- 1 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/02/21 07:18]
- 代数に関する話題全般のスレッドです。
宿題の丸投げは止めましょう。
前スレ
代数学総合スレッド
science.2ch.net/test/read.cgi/math/1011536232/l50
- 152 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/05/11 11:04]
- 加群
- 153 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/05/11 11:11]
- 自然数
- 154 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/05/11 11:13]
- 整数環
- 155 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/05/11 11:36]
- 放物型部分群
- 156 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/05/11 12:13]
- 有理数体
- 157 名前：１３２人目の素数さん [03/05/11 13:22]
- 実数体
- 158 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/05/11 14:13]
- 対称群
- 159 名前：１３２人目の素数さん [03/05/11 14:26]
- ねじれ加群
- 160 名前：１３２人目の素数さん [03/05/11 14:33]
- 開近傍
- 161 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/05/11 14:36]
- ↑(･A･)ｲｸﾅｲ 単数群
- 162 名前：１３２人目の素数さん [03/05/11 15:04]
- ヴェット群
- 163 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/05/11 15:04]
- 線型空間
- 164 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/05/11 18:16]
- 次は W で良いのか？
ワイル群
- 165 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/05/11 18:32]
- 不定元
- 166 名前：１３２人目の素数さん [03/05/11 23:05]
- マジンガーZ
- 167 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/05/12 15:08]
- Yが飛ばされてるぞ。>>168 Yを頼みます
- 168 名前：１３２人目の素数さん [03/05/12 18:23]
- 二つ目の不定元
- 169 名前：１３２人目の素数さん [03/05/12 18:26]
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- 170 名前：１３２人目の素数さん [03/05/12 18:31]
- ζ もしくは Z武
- 171 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/05/12 18:48]
- 整数全体のZってなんの略？
- 172 名前：１３２人目の素数さん [03/05/12 18:49]
- >>171
Zahlen だよ
ヴァカ無教養死ね
- 173 名前：１３２人目の素数さん [03/05/12 18:51]
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- 174 名前：１３２人目の素数さん [03/05/12 19:19]
- >>171
>>172
自作自演・・・ぷ
- 175 名前：１３２人目の素数さん [03/05/12 19:21]
- >>172
ZはZahlenの略じゃなくてdie Zahlenの略。
ヴァカ無教養は氏ね（＾＾；）
- 176 名前：１３２人目の素数さん [03/05/12 19:50]
- >>171-172
今井並（藁
- 177 名前：１３２人目の素数さん [03/05/12 19:53]
- >>175
は？
- 178 名前：１３２人目の素数さん [03/05/12 21:28]
- dieは定冠詞だから、あってもなくてもいいようなものだが。
- 179 名前：１３２人目の素数さん [03/05/12 21:36]
- >>172
ZはZahlenの略じゃなくてZahmenの略。
ヴァカ無教養は氏ね（＾＾；）
- 180 名前：１３２人目の素数さん [03/05/12 23:32]
