- 1 名前：前スレ892 [01/11/04 11:08]
- ・数学的知識よりも発想の転換やひらめきが必要な問題
・見た目に面白い問題
・解法に目から鱗が落ちるような問題
をお願いします。
【前スレ】
面白い問題教えて
cheese.2ch.net/test/read.cgi/math/970737952/
- 2 名前：1 [01/11/04 11:11]
- いつの間にか前スレがキリ番ゲッターに埋められてしまってたので
新スレ立てました。
- 3 名前：１３２人目の素数さん [01/11/04 12:58]
- ２の50乗の簡単な解き方は，対象外？
解法があったら，鱗から目が落ちるかも．
- 4 名前：1 [01/11/04 15:22]
- >>3
2^50に解法はありません。
- 5 名前：小火の消火活動 [01/11/04 15:45]
- 説明が足りなくてｽﾏﾘ．ジョークなんです．
この問題？でもめてるスレがあって，それが元ネタです．忘れてください．
危なく，大火事になるところでした．
- 6 名前：1 [01/11/04 16:09]
- >>5
知ってました（ｗ
- 7 名前：蚊系 [01/11/04 16:22]
- ／￣￣￣￣￣＼
/ ＼
/ ( ● |
| | ● ） ￣ ｜ | ／￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
| ｜￣ ｜ |＿/ ＜ 俺のシッポが，白いことを証明せよ！ 多分．
＼/ ／ ＿/ ｜ ＼＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
|＿●￣ | /
｜/￣｜/
＼＿/
- 8 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [01/11/04 20:05]
- >>7
尾も白くない
- 9 名前：KARL ◆gjHKPQSQ [01/11/04 20:39]
- 数列
10001,100010001,1000100010001,10001000100010001,...
には素数が含まれないことを証明せよ。
- 10 名前：１３２人目の素数さん [01/11/04 20:56]
- >>9
それって簡単なのか？ぱっと見解ける気がしない。
10001=137*73だろ？
すでにやばい気配がただよってるが。
- 11 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [01/11/04 21:23]
- >>9
ばっと見で
a(2n-1)はa(n)の倍数
a(3n-1)は3の倍数
- 12 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [01/11/04 21:25]
- ば？
- 13 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [01/11/04 21:27]
- a(2n+1)だった
- 14 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [01/11/04 21:31]
- >>9
やっと分かった。等比数列の和の公式をに当てはめて、
式をにらめば簡単。
- 15 名前：１３２人目の素数さん [01/11/04 21:55]
- >>14
分からん。
- 16 名前：蚊系 [01/11/04 22:01]
- 卵を電子レンジに入れて，チンすれば，爆発する．
∴ 10001,100010001,1000100010001,10001000100010001,... には素数が含まれない．
異常，証明終わり，多分．
- 17 名前：１３２人目の素数さん [01/11/05 00:34]
- >>9
検索すれば答えが見つかる（ｗ
- 18 名前：１３２人目の素数さん [01/11/05 02:28]
- なんか１～４０ｇまでを測るには何個の重りがひつよかってあったよね。
あれこたえなんなの？
７ｇだったら１ｇ２ｇ４ｇね。
- 19 名前：名無し [01/11/05 02:31]
- >>16
ちょっとﾜﾗﾀ
ってか，『第2版』という言い方が数学板らしい
- 20 名前：KARL ◆gjHKPQSQ [01/11/05 02:48]
- fを正の整数を正の整数へ写す関数とする。
f(n+1)>f(n) かつ f(f(n))=3n がすべての正の整数について成り立つとするとき
f(1992)を求めよ。
- 21 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [01/11/05 03:30]
- >>20
ｆ（１９９２）＝３７８９。
- 22 名前：１３２人目の素数さん [01/11/05 03:58]
- >>18
ドライアイスを電子レンジに入れてチンしても融けない。
だから俺には解けない。スマソ。
- 23 名前：１３２人目の素数さん [01/11/05 04:02]
- >>20
俺の聞いた問題ではf(2001)だったな。
f(f(n))=3n
の両辺にもう一回fをかけて
3f(n)=f(3n)
とすれば書き出しは楽になる
f(1)=1とすると矛盾 f(1)>2としても矛盾
よってf(1)=2
であとは書き出すしか思いつかなかったが。
共にf(3n)の形の値が聞かれてるのには意味があるのか？
- 24 名前：1 [01/11/05 14:31]
- >>18
