- 1 名前：前スレ892 [01/11/04 11:08]
- ・数学的知識よりも発想の転換やひらめきが必要な問題
・見た目に面白い問題
・解法に目から鱗が落ちるような問題
をお願いします。
【前スレ】
面白い問題教えて
cheese.2ch.net/test/read.cgi/math/970737952/
- 256 名前：１３２人目の素数さん [02/01/28 23:11]
- >>251
解けるのコレ？
もう６時間は考えたんだが……\
- 257 名前：１３２人目の素数さん mailto:60度?β-αが60度になったけど三角形ではなくなった… [02/01/29 02:04]
- >>251
できた。
つうかこれ不可能図形ではないか？
- 258 名前：１３２人目の素数さん [02/01/29 09:26]
- >>257
答えは120度だろ？
右下が120度の場合は、左下を何度に設定しても、
必ずβ－α＝６０度になるぞ。図を書いて確認した。
問題は、なんでそうなるのかが証明できないことだ。
- 259 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [02/01/29 11:33]
- ああああああもおおおおGENGENわからん
- 260 名前：１３２人目の素数さん [02/01/29 22:34]
- >>>256
僕なんか昨日暇だったので一日中考えてましたよ。
ぜんぜん分からない。
もぉだれか教えて。＞β-α=60°
- 261 名前：はなう ◆hanauAiU mailto:sage [02/01/30 00:16]
- >>257さんに一票。わしもそう思いますじゃ。照明はめんど。
- 262 名前：はなう ◆hanauAiU [02/01/30 00:18]
- うん、証明もできそう。
- 263 名前：260 [02/01/30 01:05]
- ・・＝60°、・＝x°として全部の角をxで表してみようとしたのですが、
α、βとその隣の角の４つの角だけどうしても出ません…
- 264 名前：はなう ◆hanauAiU [02/01/30 01:26]
- >>263
そりゃそうですの。だって三角形じゃ・・・（藁
- 265 名前：260 mailto:sage [02/01/30 01:44]
- そろそろ人少ないころ…
ヒント下さい…>>263
- 266 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [02/01/30 02:14]
- >>257>>261
不可能図形になるのは左下が60ﾟ以上じゃないかな？
(左下,右下)=(40ﾟ,120ﾟ),(20ﾟ,120ﾟ)などで試してみれ。
- 267 名前：266 mailto:sage [02/01/30 02:30]
- ↓のように内心を考えて一般化できそう
www.mitene.or.jp/~tomo-s/seikaku/010.html
- 268 名前：266 mailto:sage [02/01/30 03:29]
- 叩き台に図を書いてみた。
mizuki.sakura.ne.jp/~nagch/upb/file/fig.png
∠ABE=∠CBE=a
∠ACD=∠BCD=b
Fは△BCDの内心
0ﾟ＜a＜b
(a+b)＜90ﾟ
>>267を参考にしてb=60ﾟ⇒∠AED-∠ADE=(β-α)=60ﾟは容易。
肝心の逆はどうだろう？寝る。
- 269 名前：260 mailto:sage [02/01/30 09:35]
- >>268
おはようございます。
内心のアイデアでぐっと進歩しました。
しかし本題の「逆」は朝まで考えましたが分かりませんでした。
ええ。分かりませんでしたとも。俺も寝とけばよかった…
- 270 名前：１３２人目の素数さん [02/01/30 17:01]
- >>251だが、壮絶なる計算により120°になることが証明できた模様。
但し、あまりにも壮絶な式変形をやってたので、只今整理中。（藁
しばし待たれい。
- 271 名前：270 [02/01/30 21:08]
- △ABCで∠Bの２等分線とACの交点をD、∠Cの２等分線とABの交点をEとし
∠AED＝α、∠ADE＝β、β－α＝60°
以下、BCの長さを1とおく。
Cを原点とし、B(-1,0)、A(X,Y)（Y＞0）となるように座標系を取る。
最終目標はX,Yの関係式を導くこと。
AC＝b, AB＝c, AE＝d, AD＝e, DE＝fとおく。
b＝√(X^2+Y^2)
c＝√((X+1)^2+Y^2)
∴ X^2+Y^2＝b^2
X＝(c^2-b^2-1)/2
AD：DC＝AB：BCより
e＝bc/(c+1)
D( X/(c+1), Y/(c+1) )
AE：EB＝AC：BCより
d＝bc/(b+1)
E( (X+1)/(b+1)-1, Y/(b+1) )
ここで、β＞αよりd＞e
∴ b＜c
余弦定理より
cosα＝(d^2+f^2-e^2)/(2df)
cosβ＝(e^2+f^2-d^2)/(2ef)
(sinα)^2＝1-(cosα)^2
＝(2(e^2*f^2+f^2*d^2+d^2+e^2)-(d^4+e^4+f^4))/(4*f^2*d^2)
(sinβ)^2＝1-(cosβ)^2
＝(2(e^2*f^2+f^2*d^2+d^2+e^2)-(d^4+e^4+f^4))/(4*e^2*f^2)
sinα*sinβ＝√((sinα)^2*(sinβ)^2)
＝(2(e^2*f^2+f^2*d^2+d^2+e^2)-(d^4+e^4+f^4))/(4de*f^2)
cos(β-α)＝cosα*cosβ+sinα*sinβ
＝((d^2+e^2)*f^2-(d^2-e^2)^2)/(2de*f^2)
