面白い問題教えて 第２版

1 名前：前スレ892 [01/11/04 11:08] ・数学的知識よりも発想の転換やひらめきが必要な問題 ・見た目に面白い問題 ・解法に目から鱗が落ちるような問題 をお願いします。 【前スレ】 面白い問題教えて cheese.2ch.net/test/read.cgi/math/970737952/ 191 名前：ネット屋 ◆.t4dJfuU [02/01/15 23:17] 一辺70cmの正方形をした的があります。 離れたところから鉄砲50発撃って、とりあえず全弾、的には命中したとします。 この弾の跡が、いくらばらばらに当たっていたとしても、一番近い距離のものは 何cm以下になると言えますか？ つまり、i=1から50、50発の位置を(Xi,Yi)のように表すとしたとき、 min( |(Xi,Yi),(Xj,Yj)| )、（ただし、j=1から50、i≠j）を求めて欲しいのです。 192 名前：１３２人目の素数さん [02/01/15 23:21] >>191 >min( |(Xi,Yi),(Xj,Yj)| )、（ただし、j=1から50、i≠j）を求めて欲しいのです つまり個の値はその都度変わるから、個の値の取りうる最大値、ってことですよね。 193 名前：ネット屋 ◆.t4dJfuU [02/01/15 23:25] >>192 そっす！ 194 名前：ネット屋 ◆.t4dJfuU [02/01/15 23:35] >>192 あ。完璧な答えを求めているんじゃないかも。 ある程度の答えで結構です（弱気笑 完璧な答えは無理だっぺぇ。 195 名前：１３２人目の素数さん [02/01/15 23:42] >>80 問題の意味が理解できない・・・。線分を伸ばしていくってどゆこと？ 196 名前：はなう [02/01/15 23:45] >>195 そ。その問題は、まっすぐ線分をのばすという部分が意味不明。じゃあ、ものすごく長い定規でいいんじゃないかのぅ。 >>191 巣です。 197 名前：ネット屋 ◆.t4dJfuU [02/01/15 23:58] あと、答えを知らない問題でもいい？ 70cm四方の紙に適当に点を書きます。1つ以上ならいくつでもいいです。 1.この適当に打った点に紙の四隅の4点を加えて、これらの点を直線で 結ぶとき、全てが三角形になるように直線が引けることを証明せよ。 2.すべてが三角形になるように線が引けたとして、紙の左上の点から 赤いペンを使って線に色を付けて行って、紙の右下の点まで到達できる ことを証明せよ。 3.上記2が証明できたとき、紙の右上から青いペンで線をなぞりながら 紙の左下の点まで、赤い線（点も含む）に交差せずに到達できないことを 証明せよ。 これって証明できてない問題なんだっけか？ｽﾏｿﾜｽﾚﾀ 198 名前：誰かこれ教えて [02/01/15 23:58] （1/1**）+（1/2**）+（1/3**）+（1/4**）・・・＝（π**/6） となることを証明せよ。 　（Σ［ｎ＝1，∞］＝（π**/6）） ちなみに　1**とは１の２乗の意味、πは円周率。 199 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [02/01/16 00:55] >>191 とりあえず15cm以下になる 200 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [02/01/16 01:00] >>195 すでにある線分を延長できるということでしょう。 201 名前：１３２人目の素数さん [02/01/16 03:28] >>191 答えではないが、 直径r(cm)の円を50個、全ての円の中心が70(cm)四方の正方形の中にあり、 円同士は互いに重ならないように配置することができるものとするとき、 rの取り得る値の最大値を求めよ ってのと、同じですね。 で、さらに言い替えると 直径1の円を50個、平面上に互いに重ならないように配置するとき、 全ての円が完全に内側に含まれるような正方形を書き、その一辺をＬとする。 配置及び正方形の書き方を工夫してＬはどこまで小さくできるか という問題の答えをＸとすると、 もとの問題の答えは70/(Ｘ-1)(cm)となるはず。 結局は、円の最密配置の問題に帰結しますね。 202 名前：１３２人目の素数さん [02/01/16 03:37] >>191 この問題って確かいつぞやの数学オリンピックだっけ？ 203 名前：１３２人目の素数さん [02/01/16 03:48] >>191 とりあえず14.2cm以下になる 204 名前：201 [02/01/16 04:22] >>191、>>201 で、201の後の問題で、 正方形の中は、全平面にわたり最密配置をしたときほど密ではないことと、 ヨコ7、タテ7√3/2+1の長方形中に直径1の円を52個置ける （7-6-7-6-7-6-7-6と並べる）ことから 7√3/2+1≧Ｘ＞5*3^(1/4) 11.547＜70/(Ｘ-1)＜12.544 これより、もとの問題は、 少なくとも12.544(cm)よりは小さいが、11.547(cm)を超えることは ありうる、ということがわかる。 205 名前：１３２人目の素数さん [02/01/16 04:24] >186 >181はただの馬鹿です。放置してください。 206 名前：１３２人目の素数さん [02/01/16 05:26] >>197 １．は証明できる。 １個ずつ点を増やしていきながら、三角形を作っていくことを考えると 数学的帰納法が使える。 ２．は、問題の意味がいまいちわからないが、紙のフチ以外の三角形の辺 のみを通る、という意味なら、簡単に反例は作れる。 正方形ABCDで、三角形ABD内に点Pをとり、BD,AP,BP,DPを結ぶ。 AからCにふちを通らずたどり着くことはできない。 ・正方形の対角線を直接結んではいけない ・辺の途中に最初に書いた点があるような三角形があってはいけない という条件を加えるなら、証明できる。 作った三角形のうち、Bを頂点にもつものはDを頂点に持たないので、 Bを頂点に持つ三角形を全てつなげた図形の周のうち、AB、BC以外の部分が AからCへのルートとなる。 ３．正方形ABCDは赤い線で２つの領域に分けられ、片方にBが、片方にDが ふくまれる。DからBにいくには、途中で必ず２つの領域の境界を またがないといけない。 207 名前：にゃ＝ん？ [02/01/16 06:27] >>189　こういうのはどうですか？（問題が、確かに余りよくは理解できないが・・・。） ＡからＡＰ(1)＝１０cmとなる点Ｐ(1)をＢの方に取る。 ＢからＢＰ(2)＝１０cmとなる点Ｐ(2)をＡＢに対してＰ(1)と同じ側になるように取る。 Ｐ(2)からＰ(2)Ｐ(3)＝１０cmとなる点Ｐ(3)を線分ＡＰ(1)上に取る。 ＡからＡＰ(4)＝１０cmとなる点Ｐ(4)を線分Ｐ(2)Ｐ(3)上に取る。 Ｐ(4)からＰ(4)Ｐ(5)＝１０cmとなる点Ｐ(5)を線分ＢＰ(2)上に取る。 ＢからＢＰ(6)＝１０cmとなる点Ｐ(6)を線分Ｐ(4)Ｐ(5)上に取る。 Ｐ(6)からＰ(6)Ｐ(7)＝１０cmとなる点Ｐ(7)を線分ＡＰ(4)上に取る。 ＡからＡＰ(8)＝１０cmとなる点Ｐ(8)を線分Ｐ(6)Ｐ(7)上に取る。 Ｐ(8)からＰ(8)Ｐ(9)＝１０cmとなる点Ｐ(9)を線分ＢＰ(6)上に取る。 ＢからＢＰ(10)＝１０cmとなる点Ｐ(10)を線分Ｐ(8)Ｐ(9)上に取る。 Ｐ(10)からＰ(10)Ｐ(11)＝１０cmとなる点Ｐ(11)を線分ＡＰ(8)上に取る。 　　　　　　　　　　　　　　　　　・ 　　　　　　　　　　　　　　　　　・ 　　　　　　　　　　　　　　　　　・ ＡからＡＰ(n+2)＝１０cmとなる点Ｐ(n+2)を線分Ｐ(n)Ｐ(n+1)上に取る。 Ｐ(n+2)からＰ(n+2)Ｐ(n+3)＝１０cmとなる点Ｐ(n+3)を線分ＢＰ(n)上に取る。 ＢからＢＰ(n+4)＝１０cmとなる点Ｐ(n+4)を線分Ｐ(n+2)Ｐ(n+3)上に取る。 Ｐ(n+4)からＰ(n+4)Ｐ(n+5)＝１０cmとなる点Ｐ(n+5)を線分ＡＰ(n+2)上に取る。 　　　　　　　　　　　　　　　　　・ 　　　　　　　　　　　　　　　　　・ 　　　　　　　　　　　　　　　　　・ こんな感じでＡＢの中点lim(n→∞)Ｐ(n)がもとまれば、書けると思うのですが・・・どうか？ 208 名前：ネット屋 ◆.t4dJfuU [02/01/16 07:55] >>201 鉄砲で空いた穴の大きさは無視してOKです。言い忘れてすみません。 >>202 秋山センセから聞いたような気がするので、オリンピックに出ているかも 知れません。 >>203 私が聞いた答えも、その数値だったと思います。が >>204 更に絞り込んだのかな？ｽｺﾞｰ！ 209 名前：ネット屋 ◆.t4dJfuU [02/01/16 08:04] >>206 > 正方形ABCDで、三角形ABD内に点Pをとり、BD,AP,BP,DPを結ぶ。 > AからCにふちを通らずたどり着くことはできない。 いえ、AからCに行く赤い道のりの途中にBやDが含まれてもかまいません。 3.の証明なんですが、視覚的には明らかっぽいんですが、 きちんと証明せよってな感じだったと思います。 210 名前：ネット屋 ◆.t4dJfuU [02/01/16 08:17] 年末年始のTV番組でもやっていたようですが、昔それを勘違いして苦労した問題をひとつ。 2つの惑星XとYがあり、今、惑星XにA,B,C,Dの4つの宇宙船があります。 宇宙船AはXからYまで1時間でたどり着くことができます。Bのそれは2時間、Cは4時間、 Dは8時間かかります。宇宙飛行士が操縦しないといけないのですが、2人しか居ません。 どの宇宙船も2人乗ることができます。 この4機の宇宙船すべてを惑星Yに運びたいのです。最短時間を求めてください。 牽引は出来ません。また、XとYの間の任意の宇宙空間で同じ位置にある2つの宇宙船間を 時間0で乗り換えることが可能です。（これがミソ） 211 名前：　 [02/01/16 14:51] 三角形の並び替えでスペースが一個だけ空いてしまう問題… というかGIF、どこにあるか分かる人いませんか？ 212 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [02/01/16 15:08] >>211 質問系スレの過去ログさかのぼれば見つかる 213 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [02/01/16 15:14] さくらスレ１６でﾊｹｰﾝ www.sougetu.com/funpic/damasie/true_true.gif 214 名前：ゴルゴ [02/01/16 16:07] >>191 ０センチ 215 名前：１３２人目の素数さん [02/01/16 22:52] 【問１】 ゆきひろ君のお母さんは午後４時半に帰ってきて、妹のさやかちゃんに おつかいを頼みました。