ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ11

1 名前：１３２人目の素数さん [2024/08/30(金) 07:16:44.61 ID:cHgt4Zdk.net] 前スレが1000近く又は1000超えになったので、新スレを立てる https://itest.5ch.net/rio2016/test/read.cgi/math/1721183883/ 前スレ ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ10 このスレは、ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレです 関連は、だいたい何でもありです（現代ガロア理論＆乗数イデアル関連他文学論・囲碁将棋まであります） 資料としては、まずはこれ https://sites.google.com/site/galois1811to1832/ ガロアの第一論文を読む 渡部 一己 著 （2018.1.28） PDF https://sites.google.com/site/galois1811to1832/galois-1.pdf?attredirects=0 ＜乗数イデアル関連＞ ガロア第一論文及びその関連の資料スレ https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1615510393/785 以降ご参照 https://en.wikipedia.org/wiki/Multiplier_ideal Multiplier ideal https://mathoverflow.net/questions/142937/motivation-for-multiplier-ideal-sheaves motivation for multiplier ideal sheaves asked Sep 23, 2013 Koushik ＜層について＞ https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%B1%A4_(%E6%95%B0%E5%AD%A6) 層 (数学) https://en.wikipedia.org/wiki/Sheaf_(mathematics) Sheaf (mathematics) https://fr.wikipedia.org/wiki/Faisceau_(math%C3%A9matiques) Faisceau (mathématiques) あと、テンプレ順次 つづく 892 名前：１３２人目の素数さん [2024/12/28(土) 09:52:01.60 ID:aD5GuW9/.net] >>801 誤変換訂正 数学が、物理の弦理論で必要とされる数学を先取りして容易していた 　↓ 数学が、物理の弦理論で必要とされる数学を先取りして用意していた 893 名前：１３２人目の素数さん [2024/12/28(土) 11:49:46.29 ID:27qHSX8Z.net] This paper provides a new definition of the Ricci flow on closed manifolds admitting harmonic spinors. It is shown that Perelman’s Ricci flow entropy can be expressed in terms of the energy of harmonic spinors in all dimensions, and in four dimensions, in terms of the energy of Seiberg–Witten monopoles. Consequently, Ricci flow is the gradient flowoftheseenergies.Theproofreliesonaweightedversionofthemonopole equations, introduced here. Further, a sharp parabolic Hitchin–Thorpe inequality for simply-connected,spin4-manifoldsisproven.Fromthis,itfollowsthatthenormalized Ricci flow on any exotic K3 surface must become singular. 