◆rCz1Zr6hLw [04/10/11 12:17:28] Re:>633,639-640 お前人のメアド勝手に載せるなよ。 642 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/11 12:28:53] >>641 どうせ捨てメアドなんだろ？ ヤフーに迷惑かけているのはお前だ！ それから、いちいちレスつけるなよ。 それが荒らしを喜ばせているってことに気付かないのか？ ホントKingって学習能力ないなぁ呆れるよ。 643 名前：LettersOfLiberty ◆rCz1Zr6hLw [04/10/11 12:39:41] Re:>642 お前誰だよ？幾つ同じレス付けてんだよ？ 644 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/11 12:43:04] >>643 話をすり替えるな。お前の詭弁には騙されないよ 大人しくしてろよ30過ぎのおっさんがっ早く就職しろ。 645 名前：あぼーん mailto:あぼーん [あぼーん] あぼーん 646 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/11 13:07:20] >>637 スレ違い。 647 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/11 13:21:09] >>647 東大の傾向を知り尽くしたこのスレの人々ならわかると思ったんですけどね。 せめて誘導をつけていただければ助かるのですが、まあ取り敢えず自前の問題集３０回とき回します。 648 名前：LettersOfLiberty ◆rCz1Zr6hLw [04/10/11 13:29:51] Re:>644-645 お前早く土に還れ。 649 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/11 13:36:07] >>648 お前、非常にムカつく。 氏ね灰になれ！ 650 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/11 13:36:13] >>647 マジレスすると同じ問題と解き直すより、新しい問題に行った方がいい。 651 名前：LettersOfLiberty ◆rCz1Zr6hLw [04/10/11 15:51:15] Re:>649 お前が先に氏ね。 652 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/11 16:04:52] >>651　荒らしは氏ね 653 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/11 17:53:00] >>637 マイケル・シューマック 654 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/12 05:48:01] >>638 a[1]=a a[n]=(1+a)[(1/{1-(1+a)(n-1)})-(1/{1-(a+1)(n-2)})] (n≧2) 655 名前：１３２人目の素数さん [04/10/13 07:04:44] イマイチだな 656 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/13 07:50:58] >>655が、俺ならもっといい回答するぜ、誰かこの俺に訊けよ、と叫んでいます。 657 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/13 17:42:18] >>650うーん・・では過去問やったあとは力の５０題にでも挑戦します。 最大最小問題で多変（略）における調和関数の性質使うと簡単に終わるものありますね。 >>654 展開するのがめんどくさいので確認しませんが、正答としては (A)a[1]=1,a[n]=0(n>=2)or(B)1/a[n]=(n+c)(n+c-1),c=const.です。 >>653調べておきます。京大頻出はカントールの定理らしいです。 658 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/13 18:02:25] >>657 聞き齧った用語を理解しないまま書き連ねているのが哀れよのう 659 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/13 18:06:18] >>658 「最大最小問題で」の所ですか？ U上で連続な関数f(x1,x2,---)について△f=0のとき調和関数といい、 fは∂Ｕにおいて最大および最小をとる、で合ってます？ 間違ってたら、まさしく哀れです。 660 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/13 20:04:07] >>657 F1知らなくてもミハエル・シューマッハがぐらい聞いたことあるだろ 661 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/13 23:14:25] >>660いや知ってはいたんですけど、実はあると思ってしまいまして。 662 名前：１３２人目の素数さん [04/10/13 23:24:22] 平面上にn個の異なる点を配置する。どの２点間の距離も、必ずある二つの実数値のどちらかを取るように nこの点を配置することを考える。n=3の時は、二等辺三角形をなすように配置する例がある。 1)　n=4の時、点の配置を全て求めよ。 2)　n=5の時、点の配置は正五角形に限ると言えるか。 3)　n=6の時、条件を満たす点は位置は存在しないことを示せ。 663 名前：１３２人目の素数さん [04/10/14 04:02:13] 前スレのログ持ってるやついる？ できれば、どこかにうぷして欲しいんだけど。 おねがいしますだ。 664 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/14 04:35:09] まずはヒザマヅケ！ 665 名前：１３２人目の素数さん [04/10/14 08:40:50] >>1乙 666 名前：１３２人目の素数さん [04/10/14 09:28:33] 俺のとっておきだ。 次の不定積分を解きなさい。 ∫[e^0..sin(π/2)]θ^(sin4θ)dθ 667 名前：１３２人目の素数さん [04/10/14 13:01:30] これは難問だぞ 668 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/14 13:03:29] アフォか？ 669 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/14 13:06:46] >>667 積分区間を良く見てみ ∫[e^0..sin(π/2)]θ^(sin4θ)dθ = ∫[1..1]θ^(sin4θ)dθ = 0 670 名前：１３２人目の素数さん [04/10/14 13:07:24] [e^0..sin(π/2)]は積分区間ではないところがミソだな。 671 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/14 13:10:46] >>670 > [e^0..sin(π/2)]は積分区間ではないところがミソだな。 じゃ，何だっていうつもり（ｗ

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