（続く）
- 272 名前：270 [02/01/30 21:10]
- >>271の続き
β-α＝60°よりcos(β-α)＝1/2
∴ ((d^2+e^2)*f^2-(d^2-e^2)^2)/(2de*f^2)＝1/2
(d^2-de+e^2)*f^2＝(d^2-e^2)^2
d^2-de+e^2＝b^2*c^2*(b^2-bc+c^2+b+c+1)/((b+1)^2*(c+1)^2)
d^2-e^2＝b^2*c^2*(c-b)(b+c+2)/((b+1)^2*(c+1)^2)
D,Eの座標より
f^2＝(X/(c+1)-(X+1)/(b+1)+1)^2+(Y/(b+1)-Y/(c+1))^2
＝((c-b)^2*(X^2+Y^2)-2b(c+1)(c-b)X+b^2*(c+1)^2)/((b+1)^2*(c+1)^2)
＝((c-b)^2*b^2-b(c+1)(c-b)(c^2-b^2-1)+b^2*(c+1)^2)/((b+1)^2*(c+1)^2)
＝b*((c-b)^2*b-(c+1)(c-b)(c^2-b^2-1)+b*(c+1)^2)/((b+1)^2*(c+1)^2)
代入して整理すると
(b^2-bc+c^2+b+c+1)*((c-b)^2*b-(c+1)(c-b)(c^2-b^2-1)+b*(c+1)^2)
＝b*c^2*(c-b)^2*(b+c+2)^2
-c(b+1)(c+1)(b^4-2b^2*c^2+c^4+b^3-b^2*c-b*c^2+c^3-bc-b-c-1)＝0
b^4-2b^2*c^2+c^4+b^3-b^2*c-b*c^2+c^3-bc-b-c-1＝0
(c^2-b^2)^2+(c-b)(c^2-b^2)-(b+1)(c+1)＝0
(c^2-b^2-b-1)(c^2-b^2+c+1)＝0
c^2-b^2＝2X+1を代入すると
(2X-b)(2X+c+1)＝0
∴X＝b/2またはX＝-(c+1)/2
ここで、c＞bより、点Aのx座標はBCの中点より大きいのでX＞1/2
よって、X≠-(c+1)/2となり、
X＝b/2が言える。
b＝√(X^2+Y^2)より
4X^2＝X^2+Y^2
Y^2＝3X^2
X＝b/2＞0、Y＞0より
Y＝√3X
これは、とりもなおさず∠ACB＝120°を意味する。
- 273 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [02/01/30 21:31]
- >>270-272
good job
- 274 名前：１３２人目の素数さん [02/01/30 22:26]
- ( ﾟдﾟ)ﾎﾟｶｰﾝ
- 275 名前：１３２人目の素数さん [02/01/30 22:41]
- マジかよっ！！
- 276 名前：270 mailto:sage [02/01/30 23:21]
- あ、タイプミス発見
最後から９行目あたり
X＞1/2じゃなくてX＞-1/2ね。
- 277 名前： [02/01/31 00:10]
- >>234
今更ですまんが、期待値の計算間違ってるぞ！
期待値＝
{(1/2*(2-10万)}+{(1/4*(4-10万)}+{(1/8*(8-10万)｝+……
+｛1/131072*（131072-100000)}+｛1/262144*（262144-100000)}+……
↑この項から値がプラスになる！！
＝？
計算は任せる
- 278 名前：260 mailto:sage [02/01/31 00:31]
- ううわあああぁぁ………ぁぁあああぁぁぁ…。．．
すごいねこれ。お疲れさまです。>>271
今から読み始む。
- 279 名前： [02/01/31 00:33]
- >>277
期待値＝
{(1/2)*(2-10万)}+{(1/4)*(4-10万)}+{(1/8)*(8-10万)｝+……
+｛(1/131072)*（131072-100000)}+｛(1/262144)*（262144-100000)}+……
=-49999-24999-12499+……+0.237060547+0.618530273+0.809265137+……
この級数は、17項目からは正になり、かつ値は単調増加なので、やがては
部分級数の和が正になり、さらに行くと無限大に発散する。
結論
期待値は無限大。よって、10万円では得する！！
ちなみに、掛け金は任意の代金でも期待値は無限大になるので、
主催者は必ず損をする！！
あってる？
- 280 名前：260 mailto:sage [02/01/31 00:41]
- 読みました。ここまでいくともう官能小説ですね（謎）
全て直交座標に変換して解く…
- 281 名前： mailto:sage [02/01/31 02:37]
- コインの出方 確率 期待値
２円もらえる時 ○● 1/4 1/2
４円もらえる時 ○○● 1/8 1/2
８円もらえる時 ○○○● 1/16 1/2
・・・
・・・
ｎ円もらえる時 （○がｎ個）● 1/２の(n+1乗) 1/2
全部足すとやはり∞
- 282 名前：そろそろ種明かししてもいいよね？ mailto:sage [02/01/31 07:27]
- １６回連続で表が出た時、初めてプラスになって31070円の得。
１回だけチャレンジした時の勝つ確率は1/(2~15)かな？
何度もチャレンジすれば胴元を潰せるけど
勝てる確率50％を超えるには…さて、元手はいくら必要だろう？
- 283 名前：１３２人目の素数さん [02/01/31 08:03]
- >>282
え？これ勝てるの？無限に勝負すると負ける金額も無限になりそうな気が。
- 284 名前：１３２人目の素数さん [02/01/31 08:05]
- 逆に言うと掛け金はいくらなら均衡するのだろうか？