さやかちゃんはゆきひろ君といっしょに 大根と玉ねぎ１つずつ、 ニンジン１本を買いに行こうとしたら さやかちゃんの友達のあやねちゃんから午後４時45分に電話が かかってきて出掛けてしまいました。 【問２】 さつきちゃんは、飼い犬のポチといっしょに、 自分の家から駅に向かって朝の9:00に出発しました。 駅までは歩いて50分の距離です。 でも、途中で定期券を忘れたことに気づき、 ポチにおかあさんへの手紙を持たせて 定期券をとってきてもらおうと思いました。 さつきちゃんは時速 5km、ポチは時速 15kmで移動します。 そして空はまぶしいほどの秋晴れでした。 216 名前：201 [02/01/16 23:04] >>208 だれも、穴の大きさの話なんかしてないですが。 ある試行における弾の跡同士の距離の最小値をrとしたとき それぞれの弾の跡を中心として半径r/2の円を書いたら、 円同士が重なり合わないことから、rの最大値を求める問題は 円の直径の最大値を求める問題と等しい、という話をしている。 ところで、 >>203 14.2cmはどこから出てきたんすか？ 217 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [02/01/16 23:16] >>215の答え 「この問題のおかしいところを指摘せよ」という１文が抜けていること。 218 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [02/01/16 23:39] ＞そして空はまぶしいほどの秋晴れでした。 なぜか爽やかな気分になってしまった。 219 名前：１３２人目の素数さん [02/01/16 23:41] >>216 49個の正方形に分ければ鳩の巣原理よりどっか一つの正方形には 2つ以上の弾丸が含まれてその距離は大きくても√20だからじゃない？ 220 名前：201 mailto:sage [02/01/17 02:05] >>219 なるほど。70cmってのがヒントになってたのですね。 考えもしなかった．．．。 まあでも、√20より70/(5*3^(1/4)-1)のほうが小さかったので よしとしよう。 221 名前：ネット屋 ◆.t4dJfuU [02/01/17 10:07] >>216 ありゃ、ほんとだ。失礼しました。おっしゃる通りです。 222 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [02/01/17 11:01] >>189 ・定規に一箇所だけ印を付けられる。結構端っこの方、大体2,3cmの所に。 ・平面上に点A,B,Cがあり、AとBを通る直線が描かれてなくても 　点Cが直線ABに対してどっちの側か分かる。 ・2点A,Bがあった時、直線ABとの成す角が45度以下になってAを通るような 　直線が描ける。 以上の3つさえ出来れば与えられた2点を通る直線を10cmの定規を使って描ける。 まず、A,Bそれぞれ2点を通る直線を描いて、2つの交点をCとした時に ∠CAB,∠CBAが45度以下になるようにする。 次に、ある直線lと点Aが与えられた時にAを通りlに平行な直線を引く事が出来るから(>>223前半) Bを通りACに平行な直線、Aを通るBCに平行な直線が描ける。 この2つの直線の交点をDとすると、CD＜ABでABとCDは互いにそれぞれの線分の2等分点で交わる。 次に新たに出来た2点CDに対し同じ操作をして、さらにCDより短くて ABとそれぞれの線分の2等分点で交わるような2点が求められる。 このような事を繰り返すと、最後には10cm以下でなおかつABと互いに 2等分点で交わる2点E,Fが求められる。 E,Fの間が10cm以下よりE,Fの中点Gが求められる。(>>223後半) このとき点GはA,Bの中点でもある。 こうしてA,Bの中点Gが求められたから今度はA,Gの中点、B,Gの中点とどんどん細かく求めていくと いずれ隣り合った2つの間の距離が10cm以下になるのでそれらを全部結ぶとA,Bを結ぶ事が出来る。 223 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [02/01/17 11:01] 最初に10cmの定規の0cmの所から2,3cmの所に印を付ける（ここでは2cmとしよう） こうすると2cmの距離も計れるようになる。 ・ある直線lと点Aが与えられた時にAを通りlに平行な直線を引く方法 まずlに対して点Aの側にあり、なおかつlに近い所に点Bを打つ。 次にl上に点Cを打つ。このとき点Cは点Bに近い所に打つ。 そしてl上で点Cから2cm離れた2点に点を打つ。このとき右側を点D、左側を点Eとおく。 次にBDを通る直線を描き、直線BDにおいてDから見てBよりちょっと遠い所に点Fを打つ。 次にEF,CF,BEを通る直線を描き、BEとCFの交点を点Gとおく。 そしてDGを通る直線を描き、EFとの交点をHとするとチェバの定理よりBHとlは平行。 こうしてlに平行な直線BHを点Aの側に描く事が出来た。 これを繰り返してどんどん点Aに近い所にlに平行な直線を描いていくと 最終的に点Aを通りlに平行な直線が描けるようになる。 ・間の距離が10cm以下である2点ABの中点を求める方法。 まずABを通る直線を描く。次にAを通る直線lを描き、lと平行でBを通る直線mを描く。 次にl上にAC=AE=2cmとなる点C,Eをおく。m上にも同じように点D,Fをおく。 （この時CとDはABの上側、EとFはABの下側ね） そしてADとBCの交点をG、AFとBEの交点をHとおくとGHとABの交点は2点A,Bの中点である。 随分と回りくどいやり方だけど10cm以下の2点しか結べない、 直線を描く事も出来るけど10cmの線分を伸ばしていくわけだから方向は特定出来ない、 この2つの制約があるからこうなってしまった。 224 名前：222-223 [02/01/17 11:18] …ふと見直してみて思った 普通の定規って1mm単位で目盛りふってあるし、問題文は 20cmだから、もっと簡単なやりかたあるかも。 まぁいいや。>>222-223は20cmより長くても出来る、ということでよしとしてage 225 名前：＞＞210 [02/01/17 22:16] 普通は、 A---- B---- C---- D---- 2h ----A ----B C---- D---- 3h A---- ----B C---- D---- 7h A---- ----B ----C --D-- 9h A---- B---- ----C ---D- 11h ----A B---- ----C ----D 12h A---- B---- ----C ----D 14h ----A ----B ----C ----D ？ 226 名前：ネット屋 ◆.t4dJfuU [02/01/18 12:43] >>225 おいらは後30分短く出来た記憶があるけど、確認できなくなっちゃった（汗 ちょっと待ってください。ｽﾏｿ 227 名前：ネット屋 ◆.t4dJfuU mailto:sage [02/01/18 18:00] >>225 13時間38分(13+71/112)まで出来た。まだ短く出来そう。 228 名前：１３２人目の素数さん [02/01/19 02:19] >210 すごいアホな質問だったらごめん、 これってXY間の任意の宇宙空間に、宇宙船を放置できるって事だよね？ 229 名前：ネット屋 ◆.t4dJfuU [02/01/19 08:15] >>228 そっす。んで、放置Aと同じ場所に別の宇宙船が来たらAに乗り換え時間を 考慮せず、乗り換えてOKっす。 全部書くと長くなっちゃうんで、キモの部分だけを書くと、 7+1/14h ----+----+A---+----乗船(4/7) ----+----B----+---- ----+----C----+---- ----+----+D---+----乗船(4/7) って言う途中経過を経ると、13+71/112hで移動できました。 関数化して、ミニマを狙おうと思ったのですが、複雑すぎて断念。 感覚として、多分13時間は切れないと推測・・・ 230 名前：ネット屋 ◆.t4dJfuU mailto:sage [02/01/20 17:10] 13時間30分に成功。しつこいので、sage。 キモ部分。 10+17/28h ----+----+----+A---(6/7)乗船 ----+----+----B----(3/4) ----+----+----C----(3/4) ----+----+----+D---(6/7)乗船 231 名前： [02/01/24 00:28] 232 名前：ネット屋 ◆.t4dJfuU [02/01/25 22:30] はい、これからコインを投げます。えぇえぇ、何回でも。 最初に裏が出たらあなたの負け。これでおしまい。 でも表が出たら2円差し上げます。しかも、次にまた表が出たら4円差し上げ ましょう。その次は8円、16円・・・。 裏が出るまでいつまででも続けますよ。この勝負、一回たったの10万円。 え？高い？お客さん、ちゃんと期待値を計算してくださいよ。 1/2 * 2円 + 1/4 * 4円 + 1/8 * 8円 ・・・・ ＝1+1+1+1+・・・ ＝無限大 そう！期待値は無限大なんですよ！ これがたったの10万円！ ささ、おかしくないと思ったあなたは、すぐに10万円払ってゲームを 始めましょう！ 何が変？ 233 名前：１３２人目の素数さん [02/01/25 23:55] ここにある３桁の数があります。 この数にある２桁の数をかけあわせたところ、 元の数の左右に同じ数字を書きたした数になりました。 例えば元の数が123だとして、２桁の数をかけあわせた結果が 41234になったということです。 さらに、この３ケタの数に別の３桁の数をかけあわせたところ、 今度は789789のように、３桁を２回続けた形の数になりました。 元の３桁の数はいったいいくつだったのでしょう？ 234 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [02/01/26 01:28] >>232 期待値＝(1/2*2-10万)+(1/4*4-10万)+(1/8*8-10万)+… ＝(1-10万)+(1-10万)+(1-10万)… ＝-99999-99999-99999… ＝−∞ 235 名前：猪熊柔 [02/01/26 01:29] >>232 それ昔聞いたことあるんですけど いまだに答えしらないんですよ。 いろいろ考えたけど、分からないし・・・ あと、１回いくらにすれば 平等な賭けになるんでしょうね？ 236 名前：１３２人目の素数さん [02/01/26 01:53] >>230宇宙船 これ難しいですね。 この問題の基本的なテクニックはなんでしょうか？ 私が思いついたのは、２人が最前線にいるときは速い方の船で後戻りする、 くらいです…。 