- 1 名前：１３２人目の素数さん [03/11/19 01:07]
- 理系で数学が得意な高校生が２５～５０分で
解ける問題を考えてうぷするスレ。
これ以上の難易度の問題はスレ違いとなります。
関連スレへどうぞ
過去ログ
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ (第一問)
science.2ch.net/test/read.cgi/math/1000592003/l50
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ (第二問)
science.2ch.net/test/read.cgi/math/1046165076/l50
関連スレ
面白い問題おしえて～な 七問目
science.2ch.net/test/read.cgi/math/1064941085/l50
恐ろしく難解な問題をだせ！
science.2ch.net/test/read.cgi/math/1049652059/l50
- 398 名前：１３２人目の素数さん [04/08/10 19:33]
- 訂正
dx → dt
- 399 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/08/10 21:07]
- >>397
＞適当な平面で切る。
ってのを、
「直径AB上にある一点Pを通りABに垂直な平面で切る。
ただしPはAB上に一様に分布するものとする。」
とか変える必要があるね。
- 400 名前：１３２人目の素数さん [04/08/15 16:17]
- ４００
- 401 名前：１３２人目の素数さん [04/08/15 17:05]
- 漸化式
a_n={(（n-1)/n）a_(n-1)}^（n-1)/n）, a_1=1がある。
このときlim[n→∞]a_nを求めよ。
- 402 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/08/15 17:27]
- >>401
むずいなこれ。０くさいけど。ちがう？
- 403 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/08/15 17:28]
- >>401
まちがった。１くさい。ちがう？
- 404 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/08/15 17:30]
- >>401
またまちがった。eくさいだった。逝ってきます。
- 405 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/08/15 18:16]
- 1/eじゃない？
- 406 名前：１３２人目の素数さん [04/08/15 18:45]
- >>405
正解
- 407 名前：１３２人目の素数さん [04/08/15 18:57]
- 同地域を表した１０００分の１の地図ξと５０００分の１の地図ξ’がある。
ξ’をξの地図上にはみ出さないように重ねる時、同じ地点を示す両地図上の点が
一致するような地点が、一つあることを示せ。
地図ξ及びξ’は長方形であるとする。
- 408 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/08/15 19:02]
- >>407
･･････あのね･･････
- 409 名前：FeaturesOfTheGod ◆UdoWOLrsDM [04/08/15 20:16]
- 縮小写像には唯一つの不動点がある。
- 410 名前：１３２人目の素数さん [04/08/15 20:32]
- >>407
ξ’\subspace ξ
f：ξ→ξ’：縮小写像
d:ξ×ξ\to R：適当な距離関数 として
F(x)=(f(x),x) と定義すると、Fは連続で、
長方形はコンパクトだから、最大値最小値の定理よりOK
- 411 名前：１３２人目の素数さん [04/08/15 20:35]
- d:ξ’×ξ’\to R：適当な距離関数 として
F(x)=(d(f(x),x)) と定義すると、Fは連続で
ごめんまちがいた。
- 412 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/08/15 20:49]
- >>411
Fが連続だからどうだっての？最小値が０じゃないとなぜいけない？
- 413 名前：１３２人目の素数さん [04/08/15 21:26]
- 大学の知識は使わないようにしましょう
- 414 名前：１３２人目の素数さん [04/08/15 21:35]
- 誤爆った。
{x}_{n}＝f({x}_{n-1})とおいて