つーか、支払い金額の上限が無限である限り計算不能なの？
- 285 名前：270 mailto:sage [02/01/31 12:25]
- 結論には影響ないが、>>272にまた細かい間違い発見
根性のある人は探してみるべし
で、そろそろエレガントな解答もだれか．．．
「こんなの補助線一本でとけんだよ！」
って言って頂かないと、「官能小説」が完結しないので（藁
＃それとも、放置プレイか？
- 286 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [02/01/31 13:08]
- ところで>>232の問題って
「裏が出るまで何回もコインを投げる」というゲーム全体で１回と数えて
１回10万円とも読めるのだけど。
>>277さんや>>279さんの解釈は１回コイン投げる毎に10万円取られる
ってことですよね。
私の解釈では、１０万円しか持ってなくても一応期待値は∞。
もとの出題者の方は、どっちのつもりだったのでしょう？
- 287 名前：ネット屋 ◆.t4dJfuU [02/01/31 16:29]
- >>286 一勝負10万円です。
一勝負は、裏が出るまで。
1.10万支払う
2.コインを投げる
3.表だったら2.へ
4.裏だったら、2の（表が連続で出た回数）乗の金額がもらえる。ただし、0回は0円。
計算が面倒だったら、0回で1円あげてもよし（笑
ごめん、漏れ答え知らない（ｗ
- 288 名前： [02/01/31 18:23]
- >>286
277、279さんの解釈は正しいと思います。
期待値の各項とは、いってみれば場合わけであって、
１回目で裏が出た人はもらえる金額が（2-100000）円で、
これが起こる確立が1/2なのだから、その場合の期待値は（1/2）*（2-100000）
２回目で裏が出た人は同様に（1/4）*（4-100000）。
ここで大事なのは、1と2は両立できないということ。結果がそれぞれの場合に最終的に
100000を引くので、毎回100000円を引くわけではない。
- 289 名前：１３２人目の素数さん [02/01/31 21:15]
- 問題出してイイデスカー
2種類以上で有限個の種類のアルファベットがある。（a,b,cって感じで）
そしてそれらから生成される単語を並べていく。（acabとかbaとか）
ただし、後に出た単語からいくつかの文字を抜いて、前に出た単語と
同じになるような事が無いようにするってこと。
例）a,bの2つから出来る単語を並べる場合
aba,bbaa,aa,bbb,abbaと１つ並べた時、
５つ目の単語「abba」は１つ目の単語「aba」を含むからダメ。
abbab,abab,aab,abbba,bbaaは後に出た単語が前の単語を含んでいる
ような事が無いのでOK
この時いつまでも単語を並べていくような事は可能か？
- 290 名前：289 [02/01/31 21:18]
- 去年の5月くらいにこの問題についてのスレッドがあったような気がするんですよ。
そして250くらいのレスがついてたような気がしたのですよ。
しかし、当時も確か単発質問スレは削除される運命だった気がするし、
それに実際数学板の過去ログを全部見ても該当スレッドが無い…
自分の妄想が考え付くような問題じゃないんですけどねぇ…一体どうしてそんな記憶があるのやら
- 291 名前：289 mailto:sage [02/01/31 21:19]
- 289で
「するってこと」→「すること」
「aba,bbaa,aa,bbb,abbaと１つ並べた時」→「aba,bbaa,aa,bbb,abbaと５つ並べた時」
ですね。すいません
- 292 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [02/01/31 21:56]
- >>289
文字を無限に続けたものを単語と認めるなら可能
a…aとaをn個並べる
a…aとaを(n-1)個並べる
と続けると、n個の単語を作成できる
nを無限大にもっていけば、いくらでも単語を並べることが可能
- 293 名前：ネット屋 ◆.t4dJfuU [02/01/31 22:29]
- >>289
単純に考えると、ひとつひとつの「生成される単語」が有限であれば、
いつまでも続けることは不可能に思えるんだけど。
>>292 のおっしゃる通り、無限ならなんでもありだけど。
- 294 名前：289 mailto:sage [02/01/31 22:38]
- 少し丁寧に書いてみます。
自然数nからそれぞれ有限な単語Anへの写像で次の条件を満たす様なのは存在するか？
※任意のi,j（i<j∈N）に対してAjからどのように文字を取り出してもAiにならない。
ちなみにただ単純にAiがAjに含まれないようにするって条件だけなら問題は易しいのですよ…
aba,abba,abbba,abbbba,…ってのならどの単語も有限個だし前の単語が
後ろの単語に含まれてないし…
- 295 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [02/01/31 22:48]
- 一つ目の単語の長さをn,アルファベットの種類をmとすると、
長さ1～nまでの単語の総数は
m+m^2+m^3+…m^n 個
この時任意の長さ(n+1)の単語を作成すると、それまでに必ず同型な単語が存在する（だってそれまでに全部の種類の単語並べてるしね）
よって上界が存在するので、いくらでも続けることは不可能
- 296 名前：ネット屋 ◆.t4dJfuU [02/01/31 22:58]
- >>294 単語は有限なんですね？
すると、その上限の長さをNとするとき、Nから任意の文字を抜く操作に
