数学基礎論・数理論理学のスレッド　その7

1 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/11/11(木) 22:13:57 ] 数学基礎論は、素朴集合論における逆理の解消などを一つの動機として、 19世紀末から20世紀半ばにかけて生まれ、発展した数学の一分野です。 現在では、証明論、再帰的関数論、構成的数学、モデル理論、公理的集合論など、 多くの分野に分かれ、極めて高度な純粋数学として発展を続けています。 （「数学基礎論」という言葉の使い方には、専門家でも若干の個人差があるようです。） 応用、ないし交流のある分野は、計算機科学の諸分野や、代数幾何学、 英米系哲学の一部などを含み、多岐にわたります。 （数学セミナー98年6月号、「数学基礎論の学び方」 ttp://www.math.tohoku.ac.jp/~tanaka/intro.html 或いは 岩波文庫「不完全性定理」 6.4 数学基礎論の数学化 などを参照） 従ってこのスレでは、基礎的な数学の質問はスレ違いとなります。 他のスレで御質問なさるようにお願いします。 前スレ 数学基礎論・数理論理学のスレッド　その6 kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1265884076/ 52 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/12/30(木) 00:31:12 ] >>45 完全性定理の証明に選択公理が使われてても問題ないのか？ 納得できん 53 名前：１３２人目の素数さん [2010/12/30(木) 03:05:37 ] ゲーデルによる不完全性定理の証明に中国剰余定理が使われているようなもの。 計算量理論の観点からすると問題になるらしく、この定理を使わない改良版もあるそうだ。 54 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/12/30(木) 08:05:03 ] 確か前スレに完全性定理と選択公理の話あったぞ 55 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/12/30(木) 22:01:05 ] 選択公理を無くせ 56 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/12/31(金) 17:24:04 ] >>54 前スレ見たけどいまいち。 「式の集合」がZFCのモデルになっているとは考えにくいし。 57 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/12/31(金) 17:28:09 ] 「式の集合」がZFCのモデルになっているなんて話あったかなあ、 58 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/12/31(金) 19:08:16 ] >>57 あ、そこまでは言ってないや。 でもZornの補題とほぼ同じような論拠で極大理論をもってきてるでしょ。 理論＝公理の集合。つまりは式、というか文字列の集合だし、そんなものが ZFC（の一部かな？）のモデルになってるわけないや、と。 59 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/12/31(金) 20:58:41 ] ごめん前スレよく見たら131あたりで議論してるね。 有限な立場では完全性定理の証明はできないってところまでは合意済み（？）のようだ。 それと上記の疑問はまた別物と言うことで。 60 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/12/31(金) 21:16:55 ] 人間や計算機が実際に扱うような理論は、有限個の記号しか扱わないから 論理式を整列できるし、選択公理も別に要らない。 だから認識論的なことを話題にする限りは別に問題にはならなくて、 選択公理が問題になるのは、そもそも理論で使う基本的な記号の集まり自体が 基数を持たない、みたいな場合なので、別に問題ないんじゃないかと。 61 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/12/31(金) 22:54:53 ] >>60 そうなのか？ 記号が有限、個々の論理式の長さは有限、全体としては可算無限まで。 その中から矛盾にならないよう論理式を選んでいって極大理論に至る。 これが論理式が整列できるなら選択公理いらない？ 62 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/12/31(金) 23:20:03 ] ところで完全性「定理」っていうけど何理論の定理？ 一階述語論理における真理ではあるんだろうけど、「定理」って？ 63 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/12/31(金) 23:38:16 ] A1 A2 A3 …：閉論理式の枚挙 �@Γ_0 ：無矛盾集合 �AΓ_i まで得られたとして、Γ_i+1 を次のように定める 　Γ_i │─ ¬A_i+1 ならば Γ_i+1 ＝ Γ_i 　Γ_i │─ ¬A_i+1 でないならばΓ_i+1 ＝ Γ_i ∪ { A_i+1 } Γ_∞ ＝ Γ_0 ∪ Γ_1 ∪ Γ_2 ∪ … と定めると、これは無矛盾かつ完全（どの閉論理式も証明可能or反証可能） 記号が可算個なら閉論理式は可算個なので、 選択公理の替わりに上の事実を用いて極大無矛盾集合を作ればよい 64 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/01/01(土) 01:00:12 ] 2011明けましたおめでとう >>63 各 A_i+1 または ¬A_i+1 を追加する箇所でどっちが無矛盾か判定する手続きはないから作ることはできないよね。 