- Cはcomplexじゃなくてcomplex numbersの略だよね
- 181 名前：１３２人目の素数さん [03/05/12 23:36]
- R は real じゃなくて the set of real numbers の略だよね
- 182 名前：１３２人目の素数さん [03/05/13 00:13]
- >>178
定冠詞は必要じゃないの？
- 183 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/05/13 00:16]
- >>181
the set of all real numbers じゃないのか？
- 184 名前：１３２人目の素数さん [03/05/13 00:51]
- >>177
は？
ヴァカ？
- 185 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/05/13 05:10]
- >>183
はじめにtheがついてるからallはいらない
- 186 名前：１３２人目の素数さん [03/05/15 18:33]
- 代数が全然わからないんですけど、買うなら「すぐわかる代数」がいいですかねぇ？
- 187 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/05/15 18:44]
- 買え
- 188 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/05/15 18:56]
- >>186
何でもいいから買え。
- 189 名前：186 [03/05/15 20:07]
- わかりやすい本がいいっす。
ビギナー向けの。
- 190 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/05/15 20:07]
- >>189
万人にとって判りやすいものなど無い。とっとと買え。
- 191 名前：186 [03/05/15 20:29]
- じゃあ「すぐわかる代数」にしときます。
おすすめの本の話を聞きたかったけど、代数に慣れてからまた聞きます。
- 192 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/05/15 20:30]
- だってそれでいいもの
- 193 名前：186 [03/05/15 20:32]
- そうなんすか。
じゃあその本でがんがりやす。
- 194 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/05/15 21:27]
- 分かりやすいけど深くつっこまない
とりあえず理解した気分に浸りたいなら「すぐわかる代数」
- 195 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/05/19 04:26]
- 疲れた。
もういいよ。
呆れたからこのスレにももう来ないわ。
ずーっとそうやって負のイメージを吐き出し続けてください、さようなら。
- 196 名前：次世代のワイルズ [03/05/19 05:43]
- >>195
おまえなんか二度ど来んな！ ヴァカが
- 197 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/05/19 10:40]
- >>196
(・∀・)ﾆﾔﾆﾔ
- 198 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/05/19 13:02]
- >>196
(・∀・)ﾆﾄﾞﾄﾞ
- 199 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/05/20 23:55]
- 「２ｃｈは5，6人以上逮捕された犯罪者が居るので
２ｃｈは全員、犯罪者だと思っていいと思います。
私の友達と私が被害を受けたのは本当の事実なので。」
（ＨＰより抜粋）
members.tripod.co.jp/nichkirai/index.htm
この２ちゃんねるを罵倒しているサイトである
☆反２ｃｈまゆタンスレ2☆
ex.2ch.net/test/read.cgi/net/1053411931/
- 200 名前：１３２人目の素数さん [03/05/20 23:55]
-
- 201 名前：山崎渉 mailto:（＾＾） [03/05/21 21:58]
- ━―━―━―━―━―━―━―━―━[JR山崎駅（＾＾）]━―━―━―━―━―━―━―━―━―
- 202 名前：山崎渉 mailto:（＾＾） [03/05/22 00:08]
- ━―━―━―━―━―━―━―━―━[JR山崎駅（＾＾）]━―━―━―━―━―━―━―━―━―
- 203 名前：121 [03/05/23 15:53]
- >>121の証明で穴を指摘されました。
＞Ａ＊Ｂ−Ｂ＊Ａ＝（ＱＰＡＱＰ）＊（ＱＰＢＱＰ）−（ＱＰＢＱＰ）＊（ＱＰＡＱＰ）
＝（Ｑ＊Ｑ）・｛（ＰＡＱ）＊（ＰＢＱ）−（ＰＢＱ）＊（ＰＡＱ）｝・（Ｐ＊Ｐ）