|{x}_{n}-{x}_{m}|≦|{x}_{n}-{x}_{n-1}+…+{x}_{m}｜
≦|{x}_{n}-{x}_{n-1}|+…|{x}_{m+１}-{x}_{m}｜
≦|f({x}_{n})-f({x}_{n-1})|+…|f({x}_{m+１})-f({x}_{m})｜
だな。すまん。
- 415 名前：１３２人目の素数さん [04/08/15 21:36]
- 地球上のある点Aをとりその地点と中心をはさんで反対側の点B
がある。
AとB地点における気温が同じであるある点Aは必ずひとつ存在する事を示せ。
- 416 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/08/15 21:38]
- >>413
ここでそんな制限いらんだろ
- 417 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/08/15 22:13]
- >>415
T(A)=A地点の温度－Aと反対側の地点の温度を考えるのかな？
- 418 名前：１３２人目の素数さん [04/08/15 22:18]
- そうだね。一回答案書いたらノートン先生がまあいいんだが。
f(x)=T(x)-T(-x)と置くと、
f(x)=-f(-x)なので、この間のパスｃを取り
f(c(t))に中間地の定理を適用し これが０になる点が存在する。
- 419 名前：１３２人目の素数さん [04/08/15 22:32]
- あっ俺の答案だと温度がTね。
- 420 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/08/16 00:56]
- >>395
これできない。だれか教えて。たぶん予想は｢それまで出たカードが赤、黒同数のときは
任意に予想し、黒が多ければ赤、赤が多ければ黒と予想する。｣という前提だとおもうけど。
とりあえずオレができたのはN=26とおいて
つまり(のこり黒の数、のこり赤の数)=(x,y)のとき次があたる確率は
x=yのとき1/2、x>yのときx/(x+y)、x<yのときy/(x+y)
で(のこり黒の数、のこり赤の数)=(x,y)となる確率はC[x+y,x]C[2N-(x+y),N-x]/C[2N,N]
なので結局期待値は
∑[x=0,N][y=0,N]C[x+y,x]C[2N-(x+y),N-x]/C[2N,N]･max{x,y}/(x+y)
だと思うんだけどこれの計算ができん。鬱･･･方針からしてちがうのかな？
- 421 名前：420 mailto:sage [04/08/16 00:57]
- あ、和の範囲から(x,y)=(0,0)はぬいといてちょ。
- 422 名前：１３２人目の素数さん [04/08/16 01:01]
- おしえてアゲ
- 423 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/08/16 02:25]
- おしえてアゲよ永遠に
- 424 名前：１３２人目の素数さん [04/08/16 02:25]
- おしえてアゲAgain
- 425 名前：１３２人目の素数さん [04/08/16 03:01]
- >>395の出題者さん。せめて答えだけでもかいてくれアゲ
- 426 名前：１３２人目の素数さん [04/08/17 00:40]
- >>377 >>378
なぜかというと掛け算は一番低い位から行うものだからです。掛け算の定義です。掛け算の定義にのっとらないとそのようなへんてこりんな答えが出てしまいます。
(０．９９９９９９９....... の一番低い位などないのですから掛け算が出来ませんよね？）
同じ類の問題で1=2となってしまう有名な問題がありますね？あれは数をXという変数で割ってしまってるからです。X=0のとき定義されてませんでしょ？
ちなみに0.999999999=1を正確に証明するなら等比数列を使わなければなりません。以上、初投稿でした。
- 427 名前：１３２人目の素数さん [04/08/17 00:46]
- ０以上９以下の整数をすべて使って、a×bという形で表したとき、その値が最大になるa,bをもとめなさい。ただし、各数字はすべて一度だけつかうものとする。
- 428 名前：１３２人目の素数さん mailto:96420×87531 [04/08/17 08:57]
- >>427
オマエはあれか？そんなんを東大生に溶かせるのか？
そんなもん出してる暇があったら>>395の回答教えれ
- 429 名前：１３２人目の素数さん [04/08/20 01:55]
- 帰ってきた>>395の答えおしえろアゲ
- 430 名前：１３２人目の素数さん [04/08/20 02:11]