「作ることができる」じゃなくて「存在するよ」だったら言えるのか。 枚挙された閉論理式の集合の冪集合の中に「すべてをうまく選んだ例」が一つは存在するよ、って主張だろうか。 選択公理の使用だけじゃなく他にもいろいろ気になるなあ。 65 名前：１３２人目の素数さん [2011/01/01(土) 08:02:53 ] ゲーデル解釈っぽく考えたら心理的な違和感はだいぶ解消する つまりＡという命題を「Ａでないということはない」、 「Ｇ（ｘ）となるｘが存在する」を「全てのｘに対してＧ（ｘ）でない、ということはない」と解釈する 66 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/01/01(土) 16:16:48 ] >>65が流れと関係あるのかどうかわからんね。 完全性定理への選択公理の使用有無は>>63にもう一度聞きたいな。 67 名前：１３２人目の素数さん [2011/01/01(土) 22:23:43 ] 存在という言葉にこだわるのは楕円曲線を考えるとき楕円をイメージするくらい意味のない行為 68 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/01/01(土) 22:31:41 ] だって素手でやっていい範囲でって言われても、その範囲がわかりにくいじゃん。 楕円曲線とかは抽象的存在と割り切って議論進めてるんでしょ？使っていい道具も決まってるんだろうし。 論理式の集合だと実在してるものを相手にしてる感じだし〜 69 名前：東大生 mailto:AGE [2011/01/01(土) 23:13:34 ] おまえら馬鹿なんだから、蘊蓄はいいよw 70 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/01/01(土) 23:18:02 ] > 蘊蓄 へー、なんて読むんですか〜？ 71 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/01/02(日) 00:32:47 ] うんち 72 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/01/02(日) 01:16:41 ] くいたい 73 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/01/02(日) 02:37:57 ] eのe乗、πのπ乗、πのe乗が有理数でないことの証明をお願いします。 ウィキのゲルフォントの証明のページで、eのπ乗しか証明されておらず驚きました。 できないものなのでしょうか？ 74 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/01/02(日) 11:19:17 ] ここ数論のスレじゃないから。 >>69-72みたいな話するところでもないけど。 75 名前：68 mailto:sage [2011/01/02(日) 11:45:49 ] 集合論とかの道具を使っていいのかってよりも、成り立たない場合をどう考えればいいのか、とか 正直よくわからないんだよねー。 あれから少しぐぐったところ完全性定理への選択公理の使用有無については >>63と同じ様なこと書いてあるサイト見つけたんだけど、 　ttp://ysserve.int-univ.com/Lecture/SymbolLogic/node42.html やっぱり冪集合公理や選択公理を使用してるのかしてないのか、成り立つとしていいのか ダメなのかについて理解が進展しないや。 76 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/01/02(日) 15:27:50 ] そもそも無限公理は使って良いの？ 外延性公理は？ 77 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/01/02(日) 19:44:58 ] 論理式を「実在するもの」と考えるのなら、構文論的に考察することにならない？ 述語論理の「意味」なんて考え出したら超越的議論が必要になるのは、感覚的に自然 78 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/01/02(日) 22:32:30 ] >>76 少なくとも無矛盾性を問題にしているときに無限公理を疑うってのは極悪過ぎない？ >>77 論理式を実在物として構文論的に考察しているときのことを言ってるんだが。 「理論」の拡張時に無矛盾性を保ちながら極大集合を得る話でしょ。構文論だと認識してるが。 79 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/01/03(月) 00:44:17 ] >>44 ＞公理的集合論は一階述語論理の上に定義されるから ＞"公理系"の"系"って公理的集合の一種にはなりませんよね？ 俺も初心者だけど まさに>>78の言うように「構文論的」に考察しているからこそ たとえ集合論が一階述語論理を用いて定義されていようが 「一階述語論理で記述された公理系の性質」について調べるときは 公理系を論理式の集合と考えて、集合論という道具を使って調べるんじゃないかな 80 名前：79 mailto:sage [2011/01/03(月) 00:59:47 ] >>79の最後が抜けてた だから公理系は公理的集合の一種になると思う 81 名前：79 mailto:sage [2011/01/03(月) 01:37:26 ] ごめん>>80はちょっといろいろ言い切りすぎてるか 「一階述語論理の公理系がなにがしかの性質をもつことを、厳密に示す場合」には 公理系を集合とみなして、集合論を道具として使って議論を進めて その集合論に基づく議論によって得られた結果をもってして 「一階述語論理の公理系はこれこれの性質をもつことが示された」 と考えるんだと思う。 