天秤秤を使うとして、1,3,9,27の4つかな？
1と3で1～4まではできる、
5～8は9から上記1～4を引けばOK
10～13は9に上記1～4を足せばOK
14～26は27から上記1～13を引けばOK
28～40は27に上記1～13を足せばOK
- 25 名前：1 [01/11/05 14:36]
- つか、前スレで答えでてるじゃん
- 26 名前：１３２人目の素数さん [01/11/06 16:51]
- ここに薬Aが1mg入った瓶と薬Bが1mg入った瓶がそれぞれ10づつ、 そしてビーカーが一つあります。
これらの薬は同種2mgを混ぜると薬A1mgになり、別種2mgを混ぜると薬B1mgになる反応を見せます。
計20ある薬をでたらめに一つづつとりビーカーの中に入れます。
全てを入れ終わった時、ビーカーの中身が薬Aである確率を答えてください。
//最初、ビーカーの中には何も入ってません = 最初の薬は反応がおきません
- 27 名前：1 [01/11/06 17:19]
- >>26
確率は１（100%）。
ビーカーの中身が何であろうと、
Aを入れた時にビーカーの中身は変化しない。
つまり、最終的な中身はBの個数のみに依存し、
最初のBの個数が偶数個ならばA、奇数個ならばBになる。
よって10個の場合は必ずAになる。
- 28 名前：1 [01/11/06 17:53]
- ていうかA=0、B=1と考えたら簡単だね。
- 29 名前：１３２人目の素数さん [01/11/06 19:19]
- >>26
Ａ(1㎎)＋Ａ(1㎎)→Ａ(1㎎)？
なんてこった。
じゃあ，
Ａ(1㎎)＝Ａ(0.5㎎)＋Ａ(0.5㎎)→Ａ(0.5㎎)
てこと？
質量が半減したね。
これ繰り返していくと，結局，何もなくなってしまうのでは。
- 30 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [01/11/06 20:04]
- >>29
つまり1mgの質量がエネルギーになったって事…？おそろしや
- 31 名前：1 [01/11/06 20:22]
- >>30
気体になって飛んでったとかでもいいじゃん。
って何マジレスしてんだ俺
- 32 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [01/11/06 21:01]
- A=0,B=1で排他的論理和を取ってるってことだな。
- 33 名前：１３２人目の素数さん [01/11/06 21:05]
- >>27
それは違うのでは？
Ｂを連続９回入れたら溶液はA、
Aを全部入れてAになってるとこに
最後に残ったBが入るとBにならない？
それ以上考えるのはめんどくさいからしないけど。
- 34 名前：１３２人目の素数さん [01/11/06 21:07]
- >>29
最終的には1mg残るでしょ？
- 35 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [01/11/06 21:11]
- >>33
Ｂを連続９回入れたら溶液はBでは？
- 36 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [01/11/06 21:12]
- そもそも「最初の薬は反応がおきません」てのが不自然なんだよな。
- 37 名前：１３２人目の素数さん [01/11/06 21:17]
- >>36
最初はビーカーになにも入ってないんだから
どっちの薬入れたって一種類なのに
反応起きる分けないじゃん。
起きた方が不自然。
- 38 名前：29 [01/11/06 22:41]
- 同種の薬どうしで反応するということは，瓶の中に
ある状態でも反応を続けているということ。
なんか，「砂糖100ｇと砂糖100ｇを混ぜたら塩が100ｇできる」
という感じで，理解できない。
これは屁理屈？
- 39 名前：29 [01/11/06 22:52]
- >>26
Ａ=+1，Ｂ=-1として，
((+1)^10)*((-1)^10)=+1
ということかな。
つまり，100％の確率でＡになる。
- 40 名前：１３２人目の素数さん [01/11/06 23:32]
- なぞなぞっぽい問題はなーい？
- 41 名前：1 mailto:sage [01/11/06 23:44]
- >>38
囚人の問題で「それが分かった位で助かるなんておかしい」って言うようなもんだぞ。
- 42 名前：１３２人目の素数さん [01/11/07 07:20]
- 話を蒸し返すようで悪いんだが、囚人の問題ってかたがついたの？
なんか、いつのまにか問題の前提が捻じ曲げられたような気がするが。
>囚人は毎朝「今日が執行日！」と言うでしょ
そもそも、この問題は囚人が「（ギャンブルのように）予想できる」という事を
問題にしているのではなくて（まぁ、前スレの184は「予告」と書いてはあるが）、
囚人が「推論（＝証明）」出来るか、またその推論の何処が間違っていたのか
を問題にしていたのではなかったの？
- 43 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [01/11/07 12:33]
- B(1mg)+B(1mg)だと反応するけど
B(0.5mg)+B(0.5mg)だと反応しないっていう設定がﾁｮｯﾄ不自然だね。
- 44 名前：１３２人目の素数さん [01/11/07 14:16]
- 野暮なツッコミは良いから誰か次の問題出してくれYO!