よって生成される文字列もこれまた有限と。
長さN以下のある文字列mが現れた後、mから任意の文字を抜く操作に
よって生成される文字列が現れることが出来なくなることから、
単語はいくらでも並べることは出来ない、って結論になりはしないだろうか？
- 297 名前：１３２人目の素数さん [02/01/31 23:19]
- >>294
たしかにその問題はかなり前に議論されていましたよ。
その時は誰かが長い証明を書いていたような気もするし、解決してなかった
気もするし、よく覚えてないなあ。
>>295,296
単語の長さに上限があるとは言いきれない
（幾らでも長い単語を作れるかもしれない）ので、その説明は正しくない。
- 298 名前：ネット屋 ◆.t4dJfuU [02/01/31 23:23]
- >>297
「有限な単語Anへの」ってのは単語Anの長さが有限と言うことでは？
「単語の長さに上限があるとは言いきれない」と言うのは単語の
長さが有限であることまでを証明する必要があるってこと？
- 299 名前：１３２人目の素数さん [02/01/31 23:58]
- 要するに「いつまででも続けられる」ってことが重要なんでしょ。
最初に無限の長さの単語を持ってきてだんだん縮めていくのはダメ。
最初それなりの長さから始めてだんだん無限の長さに近づけてくのはアリ
ってことなんじゃないの？
- 300 名前：289 [02/01/31 23:59]
- >>295
どのように単語を並べたのか詳しく教えていただけないでしょうか？
>>296
なんか誤解を招いてしまったようです。もう少し補足させて下さい。
有限というのは、あくまで任意のnに対してn番目の単語の長さが有限で
あれば言いだけの事で、長さ自体に上限が存在しなくてもいいという事です。
aba,abba,abbba,abbbba,…ってのは条件を満たしませんけど、
この場合長さに上限はありませんしね。
ちなみにこの場合A1=aba、A2=abba、A3=abbba、A4=abbbbaとなっております。
>>297
良かった…やっぱり昔議論されてたんですね。この問題。
それにしても該当スレッドがないなんてどういうことなんでしょう…
- 301 名前：289 [02/01/31 23:59]
- >>299
そういうことです
- 302 名前：１３２人目の素数さん [02/02/01 00:09]
- >>298
一つ一つの単語が有限の長さであることと、長さに上限があることは別だと思う。
294の例を借りれば、
「aba,abba,abbba,abbbba,…ってのならどの単語も有限個だし前の単語が
後ろの単語に含まれてないし… 」
の説明で単語の長さは３、４、５、６・・・と増えていくでしょ。
もっともこの例は問題の条件をみてしてないけど。
- 303 名前：302 [02/02/01 00:13]
- 思いっきりかぶった（W
多分かなり前だったと思う。一年以上前かも。
だから過去ログにも残っていないだろう。
- 304 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [02/02/01 00:15]
- 初めの単語の長さをn,文字の種類をa1,a2,...,amのm個とする
長さnの単語の種類は以下のn^m通りである
a1,a1,...,a1
a1,a1,...,a2
.
.
.
am,am,...,am
また、どのような長さ(n+s)の単語も必ず、s文字を取り出したとき長さnの単語と同系になる
よって、n^m個しか表すことができない
- 305 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [02/02/01 00:33]
- >>304
長さn以下の単語をn^m個より多く出さなければいいのでは？
（長さn“以下”であるからn^m個よりもう少し少なくなるだろうけど）
ってことは後の方の単語になるにつれてどんどん長くなってくわけだけど
それでも可能かどうか…
- 306 名前：302 [02/02/01 00:33]
- >>304
だからさ、長さｎの単語の列を全てを並べてから、長さｎ＋ｓの長さ
の単語を並べる必要はないわけ。だからそういう論法は成り立たない。
この問題の本質は文字の種類は余り関係ないとおもう。
ａとｂの2文字しか使わない場合を証明できれば十分だろう。
- 307 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [02/02/01 00:36]
- 302また被ったー
- 308 名前：１３２人目の素数さん [02/02/01 00:37]
- >>294
もし可能だとすると、
アルファベットm種類では可能だが、m-1種類では不可能であるようなmが
存在する。
ここで、m種のアルファベットのうち特定のある１つを使用しない単語が
無限にあると仮定するなら、その単語だけ選んで単語列を作ると条件を
みたしてしまい、m-1種のアルファベットでは不可能であるということに
反するので矛盾。
したがって、m種のうちある一つを使用しない単語は有限個数しかないので、
これらをすべて単語列から除いても条件は成立する。
この操作をm回繰り返すことにより、全ての単語がm種のアルファベット全てを
使用している単語列が作れる。
以上より、この命題に
「全ての単語は、使用可能なアルファベットの全種類を含むものとする」
という条件を追加しても、その真偽はかわらない。
次に、n番目の単語がw(n)文字であったとすると、w(n)文字以下の単語は
有限個数しかないことから、単語列の無限性を損なわずに
n+1番目以降からw(n)文字以下の単語を取り除くことができる。