あと、もちろん、その超数学的議論の中では その発想のおおもとや意味が有限的なものではない 集合論のいろいろな公理とか、モデルや解釈や それを集めるとか一つ選ぶとかいった概念が登場するけど それは普通は問題とは考えない。 ・・・あれ、なんだろ なんか今になって急に恥ずかしくなってきた もしかして俺、場違い？ 82 名前：79 mailto:sage [2011/01/03(月) 02:11:44 ] ありゃ >>52からの流れで >>56みたいな疑問が出てきて さらに>>64の論点も追加で出てきて 本当に集合論？という話になってるのか すいません場違いでした 83 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/01/03(月) 02:18:47 ] 極大イデアルの存在を言うために選択公理を使うのは抵抗ないのに 極大無矛盾理論のときはなんかひっかかる 考えてみればおかしな話だ 84 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/01/03(月) 02:32:38 ] 公理的集合論を組み立てていくときに 述語論理の完全性だとか、極大無矛盾理論の存在だとかは 無関係、必要ない情報なんじゃないかと思うのだけど そうして、既に組み立てられた公理的集合論を用いて、 「論理式からなる集合」について一層詳しい性質を調べることは 別におかしくない 85 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/01/03(月) 09:50:46 ] おはよう。 誰が誰やらわからんけど、>>82の言うとおりの流れだと思ってる。 >>84の >公理的集合論を組み立てていくときに・・・必要ない情報 も、必要な部分だけつまみ食いすればいいだけという意味であってると思うが、 論理式の集合がZFCのモデルになっていると素直には認められないんで、その点で いろんな立場があり得るんじゃないかと考えてる。 またその流れで>>62の疑問も出てきてる。 86 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/01/03(月) 13:04:25 ] 無限公理を疑うのは極悪過ぎる（？）、だから認めて良い、とか 理屈になってないと思うんだけど…… だいたい「論理式の集合がZFCのモデルになっている」 ってどういう意味で言ってるんだろうか。普通こういう言い方はしないと思うけどなあ。 論理式の集合が即理論のモデルになるわけじゃなくて 論理式の無矛盾な極大集合を一つ取って、そいつが持ってる情報から モデルを組み立てる、ということをやってるだけなんだけど。 87 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/01/03(月) 13:48:48 ] >>86 無限集合の存在を認めて初めて理論の無矛盾性を問題にできるんだから、 理論の無矛盾性を問題にしておきながら無限集合の存在は認めません、という態度は 話にならないと思ったんだが。 論理式の無矛盾な極大集合を一つ取るってことがどうして可能になるの？ 論理式の集合がZFCのモデルになってると考えてるからでは？ 88 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/01/03(月) 13:52:14 ] ＞「論理式の集合がZFCのモデルになっている」 完全性定理の証明の過程で、 一階理論（これはZFCを特別な場合として含む）のモデルの存在を示す ことを指していると推測 >>86に加えて言うと、 モデルを組み立てられるのは、元々の理論が無矛盾という仮定の下での話 ZFCが本当に無矛盾かどうかは未だに不明 ＞論理式の集合がZFCのモデルになっていると素直には認められないんで これを認めるのは、ZFCが無矛盾であると認めるのと同じこと 89 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/01/03(月) 15:31:10 ] 無矛盾ってのはφ ∧ not φがどちらとも証明できてしまうようなことが起きない、 ということなのだから、構文論的にはある記号変形手続きが存在しないことで、 すべての自然数が〜〜を満たさない、程度のことは扱える必要があるけど 無限集合を扱う必要はないと思うけど。 だいたい完全性定理を前提にしない限り、モデルと無矛盾性は直接関係無い。 とりあえず完全性定理の証明を良く読んで 自分で証明を再構成できるようになるのが一番の近道な気が 90 名前：イスラエルの数学 [2011/01/03(月) 16:23:33 ] サラハやシュピロなどによる、 数理論理学・集合論的位相空間論・無限組み合わせ論や保型関数論などの発達が近年目覚しいが、 なぜかまったく話題にならない数学世界。 91 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/01/03(月) 16:42:29 ] 保型関数論がどうしてそこに付いてるのか良く分からん 92 名前：イスラエルの数学 [2011/01/03(月) 17:02:56 ] シュピロの保型関数研究は有名ですが。 いずれにしろシェラハに全く言及できていない時点で 日本数学界の世界数学からの取り残され感がするのですが。 93 名前：イスラエルの数学 mailto:sage [2011/01/03(月) 17:08:14 ] そもそもシェラハのやっている数学を理解できている人間が日本にいるのだろうか。 