894 名前：現代数学の系譜 雑談 [2024/12/28(土) 13:59:51.94 ID:aD5GuW9/.net] >>803 ご苦労さまです 下記ですね 小平先生や中野先生が、K3曲面を物理に応用しようと研究したわけではないだろうが 物理の弦理論で必要とされる数学になっていた>>801 そういうことですね Ricci flowも、Ricci計量は アインシュタインの一般相対性理論で使われたが Ricci計量を発展させた Ricci flowが、Perelmanによって4次元ポアンカレ予想の解決に使われ それが、新しい数学で使われる そういうことですね (参考) link.springer.com/article/10.1007/s12220-024-01665-y Springer Nature Link Home The Journal of Geometric Analysis Article Harmonic Spinors in the Ricci Flow Open access Published: 16 May 2024 Volume 34, article number 235, (2024) Cite this article Abstract This paper provides a new definition of the Ricci flow on closed manifolds admitting harmonic spinors. It is shown that Perelman’s Ricci flow entropy can be expressed in terms of the energy of harmonic spinors in all dimensions, and in four dimensions, in terms of the energy of Seiberg–Witten monopoles. Consequently, Ricci flow is the gradient flow of these energies. The proof relies on a weighted version of the monopole equations, introduced here. Further, a sharp parabolic Hitchin–Thorpe inequality for simply-connected, spin 4-manifolds is proven. From this, it follows that the normalized Ricci flow on any exotic K3 surface must become singular. ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AA%E3%83%83%E3%83%81%E3%83%95%E3%83%AD%E3%83%BC リッチフロー (Ricci flow) とは、微分幾何学における本来の幾何学的フロー(geometric flow)[1]の一つである。 リッチフローは、熱伝導方程式に形式的に似た方法でリーマン多様体の計量の特異点を滑らかに変形する過程である。 グレゴリオ・リッチ＝クルバストロ(Gregorio Ricci-Curbastro)の名前に因むリッチフローは、最初にリチャード・ハミルトン (Richard Hamilton) により1981年に導入され、リッチ・ハミルトンフロー (Ricci–Hamilton flow) とも呼ばれる。 リッチフローは、最初にグリゴリー・ペレルマン (Grigori Perelman) によりポアンカレ予想の証明のために使われ、同様に、サイモン・ブレンデルとリチャード・シェーンによる微分可能球面定理（英語版）(differentiable sphere theorem) の証明に使われた。 en.wikipedia.org/wiki/Ricci_flow Ricci flow 895 名前：童貞喰い mailto:sage [2024/12/28(土) 16:44:07.75 ID:DRoWkPoj.net] 数学も物理もわかんない坊や 896 名前：が何をイキってるのかしら　うふふ　かわいい [] [ここ壊れてます] 897 名前：現代数学の系譜 雑談 [2024/12/28(土) 17:22:46.99 ID:aD5GuW9/.net] >>804 補足 >harmonic spinors スピノル（英語: spinor） ディラックの量子力学でお目にかかりました （ディラックの本にも書いてあった） 『一般のスピノルは、1913年にエリ・カルタン[2]によって発見され』とありますが ディラックの量子力学では、電子の波動方程式を相対性理論に合うように変形すると 自然にスピン（スピノル）が出てくるという流れで、当時は 1913年のエリ・カルタンの話は 物理屋さんは、だれもご存知無かったみたいです ”The word "spinor" was coined by Paul Ehrenfest in his work on quantum physics.