代数学総合スレッド Part2

1 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/02/21 07:18] 代数に関する話題全般のスレッドです。 宿題の丸投げは止めましょう。 前スレ 代数学総合スレッド science.2ch.net/test/read.cgi/math/1011536232/l50 201 名前：山崎渉 mailto:（＾＾） [03/05/21 21:58] ━―━―━―━―━―━―━―━―━[JR山崎駅（＾＾）]━―━―━―━―━―━―━―━―━― 202 名前：山崎渉 mailto:（＾＾） [03/05/22 00:08] ━―━―━―━―━―━―━―━―━[JR山崎駅（＾＾）]━―━―━―━―━―━―━―━―━― 203 名前：121 [03/05/23 15:53] >>121の証明で穴を指摘されました。 ＞Ａ＊Ｂ−Ｂ＊Ａ＝（ＱＰＡＱＰ）＊（ＱＰＢＱＰ）−（ＱＰＢＱＰ）＊（ＱＰＡＱＰ） ＝（Ｑ＊Ｑ）・｛（ＰＡＱ）＊（ＰＢＱ）−（ＰＢＱ）＊（ＰＡＱ）｝・（Ｐ＊Ｐ） この「行列式」は通常行列式同様にそれぞれの「行列式」の積になるが、 ｛（ＰＡＱ）＊（ＰＢＱ）−（ＰＢＱ）＊（ＰＡＱ）｝の「行列式」が（ア）より０ となるので、全体も０となる。 Ｐ，ＱがＡ，Ｂと可換とは限らないので、Ｑ＊Ｑ、Ｐ＊Ｐは、Ｓの元を「成分」とする行列とは言えない、つまり、可換環を成分としているとは限らないので、「積の行列式」＝「行列式の積」が使えないとの指摘です。 204 名前：121 [03/05/23 16:00] よって以下のように訂正します。 Ａ，Ｂに対して、Ａ＊Ｂを、「ij成分」＝ａij・Ｂであるような「行列」と定義する。 Ａ，Ｂが可換なら、Ａ＊Ｂ−Ｂ＊Ａの「行列式」は０となる。Ｂ＝Ｉの場合、ケーリーハミルトンの定理となる。 証明） （Ｗ＊Ｘ）・（Ｙ＊Ｚ）＝（ＷＹ）＊（ＸＺ）となることがわかる。 Ａ，Ｂが交換可能だから、適当な行列Ｐとその逆行列Ｑによって、 ＰＡＱ＝Ｃ，ＰＢＱ＝Ｄをともに三角行列とすることができる。 Ａ＊Ｂ−Ｂ＊Ａ＝ＱＣＰ＊ＢーＱＤＣ＊Ａ＝（Ｑ＊Ｉ）（Ｃ＊Ｂ−Ｄ＊Ａ）（Ｐ＊Ｉ） ※　Ｉは単位行列。だから、Ｓの元。 この「行列式」は通常の行列式同様に、Ｑ＊Ｉ、Ｃ＊Ｂ−Ｄ＊Ａ、Ｐ＊Ｉ、それぞれの「行列式」の積になる。 Ｃ、Ｄが三角行列だからＣ＊Ｂ−Ｄ＊Ａも「三角行列」。よってその「行列式」は「対角成分」の積 Π（ｃiiＢ−ｄiiＡ）＝ＱＰ｛Π（ｃiiＢ−ｄiiＡ）｝ＱＰ＝Ｑ｛ΠＰ（ｃiiＢ−ｄiiＡ）Ｑ｝Ｐ＝Ｑ｛Π（ｃiiＤ−ｄiiＣ）｝Ｐ 各（ｃiiＤ−ｄiiＣ）は、三角行列で、ｉｉ成分が０、これらの積が０行列となることは計算でわかる。 205 名前：１３２人目の素数さん [03/05/25 19:22] f,g,h∈R,　Rは環(PIDとかUFDとかの仮定はない） このとき h∈(f,g) ⇒ h^n∈(f^n,g^n) を示したい。 いまのところ、 1∈(f,g) ⇒ 1∈(f^n,g^n) と h∈(f,g) ⇒ h^2∈(f^2,g^2) とはなんとか言えてますが もうちょいがうまくいきません。 206 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/05/25 19:38] R=K[X, Y]のときを考えるとX+Y∈(X, Y)だけど、 (X+Y)^2∈(X^2, Y^2)は成立する？ もしそうならXY∈(X^2, Y^2)なのだが・・・ 207 名前：205 [03/05/25 20:22] >>206さまレスありがとうございます。 たしかにそのとおりですね。 h∈(f,g) ⇒ h^2∈(f^2,g^2) の「証明」をみなおしてみると 実際に言えていたのは h∈(f,g) ⇒ h^3∈(f^2,g^2) でした。 ということは、 h∈(f,g) ⇒ h^n∈(f^n,g^n) はなりたたないということで・・・ でもすこし弱めるとなにか言えそうな気がするのですが。 208 名前：205 [03/05/25 20:26] ちなみにすぐに言えていたのは h∈(f,g) ⇒ h^n∈(f^n,g) です。 209 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/05/25 20:43] n≧k+l なら h^n∈(f^k, g^l) ぐらいならいえるけど・・・ 210 名前：１３２人目の素数さん [03/05/25 21:10] >>206 それは簡単すぎかな。 h=Af+Bgをn乗すれば一発。 211 名前：藤原一宏 mailto:（＾＾） [03/05/25 22:55] （＾＾） 212 名前：１３２人目の素数さん [03/05/26 00:13] A;単位元をもつ可換環　A[X];A上の多項式環とします。 A[X]が単項イデアル環とするとAが単項イデアル環でさらにアルティン環 であることまではいえたんですがさらにAについての情報は得られるもんなんでしょうか？ あとこの逆は成り立つんでしょうか？ ちなみにA[x];PID⇔A;体はわかっています。 213 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/05/26 02:28] >>211 でた。。。 214 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/05/26 17:56] >>212 >ちなみにA[x];PID⇔A;体はわかっています。 