n＝1から順にこの操作を行うことにより、文字数が単調増加である
単語列を作ることができる。
したがって、この命題に
「n番目の単語の文字数をw(n)とすると、j＜k⇒w(j)＜w(k)」
という条件を追加しても、真偽は変わらない。
これで、少しは考えやすくなったかなあ．．．
- 309 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [02/02/01 00:37]
- ㈱祭
- 310 名前：302 mailto:sage [02/02/01 00:37]
- またもやかぶった（ｗ
- 311 名前：１３２人目の素数さん [02/02/01 00:40]
- ＞どのような長さ(n+s)の単語も必ず、s文字を取り出したとき長さnの単語と同系になる
＞よって、n^m個しか表すことができない
ｓ文字取り出したときの長さｎの単語がかぶることはあり得ますよ。
だからｎ＾ｍ個しか表すことができない、とは必ずしも言えない思う。
- 312 名前：３１１ [02/02/01 00:42]
- ゆっくり書いてたらかぶりまくってる（ｗ
- 313 名前：302 mailto:sage [02/02/01 00:58]
- 訂正
n^mではなくm^nっぽい
>>306
別に、順に並べると入っていない
文字数を増やせば増やすほど、より多く長さnの単語と同型になる
ここで、長さ(n+s)の単語を基準としても、今まででた同型の単語は並べられないので
一つの単語につき最大で(n+s)Cs通り少なくなる
だから、無限には繰り返せないってこと
ただ、あんまり自信はないので、試しに例挙げてみて
- 314 名前：１３２人目の素数さん [02/02/01 01:04]
- えーと313さんは本当は誰なのか、
そして一体誰にレスをしているのかもう一度書いて下さい
- 315 名前：308 [02/02/01 01:47]
- >>308
もう一つ。
m種のアルファベットで、最初の単語がn文字では可能だがn-1文字では
不可能であるようなnが存在する。
ここで、あるn-1文字の単語Aを考え、単語列中にAを含まない単語が無限に
存在すると仮定すると、Aを先頭に、以降このAを含まない単語を選んで
並べることにより、先頭がn-1文字の条件を満たす単語列ができることになり
矛盾。
従って、Aが含まれない単語は単語列中に有限個数しかないので、
単語列の無限性を損なわずにこれらを全て列から除くことができる。
n-1文字の単語は有限個数しかないので、全てのn-1文字の単語について
同様の処理を行うことにより、２単語目以降はn-1文字の全てのパターンを
含む単語にすることができる。
従って、次の条件を追加しても命題の真偽は一緒。
「最初の単語の文字数をnとすると、２番目以降の単語は、
全てのn-1文字のパターン（m^(n-1)種ある）を1単語中に含む
ものとする。」
- 316 名前：314 mailto:sage [02/02/01 01:55]
- 313=315ですか？わざとやってるんですかそれ…しまいには泣きますよｳﾜｰﾝ
- 317 名前：302 mailto:sage [02/02/01 01:56]
- 313の書きこみは304さんのことでしょう。
313の説明であっているような気がする。
う～ん、こんなに簡単に解決できるはずはないんだが。
前にあった問題は少し条件が違っていたのだろうか。
記憶がはっきりしない。
- 318 名前：１３２人目の素数さん [02/02/01 02:05]
- わからない問題スレに>>251を書き込んだ者だが……
直行座標系に設定すりゃ、そりゃ解けるわ。
そんなことしなくても、三角関数の加法定理等でもっとすっきり解ける。
が、しかし、この問題は初等幾何で解くべし。
補助線を使えば解けるぞ。
ま、悩め。
- 319 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [02/02/01 02:08]
- >>318
あんたが答え書くの待つ。ｯﾀﾘｰ
- 320 名前：318 mailto:sage [02/02/01 02:15]
- 俺は結局初等幾何では解けなかった。１２時間ほど格闘した。
気分転換で正弦定理使って解いたら結構あっさり解けたけど。
多分解ける小学生がいるんだと思うと
なんか切なくなってくるよな。
でさ、答えさらしていいの？頑張ってる人いるよな、多分。
- 321 名前：308 [02/02/01 02:34]
- >>316
313=315じゃないよ。
308=315=俺。（名前のとこよくみてね。）
で、>>308にも書いたが、文字数単調増加の条件を加えても問題の本質は
変わらないので、同じ文字数の単語は１回しか出現しないという条件で
考えた方が、変な方向で勘違いしなくてすむと思う。
（つまり、>>313は、成立しないかと。）
極端な話、n番目の単語の文字数w(n)が、
w(n+1)＝w(n)^w(n)（藁・あくまで例ね）なんてとんでもない
増え方をする数列であっても、w(n)の各項は有限な値を取ると言えるわけで。
- 322 名前：Prof.Akiyama [02/02/01 03:01]
- >318
むずいな～(￣□￣;)
答えキボ～ン
- 323 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [02/02/01 17:34]
- >322
あなたはもしやあの有名な数学者秋山仁JinAkiyama，
ご本人様でいらっしゃいますか？
- 324 名前：１３２人目の素数さん [02/02/01 23:21]
- 誰か文字列の奴の答え分かんない？
- 325 名前：１３２人目の素数さん [02/02/01 23:38]