[13]”とあるので 用語 "spinor"は、物理から数学へ逆輸入されたものでしょうか （＾＾ （参考） ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B9%E3%83%94%E3%83%8E%E3%83%BC%E3%83%AB スピノール 数学および物理学におけるスピノル（英語: spinor）は、特に直交群の理論に於いて空間ベクトルの概念を拡張する目的で導入された複素ベクトル空間の元である。これらが必要とされるのは、与えられた次元における回転群の全体構造を見るためには余分の次元を必要とするからである 空間の回転などの作用に伴って一定の変換をするが、スピノルの適当な二次形式を用いればベクトルを表すことができるので、ベクトルよりもさらに基本的な量であると言える。もっと形式的に、スピノルは与えられた二次形式付きベクトル空間から、代数的な[注釈 1]あるいは量子化の[注釈 2]手続きを用いることで構成される幾何学的な対象として定義することもできる 一般のスピノルは、1913年にエリ・カルタン[2]によって発見され、後に電子や他のフェルミ粒子の内在する角運動量、即ちスピン角運動量の性質を研究するために、量子力学に適用された。量子力学においてスピノルは、半整数スピンを持つフェルミ粒子の波動関数を記述する際に不可欠な量であり、今日では物理学の様々な分野で用いられている。例を挙げると、古典論では三次元のスピノル（英語版）が非相対論的な電子のスピンを記述する際に、相対論的量子力学ではディラック・スピノルが相対論的な電子の量子状態を数学的に記述する際に、場の量子論では相対論的な多粒子系の状態を記述する際に、それぞれ必須の概念としてスピノルが活用されている 概略 略 en.wikipedia.org/wiki/Spinor Spinor History The most general mathematical form of spinors was discovered by Élie Cartan in 1913.[12] The word "spinor" was coined by Paul Ehrenfest in his work on quantum physics.[13] Spinors were first applied to mathematical physics by Wolfgang Pauli in 1927, when he introduced his spin matrices.[14] The following year, Paul Dirac discovered the fully relativistic theory of electron spin by showing the connection between spinors and the Lorentz group.[15] By the 1930s, Dirac, Piet Hein and others at the Niels Bohr Institute (then known as the Institute for Theoretical Physics of the University of Copenhagen) created toys such as Tangloids to teach and model the calculus of spinors 898 名前：現代数学の系譜 雑談 [2024/12/28(土) 17:48:43.26 ID:aD5GuW9/.net] >>805 数学科でオチコボレた君へ ”数学科進学をおすすめしないタイプ2選”ｗ ；ｐ） youtu.be/cN_HevguEvg?t=1 数学科進学をおすすめしないタイプ2選【進路を迷ってる人へ】 人工知能とんすけ 2022/04/26 数学科進学を迷ってる人向けにどういう人が来るべきか来るべきじゃないかを語りました。やる気をそぐ目的は全くなく、純粋に参考にしてもらいたいと思います。数学は大変な学問です。中途半端な気持ちで来て中途半端にしか学習できないと余裕で詰むような学科です。数学への愛の深さが大事になってきます。私は数学科はあまりおすすめしないという先生のアドバイスにも全く聞く耳立てず行きました。もちろん数学科を楽めました。でも、皆がそうかというと、そうでもないのが現実です。仲の良い友達の中で数学科に来てよかったと言ってる人はいません。でも、もし数学が本当に好きなら来てください。大学の数学のテキストを読んでみてわくわくしたのなら来てください。人生においてわくわくは大事です。 ええこといいすぎたか？？？ 