それならもう何も言うことはないような気が・・・ 215 名前：藤原一宏 mailto:（＾＾） [03/05/26 18:56] 　　　　　　　　　　　　　　　// //TTT//////// 　 　　　　　　　　　　　　//////JK&&NNNN&&SJT//// 　　　　　　　　　/TJKK&MMMMM$#################%MSJ// 　　　　　　　　TTS###################################MST 　　　　　　　/TKKN%%#####%$MMMMM$$$$%############%%###$RJ// 　 　　　　　J&$#########%M#&?#RMMM%%#%####################&J 　　　　　　S#########MMNR?&&&&&&&?#RN$$####################MJ 　　　　　JJN#######$MNNRR&&&&KKKKKKKKKK&&&RNM$$%#############$&TT 　 　　　TM%%#######%#NNNRR&&&&KKKSSSSS&&&&&?#MM%#################& 　　　　T###########$MNRRRR&&&&KKSKSS&&&&&&SSSK&&?M#%%#############&/ 　 　　/&%#########$$MNRR&&&&KKKSSSJJJJJJJJJTTTJJJK&RNNM%%####%##%%%MJ 　 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んで、またA=Z/6ZはA[X]は単項イデアル環だけどAは体でない 例になってるとおもう。一般のpqはどうなんでしょうかね？ ap+bq=1になるa,bがあってもうま〜い元がとれるのかなぁ・・・。 223 名前：１３２人目の素数さん [03/05/27 03:43] 222です。やっぱいけそうです。A=Z/(pq)Zとして (px+q)(qx+p)=(p^2+q^2)x で、p^2+q^2はpでもqでもわりきれないからAの単元 だから、さらに逆元でもかけてやるとXはつくれる。 んで、p,qは互いに異なる素数だからap+bq=1になる整数a,bが あるから(1-ap)(pX+q)=q となってぇ〜(X,q)=(pX+q)になる。 224 名前：219 mailto:sage [03/05/27 06:31] A=\Z/(pq), B=A[X]とおく． J≠0をBの任意のイデアルとする． 今，f(≠0)∈Jでn=deg fが最小であるものを取り，a=LC(f)∈A（主係数）とおく． (1) a∈A^*のとき，J=fB. (2) a∈pAのとき，（必要ならばfにB^*=A^*の元を掛けて）a=pとしてよい． このとき，qf∈J, deg qf<nより，qf=0だから，モニックなf'∈Bが存在してf=pf'. さらに，モニックなg∈Jでm=deg gが最小であるものを取る． [主張1] ∀h∈Jに対して，deg h<m ⇒ h∈fB. ∵) ∃h∈J, d=deg h<m, h/∈fBと仮定し，dが最小のものを取る． b=LC(h)/∈pAと仮定すると，up+vb=1 (∃u, v∈\Z)より， k=uX^(d-n)*f+v*h∈Jとおくと，deg k=d<m, LC(k)=up+vb=1となり矛盾． よって，b=b'p, h'=h-b'X^(d-n)*f∈Jとおくと，deg h'<dだから，h'∈fBよりh∈fBとなり矛盾． [主張2] J=fB+gB. ∵) ∀h∈Jに対して，h=q'g+r (q',r∈B), deg r<mとすると，r∈Jより，r∈fBだから，h∈fB+gB. [主張3] J=(f+qg)B. ∵) J'=(f+qg)Bとおく．J'⊂Jは明らか． 一方，up+vq=1 (∃u, v∈\Z)より，J'∋up(f+qg)=up^2*f'=pf'=f, qg=(f+qg)-f∈J'. このとき，h=uX^(m-n)*f+v*qg∈J'⊂Jとおくと，deg h=m, LC(h)=up+vq=1. よって，k=g-h∈Jとおくと，deg k<mより，k∈fB⊂J'だから，g=h+k∈J'. (3) a∈qAのときも同様． 以上より，Bは単項イデアル環． 225 名前：219 mailto:sage [03/05/27 07:05] [訂正] >さらに，モニックなg∈Jでm=deg gが最小であるものを取る． ∀h∈Jに対してLC(h)∈pAならば，J=fB. ∃h∈J, LC(h)/∈pAのとき，∃g∈J, LC(g)=1だから，m=deg gが最小であるものを取る． 226 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/05/27 09:18] 単項イデアル環の直積は単項イデアル環 227 名前：219 mailto:sage [03/05/27 21:17] pが素数のとき，A=\Z/(p^2)はArtin単項イデアル環だが，A[X]は単項イデアル環ではない． 228 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/05/27 22:29] それで？ 229 名前：山崎渉 mailto:（＾＾） [03/05/28 14:37] 　　　 　∧＿∧ ﾋﾟｭ.ｰ　(　　＾＾ ） ＜これからも僕を応援して下さいね（＾＾）。 　　＝〔~∪￣￣〕 　　＝ ◎――◎ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　山崎渉 230 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/05/29 00:51] すごく初歩的な質問をさせてください。 有利整数環 Z に対して、 Q は Z の商体である、という理解でよろしいでしょうか? さらに初歩的なこととして、Z は Q の部分環である。 