- >>324
漏れは308に激しく同意
- 326 名前：302 [02/02/01 23:45]
- では、実際に文字列を作っていきましょう。
Ａ，Ｂ，Ｃの３文字を使って、最初はＡＢＣからスタート。
では、だれか暇な人は、続きの文字列を書いていってください。
- 327 名前：１３２人目の素数さん [02/02/01 23:50]
- 次のように4桁の数字が8つある
6027
3813
4065
3099
5244
4056
2571
4632
仲間はずれはどれですか？
その理由を3つ書いてください。
- 328 名前：１３２人目の素数さん mailto:一番下の理由はネタ切れsage [02/02/02 00:13]
- 3099
理由
・23662455126555904113611520を割り切れない
・切符の下でよく作る、あのパズルで１０が作れない。
・ばらばらにして足したら１５じゃない。
まちがっちゃいねぇぞ。
- 329 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [02/02/02 00:18]
- >328
ﾜﾗﾀ
全部３の倍数の文字で構成されている、というのも付け加えてくんろ
- 330 名前：１３２人目の素数さん [02/02/02 00:21]
- ＞23662455126555904113611520を割り切れない
ﾜﾗﾀ
- 331 名前：１３２人目の素数さん [02/02/02 00:27]
- >>326
最初はaとbの２文字でやった方がいいと思う。
じゃあ俺から。
abab
- 332 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [02/02/02 00:27]
- 千の位と十の位の差が６以上ある、というのはどうだ？
- 333 名前：１３２人目の素数さん [02/02/02 00:29]
- >328
9+(9+3)^0=10
冪使うの反則だっけ？
まあ取り敢えず329の理由と入れ換えで。
- 334 名前：１３２人目の素数さん [02/02/02 00:31]
- >333
反則だろ、普通。logとか累乗とかは。
入れ替えるなら、「ばらばらにして～」というのと、332とを入れ替えて欲しい
- 335 名前：１３２人目の素数さん [02/02/02 00:34]
- >>328
最初の理由と２番目の理由をその短時間で思いついたことに、マジで感心する（藁
- 336 名前：308 [02/02/02 03:40]
- >>325
ただ、今のところまだできるともできないとも
言ってない（わかってない）ので．．．
簡単に「できない」とは言えないって言っただけで。（苦笑）
難しい問題だってことだけは、いやというほどわかった。
>>331
２種類じゃ無限に続けられないことは証明できる．．．のだけど、
一部その証明に感覚的には納得しづらいところがある。
（「無限に続けられる」という言葉の解釈の問題。）
最初がababの場合で考えると、２個目以降の単語は必ず
a...a, b...b, a...ab...b, b...ba...a, a...ab...ba...a, b...ba...ab...b, b...ba...ab...ba...a
の７種のどれかになるが、
a...a, b...bのパターンが、それぞれ有限回しか出現しえないのは明らか。
（１回出てきたら、あとは長さを短くしていくしかないもんね。）
で、他のパターンについてなんだけど
例えばb...ba...ab...ba...a（以降パターンＡと呼ぶ）で考えると、
パターンＡ中の同じ文字でできた４つのブロックそれぞれの文字数を
左から順にn(1),n(2),n(3),n(4)とすると、
最初に出現するパターンＡについて、n(k)＝n_0(k)（k＝1～4）
だったとすると、以降出現するパターンＡは
n(1)＜n_0(1)またはn(2)＜n_0(2)またはn(3)＜n_0(3)またはn(4)＜n_0(4)
でないといけない。
このうち、n(1)がn_0(1)より小さいある値NであるようなパターンＡが
有限個数しか存在しえないことが言えれば、n(1)＜n_0(1)の任意の値
であるようなパターンＡも有限個数しかないことが言え、
n(k)（k＝1～4）について同様の議論を繰り返すことにより、
パターンＡ全体が有限個数になる。
で、「n(1)がn_0(1)より小さいある値NであるようなパターンＡが
有限個数しか存在しえないこと」の証明だが、
n(1)＝NであるようなパターンＡ（以降パターンＡ_Nと呼ぶ）
が最初に出現したとき、n(k)＝N_0(k)（k＝2～4）だったとすると、
以降出現するパターンＡ_Nは
n(2)＜N_0(2)またはn(3)＜N_0(3)またはn(4)＜N_0(4)
でないといけない。
このうち、n(2)がN_0(2)より小さいある値NであるようなパターンＡ_Nが
有限個数しか存在しえないことが言えれば、n(2)＜N_0(2)の任意の値
であるようなパターンＡ_Nも有限個数しかないことが言え、
n(k)（k＝2～4）について同様の議論を繰り返すことにより、
パターンＡ_N全体が有限個数になる。
・・・
賢明な読者の方ならこのあとの流れはわかると思うので、ここでやめておくが、
「最初がababの場合」についてはこの調子で証明は書き下せるし、
一般の場合については、最初の単語がどんなものであっても、
２単語目以降は、同じ文字の並びを１ブロックとした時のブロック数が
必ずある数以下になることから、その可能なブロックの並びそれぞれに
ついて出現する数が有限であることが、あらゆるパターンについて
言えることを数学的帰納法で証明すればよい。