- 45 名前：26 [01/11/07 15:04]
- さて、27氏があっさりと正解したようなので、次いこうか。場繋ぎでも無いよりましだろう。
ここに、木製の棒が4本ある。
この棒4本は、全て幅1cm,奥行き1cm,高さ4cmである。
また、これらの棒は全て凹凸（おうとつ）無き直方体である。
この4本の棒を床の上に置き、正方形が同時に可能な限り多く見えるようにしたい。
そんな願いを叶える置き方とは？その時の見える正方形の数は？
//床にも凹凸は存在しない。傾斜も存在しない。母なる大地の丸みもここでは無視。
//棒の加工は許されない。折る切る曲げる、全て反則。
//自身の視点から正方形に見えなければ意味が無い。
//正方形とて斜め45度から見りゃ潰れる。その場合は数えない。
>>44
自分で問題を考えましょう、ね？
- 46 名前：１３２人目の素数さん [01/11/07 15:37]
- >>45
質問。
正方形は中に小さい別の正方形を含んでもＯＫ？
- 47 名前：26(45) [01/11/07 15:45]
- >>46
回 ← こういうことかな…これなら可。
でも「木の木目が」「ペイントで」「俺的正方形」は無視。
- 48 名前：１３２人目の素数さん [01/11/07 15:48]
- >>47
田を５つに数えて良いか？って事です。
- 49 名前： ◆psyco8oc [01/11/07 16:16]
-
／／
／／□／
／／□／
／／□／
□／
→ ← 1cm づつずらす
これで７個
- 50 名前： ◆psyco8oc [01/11/07 16:21]
-
／／
／／□／
□／／
／／□／
□／
こうずらしたら８個か。
- 51 名前：26(45) [01/11/07 16:22]
- 最初から“同じ大きさの正方形”っていれときゃ良かった.....
嗚呼鬱。
46(48)、ごめん。問題練り込み不足。
47は無視して、“正方形の大きさを全て同じで”にして。
- 52 名前： ◆psyco8oc mailto:sage [01/11/07 16:23]
- あ、斜めから見たときはカウントしないのか。スマソ
逝ｯﾃｷﾏｽ
- 53 名前：１３２人目の素数さん [01/11/07 16:49]
- 5なら何通りでもできるよな・・・
- 54 名前：１３２人目の素数さん [01/11/08 15:33]
- そろそろ答え教えて～。
5で合ってるの？
- 55 名前：１３２人目の素数さん [01/11/08 15:53]
- 高さが６cm なら６個、７cm なら７個できるね。
- 56 名前：55 [01/11/08 15:54]
- 「少なくとも」ってことね。
- 57 名前：１３２人目の素数さん [01/11/09 01:24]
- >>45
一辺が(1/√2)cmの正方形を作ってみると・・・
●上から見たところ
┌┬┐┌┬┐ －－┐
├┴┴┴┴┴┐ －－┘＼ この幅が
├┬┬┬┬┬┘ －－┐／ 1/√2
├┴┴┴┴┴┐ －－┘
└―――――┘
●横から見たところ
. ＿＿＿＿＿＿_
|＿＿＿＿＿＿|
... ／＼ ／＼
... ＼／ ＼／
（；´Д｀）9ｺ？
- 58 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [01/11/09 01:30]
- >>57
すごい。
- 59 名前：KARL ◆gjHKPQSQ [01/11/09 01:31]
- 楕円がある。中心をＯとする。互いに平行な２直線l,mをひいて、どちらも
この楕円に接するようにする。この楕円と２直線l,mに同時に接する円の中心を
Ｏ'とすると、ＯＯ'の長さはl,mの方向にかかわらず一定である。このことを
証明せよ。（和算の問題だそうです。）
- 60 名前：KARL ◆gjHKPQSQ [01/11/09 01:54]
- ３つの球A,B,Cが２つずつ互いに接している。この３つの球に同時に接
する球をひとつ作図(!)する。この球をP_1と名づける。次に同じくA,B,
Cに接し、同時にP_1にも接する球を作りこの球をP_2と名づける。さら
にA,B,CそれぞれとP_2に同時に接する球でP_1でないものをP_3とする。
以下同様にP_4,P_5,...を作ってゆく。するとあら不思議、最初の３つ
の球がどうであれ、またP_1の位置や大きさにかかわらず、P_1はP_6と