いまだにグロタンディークで盛り上がるような世界では Ω-logicもpcf-thoryも知られていないでしょうが・・・。 94 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/01/03(月) 17:58:45 ] >>89 論理式の長さやその総数に制約を付けないという前提で A ∧ not Aの証明があるか、ないか を問題にしてるんですよね？ 論理式や証明というものが無限にある、という主張などいちいちせずとも構文論的な考察はできる というのが「無限集合を扱う必要はない」という意味でしょうか？ >>88 中段と後段はわかります。なので 「論理式の集合がZFCのモデルになってると証明できない（←当然だが）だけでなく、 モデルになっていないと感じている」 ぐらいの言い方に変更します。 95 名前：79 mailto:sage [2011/01/03(月) 19:57:46 ] すいません 流れが読めてないついでにもうちょっと聞いてみたいんですけど >>56 = >>88 さんの主張は 「閉論理式の集まりは，ZFCで集合として取り扱えるものではない」 あるいは 「極大無矛盾集合の構成には，ZFCでは許されていない操作が含まれている」 ということなんでしょうか？ それとも 「完全性定理の証明にはなんらかの超越的な公理が必要だが それはかくかくしかじかの点で問題がある」 ということなんでしょうか？ 96 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/01/03(月) 21:44:30 ] >>95 まず>>56 ≠ >>88 なんだけど、自分の主張は 「閉論理式の集まりは，ZFCで集合として取り扱えるものではない」 が一番近いと思う。>>85もそういう気持ちで書いている。 だけど、逆（モデルになっている）の捉え方をされていたかも。（>>86とか>>88とか） 97 名前：79 mailto:sage [2011/01/03(月) 22:34:08 ] >>96 56 = 87 と書くつもりが間違えました．ごめんなさい． ＞「閉論理式の集まりは，ZFCで集合として取り扱えるものではない」 ＞が一番近いと思う。>>85もそういう気持ちで書いている。 近い，とは・・・？ 98 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/01/04(火) 00:10:09 ] ＞「閉論理式の集まりは，ZFCで集合として取り扱えるものではない」 ZFCの枠組みの中で、帰納的に定義された集合について調べよう。その集合はたまたまZFCの公理系と読めるものだ。 というだけの話では？ ZFCに用意された記号、論理式をZFCの考察の対象とすることに 自己言及のような気持ち悪さを感じているのだろうか。 はたまた、さらにそこから新しい記号を導入して、元のZFCから拡張されてしまうことになるから、 拡張された体系は一体何物なんだ、ということか。 そうではなくて、例えば… 自然数1を¬　自然数3を⇒　自然数5を∀ 自然数8n+7を関数記号f_n 等とみなして、これら自然数の（帰納的に定義された）特定の列からなる集合を考える。 ということ。 自己言及ではない。 見当違いの指摘だったらｽﾏｿ 99 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/01/04(火) 00:11:55 ] >>97 とは・・・？　って聞かれても．．． ただ素朴なモノの集まりとしてみた場合に、集合論が成り立ってる気が全然しないというだけ。 ベキ集合の公理とか、選択公理とか。 100 名前：99 mailto:sage [2011/01/04(火) 00:21:11 ] >>98 すれ違いになっちゃったけど・・・ > 記号、論理式をZFCの考察の対象とすること これ自体は何の違和感も感じてないつもり。 ZFCを拡張してるなんてことも思ってないです。 ごめんなさい。何か決定的な勘違いしてるんじゃないかと不安になってきた。 101 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/01/04(火) 03:46:53 ] >>93 何年か前の数セミでも、PCFは紹介されてた。 102 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/01/04(火) 09:17:07 ] 論理式の集まり F があったときにその冪集合の元は別に論理式じゃないんだから 論理式の全体の中でいくら探してもその中に F の冪集合なんか無い訳だけど、 当然の話だし、何も問題ないと思うけどなあ。 論理式の集まりがZFCのモデルになるんじゃなくて ZFC（のモデル）が論理式を扱える、というだけでしょ。 だからZFCの方に論理式を素朴に扱う上で必要の無い余計な公理 がちょっと位付いててもそんなに大きな問題は無いと思うんだけど。 103 名前：ノニ [2011/01/04(火) 17:49:14 ] >>101 そうでしたか。 日本でシェラハがここまで無視されているのは、 なぜなんでしょうか。 104 名前：ノニ [2011/01/04(火) 17:57:07 ] >>102 一見したところ、それが正しい理解のようでした。 自身をもって結構ですよ。 確かにZFCのモデルは論理式を扱えますが、 それが２階の述語論理に基づくものだということを確かめてくださいね。 バベルの図書館的宇宙はモデルより先にあるのですから。 105 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/01/04(火) 19:10:45 ] うっせ帰れ 106 名前：猫は作業 ◆MuKUnGPXAY mailto:age [2011/01/04(火) 19:42:51 ] >>105 まあエエがな。