- >>395の問題期待値は>>420に書いた通りN=26として
∑[x=0,N][y=0,N]C[x+y,x]C[2N-(x+y),N-x]/C[2N,N]･max{x,y}/(x+y)
であってると思うんだけどこれを一般のNの簡単な式に直すのってどうにも無理くさい
と思うんだけど。だとするとしこしこたしてくしかなさそう。もしかして出題ミスなのかな？
- 431 名前：１３２人目の素数さん [04/08/27 00:51]
- 804
- 432 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/08/27 06:45]
- >>395
できたぜ！！
∑[x=0,N][y=0,N][(x,y)≠(0,0)]C[x+y,x]C[2N-(x+y),N-x]/C[2N,N]･max{x,y}/(x+y)
=((n-1/2)C[2n,n]+4^n/2)/C[2n,n]
かな？
- 433 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/08/28 05:16]
- >>427
素朴に
93210×87654（＞90123×87654←相加相乗平均を考慮）
と予想してみる
- 434 名前：433 mailto:sage [04/08/28 05:25]
- ゴメン嘘．
96***×87***の方がまだ大きい（∵各位の数＜10だから10冪が勝つ）．
それでもやはり相加相乗平均の考え方を用いて
大きい位から順に求めていく事になりそうだが…
と云う訳で
>>428
出題意図は悪くないと思うよん．
- 435 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/08/28 09:48]
- 実係数を持つn次の多項式f(x)があり、次の条件を満たす。
∫[-1,1] (1-x) ( f(x) )^2dx = 1
このとき、
|f(1)|≦(n+1)(n+2)/(2√2)
|f(-1)|≦√((n+1)(n+2))/(2)
であることを示せ。
- 436 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/08/28 13:32]
- >>435
これホントに正しい？
問題は1-x=2tと変数変換して
――
実係数を持つn次の多項式f(x)があり、次の条件を満たす。
4∫[0,1] t ( f(t) )^2dt = 1
このとき、
|f(0)|≦(n+1)(n+2)/(2√2)
|f(2)|≦√((n+1)(n+2))/(2)
を示せ。
――
と同値だけど数学辞典によるとG(2,2;t)=(1/t)(n+1)!(d/dt)^n{t^(n+1)(1-t)^n}
とおくとき∫[0,1]G(2,2,t)=1/(2(n+1)^3)になるそうだ。
コレを信じるとP_n(t)=(n+1)^3G(2,2,t)/4は前提条件をみたすけど
P_n(1)=(-1)^n･(n+1)!･(n+1)^3･n!になってしまうけど？
- 437 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/08/28 13:46]
- まちごうた。
∫[0,1]tG(2,2,t)^2dt=1/(2(n+1)^3)
になるそうだ。数学辞典まちがってるとかじゃないよね？
- 438 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/08/28 15:01]
- うーん。 Problems and Theorems in analysis vol.2 からとってきた問題なんだけど。
書き間違えたかも。コンビネーション使って原文通りに書いてみる。
f(1)≦((n+2)C2)/√2
f(-1)≦ √(((n+2)C2)/2)
だそうだが。 この本のP89.104番からの出題。今から解答引っ張ってくるから、
ちょいまて
- 439 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/08/28 15:14]
- と思ったら、やたらと長い解答だし
大学入試レベルではないので止め。
気になるんなら、上の問題集を見てくんなまし。
- 440 名前：１３２人目の素数さん [04/09/01 04:41]
- >>438>>439
PS か。
その問題だけの回答ではない。
前に証明した事実も使って居る。
- 441 名前：１３２人目の素数さん [04/09/07 06:41]
- 341
- 442 名前：１３２人目の素数さん [04/09/07 18:02]
- PS は Mics に整数論の問題まで載っていて面白いな。