かっちり接してしまうのです。ノーベル賞受賞者であるソディーという
物理学者が発見したそうです。ところが驚くべきことにこのことを既に
発見していた和算家がいたそうです。証明は立体における反転を使えば
ほとんど自明（！）といえるほど簡単。考えてみてください。
- 61 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [01/11/09 02:10]
- >>57
そういう状態を保持できる、特別な力のようなものがあればO.K.だけど…。
例えば、両手を使っていいのならもう一個作れる。
- 62 名前：26(45) mailto:sage [01/11/09 13:05]
- しまった、場繋ぎだから3時間程度で答え書くはずだったのに...
>>57
多分それが正解....だと...思って...いた...のだが....
>>61
お願い教えて。
- 63 名前：61 mailto:sage [01/11/09 16:11]
- >>62
両手を使って10個ってのは、「この4本の棒を床の上に置き、」って条件に
*確実に*あてはまらないんですよねー。
で、*厳密には* >>57 はあてはまるのかな？ と思うんですよね…
- 64 名前：61 mailto:sage [01/11/09 17:02]
- 肝心のことを書き忘れ…
要するに、>>57 のままの状態（接着材の使用を許してくれい）で、
神社の鳥居のように垂直に立てる。
視点は無限遠点ということにすれば、水平線が見えてくるから…
「４本すべて床に自然な状態で触れていなければいけない」というなら、６個かなぁ。
いずれにしても、問題に紛れがある分、かえって面白かった。
- 65 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [01/11/11 20:33]
- >>64
水平線とか地面を一辺として使うのはどうかと。
- 66 名前：EASY問題 [01/11/18 00:16]
- ■■■■
■■■■
■■■■
■■■■
４×４の方眼の描かれた紙がある。
正六面体（サイコロの形）を二つ作りたい。
展開図は下のように辺で繋がった形にしたい。
■
■■■■
■
マスメにそって切るのが条件。どのように分けるべきか？
（正方形が４つぶん余ります）
- 67 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [01/11/18 00:30]
- ｘｘ．．
－ｘｘｘ
－－－ｘ
．．－－。
- 68 名前：１３２人目の素数さん [01/11/18 22:24]
- >>66
頼むー答え教えてくれー
わっかんねーよー！
- 69 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [01/11/18 22:29]
- >>68
>>67が答えだろ？
- 70 名前：１３２人目の素数さん [01/11/18 22:35]
- >>69
え？ごめん真性の馬鹿なんでわかんない・・・
もちょっと詳しく教えてくんない？
- 71 名前：１３２人目の素数さん [01/11/18 22:37]
- >>69
もっとごめん。わかったわ。
ありがとー！
- 72 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [01/11/18 22:38]
- >>70
ずれてんだＹＯ！
○○××
◎○○○
◎◎◎○
××◎◎
- 73 名前：７２ mailto:sage [01/11/18 22:40]
- 微妙に鬱だな。。。
- 74 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [01/11/23 00:28]
- KARLさん、結局一般的な関数に対しては証明出来なかったです。
まず問題をもう一度。
・0<x[0]<1,x[n+1]=x[n]*(1-x[n])のときlim(n→∞)n*x[n]
・0<x[0]<1,x[n+1]=x[n]*(1-x[n]^2)のときlim(n→∞)sqrt(n)*x[n]
をそれぞれ求める。
x[0]をどうとってもx[n]はnが大きくなればいくらでも小さくなるので
適当なx[0]に対してx[0]=1/2のときのx[a](aは十分大きい)で変えればいいのでx[0]=1/2とおける。