237 名前：234 mailto:sage [02/01/26 02:01] >>235 一回１円でしょうか 238 名前：234 mailto:sage [02/01/26 02:10] 問題読み間違えました。すいません 239 名前：１３２人目の素数さん [02/01/26 14:04] 明らかに胴元の支払能力に依存。 ２０連勝の約１００万円（トータルで約２００万）の支払能力がないなら 参加料に２０円支払うのも馬鹿らしいし、 ３０連勝の約１０億（トータルで約２０億）払える保証があるなら ３０円払うのは問題ないってこと。 240 名前：ネット屋 ◆.t4dJfuU [02/01/26 14:38] >>236 ええ、とても難しいんです。わたしも「これ以下には出来ない」って 証明は出来ませんが、１３時間３０分までは出来ました。 基本的なテクニックは、二人のパイロットが戻るとき、出来るだけ高速のA で戻れるようにすることでしょうか。あと、待ち時間が短くなるように すればいいんだと思いますが、なかなか思うように行きません。 >>235 これ、実は昔々のマイコン雑誌、RAMに掲載されていました。20年以上 前でしょうか（笑 4KByteストーリーとかなんとか、そんなの。あ、この雑誌、まだ持っているかも。 241 名前：ねこばす参加者 mailto:sage [02/01/26 18:32] >>225の9Hから。 9H A------+------+------+------+(0/1)→ B------+------+------+------+(0/1) +------+------+------+------C(1/1) +------+------+------D------+(3/4)→ 9+6/7H +------+------+------+--A---+(6/7)←← B------+------+------+------+(0/1) +------+------+------+------C(1/1) +------+------+------+--D---+(6/7) 10+5/7H A------+------+------+------+(0/1)→ B------+------+------+------+(0/1)→ +------+------+------+------C(1/1) +------+------+------+--D---+(6/7) 11+4/7H +------+------+------+--A---+(6/7) +------+----B-+------+------+(3/7)→ +------+------+------+------C(1/1) +------+------+------+--D---+(6/7)→ 12+3/7H +------+------+------+--A---+(6/7)乗船 +------+------+------+--B---+(6/7) +------+------+------+------C(1/1) +------+------+------+-----D+(27/28)乗船 ここで12+3/7Hと9Hを比較すると、 全船ゴールまでの距離が1/7になっているだけ。 これを無限回繰り返すと13Hで到着します。 242 名前：ネット屋 ◆.t4dJfuU [02/01/26 21:34] >>241 うおっ！すごいかも！ちと検証します！ 243 名前：石風 [02/01/26 21:51] 命題：世界中の人間はすべて同一人物である 証明：世界の人口ｎについてのinductionによる： 　(1)１人のときは、自分は自分自身に同一だから成立 　(2)ｎ人のときに成り立つと仮定する 　(3)（ｎ＋１）人のとき、(2)から簡単な推論により成立。 　よって命題は証明された。 　（でも、なんか変だぞ） 244 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [02/01/26 21:58] >>243 「簡単な推論」ってなんじゃい？ 245 名前：１３２人目の素数さん [02/01/26 22:26] >>241 この行程にかかる時間は24L/7時間(L=ABとCの距離) 一回行なうとLは1/7になるから、 全時間=9+24/7+24/49+… =9+24/7(1-1/7)=9+24/8=12h 12時間じゃない？ 246 名前：１３２人目の素数さん [02/01/26 22:29] すまぬ。計算間違い13時間じゃった 247 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [02/01/26 23:31] >>233 A（三桁）*B（二桁）=C（一桁）*10001+A*10 A*(B-10)=C*10001で10001=73*137だからB=83 A=C*137 次にA（三桁）*D（三桁）=E（三桁）*1001=E*7*11*13 11と13はAの約数になりえないからDは11と13で割れてAは7で割れる。 よってAは7*137=959で割れるけどAは三桁だから求めるAは959となる。 248 名前：１３２人目の素数さん [02/01/27 00:31] >>241 なるほど！ 10+5/7Hが理論の出発点でしょうか。 Bがアキレス、Dが亀となっているのですね。 249 名前：ネット屋 ◆.t4dJfuU [02/01/27 11:58] >>241 確認しました。すごい！最短記録ですね！ 9hまでの工程が最短と仮定すれば、これ以下は無理かな？ 