この「行列式」は通常行列式同様にそれぞれの「行列式」の積になるが、
｛（ＰＡＱ）＊（ＰＢＱ）−（ＰＢＱ）＊（ＰＡＱ）｝の「行列式」が（ア）より０
となるので、全体も０となる。
Ｐ，ＱがＡ，Ｂと可換とは限らないので、Ｑ＊Ｑ、Ｐ＊Ｐは、Ｓの元を「成分」とする行列とは言えない、つまり、可換環を成分としているとは限らないので、「積の行列式」＝「行列式の積」が使えないとの指摘です。
- 204 名前：121 [03/05/23 16:00]
- よって以下のように訂正します。
Ａ，Ｂに対して、Ａ＊Ｂを、「ij成分」＝ａij・Ｂであるような「行列」と定義する。
Ａ，Ｂが可換なら、Ａ＊Ｂ−Ｂ＊Ａの「行列式」は０となる。Ｂ＝Ｉの場合、ケーリーハミルトンの定理となる。
証明）
（Ｗ＊Ｘ）・（Ｙ＊Ｚ）＝（ＷＹ）＊（ＸＺ）となることがわかる。
Ａ，Ｂが交換可能だから、適当な行列Ｐとその逆行列Ｑによって、
ＰＡＱ＝Ｃ，ＰＢＱ＝Ｄをともに三角行列とすることができる。
Ａ＊Ｂ−Ｂ＊Ａ＝ＱＣＰ＊ＢーＱＤＣ＊Ａ＝（Ｑ＊Ｉ）（Ｃ＊Ｂ−Ｄ＊Ａ）（Ｐ＊Ｉ）
※ Ｉは単位行列。だから、Ｓの元。
この「行列式」は通常の行列式同様に、Ｑ＊Ｉ、Ｃ＊Ｂ−Ｄ＊Ａ、Ｐ＊Ｉ、それぞれの「行列式」の積になる。
Ｃ、Ｄが三角行列だからＣ＊Ｂ−Ｄ＊Ａも「三角行列」。よってその「行列式」は「対角成分」の積
Π（ｃiiＢ−ｄiiＡ）＝ＱＰ｛Π（ｃiiＢ−ｄiiＡ）｝ＱＰ＝Ｑ｛ΠＰ（ｃiiＢ−ｄiiＡ）Ｑ｝Ｐ＝Ｑ｛Π（ｃiiＤ−ｄiiＣ）｝Ｐ
各（ｃiiＤ−ｄiiＣ）は、三角行列で、ｉｉ成分が０、これらの積が０行列となることは計算でわかる。
- 205 名前：１３２人目の素数さん [03/05/25 19:22]
- f,g,h∈R, Rは環(PIDとかUFDとかの仮定はない）
このとき
h∈(f,g) ⇒ h^n∈(f^n,g^n)
を示したい。
いまのところ、
1∈(f,g) ⇒ 1∈(f^n,g^n)
と
h∈(f,g) ⇒ h^2∈(f^2,g^2)
とはなんとか言えてますが
もうちょいがうまくいきません。
- 206 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/05/25 19:38]
- R=K[X, Y]のときを考えるとX+Y∈(X, Y)だけど、
(X+Y)^2∈(X^2, Y^2)は成立する？
もしそうならXY∈(X^2, Y^2)なのだが・・・
- 207 名前：205 [03/05/25 20:22]
- >>206さまレスありがとうございます。
たしかにそのとおりですね。
h∈(f,g) ⇒ h^2∈(f^2,g^2)
の「証明」をみなおしてみると
実際に言えていたのは
h∈(f,g) ⇒ h^3∈(f^2,g^2)
でした。
ということは、
h∈(f,g) ⇒ h^n∈(f^n,g^n)
はなりたたないということで・・・
でもすこし弱めるとなにか言えそうな気がするのですが。
- 208 名前：205 [03/05/25 20:26]
- ちなみにすぐに言えていたのは
h∈(f,g) ⇒ h^n∈(f^n,g)
です。
- 209 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/05/25 20:43]
- n≧k+l なら h^n∈(f^k, g^l)
ぐらいならいえるけど・・・
- 210 名前：１３２人目の素数さん [03/05/25 21:10]
- >>206
それは簡単すぎかな。
h=Af+Bgをn乗すれば一発。
- 211 名前：藤原一宏 mailto:（＾＾） [03/05/25 22:55]
- （＾＾）
- 212 名前：１３２人目の素数さん [03/05/26 00:13]
- A;単位元をもつ可換環 A[X];A上の多項式環とします。
A[X]が単項イデアル環とするとAが単項イデアル環でさらにアルティン環
であることまではいえたんですがさらにAについての情報は得られるもんなんでしょうか？
あとこの逆は成り立つんでしょうか？
ちなみにA[x];PID⇔A;体はわかっています。
- 213 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/05/26 02:28]
- >>211
でた。。。
- 214 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/05/26 17:56]
- >>212
>ちなみにA[x];PID⇔A;体はわかっています。
それならもう何も言うことはないような気が・・・
- 215 名前：藤原一宏 mailto:（＾＾） [03/05/26 18:56]
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M###########MMMMMNMR###KKKSSJSKMMM&T&&SS&&KS&&JT&JJJJ?JJJN#########MM/
- 216 名前：藤原一宏 mailto:（＾＾） [03/05/26 18:58]