次に上はy[n]=1/x[n]、下はy[n]=1/(x[n]*x[n])と置いてx[0]=1/2とすれば
・y[0]=2,y[n+1]=y[n]+1+1/(y[n]-1)のときlim(n→∞)n/y[n]
・y[0]=4,y[n+1]=y[n]+2+3/(y[n]-1)+1/(y[n]-1)^2のときlim(n→∞)sqrt(n/y[n])
をそれぞれ求める問題になる。ちなみに両方ともnが大きくなるにつれ増加してく。
- 75 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [01/11/23 00:29]
- 上の場合
a[0]=2,a[n+1]=a[n]+1とするとy[n]≧a[n](帰納法)。
そしてa[n]=n+2。
b[0]=2,b[n+1]=b[n]+1+1/(n+1)とする。y[0]≦b[0]だしy[n]≦b[n]とすると
y[n+1]＝y[n]+1+1/(y[n]-1)≦b[n]+1+1/(a[n]-1)＝b[n+1]だから
つねにy[n]≦b[n]となる。
ここでb[n]=n+2+∑(1～n)1/k (n=0のときはb[n]=2)
さらにc[n]=n+3+log(n+1)とおくとb[n]<c[n]
よって1≦y[n]/a[n]＜c[n]/a[n]＝1+(1+log(n+1))/(n+2)
c[n]/a[n]→1(n→∞)よりy[n]/a[n]→1(n→∞)
よってn/y[n]→1(n→∞)。lim(n→∞)n*x[n]→1。
下の場合
a[0]=4,a[n+1]=a[n]+2とするとy[n]≧a[n](帰納法)。そしてa[n]=2(n+2)
b[0]=4,b[n+1]=b[n]+2+3/(2n+3)+1/(2n+3)^2とするとy[n]≦b[n]となる。(※参照)
ここでb[n]=2(n+2)+1.5∑(1～n)1/(k+0.5)+0.25∑(1～n)1/(k+0.5)^2 (n=0のときはb[n]=4)
さらにc[n]=2n+5.75+1.5log(n+1)+0.25/(n+1)とおくとb[n]<c[n]
よって1≦y[n]/a[n]＜c[n]/a[n]＝1+(1.75+1.5log(n+1)+0.25/(n+1))/2(n+2)。
c[n]/a[n]→1(n→∞)よりy[n]/a[n]→1(n→∞)。
よってsqrt(n/y[n])→1(n→∞)。lim(n→∞)n*x[n]→1。
※y[n+1]＝y[n]+2+3/(y[n]-1)+1/(y[n]-1)^2≦b[n]+2+3/(a[n]-1)+1/(a[n]-1)^2＝b[n+1]
- 76 名前：74=75 [01/11/23 00:35]
- 0<x[0]<1,x[n+1]=x[n]*(1-x[n]^A)のときlim(n→∞)x[n]*n^(1/A)
に対してもy[n]=x[n]^(-A)とおけば
y[n+1]=y[n]^(A+1)/(y[n]-1)^A=y[n]+n+…でlim(n→∞)(n/y[n])^(1/A)を
求める問題に出来ますからlim(n→∞)x[n]*n^(1/A)=1になると思います。
…しかし、もっといい方法がある気がする。
もっといい方法あったら教えて頂けないでしょうか？
それとこの問題はどう拡張できるのかも教えて頂けたら嬉しいです。
- 77 名前：74=75 mailto:sage [01/11/23 00:36]
- あ、ちなみに私は前スレ976=981です。
- 78 名前：EASY問題 [01/11/23 08:55]
- >72>67 正解！
ここすっかり見るの忘れてたよ。某番組並に引っ張りすぎてスマソ。
- 79 名前：74=75 mailto:sage [01/11/23 18:02]
- ＞75の最後の2行。
c[n]/a[n]→1(n→∞)よりy[n]/a[n]→1(n→∞)。
よってsqrt(n/y[n])→1(n→∞)。lim(n→∞)n*x[n]→1。
↓
c[n]/a[n]→1(n→∞)よりy[n]/a[n]=y[n]/2(n+2)→1(n→∞)。
y[n]/n→2となるのでlim(n→∞)n*x[n]=lim(n→∞)sqrt(n/y[n])=1/√2となる。
に訂正です。最後の最後で間違えてしまうとは…
だから0<x[0]<1,x[n+1]=x[n]*(1-x[n])^A のときは lim(n→∞)x[n]*n^(1/A)=A^(-1/A)になりますね。