ソレともワシがアンタの相手をスルかァ！ 猫 107 名前：99 mailto:sage [2011/01/04(火) 21:53:52 ] >>102 もともとは完全性定理の証明に超越的な方法が使われているかどうかが 問題だったのに、ZFCのモデルなどという話にしちゃったのは申し訳ないです。 冪集合のこともおっしゃる通り。 で、>ZFC（のモデル）が論理式を扱える　ってとこだけど、論理式を素朴に扱う上で 必要の「ある」公理って何を指してますか？ 冪集合公理は関係ないとしても、選択公理がそこに含まれるかどうかが最初の疑問 だったわけですが、そこらへんは>>64あたりから前に進めていない気がする。 >>83 環とかは最初から（集合論でいうところの）"集合"として考えるわけで、構成手続きを経て文字から 組み立てられる具体的な論理式は同次元に捉えられないです。 それに極大イデアルの存在は選択公理に依存している、と言うとみんな「その通り」と返してくると思うけど、 極大無矛盾理論のときはそういうすっきりした回答が無いのでは？ 108 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/01/04(火) 22:52:08 ] どうしても理論のモデルが欲しいんだい！などと我侭を言わずに あくまで構文論的に論理式を扱う限りでは ペアノ算術で充分過ぎるくらいで、実際はもっと弱い算術でも大丈夫。 選択公理ACが無くてもZFはペアノ算術を解釈できますから 論理式の操作も充分扱うことが出来ます。 というか置換公理も基礎の公理も要らないから、 順序数とか使って複雑なことをしたりしない限りZ-とかでも大丈夫。 で、どうしてもモデルとかそれに類する超越的対象が欲しいといったときに 極大無矛盾理論の存在がどの程度超越的なのかについては、 前スレで話が出た通りです。 逆数学的な方向じゃなくてもっと大雑把にZFの上でどうなのかは あまり調べる気がしませんが、Löwenheim-Skolemの定理が ACと同値なのは昔から知られているので、仮に完全性定理が ACと同値だと分かったとして、そりゃあそういう結果が出るだろうなあ、という感じです。 109 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/01/04(火) 23:09:36 ] ストーンの定理、ブール主イデアル、完全性定理が同値でなかったっけ。 110 名前：１３２人目の素数さん [2011/01/05(水) 13:01:24 ] ヒューズの様相論理入門』に ●が定理であるなら□●が定理　必然性規則 ●→□●　公理（ここで、●は定理）　は駄目 というくだりがあったと思うんですが 反例が思い浮かばずに（思い出せずに、今、手元に本ありません）苦しんでます なんで駄目なんでしたっけ？ 111 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/01/05(水) 20:19:48 ] 偶然に真だけど必然的に正しい訳じゃないみたいな例を挙げれば良いんじゃないの？ 112 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/01/05(水) 21:24:26 ] A→∀xA　がダメなのと同様に考えればいいんじゃないの？ 113 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/01/05(水) 21:39:33 ] >>108-109 了解しました。というか何となくすっきりしました。 まあACがない場合どうなるか、という仮定だと面白い結果が無いんでしょうね。 wikipediaでは「一階述語論理における意味論的真理と統語論的立証性の対応を確立した」とか いかにも絶対に成立する結果のように書いてるけどｗ 114 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/01/05(水) 22:49:52 ] そりゃあ普通、選択公理は認めるものですし… 115 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/01/06(木) 20:31:31 ] 田中尚夫の公理的集合論 どこにも売ってねえ（ノД｀）゜。゜。 116 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/01/06(木) 20:55:06 ] もう絶版でしょ 古本で買うしかないけど、今はKunenの訳書あるからなあ 117 名前：１３２人目の素数さん [2011/01/07(金) 17:00:07 ] 質問です。アレフって極限基数なんですか?　それとも直前の基数が存在するんですか? 証明付きでおながいします。 118 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/01/07(金) 17:27:52 ] Introduction to Cardinal Arithmetic でgoogleブック検索せよ 119 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/01/07(金) 20:28:07 ] なぜにその本 120 名前：１３２人目の素数さん [2011/01/08(土) 18:15:24 ] 集合論はPDFがネット上にたくさん転がってるでしょ。 121 名前：猫は作業 ◇MuKUnGPXAY [2011/01/08(土) 18:42:30 ] もうエエかァ？　ほしたらや： ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■ このスレは他板・他スレ運営妨害の非常に悪質糞スレの為に ■■■■■■ ■■■■■■■反感を買って終了しました。 