250 名前：１３２人目の素数さん [02/01/27 13:40] >>241 この場合Cは既にゴールしていますが、同じ原理を使えないものでしょうか。 またC,Dに対して同時に適応させ、 A B -C --D を初期状態として一人はA→C→D、もう一人はB→Aと移動し、 ADがであった所で２人ともAでBのところに戻る、など。 相似形を与えるような初期位置というものが導けないのですが…。 251 名前：１３２人目の素数さん [02/01/27 15:43] わからない問題スレから転載 お前らコレ解けるか？ annex.vis.ne.jp/2chevent/imgboard/img-box/img20020127140043.jpg β−αが６０度の場合、右下の角度を求めよ。 右下、左下はそれぞれ二等分線である。 また、図で平行っぽく書かれている線が、平行であるかどうかは知らない。 252 名前：１３２人目の素数さん [02/01/27 16:30] >251 まだ証明が出来ないけど、答えはたぶん解った。 しかし証明できる気がしない……。 ＃これ、左下の角度とα、βは不定だな。 253 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [02/01/28 19:23] 激しく板ちがい、もしくはスレ違いｋと思いますが、 Ｔ＝１　Ｄ＝１ Ｆ＝２　Ｋ＝□ □にあてはまる数はなんでしょう？ 誰か答え教えてください。 254 名前：１３２人目の素数さん [02/01/28 20:22] >>251 全然わからん 誰か教えて 255 名前：１３２人目の素数さん mailto:K=43(1都1道2府43県) [02/01/28 20:44] >>253 いいともでやってたのですね。答えはメール欄参照。 256 名前：１３２人目の素数さん [02/01/28 23:11] >>251 解けるのコレ？ もう６時間は考えたんだが……\ 257 名前：１３２人目の素数さん mailto:60度?β-αが60度になったけど三角形ではなくなった… [02/01/29 02:04] >>251 できた。 つうかこれ不可能図形ではないか？ 258 名前：１３２人目の素数さん [02/01/29 09:26] >>257 答えは120度だろ？ 右下が120度の場合は、左下を何度に設定しても、 必ずβ−α＝６０度になるぞ。図を書いて確認した。 問題は、なんでそうなるのかが証明できないことだ。 259 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [02/01/29 11:33] ああああああもおおおおGENGENわからん 260 名前：１３２人目の素数さん [02/01/29 22:34] >>>256 僕なんか昨日暇だったので一日中考えてましたよ。 ぜんぜん分からない。 もぉだれか教えて。＞β-α=60° 261 名前：はなう ◆hanauAiU mailto:sage [02/01/30 00:16] >>257さんに一票。わしもそう思いますじゃ。照明はめんど。 262 名前：はなう ◆hanauAiU [02/01/30 00:18] うん、証明もできそう。 263 名前：260 [02/01/30 01:05] ・・＝60°、・＝x°として全部の角をxで表してみようとしたのですが、 α、βとその隣の角の４つの角だけどうしても出ません… 264 名前：はなう ◆hanauAiU [02/01/30 01:26] >>263 そりゃそうですの。だって三角形じゃ・・・（藁 265 名前：260 mailto:sage [02/01/30 01:44] そろそろ人少ないころ… ヒント下さい…>>263 266 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [02/01/30 02:14] >>257>>261 不可能図形になるのは左下が60ﾟ以上じゃないかな？ (左下,右下)=(40ﾟ,120ﾟ),(20ﾟ,120ﾟ)などで試してみれ。 267 名前：266 mailto:sage [02/01/30 02:30] ↓のように内心を考えて一般化できそう www.mitene.or.jp/~tomo-s/seikaku/010.html 268 名前：266 mailto:sage [02/01/30 03:29] 叩き台に図を書いてみた。 mizuki.sakura.ne.jp/~nagch/upb/file/fig.png ∠ABE=∠CBE=a ∠ACD=∠BCD=b Fは△BCDの内心 0ﾟ＜a＜b (a+b)＜90ﾟ >>267を参考にしてb=60ﾟ⇒∠AED-∠ADE=(β-α)=60ﾟは容易。 肝心の逆はどうだろう？寝る。 269 名前：260 mailto:sage [02/01/30 09:35] >>268 おはようございます。 内心のアイデアでぐっと進歩しました。 しかし本題の「逆」は朝まで考えましたが分かりませんでした。 ええ。分かりませんでしたとも。俺も寝とけばよかった… 270 名前：１３２人目の素数さん [02/01/30 17:01] >>251だが、壮絶なる計算により120°になることが証明できた模様。 但し、あまりにも壮絶な式変形をやってたので、只今整理中。（藁 しばし待たれい。 271 名前：270 [02/01/30 21:08] △ABCで∠Bの２等分線とACの交点をD、∠Cの２等分線とABの交点をEとし ∠AED＝α、∠ADE＝β、β−α＝60° 以下、BCの長さを1とおく。 