- 443 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/07 19:59]
- >442
唐突に何を？
解説キボンヌ！
- 444 名前：１３２人目の素数さん [04/09/08 22:07]
- >>443
>>438へのレスだよ。
著者名の頭文字が P & S
- 445 名前：１３２人目の素数さん [04/09/09 20:20]
- 【問題】
（－１）×（－１）＝１
を証明せよ。
- 446 名前：FeaturesOfTheGod ◆UdoWOLrsDM [04/09/09 20:43]
- aが零元であるとすると、a=a+0=0
a,cがbの負元であるとすると、a=a+0=a+b+c=0+c=c
また、負元の定義から、1は-1の負元である。
(-1)*(-1)=(-1)*(-1)+0=(-1)*(-1)+((-1)*1-((-1)*1))=((-1)*(-1)+(-1)*1)-((-1)*1)
=(-1)*(-1+1)-((-1)*1)=(-1)*0-((-1)*1)=((-1)*0+0)-((-1)*1)=((-1)*0+((-1)*0-((-1)*0)))-((-1)*1)
=(((-1)*0+(-1)*0)-((-1)*0))-((-1)*1)=((-1)*(0+0)-((-1)*0))-((-1)*1)=((-1)*0-((-1)*0))-((-1)*1)
=0-((-1)*1)=-((-1)*1)=-((-1)*1+0)=-((-1)*1+(1*1-(1*1)))=-(((-1)*1+1*1)-(1*1))
=-((-1+1)*1-(1*1))=-(0*1-(1*1))=-((0*1+0)-(1*1))=-((0*1+(0*1-(0*1)))-(1*1))
=-(((0*1+0*1)-(0*1))-(1*1))=-(((0+0)*1-(0*1))-(1*1))=-((0*1-(0*1))-(1*1))=-(0-(1*1))
=-(-(1*1))=-(-1)=1
- 447 名前：１３２人目の素数さん [04/09/09 20:46]
- >>446
一番最後、
－（－１）＝１
って使えないでしょ。
- 448 名前：FeaturesOfTheGod ◆UdoWOLrsDM [04/09/09 21:01]
- Re:>447
上の方に書いてある説明が読めないか？
- 449 名前：FeaturesOfTheGod ◆UdoWOLrsDM [04/09/09 21:03]
- 本当はこんなまどろっこしいことを二度繰り返す必要は無く、
-((-1)*1)から、
-((-1)*1)=-(-1)=1とすればよかったか。
- 450 名前：FeaturesOfTheGod ◆UdoWOLrsDM [04/09/09 21:04]
- Re:>447
補足：-aはaの逆元であり、b-aとは、b+(-a)のことである。
- 451 名前：１３２人目の素数さん [04/09/09 23:51]
- なんじゃそら もっと簡単な解き方がアルやろ
- 452 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/10 00:26]
- FeaturesOfTheGod ◆UdoWOLrsDM って馬鹿だなー。
- 453 名前：FeaturesOfTheGod ◆UdoWOLrsDM [04/09/10 07:54]
- Re:>452 消えろ。
- 454 名前：１３２人目の素数さん [04/09/10 19:30:00]
- 半径rの球の中心との距離がr/√3である2平面P,Qがあり
平面Pと平面Qは垂直である。
この球がP,Qにより分けられる4つの立体のうち
体積が最小である立体の体積を求めよ。
- 455 名前：１３２人目の素数さん [04/09/10 19:42:41]
- [2](1)定円に内接する四角形で面積が最大のものは正方形であることを示せ。
(2)実数x,y,zについてsin(x-y)+sin(y-z)+sin(z-y)の最大値を求めよ。
- 456 名前：１３２人目の素数さん [04/09/10 19:46:29]
- [3]異なる4つの自然数がありどの3数の和も素数である。
この4数のうちある2数の差が3の倍数なら残り2数の差も3の倍数であることを証明せよ。
- 457 名前：１３２人目の素数さん [04/09/10 19:53:38]
- [4]半径1、高さhの直円錐がある。底面に垂直で底面の中心Oとの距離が1/2
である平面Pと円錐の側面にともに含まれる点全体からなる曲線をCとする。
C上の点をQとするとき線分OQの最小値をhを用いて表せ。
- 458 名前：１３２人目の素数さん [04/09/10 19:56:06]
- [5]一枚のコインを投げて表か裏かを記録する試行を、表が3回続けて出るまで繰り返す。