- 80 名前：出題 [01/11/24 00:00]
- 出題。有名な問題だが。
平面上に２つの点ＡとＢがありＡＢ間は２０センチ離れている。この間を
１０センチの定規を使って線分で結ぶ方法を答えよ。
定規により１０センチ以下の線分を引けるほか、線分を伸ばしてゆくことが
できるものとする。
- 81 名前：１３２人目の素数さん [01/11/24 00:07]
- １０センチの定規、半分に切ってくっつけちゃえ！
- 82 名前：mn_pem [01/11/24 00:31]
- >>80
どうやってπセンチの線分を引くんですか？
- 83 名前：出題（補足） [01/11/24 00:40]
- 定規に目盛りはついていない。念のため。
- 84 名前：１３２人目の素数さん [01/11/24 01:31]
- 81で結論がでたようです
- 85 名前：KARL ◆gjHKPQSQ [01/11/24 03:02]
- >>74,75,76,79
ごめんなさい。2番目のほう、まだフォローできてません。
結論からみてあってると思います。
とりあえず、私の解を紹介します。
「 a[n]→α ならば 1/n*Σa[n]→α 」を使います。
この定理は高校レベルでは証明できないようです。
(いわゆるε-δ-----正確に言うとε-N-----を使わないとダメらしい)
(でもa[n]が単調であればはさみうちで証明できそうだけど)
ほんとは高校数学レベルで行きたいのですが．．．
1/x[n+1]=1/x[n]+1/(1-x[n]) ですから ｎのところに0,1,2,..,n-1
を次々に代入してΣすると
1/x[n]=1/x[0]+Σ[k=0～n-1]1/(1-x[k])
両辺をnで割って1/nx[n]=1/nx[0]+1/n*Σ[k=0～n-1]1/(1-x[k])
x[n]→0だから上の「～～～」を使ってnx[n]→1が出ます。
もう一つの方は
1/x[n+1]=1/x[n]+x[n]/(1-x[n]^2)として両辺を２乗して上と同じように
Σをとりnでわります。
1/ｎx[n]^2=1/ｎx[0]^2+1/n*Σ2/(1-x[k]^2)+1/n*Σx[n]^2/(1-x[n]^2)^2
これからlim n*x[n]^2=1/2 となり、sqrt(n)*x[n]→1/√2が得られます。
この問題(第一の問題)は私が高校生の頃、「数学セミナー」という雑誌にア
メリカの何とかいう数学コンテストの問題として紹介されていたものです。
これができれば天才だとか、かかれていたような記憶があります。
上のような解に至ったのはずっと後でその際に第２の問題、また79に書
いてあること、さらに次の様な問題に思い至りました。(既出)
0<x[0]<π x[n+1]=sin(x[n]) のとき lim sqrt(n)*x[n]はいくつ？
この問題の裏に何があるのか興味ありますが、わかりません。
- 86 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [01/11/24 07:02]
- まず最初に1～nと書かれたカードが1枚ずつある。
この時次の動作を繰り返す。
・既にあるカードの中から適当に1枚選び、それと同じ数字が書かれた
カードを追加する。
このとき、1～ｎそれぞれ一回以上追加されるまでのカードの追加枚数の期待値は？
- 87 名前：１３２人目の素数さん [01/11/27 20:49]
- >>86 出来ん
- 88 名前：86 [01/11/30 00:10]
- あの問題の説明がわかりにくかったでしょうか。
例えばn=3の場合にやってみます。
まず1,2,3とカードがあります。
ここで2を引いたとします（確率1/3）そのとき、2を追加するのです。
こうしてカードは1,2,2,3とあります。
次に1を引いたとします（確率1/4）そして1を追加します。
そしてカードは1,1,2,2,3。
次は2（確率2/5）そして2を追加。
カードは1,1,2,2,2,3。
今度は3のカードを引きます（確率1/6）3を追加します。
こうしてカードは1,1,2,2,2,3,3となり、1～3まで一枚以上追加されました。
ちなみにこの時追加したカードの枚数は4枚。↑の時の確率は(1/3)*(1/4)*(2/5)*(1/6)=1/180