231 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/05/29 08:25] >>230 それでよいです 232 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/01 22:54] 有限整域はどんな整域ですか？ 233 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/02 01:51] >>232 体 234 名前：１３２人目の素数さん [03/06/02 02:52] >>233 んなこたぁない 235 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/02 05:18] >>234 んなこたぁない 236 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/02 16:50] >>233 特に説明もなく「有限整域」という言葉が出てきたので、どんな整域なのかと思ったのですが。 237 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/02 17:26] >>236 その位数が有限である整域。 238 名前：１３２人目の素数さん [03/06/03 00:32] 有限整域ならば体 ってことは、有限体なら可換？ 239 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/03 00:34] 整域は可換だろ。 240 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/03 00:36] >>238 可換ですが何か？ 241 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/03 02:25] >>238 前スレにも同じ話題が… ウェダバーンの補題だっけ？うろおぼえ 242 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/03 04:47] >>238 有限斜体は可換体となるってやつか､円分多項式を使ったヴィットの証明が有名だね。 ところで、自由群ってどういう定義をされるものなんでしょう？ 群Gが与えられたときにGが自由群であるというのはどういうことかね？ 243 名前：１３２人目の素数さん [03/06/03 06:18] >>242 んなもん本読ぬで自分で調べられるだろーが 244 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/03 06:47] 板の死 245 名前：１３２人目の素数さん [03/06/03 19:37] すれ違いかもしれませんが、共立講座の佐武線形はいい本ですか？ 246 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/03 20:44] >>242 relation が free. 247 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/08 03:35] (既約な)代数多様体Vで特異点のcodimensionが１の例を教えていただけますか？ dim(V) = １　のときは　Ｖ(ｙ^２−ｘ^３−ｘ^２)　があるんだけど もう少し高次元の例を教えていただけると助かります。 248 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/10 00:54] >>247 ホイットニー傘ってのがなかったっけ？ はずしてたらｽﾏｿ 249 名前：１３２人目の素数さん [03/06/10 02:03] 皿上げ 250 名前：１３２人目の素数さん [03/06/10 05:14] 釜揚げ 251 名前：247 [03/06/13 21:33] >>248 ありがとうございます。 あとは自分で調べます。 252 名前：247 [03/06/18 08:54] V( X_1*(X_2)^2 - X_(n+2) ,...., X_1*(X_n)^2 - (X_2n) ) だね、 確かに>>247の例になってる。 253 名前：247 [03/06/18 08:57] も一つ ある点がnormalでない(その点での局所化が整閉でない)　→　その点は特異点 って成立しますか? 254 名前：１３２人目の素数さん [03/06/18 09:07] >>253 成り立つ。 255 名前：_ mailto:sage [03/06/18 09:11] homepage.mac.com/hiroyuki44/ 256 名前：(−σ)y─┛~~ mailto:sage [03/06/18 09:23] >>253 非特異点→DVR→normal 257 名前：初歩的な質問 [03/06/18 15:00] E,Fを（可換）体で、 （代数的構造は無視して、）F は E の部分集合、とします。 このとき、E は F の拡大体といえるでしょうか？ 258 名前：mathmania ◆uvIGneQQBs [03/06/18 15:03] Re:>257 いえる。 259 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/18 15:15] >>257 いえません。上体とはいうでしょうね。 