コインを投げる回数の期待値を求めよ。
- 459 名前：１３２人目の素数さん [04/09/10 20:02:49]
- [6]xyz空間内にa+b+c=a^3+b^3+c^3=abcをみたす点(a,b,c)全体からなる図形をPとする。
いま、P上のn個の異なる点を結ぶと、正n角形ができた。このようなことが可能なnをすべて求めよ。
- 460 名前：455 mailto:sage [04/09/10 20:09:55]
- 訂正
×sin(x-y)+sin(y-z)+sin(z-y)
○sin(x-y)+sin(y-z)+sin(z-x)
- 461 名前：１３２人目の素数さん [04/09/10 21:15:58]
- 【２】
（１）円の半径をｒ（＞０）、円に内接した四角形の各頂点をＡ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、
円の中心をＯ、∠ＡＯＢ＝∠ＣＯＤ＝θとすると、四角形の面積Ｓ(θ)は
Ｓ(θ)＝2r^2*sinθ
と表されるので、ｒは定数であることに注意すると
「Ｓ(θ)が最大」 ⇔ sinθ＝１ ⇔ θ＝π/2
なので、題意は示された。
（２）３じゃないの？ワカンネ（１）をどう利用するかが・・・＞＜
- 462 名前：455 mailto:sage [04/09/10 21:33:18]
- >>461
(1)円に内接する四角形を長方形に決めてしまってませんか？
(2)(1)がもし三角形の話だと・・・
- 463 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/10 21:40:05]
- >>462
よく分からんが、(1)の別解。 つーても、>>461をほとんど見てないｗ
別解
円に内接する四角形ABCDの二点A,Cを固定して考える。
残りの二点B,Dを動かすことを考える。
明らかに、線分ACからみて、B,Dが同じ側にある場合最大値を取らない。
さらに、△BACの面積を底辺をACとして考えると、ACは固定されているため
高さのみでその面積が決定される。このとき、点Bの位置はBA=BCなる点に決定される。
同様に点Dの位置も決定される。
明らかに、この場合線分BDは円の直径になる。そのため、BDの長さは固定される。
次に、二点ACを動かす。明らかにAC⊥BDが成立するため、四角形ABCDの面積は
AC*BD/2で与えられる。よって、BDが固定されているとき、ACが最大になればいい。
この場合、ACも・・・以下略
- 464 名前：455 mailto:sage [04/09/10 21:51:17]
- >>463
＞明らかに、線分ACからみて、B,Dが同じ側にある場合最大値を取らない。
この行は蛇足かと。 初めから対角線ACとして固定すればよいし、
そうでないならACが正方形の一辺にもなりうる。
- 465 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/10 22:06:55]
- >>455
この(1)って微妙に(2)の誘導になってんのかな？
(2)は結局半径1の円に内接する３角形の面積の最大値をもとめさせてるんだけど
それは正三角形のときで面積は3･(1/2)･sin120°=3√3/4。
- 466 名前：455 mailto:sage [04/09/10 22:09:51]
- >>465
正解(配点20)
- 467 名前：455 mailto:sage [04/09/10 22:15:57]
- ごめんウソ。減点-2
- 468 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/10 22:18:01]
- >>456
4数をa,b,c,dとして仮定はb+c+d、a+c+d、a+b+d、a+b+cが素数。
でもしどれか一個が3だとする。a=3としてよい。すると
b≡c≡d (mod 3)であるか ≡1(mod3)、≡2(mod3)となるものがある。
前者ならb+c+dは3でない3の倍数なので矛盾。後者ならb≡1(mod3)、c≡2(mod3)
としてよいがa+b+cが3でない3の倍数になって矛盾。よって3はまじってない。
よってa≡±1(mod3)、b≡±1(mod3)、c≡±1(mod3)、d≡±1(mod3)だが
符号がおなじなのが３つあると仮にそれをa,b,cとするとa+b+cが3でない３の倍数になって矛盾。
よってa≡1(mod3)、b≡1(mod3)、c≡-1(mod3)、d≡-1(mod3)として一般性を失わない。
さて選んだ２数(x,y)の差が３の倍数なのだから(x,y)=(a,b) or (c,d)。
いずれにせよのこり２数を(z,w)とするとz≡w(mod 3)ゆえ主張は成立。