文字起こし 0:01 コメントが来て数学をやりた奴のやるきをそぐ なっていうコメントがきた 0:08 それについてちょっと僕が言い たいことがあるので今回は数学科に来ない 方がいい人こういう人は来ないほうがいい よっていうことをねやる気をそぐんでは なくってあの現実を知らせて 0:22 通り抜ける人は全然やっていけるよ っていう意味も込めて 動画にまとめたので参考にしてください 0:31 まず1つめにふうにちょっと言われた くらいで数学への愛がなくなってしまう人 は来ない方がいいです　っていうのは数学 っていうのは一人で向かい合う学問なん ですね研究とかはグループで共同 研究というのははやりですけどやっぱり自分 で考える時間が長くて自分ひとりで大学 入ってもね自分ひとりで教科書と向き合っ て分らないことを解決してっていう一人の 向かい合う時間が長いんですよ数学のこと を愛してなかったらそんなにずっと同じ ことを考れないんですよ どれだけ愛し てるのかっていう点において人には やめ ておいたほうがいいよみたいな感じがある 1:12 てそうかなーって悩んでしまうようだっ たらそんなに愛してないんでねそういう 意味で人にちょっと言われたぐらいでやっ た辞めた子かな違うほうがいいかなーって 思ってしまうようだったら数学科は辞めた 1:24 ほうがいいです僕は高校の先生全員に聞い てね数学の先生全員に数学科ってどういう ところですか行ったほうがいいですか行か ない方がいいですかって言ったらほとんど 1:34 の先生があまりお勧めはしないって言って きました 1:42 俺は数学が好きだ誰だから行くって いうのを決めて言うんです 899 名前：１３２人目の素数さん [2024/12/28(土) 19:42:36.80 ID:aD5GuW9/.net] >>807 補足 自分のことを書いておくと ”数学科進学をおすすめしないタイプ2選” の両方当てはまっている 1）「ちょっと言われたくらいで数学への愛がなくなってしまう人」 　高校時代に友人に「数学科ってどうよ」と聞いたら 　「ちょっと数学ができるくらいで、俺たちが数学科へ行っても、せいぜい高校数学教師が関の山」 　と言われて、そうだなと思った 　高校数学教師なら、最初から教育学部の方が良いかも 2）「数学科でやっていく自信もない」も、その通りだった 　受験科目としての数学は好きだったが、とんすけ氏のいう 　「数学への愛」ｗまでは 無かった 　つーか、物理の方がワクワクした 　その物理を支える数学は凄いと思ったし 　いまでも、そう思うよ 　物理への応用を考えた訳ではない数学が 　物理学が進化すると、自然に超高度な数学理論が必要とされるようになるらしい 　あるいは、物理学者が考えた理論が、高度な数学理論と結びついてくるとか（立川裕二、小沢登高） なので、高校で同級生450人くらい居たけど 数学科へ進学したやつを知らない。聞いたことがない。多分いない （そもそも、理学部へ進学するのは、ごく少数だった（物理に行ったのがいた）。当時 食える学部ではなかった） ja.wikipedia.org/wiki/%E7%AB%8B%E5%B7%9D%E8%A3%95%E4%BA%8C 立川裕二 経歴 灘中学校・高等学校在学中には、国際数学オリンピックの日本代表に2回選出された。 1998年、灘高等学校を卒業後、東京大学理科一類入学、東京大学理学部物理学科卒業 研究　 超弦理論に関する重力理論、数理物理、及び超対称性のある4次元場の理論。AGT対応の発見者。 2018年 国際数学者会議 2018 Rio de Janeiro 招待講演者 (講演非実施)[8] www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~narutaka/rireki.html 小沢 登高 1993年4月 東京大学理科一類入学 学部時代は一貫してTVゲームとバイトに多忙。 1995年4月 同理学部数学科進学 高校時代に科学雑誌を通して理論物理に興味を覚えたが、 現代数学については完全に無知。 そんなわけで大学入学時は理物に進もうと思っていたが、 線形代数が面白かったので数学に進むことになった。 実は微分方程式が嫌いであるという理由も大きい。 1997年4月 東京大学大学院数理科学研究科修士課程入学 河東先生と泉先生の指導の下、作用素環を学んだ。 ひょんなことからマイナー分野であった作用素空間論の勉強を始める。 900 名前：１３２人目の素数さん [2024/12/28(土) 20:19:53.02 ID:oa5Yr+V9.net] ペレルマンはポアンカレ予想を解決したが 4次元ポアンカレ予想は未解決 フリードマンの仕事は 4次元ポアンカレ予想の可微分バージョンの解決 901 名前：童貞喰い mailto:sage [2024/12/28(土) 20:45:13.40 ID:DRoWkPoj.net] ”数学科進学をおすすめしないタイプ2選” 1.