260 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/18 15:16] >>257-258 ブルバキでも読んどきなw 261 名前：mathmania ◆uvIGneQQBs [03/06/18 15:25] それはつまり、EとFは、同じ演算構造を持っているとは限らないからということか？ 262 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/18 15:41] だね。例えば、F_pをRの集合として埋め込んでも、RはF_pの拡大体ではないね。 263 名前：初歩的な質問 [03/06/18 15:45] ２６２さんの指摘で納得しました。 Thanks!! 264 名前：１３２人目の素数さん [03/06/18 16:33] >>258 うわぁぁ・・・・ 265 名前：mathmania ◆uvIGneQQBs [03/06/18 16:35] うわぁぁ 266 名前：１３２人目の素数さん [03/06/18 17:00] ↑これはいろんなスレでアホなレスしてるから みなさん放置してやって下さいね 267 名前：247 [03/06/18 18:05] >>256 それって１次元のときだけじゃないの？ Hartshorneの本には１章のNonsingular　Curveのところでそんな記述があったけど、 次元が高い時には局所化してもDVRにはならないんじゃないかと思うんだけど・・・？ どっかにいい記述があれば教えていただけるとうれしいです 268 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/18 18:08] >>267 DVRは1次元。 269 名前：(−σ)y─┛~~ mailto:sage [03/06/18 18:19] >>268 です． >>267 非特異点→UFD→normal たぶんザリスキーサミュエルにあると思う． 270 名前：１３２人目の素数さん [03/06/18 18:27] >>267 環と体１　岩波　の最後の方に載っている。 「ネター局所環に対し、正則⇒UFD⇒正規　が成り立つ。」 271 名前：あぼーん mailto:あぼーん [あぼーん] あぼーん 272 名前：あぼーん mailto:あぼーん [あぼーん] あぼーん 273 名前：１３２人目の素数さん [03/06/18 19:47] みんな、よく、おべんようしてらっさいますね 274 名前：１３２人目の素数さん [03/06/19 02:46] >>271-272 ここ何が書かれてたの？ 275 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/19 02:50] >>274 くだらないサイトの宣伝。 276 名前：１３２人目の素数さん [03/06/19 05:20] 厳選サイトです pleasant.free-city.net/ 277 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/19 15:41] >>274 >>276みたいなやつ。 278 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/20 20:34] 線形代数専用のスレッドもほしいなぁ、、、 代数学というほど高度じゃない話題を質問したい。 279 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/20 22:01] 線形性を持つ対象ならいいのだから 程度の高低はあまり関係ないような 280 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/20 22:08] このあたりのスレを適当に再利用してみるとか 線形とは science.2ch.net/test/read.cgi/math/1052546466/ ○●◎行列○●◎ science.2ch.net/test/read.cgi/math/1050154598/ 線形代数の余因子行列の解法 science.2ch.net/test/read.cgi/math/996052458/ 281 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/21 03:07] 線型代数に関する話題はこちら cheese.2ch.net/math/kako/971/971641965.html ★何が違う？？ベクトル空間とユーグリット空間★ science.2ch.net/math/kako/1002/10023/1002316255.html 楽しい演習---線形代数編 science.2ch.net/math/kako/1014/10142/1014209237.html こんな感じのスレを勃てちまえ 282 名前：247＝ベック ◆hQVt4AKTzI mailto:sage [03/06/21 12:09] >>268-270 ありがとうございます、助かります。 >>280 さすがに「線形代数の余因子行列の解法」の再利用は厳しいだろ（ｗ いまだに落ちない名スレ >>274 実はわしが削除依頼だしてたりする 283 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/21 13:36] >>281 たてたよ。 線形代数/線型代数 総合スレッド science.2ch.net/test/read.cgi/math/1056170095/ 検索しやすいように、 「線形代数/線型代数」 と両方の漢字をスレ名に含めておいた。 284 名前：１３２人目の素数さん [03/06/22 19:27] >>282 べっくウザイ。 