皆様のご愛顧有難う御座いました■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ 猫 122 名前：117 mailto:sage [2011/01/09(日) 21:30:03 ] >>117 答えは解っているのですか？それとも未解決なんですか？ 123 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/01/10(月) 00:35:54 ] どっちも（ZFCから）示せないはず。 2^(aleph 0) が後続基数 aleph(n+1) だと仮定しても 矛盾しないことは昔から分かってる。 （n=0のときGo¨del、nが正の整数のときCohen） 極限基数でも良いんだけど、ただしaleph_ω とかaleph_ω^2とかと 等しくなることは出来ない、というのは簡単に証明できて、 よく一、二年の集合論の期末試験で証明問題として出されたりする。 じゃあどういう極限基数 κ なら良いんだということになると、 少なくとも共終数cf(κ)がωよりも大きくないといけないことは 同様に証明できるんだけど確かこのようなκの存在は証明不可能だったと思う。 つまり敢えて難しく言うと 「「連続体濃度が後続基数であることは証明できない」ということは証明できない」 ということが証明できるということです。 そうは言っても皆「連続体濃度が後続基数であることは証明できない」のは ほとんど確実だと思ってるんですけどね。 124 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/01/10(月) 00:37:45 ] 最後らへん本当にそうなのか不安になって来た。 もっと詳しい人フォローお願いします。 125 名前：１３２人目の素数さん [2011/01/10(月) 07:27:12 ] すみません。どこで質問していいのか判らないのでここかもと思って書いてみました。 親切な方がいたら教えてくれたら嬉しいです。 また、もし「スレチだ、ここに書くな」という人がいましたら、出て行きますが もしできたら適切なスレを教えて貰えたりすると嬉しいです。 では、質問です。 この問題に詳しい人はこんな質問をすること事態が疑問かもしれませんが お願いします。 テレビのドラマを見ていて４色定理というものをみました。 ja.wikipedia.org/wiki/%E5%9B%9B%E8%89%B2%E5%AE%9A%E7%90%86 これなのですが、以下のような地図の時はどうするのだろうか？ということです。 ------------------------------------------- │ 土地A │ -------------------------------------------- │土地B　│土地C　│土地D　　│　土地E　│ -------------------------------------------- こんな形なのですが・・・・ 土地B・C・D・Eは飛び地ということなのでしょうか？ 宜しくお願いします。 126 名前：１３２人目の素数さん [2011/01/10(月) 07:28:31 ] あっ、ごめんなさい。 ------------------------------------------- │ 　　　　　　　　土地A 　　　　　　　　│ -------------------------------------------- │土地B　│土地C　│土地D　　│　土地E　│ -------------------------------------------- こうです。 127 名前：１３２人目の素数さん [2011/01/10(月) 07:32:03 ] 宮崎の口蹄疫、実は韓国産 韓国の口蹄疫ウイルス、宮崎とほぼ一致　水際対策を強化 ttp://www.asahi.com/national/update/0107/TKY201101070483.html 　農林水産省は７日、韓国で大流行している家畜伝染病・口蹄疫（こうていえき）のウイルスを分析した結果、昨年に宮崎県で広がったものと遺伝子配列がほぼ一致したと発表した。農水省は国内への侵入を防ごうと、 空港や港など水際での防疫対策を強めている。 　農水省によると、韓国では昨年１１月に東部の慶尚北道・安東で確認されたのを皮切りに、５道１市とほぼ全土に拡大した。今月７日までに９９例が発生し、牛や豚約１０７万頭が殺処分の対象になった。このほか 約１２０万頭にワクチンを接種中だ。 　このウイルスを韓国政府が分析した結果、宮崎のウイルスと遺伝子配列が９９％以上一致したという。韓国では昨年４月にも発生していた。 128 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/01/10(月) 07:56:01 ] ------------------------------------------- │ 　　　　　　　　土地A 赤　　　　　　　　　　　　　　　　│ -------------------------------------------- │土地B 青│土地C 黄　│土地D 青│　土地E 黄│ -------------------------------------------- でこの場合は３色でOK 129 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/01/10(月) 08:45:46 ] BCK論理ではラッセルのパラドクスが発生しない。 BCK論理を中心とする部分構造論理は数学のすべてを記述するだろう。 130 名前：１３２人目の素数さん [2011/01/10(月) 16:13:01 ] >>128 あっ、そうか。 