数学書を丁寧に読めない人 　要するに理屈とかどうでもよくて、ただ方法だけ●●チョンで知りたい人 　そういう人は数学科は無理ね 2.栄光だけを求めるミーハーな人 　要するに努力とか大嫌いで、ただちやほやされたい人 　そういう人はそもそも学問が無理ね 　童貞クンはただカッコつけたいだけでしょ　だからいまだに童貞なのよ 902 名前：童貞喰い mailto:sage [2024/12/28(土) 20:48:49.84 ID:DRoWkPoj.net] >>808 > 数学科へ行っても、せいぜい高校数学教師が関の山 > 高校数学教師なら、最初から教育学部の方が良いかも 　 　そもそも大学の学部の数学科は中学・高校の数学教師の生産所よ　知らなかった？ 　教育学部でも理学部でも同じ　学部の名前は関係ないの　わかった？ 903 名前：童貞喰い mailto:sage [2024/12/28(土) 20:56:03.90 ID:DRoWkPoj.net] >>808 > 受験科目としての数学は好きだったが 　 　高校の数学なんて、数学全体から見たら●ンコレベルよ 　大学で数学科に行って、数学ってチョー難しいんだなと思い知って 　諦めて郷里で高校教師になるというのが実態よ 　まあ、今どきは大学院の博士課程までいってもアカポスにつけずに 　諦めて予備校教師になるって感じかしら 　知り合いで東大理１→数学科→大学院→博士号取得までいったのに 　駿台の予備校教師になったって人がいたわ　彼、優秀だったけど 　それでも大学に職を得られない　それが現実よ 904 名前：童貞喰い mailto:sage [2024/12/28(土) 20:57:12.30 ID:DRoWkPoj.net] > 物理学が進化すると、自然に超高度な数学理論が必要とされるようになるらしい　あるいは、 > 物理学者が考えた理論が、高度な数学理論と結びついてくるとか 　あなた、物理も分かんないんでしょ？　だったら意味ないわね 905 名前：童貞喰い mailto:sage [2024/12/28(土) 20:59:37.51 ID:DRoWkPoj.net] 位相も代数系も定義すらろくに知らない 連続写像も準同型写像も定義すらろくに知らない そんな人が圏だ射だとかいっても無意味よね 906 名前：１３２人目の素数さん [2024/12/28(土) 21:04:50.25 ID:oa5Yr+V9.net] >そんな人が圏だ射だとかいっても無意味よね 君の前では確かに無意味だろう 907 名前：現代数学の系譜 雑談 [2024/12/28(土) 21:09:11.10 ID:aD5GuW9/.net] >>810 >　要するに努力とか大嫌いで、ただちやほやされたい人 >　そういう人はそもそも学問が無理ね マジレスすれば 　>>808 立川裕二、小沢 登高、それに山下真由子氏とか ここらのレベルの人は、 （過去は知らず） 今は 『 908 名前：自分は”努力”している』なんて、思ってないのでは？ 今は やりたいことを、楽しんでやって結果を出している では！ｗ ；ｐ） >>811 >　そもそも大学の学部の数学科は中学・高校の数学教師の生産所よ　知らなかった？ 東大と京大は別格ですね 大学教員の養成所ですよ で、東大と京大以外の旧帝は、せめて年に何人かあるいは、何年に一人くらい 自分たちの大学出身者で、大学に残ってくれる人が出てくることを期待している それ以外の多くは、東大京大から、研究者や教員を受け入れるとしてもね 阪大もそうだよ >　教育学部でも理学部でも同じ　学部の名前は関係ないの　わかった？ 神戸大学の教育学部は、昔の高等師範学校の流れを受けて 教育系の先輩後輩の人脈がすごい。高校や中学でね 校長や教頭の先輩後輩関係な 教育委員会にも人脈があるみたい （小学校もだが） [] [ここ壊れてます] 909 名前：爺様食い [2024/12/28(土) 21:10:36.56 ID:DRoWkPoj.net] >>815　箱入り無数目では圏論は無意味ね 910 名前：１３２人目の素数さん [2024/12/28(土) 21:13:27.90 ID:aD5GuW9/.net] >>815 >>そんな人が圏だ射だとかいっても無意味よね >君の前では確かに無意味だろう ID:oa5Yr+V9は、御大か 夜の巡回ご苦労さまです 御大も おサルさんのレベルが分ってきたようですねｗ ；ｐ） 911 名前：童貞食い mailto:sage [2024/12/28(土) 21:18:42.32 ID:DRoWkPoj.net] >>818 みんなもお爺ちゃんの今のレベルがわかってきたと思うわよ 日本の”マイケル・アティヤ”よね もちろん全盛期じゃないわよ　最晩年ね ま、童貞クンは数学界の”ひろゆき”だけどね　うふふふふ 912 名前：現代数学の系譜 