- 469 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/10 22:18:46]
- >>467
減点された･･･どこ？
- 470 名前：455 mailto:sage [04/09/10 22:28:16]
- >>469
{sin(x-y)+sin(y-z)+sin(z-x)}/2が半径1の円に内接する３角形の面積
- 471 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/10 22:29:33]
- そうだった
- 472 名前：456 mailto:sage [04/09/10 22:31:10]
- >>468
1,3,7,9はどの3数の和も素数です
- 473 名前：リニアﾀﾝ（;´Д`）ﾊｱﾊｱ ◆O5M8Y2WWjk [04/09/10 22:35:21]
- >>455
[2](1)
半径ｒの円Oに内接する四角形ABCDにおいて、
∠AOB＝x、∠BOC＝ｙ、∠COD＝ｚ、∠DOA＝ｗ とおく （ｘ+ｙ+ｚ+ｗ＝2π）
四角形ABCD＝（1/2)ｒ＾2(sin x+sin y+sin z+sin w)≦（1/2)ｒ＾2(1+1+1+1)＝2ｒ＾2
等号は x＝y＝z＝w＝π/2 のとき成立し、このとき四角形ABCDは正方形となる。
- 474 名前：455 mailto:sage [04/09/10 22:37:14]
- >>473
模範解答thx
- 475 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/10 22:38:27]
- >>458
[5]がめんどいけどこれエレ解あるの？
求めるものは1/8+∑[n≧4]n(n-4回目までは３回連続表はでない確率)×(1/16)
で
(n回目までは３回連続表はでない＆n回目は裏の確率)=an
(n回目までは３回連続表はでない＆n-1回目は裏＆n回目は表の確率)=bn
(n回目までは３回連続表はでない＆n-2回目は裏＆n-1回目は表の確率＆n回目は表の確率)=bn
(n回目までは３回連続表があった確率)=dn
とおくとき
a(n+1)=(1/2)(an+bn+cn)
b(n+1)=(1/2)an
c(n+1)=(1/2)bn
d(n+1)=dn+(1/2)cn
をとけば∑[n≧4]n(1-cn)はもとまるけど正直しんどい。なんかもっと鮮やかなのがある？
- 476 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/10 22:39:14]
- >>472
しまった。吊ってくる。
- 477 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/10 22:47:00]
- >>472
a,b,c,d
≡0,0,0,0 ≡0,0,0,2 ≡0,1,2,2
≡0,0,0,1 ≡0,0,1,2 ≡1,1,2,2
≡0,0,1,1 ≡0,1,1,2 ≡0,2,2,2
≡0,1,1,1 ≡1,1,1,2 ≡1,2,2,2
≡1,1,1,1 ≡0,0,2,2 ≡2,2,2,2 (mod3)
のいずれかとしてよい。でどの３つをたしても≡0(mod3)にならないのは
(a,b,c,d)≡1,1,2,2 ≡0,0,1,1 ≡0,0,2,2(mod3)の３つしかない。でいづれにせよ主張成立。
- 478 名前：461 [04/09/10 22:49:59]
- >>462
（１）ですが、長方形∋正方形ですよね？
だからまず、内接する長方形を考慮したんです。んで解答の
θ＝π/2 ⇔ ＡＢ＝ＢＣ＝ＣＤ＝ＤＡ ⇔ ＡＢＣＤは正方形
となると思うんですが。
- 479 名前：１３２人目の素数さん [04/09/10 22:51:46]
- >>478
質問したいのだが、円に内接する四角形の中で最大の面積を持つ物が
長方形でさえなかった場合というのは検討したのか？
- 480 名前：461 [04/09/10 23:11:59]
- >>479
ほんまやぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁ！！！！！！！
ああ、ごめんごめん・・・もうイヤ＞＜
数学苦手やった奴が口出しするもんじゃねーなｗ
- 481 名前：１３２人目の素数さん [04/09/10 23:13:10]
- >480
チラシの裏に書いてろ、な！
- 482 名前：１３２人目の素数さん [04/09/10 23:13:33]
- >>457[4]
ｈ/√2
- 483 名前：482 mailto:sage [04/09/10 23:16:55]
- 場合訳がいったか．．．