- 337 名前：308 [02/02/02 03:44]
- >>336の続き
感覚的に納得いかないのは、例えばb...ba...ab...ba...aのパターンを並べる場合、
最初にbbbaaabbbaaaなんてのを持ってきたとしても、
次にbba...(１億個)...ab...(１億個)...ba..(１億個)...aとかやってしまうと、
いきなり未来がひらけてしまい、その遥か未来にようやく最初のbが2個の
パターンが尽きたと思ったら、ba...(１兆個)...ab...(１兆個)...ba..(１兆個)...a
とやってしまえば、またまた未来がひらける。
つまり、有限回数で終ると言われても、初期の段階では可能な最大回数が
全く決まっていないこと、さらに悪いことには、いつになったらその
最大回数がはっきりするかすら決まっていないところが、感覚的に
納得できない理由。
そこでちょっとみなさんに質問なのだけど、このゲームが
「無限に続けられる」ってのは、数学的にどう表現すればいいんでしょう？
たとえば、数列a(n)が無限大に発散する、であれば、
「任意の実数xについて、
n＞n_0であればa(n)＞xであるようなn_0が存在する
ということが言える」
というのが厳密な表現でしょ。
- 338 名前：308 [02/02/02 04:20]
- >>337
しまった、
》このゲームが「無限に続けられる」ってのは、
》数学的にどう表現すればいいんでしょう？
なんて書いてしまったが、
「『この単語列が無限に続く』というのは」ってことです。
たとえば、
「任意の自然数nについて、n個以上の単語列を作ることができる」
であれば、当然成立するし、
「ある単語Ａが存在し、任意の自然数nについてＡから始まるn個以上の
単語列を作ることができる」
であっても成立してしまいます。
実は、
「任意の単語Ａと任意の自然数nについてＡから始まるn個以上の
単語列を作ることができる」
ですら、成立しちゃいます。
（最初が１文字の「a」であっても、２個目にbをたくさん並べれば
いいのですから。）
文字２種類では不可能だと証明できた、と思っても、
なんだか被疑者不定で起訴してるみたいでヤだ（藁
この証明が妥当であるような、問題の厳密な定義をだれか下さい。
ちなみに、この「２種類では不可能」という証明の考え方は
３種類以上には拡張できません。（言うまでもないか。）
「文字がaでない⇔文字がbである」という事実が、最初の
パターンの限定のところで使われるので。
- 339 名前：308 mailto:sage [02/02/02 07:44]
- >>338（自己レス）
よくみたら、
>>294に書いてあるような問題の定義のしかた（「自然数から単語への
写像で条件を満たすものは存在するか」）で
全然問題なかったいですね。（ハズカシー）
なんだか勝手に頭の中で「無限に並べられる」という言葉が回ってて
混乱してました。
それで．．．
２種類のときの証明から思いついたのは
同じ文字の連続を１グループとみなしたときのグループ数がある値以下の
ものは有限個数しか並べられないことから、このグループ数も単調増加という
条件をつけてしまっても問題としてはよさそうですね。
というわけで、2種類ではダメというのがわかったので
>>308と>>315と上の条件を採用した上で
こっちを攻めてみる。
>>326
ABCから出発して、全ての単語が
A→B,B→A,A→C,C→A,B→C,C→Bの６通りの位置関係を含むようにする。
以下XYZがABCと1対1対応するものとすると、
必ずX～Y～Z～Y～X、X～Z～Y～X～Z、X～Y～Z～X～Y～Zの
いずれかの形となる。（～の部分はなんでも入る）
ABCを含まないという条件も考えると
B～A～C～A～B、B～C～A～C～B、
B～A～C～B～A、C～B～A～C～B、
C～B～A～C～B～A の５通りのいずれかとなる。
さらに詳しく、同一文字グループの並び（小文字で書く）を調べると
(bとcを交互に0個以上)b(aとcを交互に3つ以上)b(aとbを交互に0個以上)
(bとcを交互に0個以上)cbacb(aとbを交互に0個以上)
(bとcを交互に0個以上)bacba(aとbを交互に0個以上)
のいずれかとなる。
．．．う、ここから考えが進まないので、一旦投稿。
- 340 名前：１３２人目の素数さん [02/02/02 19:31]
- なんか分かりにくいからこれから先は
単独の文字→小文字
同一文字のグループ→大文字（いくつ並んでるか示す必要があるならそれは括弧内に示す）
ってことにしようぜ。
例１：Ａ（５）Ｂ（３）Ｃ（４）Ａ（２）＝ａａａａａｂｂｂｃｃｃｃａａ
例２：ＡＢＢＡなんてパターンは存在しなく、これはＡＢＡと書く。
で、いま分かったのは、この大文字の数（例１では４）が単調増加してくってことだな。
う～ん、もうすぐ解けそうだ♪
- 341 名前：１３２人目の素数さん [02/02/03 00:34]
- 基礎論で恐縮ですが私が昔悩んだ問題
まず、Ｎ＝{0、1、2、3、、、}の部分集合全体は加算無限ではないという証明の復習から
ｆ：Ｎ→Ｐ（Ｎ） 全射 とする。
Ａ＝{ｎ∈Ｎ：ｎ∈ｆ(n)ではない}∈Ｐ（Ｎ） だから、あるｍに対してＡ＝ｆ(ｍ)
あ）ｍ∈Ａ ⇒ ｍ∈ｆ(ｍ)ではない ⇒ ｍ∈Ａではない
い）ｍ∈Ａではない ⇒ ｍ∈ｆ(ｍ) ⇒ ｍ∈Ａ
で矛盾となるので、ｆ：Ｎ→Ｐ（Ｎ） 全射 とすることはできない。
どれで、Ｐ（Ｎ）はＮの部分集合全体ということだけど、部分集合といっても具体的に表記できるものと出来ないものがある。
つまり,有限集合は元を書き出せば言いから表記できる。あと、素数全体とか偶数全体、なども有限個の論理記号を並べることで表記できる。