このようにして追加したカードの合計枚数の期待値を求めるのですけど、
誰か挑戦してみませんか？
- 89 名前：１３２人目の素数さん [01/11/30 01:23]
- ちなみに、
1～ｎと書かれたカードが１枚づつあって、それから適当に１枚選び、
1～ｎそれぞれ一回以上ひきあてるまでのカードの枚数の期待値は
どうなるんだ？
- 90 名前：KARL ◆gjHKPQSQ [01/12/01 01:41]
- >>86
n=2のときだけ考えました。
結論だけ言わせてもらうと、m枚めで達成する確率は 2/(m(m+1)) (m≧2)
したがって達成までの枚数の期待値はΣm*2/(m(m+1))=Σ2/(m+1)
わ、発散してしまう！ゑ゛ーっ。期待値が無限大なんてあるんでしょうか？
確率はほんとに苦手なんで詳しい人教えてください。
これが正しいとすれば、n≧3の場合も無限大ということになるんでしょうね。
- 91 名前：KARL ◆gjHKPQSQ [01/12/01 01:51]
- >>59の問題、挑戦する人いませんか。いわゆる解析幾何で私は解きました。
初等幾何的に解けるとかっこいいんですが．．．
- 92 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [01/12/04 07:28]
- 実際にためしてみると、引いたカードほど出やすくなるんだよね。
ｎ=100としても、かなりの数を引いたらある一つの番号に偏りはじめて
どんどん続けるとその番号だらけになってしまう。
引けば引くほど確立が際限なく増加して１００％に近づくんだから。
どの番号でも１／ｎの確立で１００％に収束するんじゃないかな？
すまん、俺には数式はわからん。
- 93 名前：１３２人目の素数さん [01/12/04 18:19]
- >>91
初等幾何の範囲が何処らへんまでなのか分からないので
「これは初等幾何で解いてる」っていうのが分かる具体例を教えてもらえないだろうか
- 94 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [01/12/04 18:51]
- くだらない問題ですまないが。
?に入る数字を求めよ。
1,4,1,?,2,1,3,5,6
- 95 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [01/12/04 19:48]
- >>94
4
- 96 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [01/12/04 22:17]
- 富士山麓オウム鳴く
- 97 名前：KARL ◆gjHKPQSQ [01/12/05 01:47]
- >>93
59の問題に関して言えば、座標を使ってx^2/a^2+y^2/b^2=1というような方程式で
楕円をあらわすというようなことをしないで、と言う意味です。
「これは初等幾何で解いてる」っていうのが分かる具体例--については、中学校で
(多分)みなさんがやっている内心の証明などを思い出してください。
- 98 名前：１３２人目の素数さん [01/12/05 03:50]
- 私より遥かに知性のある方々への問題です。
□□□□□
□□□□□
□□□□□
□□□□□
□■□□□
の図形があります。
■からスタートして全ての□を通ることができるか？
《条件》斜めには進めない。
１度通った□は通れない。
■は通れない。
＊この問題は１２年位前に友人が雑誌に載っていたといって出されたものですが
今だ解いた人がいません。
私も答えを知りません。出来るのか？出来ないのか？
でもいいので考えて見て下さい。
- 99 名前：１３２人目の素数さん [01/12/05 04:23]
- >>98
□■□■□
■□■□■
□■□■□
■□■□■
□×□■□
×からスタートすれば一歩目は必ず白。
その後は黒→白を交互に進まざるを得ない。
スタート地点を除いた２４マスは黒１１マスと白１３マス。
よって交互に白→黒とくり返して２４マス進みきることは不可能。
- 100 名前：1 mailto:sage [01/12/05 08:09]
- >>99
有名な考え方だよね。
俺も厨房くらいのとき、それを知って目から鱗が落ちた。
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