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- 217 名前：１３２人目の素数さん [03/05/26 20:45]
- 212 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：03/05/26 00:13
A;単位元をもつ可換環 A[X];A上の多項式環とします。
A[X]が単項イデアル環とするとAが単項イデアル環でさらにアルティン環
であることまではいえたんですがさらにAについての情報は得られるもんなんでしょうか？
あとこの逆は成り立つんでしょうか？
ちなみにA[x];PID⇔A;体はわかっています。
214 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：03/05/26 17:56
>>212
>ちなみにA[x];PID⇔A;体はわかっています。
それならもう何も言うことはないような気が・・・
そんだね。なんなんだろね。
- 218 名前：１３２人目の素数さん [03/05/26 21:07]
- 単項イデアル環は整域とは限らない、って点を気にしているのだろう。
ちなみに、ぱっと見
A[X]が単項イデアル環である必要十分条件は、Aが体であることっぽい。
Aが体で無いと、その0でないイデアルIに対して、
A[X]のイデアルI+(X)は単項ではないのでね。
- 219 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/05/27 01:17]
- p, qが異なる素数のとき，A=\Z/(pq)とおくと，A[X]は単項イデアル環だが，Aは体ではない．
- 220 名前：１３２人目の素数さん [03/05/27 02:29]
- >>219
212です。ありがとうございました。
- 221 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/05/27 02:33]
- >p, qが異なる素数のとき，A=\Z/(pq)とおくと，A[X]は単項イデアル環だが，
A[X] のイデアル ( p , X ) の生成元は?
- 222 名前：１３２人目の素数さん [03/05/27 03:27]
- >>221
pq=6だと
(2X+3)(3X+2)=X
4(3X+2)=2
3(2X+3)=3になるから
(X,2)=(3X+2) (X,3)=(2X+3)になるけどねぇ・・。
んで、またA=Z/6ZはA[X]は単項イデアル環だけどAは体でない
例になってるとおもう。一般のpqはどうなんでしょうかね？
ap+bq=1になるa,bがあってもうま〜い元がとれるのかなぁ・・・。
- 223 名前：１３２人目の素数さん [03/05/27 03:43]
- 222です。やっぱいけそうです。A=Z/(pq)Zとして
(px+q)(qx+p)=(p^2+q^2)x
で、p^2+q^2はpでもqでもわりきれないからAの単元
だから、さらに逆元でもかけてやるとXはつくれる。
んで、p,qは互いに異なる素数だからap+bq=1になる整数a,bが
あるから(1-ap)(pX+q)=q となってぇ〜(X,q)=(pX+q)になる。
- 224 名前：219 mailto:sage [03/05/27 06:31]
- A=\Z/(pq), B=A[X]とおく．
J≠0をBの任意のイデアルとする．
今，f(≠0)∈Jでn=deg fが最小であるものを取り，a=LC(f)∈A（主係数）とおく．
(1) a∈A^*のとき，J=fB.
(2) a∈pAのとき，（必要ならばfにB^*=A^*の元を掛けて）a=pとしてよい．
このとき，qf∈J, deg qf<nより，qf=0だから，モニックなf'∈Bが存在してf=pf'.
さらに，モニックなg∈Jでm=deg gが最小であるものを取る．
[主張1] ∀h∈Jに対して，deg h<m ⇒ h∈fB.
∵) ∃h∈J, d=deg h<m, h/∈fBと仮定し，dが最小のものを取る．
b=LC(h)/∈pAと仮定すると，up+vb=1 (∃u, v∈\Z)より，
k=uX^(d-n)*f+v*h∈Jとおくと，deg k=d<m, LC(k)=up+vb=1となり矛盾．
よって，b=b'p, h'=h-b'X^(d-n)*f∈Jとおくと，deg h'<dだから，h'∈fBよりh∈fBとなり矛盾．
[主張2] J=fB+gB.
∵) ∀h∈Jに対して，h=q'g+r (q',r∈B), deg r<mとすると，r∈Jより，r∈fBだから，h∈fB+gB.
[主張3] J=(f+qg)B.
∵) J'=(f+qg)Bとおく．J'⊂Jは明らか．
一方，up+vq=1 (∃u, v∈\Z)より，J'∋up(f+qg)=up^2*f'=pf'=f, qg=(f+qg)-f∈J'.
このとき，h=uX^(m-n)*f+v*qg∈J'⊂Jとおくと，deg h=m, LC(h)=up+vq=1.