俺、あほだな。 ありがとね。 131 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/01/13(木) 00:32:45 ] 自然数の0のことを 0: = Ø = { } と定義しちゃったら 空集合と0を区別して使いたい場合に困るじゃないか、 仮に0を退避させてもその先で用途が今後被るかも知れないじゃないか、 っていうことは公理的集合論を勉強し始めたときに気持ち悪い点の一つだと思う。 順序対の定義とかもそうだけど、最初に集合論を勉強し始めたら 結構な人が違和感を持つんじゃないだろうか。 これは、これこれの対象と関数と述語が存在して 自然数論の公理を満たす構造になっている、 という公理系 T を別に考えて理論の合併 ZFC ∪ T を考えれば良くて、 ZFC ∪ T では0=Øみたいな式が証明されることは絶対無いので 実際に数論とかの数学をやるときはこっちのほうが自然。 でも集合論の公理系のことを主に考えている場合は T の∃z 〜〜 とかは実はZFCの公理から普通に証明できるので、 敢えて公理にする必要無いよねって話だと思うと良い。 人間が読めば文脈で区別できます、みたいな返答はあんまりじゃないかなあ。 そりゃそうだがそんなこと言ってるんじゃないだろうよ。 132 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/01/13(木) 06:20:19 ] >>131 ツイッターから出てくるなよゴミカス 133 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/01/14(金) 22:30:41 ] 「数学のロジックと集合論」によると 完全性定理は選択公理よりもちょっと弱いらしいよ こないだ立ち読みしてたら書いてあった 134 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/01/15(土) 01:41:29 ] ゲンツェンによる自然数論の無矛盾性証明における 証明図の簡略化は有限回で終わるのか。 言い換えれば、対応する順序数は整礎なのか。 正しいような正しくないような…モヤモヤする… 135 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/01/15(土) 06:04:33 ] 最近、数学するときに不完全性定理のことを もっと真剣に考えないといけないと思うようになりました 真とも偽とも判断が付かない命題があるなら 真か偽かを考えると同時に証明できない可能性も考えるべきだと思います そこで、ある命題が「真とも偽とも証明できない」ことを 証明するような手段を知りたいのですが、 何か手順・プログラムなどがあったら教えてください 136 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/01/15(土) 08:31:57 ] 簡単なところでは反例を作るとか。 集合論的な独立命題なら強制法使って独立性示したり 他の良く分かっている命題に帰着させたりとか。 137 名前：135 mailto:sage [2011/01/15(土) 18:53:51 ] レスサンクスです 強制法とか参考になります 自分はそれほど論理学をマスターしていないので もう少し詳しく教えていただけるとありがたいです > 反例を作るとか。 これはどのような反例を作ればよいのでしょう？ 真または偽と証明できたと仮定して反例を導くのでしょうか？ しかし不完全性の例だと、真であっても偽であっても 矛盾しないような気がします。 > 集合論的な独立命題なら強制法使って独立性示したり 強制法をいまチラ見しただけでまだよく分かってないのですが 任意の命題（集合論的な独立命題でないもの）に対しては 適用できない手法ですか？ よろしくお願いいたします 138 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/01/15(土) 19:58:30 ] 例えば、〜〜という前提のもとでAとnot Aのどちらが正しいのか？ とか言った場合にAを満たす例とnot Aの例の両方を作るとか。 強制法が適用できないような独立命題もあって良さそうなものだけど、 現実問題としてはあまりそういうものは知られてないんじゃないかと思う。 だから独立性のことが気になるなら強制法が一番強力な武器なのは間違いないと思う。 ロジックでは強制法が使えないほど弱い理論（たとえば限定算術）から或る定理が 独立かどうかとかが問題になることもあるのだけど、 普通の数学ではZFCから証明出来たら、証明できたものと見做す。 だいたいAもnot Aも証明できないというのが真実だとしても、 「Aもnot Aも証明できない」ということが必ずしも証明できるとも限らない。 139 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/01/15(土) 20:31:18 ] ありがとうございます！大変参考になります。 > だいたいAもnot Aも証明できないというのが真実だとしても、 > 「Aもnot Aも証明できない」ということが必ずしも証明できるとも限らない。 そうですね。証明可能性を分類していくと A (が証明できる） not A (が証明できる） 「A か not A か証明できない」（ことが証明できる） 『「A か not A か証明できない」ことが証明できない』（ことが証明できる） と続けて n 段階目を 「A か not A かという」 [ことが証明できない]^n (ことが証明できる） と書ける。これを n 段階証明不可と呼ぶと、 n はいくらでも続けることができてω段階証明不可という命題を妄想します。 