雑談 [2024/12/28(土) 21:40:43.45 ID:aD5GuW9/.net] >>809 >ペレルマンはポアンカレ予想を解決したが >4次元ポアンカレ予想は未解決 >フリードマンの仕事は >4次元ポアンカレ予想の可微分バージョンの解決 wikipediaによれば、下記ですね https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9D%E3%82%A2%E3%83%B3%E3%82%AB%E3%83%AC%E4%BA%88%E6%83%B3 ポアンカレ予想 ポアンカレ予想は各次元で3種類（位相、PL、微分）があり、かなり解けているが「4次元微分ポアンカレ予想」「4次元PLポアンカレ予想」「高次元微分ポアンカレ予想の残り少し」は未解決である。これらは非常に重要な問題である[5][6][7]。 歴史と背景 このようにポアンカレ予想を n 次元に一般化すると n = 2 での成立は古典的な事実であり、n ≥ 4 の場合は20世紀後半に証明が得られていた。n ≥ 5 の時はスティーヴン・スメイルによって (Smale 1960)、n = 4 の時はマイケル・フリードマンによって (Freedman 1982) 証明された。2人とも、その業績からフィールズ賞を受賞している。スメイルの証明は微分位相幾何学的なものであったが、フリードマンの証明は純粋に位相幾何学的なものである。実際、フリードマンの結果はその直後にドナルドソンによる異種4次元ユークリッド空間（位相的には通常の4次元空間だが、微分構造が異なるもの）の発見へとつながった。以上よりオリジナルである3次元ポアンカレ予想のみを残し、高次元ポアンカレ予想は先に決着してしまった（微分同相については4次元ポアンカレ予想も未解決である）。 一般向けの説明 略す https://en.wikipedia.org/wiki/Poincar%C3%A9_conjecture Poincaré conjecture 913 名前：１３２人目の素数さん [2024/12/28(土) 21:44:53.05 ID:oa5Yr+V9.net] これはうっかりしていました。 可微分ヴァージョンが残された未解決問題でした。 専門外だとこんなことがちょくちょくあります。 914 名前：爺様食い mailto:sage [2024/12/28(土) 21:55:14.44 ID:DRoWkPoj.net] >>821 お爺ちゃんはもう黙ったほうがいいわよ 915 名前：１３２人目の素数さん [2024/12/28(土) 21:58:13.97 ID:oa5Yr+V9.net] 大失態でした 916 名前：１３２人目の素数さん [2024/12/28(土) 21:58:46.47 ID:aD5GuW9/.net] >>816 >　>>808 立川裕二、・・、それに山下真由子氏とか >今は 『自分は”努力”している』なんて、思ってないのでは？ >今は やりたいことを、楽しんでやって結果を出している では！ｗ ；ｐ） まあ、下記などが参考になるだろう www.mathsoc.jp/assets/file/publications/tushin/2903/yamashita-tachikawa.pdf 山下真由子さんの令和6年度科学技術分野の文部科学大臣表彰若手科学者� 917 名前：ﾜ受賞に寄せて　 東京大学カブリ数物連携宇宙研究機構 立川　裕二 山下真由子さんが『代数トポロジーと量子場の理論の研究』に関して今年度の文部科学大臣表彰若手科学者賞を受賞なさったことに関して，物理側の共同研究者の一人である私から一言コメントを，というお声掛けを『数学通信』の皆様からいただいた．私自身が数学者でないため，山下さんの業績がこれまでの数学の流れの中でどう位置づけされ，どのような発展をもたらしたのか，ということについては申し訳ないながら解説することが出来ない．しかし，このような機会をいただいたのであるから，山下さんの仕事がどのように我々理論物理学者にとって有り難いのかということを皆さんにわかっていただくことは出来るのではないかと思って，この記事の執筆をお引き受けした次第である．また，山下さんは他にもいくつかの賞を受賞しており，複数の受賞記事がこの『数学通信』誌に掲載されているので，説明が重複してしまいがちであるが，なるべく異なる方面からの解説を心がけたいと思う． さて，場の理論には百年近い歴史があり，実験的結果もよく再現する．しかし，全般的な純粋数学的取り扱いが非常に困難であり，万人の納得する数学的枠組みは未だ無く，種々の部分的側面が定式化されているに留まる．考察する側面に応じて，必要になる数学的分野は異なるが，長らく代数トポロジーはそれほど目立った使われ方をしていなかった． これらの相の分類に代数トポロジーが有用であろうというのは15年ほど前から明らかになってきた．