実はこうやって表記できるのは、有限この記号を有限個並べるだけだから、可算無限しかない。
で、いま「部分集合」というのはこう言う具合に、有限個の論理記号の列で表記できるものに限定するとする。
その場合でも上の証明は何の変更もされない。つまり、Ｎから「部分集合」全体の集合への全射は存在しない。
「部分集合」全体の集合は可算個しかないにもかかわらず！？
これはどうしてでしょうか。
- 342 名前：>341 mailto:sage [02/02/03 01:02]
- >>1より引用
・数学的知識よりも発想の転換やひらめきが必要な問題
・見た目に面白い問題
・解法に目から鱗が落ちるような問題
をお願いします。
- 343 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [02/02/03 02:12]
- >>341
cheese.2ch.net/test/read.cgi/math/970523340/
こっちで振ればいいんじゃないでしょうか？
- 344 名前：１３２人目の素数さん [02/02/03 02:38]
- 半径１の球を分解してもう一度もう一度組み直して半径２の球を作れることを証明せよ。
- 345 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [02/02/03 03:18]
- >>1より引用
・数学的知識よりも発想の転換やひらめきが必要な問題
・見た目に面白い問題
・解法に目から鱗が落ちるような問題
をお願いします。
- 346 名前：１３２人目の素数さん [02/02/03 13:34]
- ＞半径１の球を分解してもう一度もう一度組み直して半径２の球を作れることを証明せよ。
不可能（∵体積が違う）
- 347 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [02/02/03 15:16]
- >>344
cheese.2ch.net/test/read.cgi/math/1009466261/
このスレでネタを完結させてから来て下さい。
- 348 名前：１３２人目の素数さん [02/02/03 15:24]
- age
- 349 名前：１３２人目の素数さん [02/02/03 16:32]
- 私より賢い方どうかお願いします。
トランプをもとにバートンが押すべき電子ロックのボタン
のパターンを下記の選択肢から選んでお答えください。
www.adventurespace.net/joker2.html
- 350 名前：１３２人目の素数さん [02/02/04 17:38]
- 誰か>>289の文字列の奴分かった？
- 351 名前：１３２人目の素数さん [02/02/04 21:52]
- >>350
わかんにゃい（涙
a..b..a..b..a..等の繰り返しの数かとも思ったんだが全然違うようだし・・・
- 352 名前：341 [02/02/04 22:26]
- >>343
そう思ったんだけど議論の流れからちょっと唐突過ぎると思った次第。
cheese.2ch.net/test/read.cgi/math/995535913/l50
だとまたややこしくなりそうだし、消去法でここに書いたけど忘れてください
>>344
選択公理があれば可能、と聞いたが
- 353 名前：１３２人目の素数さん [02/02/04 22:50]
- >>341
「有限この記号を有限個並べるだけだから、可算無限しかない」
このことの根拠は？ｷｿ論はよく知らないけど自明なのか？
また、部分集合P(N)をこのように限定した時も、
A∈P(N)はいえるのか？そこが疑問。
- 354 名前：341 [02/02/04 23:23]
- >>353
＞また、部分集合P(N)をこのように限定した時も、
＞A∈P(N)はいえるのか？そこが疑問。
これはｆ：Ｎ→Ｐ(N) の存在を仮定しての議論だから構わないと思います。
＞「有限この記号を有限個並べるだけだから、可算無限しかない」
＞このことの根拠は？
これがおっしゃる通り間違いです。仮に有限個の記号が４つあってこれを有限個並べたものに番号を振ることを考えてみる。
４つの記号に１、２、３、４とでも数次を対応させれば、ｎ個の記号を並べたらｎ桁の自然数が対応するので
これらを小さい順に並べれば確かに自然数と一対一の対応が出来る。
しかし、このような対応関係を最初に与えられた有限個の記号を有限個並べて表記することは出来ない。
つまり部分集合を制限することで、写像も制限される、つまり、ＡからＢへの写像はＡとＢの直積集合の部分集合だから、部分集合の制限は写像も制限することになる。
- 355 名前：通りすがりオヤジ [02/02/05 00:40]
- >>289
可能。
単語を作る時、前に出た単語を含んじゃ駄目なら、一番長い単語から考えてみる。
例：a,bの場合。（説明する為に、まず「10文字まで」にします）
abbbbbbbb
aabbbbbb
aaabbbb
aaaabb
aaaab
（他にaaaaab,aaaaaab,aaaaaaab…もある）
上は同じものを含んでいません。
そして、文字を無限に繋げられるのなら、最初の単語のbの数
abbbbbbbbを無限に増やせる（abbb……b）ので、
無限に単語を作ることが可能。
後はこの法則を、短い方から並べ直せばいい。
チラッと見てなんですが、設問に適した答えになってるか不安。
（間違ってたらｽﾏｿ）
- 356 名前：通りすがりオヤジ [02/02/05 00:46]
- >>355
ミスった。
「例」の上から５つ目
aaaab
は無しにして。
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