- 853 名前：１３２人目の素数さん [03/11/24 13:44]
- 定義
f: X → Y をスキームの射とする。
f が全射かつ平坦なとき、忠実平坦な射という。
補題
X = Spec(A), Y = Spec(B) をアフィンスキームとし、
f: Y → X をスキームの射とする。
f が忠実平坦なことと B が A上忠実平坦なことは同値である。
証明
B が A上忠実平坦とする。
p を A の素イデアルとする。k(p) = A_p/pA_p とおく。
B (x) k(p) は 0 でない(>>131)。
したがって、p のファイバー f^(-1)(p) = Spec(B (x) k(p)) は
空でない。故に、f は全射である。補題より、f は平坦だから
忠実平坦である。
逆に、f が 忠実平坦とする。
補題より、B は A上平坦である。
p を A の素イデアルとする。
f は全射だから、p のファイバー f^(-1)(p) = Spec(B (x) k(p)) は
空でない。故に、B (x) k(p) は 0 でない。
よって、B は A上忠実平坦である(>>131)。