- 484 名前：458 mailto:sage [04/09/10 23:33:09]
- >>475
ちょっとインチキ臭い操作でほとんど複雑な計算なく整数値ででます。
- 485 名前：456 mailto:sage [04/09/10 23:33:46]
- >>477
正解(配点20)
- 486 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/11 00:11:49]
- >>458の[5]のインチキ臭い操作というのが思いつかん。
- 487 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/11 14:34:33]
- 一枚のコインを投げて表がn回続けて出るまで繰り返すとき、
投げる回数の期待値を a_n とすると、
a_{n+1}=2(a_n+1) という漸化式を満たす。
- 488 名前：１３２人目の素数さん [04/09/11 15:13:30]
- >>455
まだ見ていますか？
[2](2)について
x,y,zの条件は他にありませんか？無ければ次のようになります。
-1<=sin(x-y)<=1,-1<=sin(y-z)<=1,-1<=sin(z-x)<=1ゆえ
問題の式はsin(x-y)=sin(y-z)=sin(z-x)=1のとき最大となる
このときx,y,zは
x-y=(2a+1/2)πかつy-z=(2b+1/2)π,z-x=(2c+1/2)π (a,b,cは整数)
を満たすが、3式を辺々足すと
a+b+c+3/4=0ゆえc=-(a+b+3/4)
よって求める最大値は3
このときx,y,zは
x-y=(2a+1/2)πかつy-z=(2b+1/2)π,z-x=-(2a+2b+1)π (a,bは整数)
を満たす任意の実数
- 489 名前：４８８ [04/09/11 15:24:52]
- >>455
すいません、訂正します。
誤）x-y=(2a+1/2)πかつy-z=(2b+1/2)π,z-x=-(2a+2b+1)π (a,bは整数)
正）x-y=(2a+1/2)πかつy-z=(2b+1/2)π (a,bは整数)
注１）誤）の"y-z=(2b+1/2)π,z-x=-(2a+2b+1)π"の間の","は"かつ"の誤りです
注２）誤）の3式目は整理すれば必要なくなります
- 490 名前：455、458 mailto:sage [04/09/11 15:41:19]
- >>488
＞a+b+c+3/4=0ゆえc=-(a+b+3/4)
a,b,cは整数としているので矛盾です
>>487
よろしければ導出過程プリーズ
- 491 名前：４８８ [04/09/11 16:00:20]
- >>490
確かにそうですね。失礼しました。
>>455
ごめんなさい。誤解答の例ということで忘れてください。
- 492 名前：リニアﾀﾝ（;´Д`）ﾊｱﾊｱ ◆O5M8Y2WWjk [04/09/11 17:26:06]
- >>459[6]
ｎ＝3，6 とみたが、どうだ？
- 493 名前：459 mailto:sage [04/09/11 17:46:59]
- >>492
惜しい
- 494 名前：リニアﾀﾝ（;´Д`）ﾊｱﾊｱ ◆O5M8Y2WWjk [04/09/11 20:47:33]
- (a,b,c)＝(k,-k,0), (0,k,-k), (k,0,-k) はあってる？
- 495 名前：459 mailto:sage [04/09/11 21:00:51]
- >>494
あってまふ
- 496 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/11 21:11:24]
- >>494
氏ね
- 497 名前：リニアﾀﾝ（;´Д`）ﾊｱﾊｱ ◆O5M8Y2WWjk [04/09/11 21:20:58]
- >>495
じゃあ、エレファントだけど途中まで。
a+b+c＝a^3+b^3+c^3＝abc＝k とおくと
k≠0 のとき、
ab+bc+ca＝(k^2+2)/3 より a、b、c はtの3次方程式
t^3-kt^2+{(k^2+2)/3}t-k＝0 の解。
右辺は狭義単調増加なので、3次方程式の実数解は1個で不適。
よって k＝0。
したがって、(a，b，c)＝(s，-s，0)，(0，s，-s)，(s，0，-s)。
よって、図形Pは適当に平行移動お呼び回転をすると、xy平面上の3直線
y＝0，±(√3)x になる。←ここで勘違いか？
- 498 名前：459 mailto:sage [04/09/11 21:24:37]
- >>497
あってますよ。結論にわずかな見落としが。
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