さらにω段階証明不可が証明不可であることを（ω+1）段階証明不可として 、nω段階、ω^n段階、ω^ω段階のようなことを妄想します。 これらの可能性を包括的に走査するプログラムなどを当方は妄想していますが 不完全性からは無謀な試みでしょうか？ 140 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/01/15(土) 21:46:21 ] そんなつまみ食いで何かできるとしたらよほどの天才 141 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/01/15(土) 21:53:19 ] しっかり栄養をつけて食べるにはどう学習したらよいでしょう？ いまのところ戸田先生の『論理学をつくる』をざっと眺めました。 他の論理学の本は、なんだか頭に入ってこないというか、 書き方が難しいです。哲学よりの本も多いし… 数理論理学をやるのによい中級の本はないでしょうか？ 142 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/01/15(土) 21:55:34 ] 全く無謀な試みです。 ……なぜかと言うと、矛盾からは任意の命題が出て来るので、 　Tから証明できない或る命題が存在する⇔Tが無矛盾 よって、たとえばZFCで考えているとして、ZFCが無矛盾であることが証明できない限り 三段目以降は全部自動的に無理になってしまう。 これも前のスレにあった話だけど。 やっぱ皆考えることは同じだよね。 143 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/01/15(土) 22:02:29 ] >>141 自分は『論理学をつくる』の次に 前原昭二『数学基礎論入門』を読みました。 論理計算を実践しつつ（かなり丁寧）、不完全性定理の厳密な証明が学べます。 命題論理の公理系から始まるので、シンタクスとセマンティクスの区別さえできていれば、 他に予備知識は不要な本です。 144 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/01/15(土) 22:32:41 ] >>141 たぶんその栄養が身になるころにはなんのために論理学を身に着けようとしたのか もう忘れてしまっているのに十分な時間が経過していることでしょう。 三途の川の向こうに答えがあるかもしれませんね。 145 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/01/15(土) 22:48:53 ] >>142 そうですか… しかしZFCからは連続体仮説が証明できない、という結果があったと思いますが これはZFCが無矛盾であることを示したことにならないでしょうか？ もっと込み入った事情がありますか？ 146 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/01/15(土) 22:51:39 ] >>143 ありがとうございます その本も手元に持っていたので読み込んでみます >>144 まあ数学やる以上は答えが出るか分からない旅… 147 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/01/16(日) 00:43:48 ] >>145 > これはZFCが無矛盾であることを示したことにならないでしょうか？ そうするとZFCは無矛盾でないことになりますので、大発見だと思います。 148 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/01/16(日) 10:30:53 ] >>145 単純に、ZFCが無矛盾だとすれば、の前提つきでの話。 もちろん、矛盾していても証明できるけど。 149 名前：139 mailto:sage [2011/01/16(日) 18:36:25 ] >>147 >>148 なるほど。 よく言われる「連続体仮説は証明も反証もできない命題である」 ということの証明には前提条件があったのですね。 しかしZFCが矛盾するとすると集合論が崩壊するので 数学は致命的なダメージを受けますね。 数学という船にのっている以上、ZFCは無矛盾、と仮定するのは 自然な成り行きだと思います。 言い方は悪いですが、沈むときは一緒だ、みないな。 そこでZFCは無矛盾と仮定した上で、>>139 のような 考えはどうなのでしょうか？ どのみち独立性を示すためには基の論理体系が無矛盾であると 仮定しなければならないようなので。 150 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/01/17(月) 00:01:06 ] 渕野昌先生、『ゲーデルと20世紀の論理学』で 御本人が執筆された公理的集合論の解説を丸々upされてるんですね。 太っ腹な御人だ。 151 名前：１３２人目の素数さん [2011/01/17(月) 18:09:18 ] >>149 ZFC集合論が矛盾していたとしても集合論は崩壊しないよ。 別の定式化をすれば良いだけだ。 152 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/01/17(月) 19:08:31 ] 朝倉数学ハンドブックという本の飯高茂先生の章に 「P(N)の濃度をアレフ1と書く」 「アレフ0とアレフ1の間の濃度はないという主張を連続体仮説という」 （アレフは実際にはヘブライ文字で表記されています） と書いてあります。 連続体仮説が成り立たない場合にはアレフ0の次に アレフ(1/2)とかアレフεみたいな基数があるのだと思うのですが これは実数の集合で言うとどういったものになるんでしょうか？

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