Cを原点とし、B(-1,0)、A(X,Y)（Y＞0）となるように座標系を取る。 最終目標はX,Yの関係式を導くこと。 AC＝b, AB＝c, AE＝d, AD＝e, DE＝fとおく。 b＝√(X^2+Y^2) c＝√((X+1)^2+Y^2) ∴　X^2+Y^2＝b^2 　　X＝(c^2-b^2-1)/2 AD：DC＝AB：BCより e＝bc/(c+1) D( X/(c+1), Y/(c+1) ) AE：EB＝AC：BCより d＝bc/(b+1) E( (X+1)/(b+1)-1, Y/(b+1) ) ここで、β＞αよりd＞e ∴　b＜c 余弦定理より cosα＝(d^2+f^2-e^2)/(2df) cosβ＝(e^2+f^2-d^2)/(2ef) (sinα)^2＝1-(cosα)^2 　　　＝(2(e^2*f^2+f^2*d^2+d^2+e^2)-(d^4+e^4+f^4))/(4*f^2*d^2) (sinβ)^2＝1-(cosβ)^2 　　　＝(2(e^2*f^2+f^2*d^2+d^2+e^2)-(d^4+e^4+f^4))/(4*e^2*f^2) sinα*sinβ＝√((sinα)^2*(sinβ)^2) 　　　＝(2(e^2*f^2+f^2*d^2+d^2+e^2)-(d^4+e^4+f^4))/(4de*f^2) cos(β-α)＝cosα*cosβ+sinα*sinβ 　　　＝((d^2+e^2)*f^2-(d^2-e^2)^2)/(2de*f^2) （続く） 272 名前：270 [02/01/30 21:10] >>271の続き β-α＝60°よりcos(β-α)＝1/2 ∴　((d^2+e^2)*f^2-(d^2-e^2)^2)/(2de*f^2)＝1/2 　　(d^2-de+e^2)*f^2＝(d^2-e^2)^2 d^2-de+e^2＝b^2*c^2*(b^2-bc+c^2+b+c+1)/((b+1)^2*(c+1)^2) d^2-e^2＝b^2*c^2*(c-b)(b+c+2)/((b+1)^2*(c+1)^2) D,Eの座標より f^2＝(X/(c+1)-(X+1)/(b+1)+1)^2+(Y/(b+1)-Y/(c+1))^2 　＝((c-b)^2*(X^2+Y^2)-2b(c+1)(c-b)X+b^2*(c+1)^2)/((b+1)^2*(c+1)^2) 　＝((c-b)^2*b^2-b(c+1)(c-b)(c^2-b^2-1)+b^2*(c+1)^2)/((b+1)^2*(c+1)^2) 　＝b*((c-b)^2*b-(c+1)(c-b)(c^2-b^2-1)+b*(c+1)^2)/((b+1)^2*(c+1)^2) 代入して整理すると (b^2-bc+c^2+b+c+1)*((c-b)^2*b-(c+1)(c-b)(c^2-b^2-1)+b*(c+1)^2) 　＝b*c^2*(c-b)^2*(b+c+2)^2 -c(b+1)(c+1)(b^4-2b^2*c^2+c^4+b^3-b^2*c-b*c^2+c^3-bc-b-c-1)＝0 b^4-2b^2*c^2+c^4+b^3-b^2*c-b*c^2+c^3-bc-b-c-1＝0 (c^2-b^2)^2+(c-b)(c^2-b^2)-(b+1)(c+1)＝0 (c^2-b^2-b-1)(c^2-b^2+c+1)＝0 c^2-b^2＝2X+1を代入すると (2X-b)(2X+c+1)＝0 ∴X＝b/2またはX＝-(c+1)/2 ここで、c＞bより、点Aのx座標はBCの中点より大きいのでX＞1/2 よって、X≠-(c+1)/2となり、 X＝b/2が言える。 b＝√(X^2+Y^2)より 4X^2＝X^2+Y^2 Y^2＝3X^2 X＝b/2＞0、Y＞0より Y＝√3X これは、とりもなおさず∠ACB＝120°を意味する。 273 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [02/01/30 21:31] >>270-272 good job 274 名前：１３２人目の素数さん [02/01/30 22:26] (　ﾟдﾟ)ﾎﾟｶｰﾝ 275 名前：１３２人目の素数さん [02/01/30 22:41] マジかよっ！！ 276 名前：270 mailto:sage [02/01/30 23:21] あ、タイプミス発見 最後から９行目あたり X＞1/2じゃなくてX＞-1/2ね。 277 名前：　 [02/01/31 00:10] >>234 今更ですまんが、期待値の計算間違ってるぞ！ 期待値＝ {(1/2*(2-10万)}+{(1/4*(4-10万)}+{(1/8*(8-10万)｝+…… 　　+｛1/131072*（131072-100000)}+｛1/262144*（262144-100000)}+…… 　　　↑この項から値がプラスになる！！ 　＝？ 　計算は任せる 278 名前：260 mailto:sage [02/01/31 00:31] ううわあああぁぁ………ぁぁあああぁぁぁ…。．． すごいねこれ。お疲れさまです。>>271 今から読み始む。 279 名前：　　 [02/01/31 00:33] >>277 期待値＝ {(1/2)*(2-10万)}+{(1/4)*(4-10万)}+{(1/8)*(8-10万)｝+…… 　　+｛(1/131072)*（131072-100000)}+｛(1/262144)*（262144-100000)}+…… =-49999-24999-12499+……+0.237060547+0.618530273+0.809265137+…… この級数は、17項目からは正になり、かつ値は単調増加なので、やがては 部分級数の和が正になり、さらに行くと無限大に発散する。 