285 名前：１３２人目の素数さん [03/06/22 20:27] 有限体上の多変数形式的冪級数環でWeierstrassの予備定理が成り立ちますか？ 無限体ならわかるのですが。 変数の適当な一次変換で、０でない非単元がWeierstrass多項式と同伴になることを 示したいのですが。 286 名前：１３２人目の素数さん [03/06/25 23:00] ageぇ。 287 名前：１３２人目の素数さん [03/06/29 22:57] L/Kがガロア拡大のときに Lの単数群/Kの単数群 は有限群ですか？ 288 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/29 23:05] L=Q(√2),K=Qとすると<1±√2>/{±1}は無限群。 289 名前：１３２人目の素数さん [03/06/29 23:08] >>288 単数群だよ？ 290 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/29 23:16] >>289 L^*/K^*の事なら、これも無限群。（例えばa+√2(a∈Q)という元全体を考えよ） 単数群って、普通は整数環の単数群を意味すると思うが。 291 名前：１３２人目の素数さん [03/06/29 23:29] >>290 ここでは前者の意味でつかってました。 有難うございました。 292 名前：１３２人目の素数さん [03/07/06 17:21] >>287 修論ですか？ 293 名前：１３２人目の素数さん [03/07/06 18:10] >>292 有限群じゃないんだろ？ 294 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/06 18:13] >>285 ＞有限体上の多変数形式的冪級数環でWeierstrassの予備定理が成り立ちますか？ Weierstrassの予備定理ってなんすか？ 295 名前：１３２人目の素数さん [03/07/06 21:34] 多変数関数論の基本定理。 この定理により、n変数冪級数環の問題が(n-1)変数冪級数環上の1変数多項式環の問題に帰着出来る。 296 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/06 22:33] >>295 正確にはどういうステートメントでつか？なにに載ってます？ 297 名前：１３２人目の素数さん [03/07/06 23:01] 大抵の多変数関数論の入門書に載っている。 以下は、俺が以前書いたもの。 本来の定理はk=C(複素数体)でRは収束冪級数環。 Definition Let k be a field. Let R = k[[X_1, .., X_n, Y]] be the formal power series ring over k. Let f be an element of R. We say f is regular of order s with respect to Y if it satisfies the following condition. 1) f(0,..,0, Y) is not zero. 2) Consider f(0,..,0, Y) as a formal power series of one variable Y. Then s is the least integer such that Y^s has non-zero coefficient in f(0,..,0, Y). Theorem (Weierstrass's Preparation Theorem) Let k be a field. Let R = k[[X_1, .., X_n, Y]] be the formal power series ring over k. Let f be an element of R, regular of order s with respect to Y. Then f can be uniquely expressed in the form: f = u(Y^s + h_(s-1) Y^(s-1) + ... + h_1 Y + h_0), where u is an invertible element of R, i.e. u(0, ... ,0) is not 0 and each h_i is an element of k[[X_1, .., X_n]]. Moreover, h_i(0,..,0) = 0 for all i. 298 名前：１３２人目の素数さん [03/07/06 23:02] >>296 この三冊には載っています。後の話は複素関数論スレッドでどうぞ。 ここはまったり代数学（ｗ 大沢健夫「多変数複素解析」岩波講座　現代数学の展開２ 山口博史「複素関数　応用数学基礎講座」朝倉書店 西野利雄「多変数函数論」東京大学出版会 299 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/06 23:10] >>297 thx. てかこれは>>285の質問への肯定的な解答になってる？ 300 名前：１３２人目の素数さん [03/07/06 23:16] >>298 形式的冪級数環でのWeierstrassの予備定理は、代数学に属します。 301 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/06 23:29] わからないなら顔出すな。それだけ。

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