よって，k=g-h∈Jとおくと，deg k<mより，k∈fB⊂J'だから，g=h+k∈J'.
(3) a∈qAのときも同様．
以上より，Bは単項イデアル環．
- 225 名前：219 mailto:sage [03/05/27 07:05]
- [訂正]
>さらに，モニックなg∈Jでm=deg gが最小であるものを取る．
∀h∈Jに対してLC(h)∈pAならば，J=fB.
∃h∈J, LC(h)/∈pAのとき，∃g∈J, LC(g)=1だから，m=deg gが最小であるものを取る．
- 226 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/05/27 09:18]
- 単項イデアル環の直積は単項イデアル環
- 227 名前：219 mailto:sage [03/05/27 21:17]
- pが素数のとき，A=\Z/(p^2)はArtin単項イデアル環だが，A[X]は単項イデアル環ではない．
- 228 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/05/27 22:29]
- それで？
- 229 名前：山崎渉 mailto:（＾＾） [03/05/28 14:37]
- ∧＿∧
ﾋﾟｭ.ｰ ( ＾＾ ） ＜これからも僕を応援して下さいね（＾＾）。
＝〔~∪￣￣〕
＝ ◎――◎ 山崎渉
- 230 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/05/29 00:51]
- すごく初歩的な質問をさせてください。
有利整数環 Z に対して、 Q は Z の商体である、という理解でよろしいでしょうか?
さらに初歩的なこととして、Z は Q の部分環である。
- 231 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/05/29 08:25]
- >>230
それでよいです
- 232 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/01 22:54]
- 有限整域はどんな整域ですか？
- 233 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/02 01:51]
- >>232
体
- 234 名前：１３２人目の素数さん [03/06/02 02:52]
- >>233
んなこたぁない
- 235 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/02 05:18]
- >>234
んなこたぁない
- 236 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/02 16:50]
- >>233
特に説明もなく「有限整域」という言葉が出てきたので、どんな整域なのかと思ったのですが。
- 237 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/02 17:26]
- >>236
その位数が有限である整域。
- 238 名前：１３２人目の素数さん [03/06/03 00:32]
- 有限整域ならば体
ってことは、有限体なら可換？
- 239 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/03 00:34]
- 整域は可換だろ。
- 240 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/03 00:36]
- >>238
可換ですが何か？
- 241 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/03 02:25]
- >>238
前スレにも同じ話題が…
ウェダバーンの補題だっけ？うろおぼえ
- 242 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/03 04:47]
- >>238
有限斜体は可換体となるってやつか､円分多項式を使ったヴィットの証明が有名だね。
ところで、自由群ってどういう定義をされるものなんでしょう？
群Gが与えられたときにGが自由群であるというのはどういうことかね？
- 243 名前：１３２人目の素数さん [03/06/03 06:18]
- >>242
んなもん本読ぬで自分で調べられるだろーが
- 244 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/03 06:47]
- 板の死
- 245 名前：１３２人目の素数さん [03/06/03 19:37]
- すれ違いかもしれませんが、共立講座の佐武線形はいい本ですか？
- 246 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/03 20:44]
- >>242
relation が free.
- 247 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/08 03:35]
- (既約な)代数多様体Vで特異点のcodimensionが１の例を教えていただけますか？
dim(V) = １ のときは Ｖ(ｙ^２−ｘ^３−ｘ^２) があるんだけど
もう少し高次元の例を教えていただけると助かります。
- 248 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/10 00:54]
- >>247
ホイットニー傘ってのがなかったっけ？
はずしてたらｽﾏｿ
- 249 名前：１３２人目の素数さん [03/06/10 02:03]
- 皿上げ
- 250 名前：１３２人目の素数さん [03/06/10 05:14]
- 釜揚げ
- 251 名前：247 [03/06/13 21:33]
- >>248
ありがとうございます。
あとは自分で調べます。
- 252 名前：247 [03/06/18 08:54]
- V( X_1*(X_2)^2 - X_(n+2) ,...., X_1*(X_n)^2 - (X_2n) ) だね、
確かに>>247の例になってる。
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