結論 期待値は無限大。よって、10万円では得する！！ ちなみに、掛け金は任意の代金でも期待値は無限大になるので、 主催者は必ず損をする！！ あってる？ 280 名前：260 mailto:sage [02/01/31 00:41] 読みました。ここまでいくともう官能小説ですね（謎） 全て直交座標に変換して解く… 281 名前： mailto:sage [02/01/31 02:37] 　　　　　　　　　コインの出方　　　確率　　　期待値 ２円もらえる時　　○●　　　　　　　1/4　　　　1/2 ４円もらえる時　　○○●　　　　　　1/8　　　　1/2 ８円もらえる時　　○○○●　　　　　1/16　　　 1/2 ・・・ ・・・ ｎ円もらえる時　（○がｎ個）●　1/２の(n+1乗)　1/2 　全部足すとやはり∞ 282 名前：そろそろ種明かししてもいいよね？ mailto:sage [02/01/31 07:27] １６回連続で表が出た時、初めてプラスになって31070円の得。 １回だけチャレンジした時の勝つ確率は1/(2~15)かな？ 何度もチャレンジすれば胴元を潰せるけど 勝てる確率50％を超えるには…さて、元手はいくら必要だろう？ 283 名前：１３２人目の素数さん [02/01/31 08:03] >>282 え？これ勝てるの？無限に勝負すると負ける金額も無限になりそうな気が。 284 名前：１３２人目の素数さん [02/01/31 08:05] 逆に言うと掛け金はいくらなら均衡するのだろうか？ つーか、支払い金額の上限が無限である限り計算不能なの？ 285 名前：270 mailto:sage [02/01/31 12:25] 結論には影響ないが、>>272にまた細かい間違い発見 根性のある人は探してみるべし で、そろそろエレガントな解答もだれか．．． 「こんなの補助線一本でとけんだよ！」 って言って頂かないと、「官能小説」が完結しないので（藁 ＃それとも、放置プレイか？ 286 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [02/01/31 13:08] ところで>>232の問題って 「裏が出るまで何回もコインを投げる」というゲーム全体で１回と数えて １回10万円とも読めるのだけど。 >>277さんや>>279さんの解釈は１回コイン投げる毎に10万円取られる ってことですよね。 私の解釈では、１０万円しか持ってなくても一応期待値は∞。 もとの出題者の方は、どっちのつもりだったのでしょう？ 287 名前：ネット屋 ◆.t4dJfuU [02/01/31 16:29] >>286 一勝負10万円です。 一勝負は、裏が出るまで。 1.10万支払う 2.コインを投げる 3.表だったら2.へ 4.裏だったら、2の（表が連続で出た回数）乗の金額がもらえる。ただし、0回は0円。 計算が面倒だったら、0回で1円あげてもよし（笑 ごめん、漏れ答え知らない（ｗ 288 名前：　 [02/01/31 18:23] >>286 277、279さんの解釈は正しいと思います。 期待値の各項とは、いってみれば場合わけであって、 １回目で裏が出た人はもらえる金額が（2-100000）円で、 これが起こる確立が1/2なのだから、その場合の期待値は（1/2）*（2-100000） ２回目で裏が出た人は同様に（1/4）*（4-100000）。 ここで大事なのは、1と2は両立できないということ。結果がそれぞれの場合に最終的に 100000を引くので、毎回100000円を引くわけではない。 289 名前：１３２人目の素数さん [02/01/31 21:15] 問題出してイイデスカー 2種類以上で有限個の種類のアルファベットがある。（a,b,cって感じで） そしてそれらから生成される単語を並べていく。（acabとかbaとか） ただし、後に出た単語からいくつかの文字を抜いて、前に出た単語と 同じになるような事が無いようにするってこと。 例）a,bの2つから出来る単語を並べる場合 aba,bbaa,aa,bbb,abbaと１つ並べた時、 ５つ目の単語「abba」は１つ目の単語「aba」を含むからダメ。 abbab,abab,aab,abbba,bbaaは後に出た単語が前の単語を含んでいる ような事が無いのでOK この時いつまでも単語を並べていくような事は可能か？ 290 名前：289 [02/01/31 21:18] 去年の5月くらいにこの問題についてのスレッドがあったような気がするんですよ。 そして250くらいのレスがついてたような気がしたのですよ。 しかし、当時も確か単発質問スレは削除される運命だった気がするし、 それに実際数学板の過去ログを全部見ても該当スレッドが無い… 自分の妄想が考え付くような問題じゃないんですけどねぇ…一体どうしてそんな記憶があるのやら 291 名前：289 mailto:sage [02/01/31 21:19] 289で 「するってこと」→「すること」 「aba,bbaa,aa,bbb,abbaと１つ並べた時」→「aba,bbaa,aa,bbb,abbaと５つ並べた時」 ですね。すいません

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