まず，トポロジカル絶縁体およびトポロジカル超伝導体と呼ばれるクラスの系のとりうる相がそれぞれ複素K理論および実K理論で分類されるということがわかってきた．これら分類が可能であった系には，1. 長距離相関を持たず，かつ，2. 励起をつくるのに系のサイズに寄らないノンゼロの最小エネルギーが必要であるという共通の性質がある．では，1. と2. の性質を持ち，かつ，対称性Gをもつような相を分類することは出来るだろうか．これがG-symmetry protected topological phase (G-SPT 相) の分類問題といって，2010年を過ぎたあたりから物性理論のなかで大きく取り上げられた問題である． つづく [] [ここ壊れてます] 918 名前：１３２人目の素数さん [2024/12/28(土) 21:59:04.33 ID:aD5GuW9/.net] つづき いろいろな部分的結果が非厳密な物理的考察から得られ，沢山の論文が書かれたが，徐々に，分類結果はK理論に関連するような何らかの一般コホモロジー理論で得られるだろうという共通認識が得られた．これは後に理論素粒子物理を経由して純粋数学側で取り上げられ，数学者Freed とHopkins によって 2016 年に空間 d 次元時間1次元のG-SPT相でフェルミオンを含むものの分類結果は(IZMSpin)d+2(BG) という一般コホモロジーで与えられるという提唱がなされた．ここでMSpinはスピン同境ホモロジーもしくは対応するトム・スペクトラムで，スペクトラムE に対してIZE は常ホモロジーと常コホモロジーの間の普遍係数定理を一般(コ)ホモロジーに拡張するために必要になる双対操作でアンダーソン双対と呼ばれ，BGはGの分類空間である．このFreedとHopkins の主張はユークリッド的で反転正値かつ可逆な場の理論の彼らの数学的に厳密な定式化による考察に基づいてはいるが数学的には厳密な証明ではなく予想に留まるものではある．しかし，理論物理屋の間ではその他の状況証拠からも非常に確からしいと思われている． この問題をさらに数学的に追究するには色々な方法が考えられる．ひとつは，物性系を統計力学系として作用素環を用いて厳密に数学的に研究することには長い歴史があるので，その枠組みでこれらの相を定式化し，分類を証明しようという方向性である．このプログラムを次々と遂行なさっているのが緒方芳子さんで，その業績に対してごく最近猿橋賞が授与されたのは記憶にあたらしい．緒方さんがポアンカレ賞を受賞なさったときの記事も『数学通信』の第26巻第4号にあるのでそちらをご覧になると良いと思う． もうひとつの方法は，Freed と Hopkins の立場に近く，系を可逆で反転正値な場の理論として考えることにし，それを数学的に厳密に扱うという方法である．こちらの研究を力強く推し進めているのが山下さんである．例えば，理論物理学者の米倉和也さんとの共著からはじまる一連の論文で，山下さんは，理論物理における可逆相の議論を厳密化することにより，同境ホモロジーのアンダーソン双対およびその微分一般コホモロジー化のモデルを構成した．また，数学者の五味清紀さんとの共著論文で，山下さんは微分KO理論の新たなモデルを構成したのだが，これはトポロジカル超伝導体の理論物理における解析を動機としており，スピン同境ホモロジーのアンダーソン双対との関連も自然に示唆されるような構成になっている． 以上の論文の概要からもおわかりだろうと思うが，山下さんは，純粋数学者としてのトレーニングを受けたはずながら，不思議に我々理論物理屋の言うことを判ってくださる．私の所属する研究所には，幸い数学者と物理屋の双方が多数所属するので，代数トポロジーが必要になりはじめたころから色々と同僚の数学者に質問をしてはいたものの，まずはこちらの意図を理解してもらうことが困難で，また，数学的問いが何とか伝わったとしても，それを解決したい動機が伝わらなければ真剣に考えては貰えないわけである．というわけで，代数トポロジーを必要とする私の研究は遅々として進んでいなかった．その状況が2021年に山下さんに巡り合ったことで有り難いことに大きく変化したのである． つづく 919 名前：１３２人目の素数さん [2024/12/28(土) 22:00:20.99 ID:aD5GuW9/.net] つづき さて，私はコロナ禍のすこしまえ頃から，d次元のヘテロティック弦理論における量子異常の相殺について考えていた．Stolz-Teichner の提唱を仮定すれば，d 次元のヘテロティック弦理論は元T ∈TMF22+d(X) によって指定される．また，その量子異常は，数学的には何かコホモロジー作用素αspin :TMF22+d(X) → IZMSpin2+d(X) があって αspin(T) によって記述されることになる．この量子異常が相殺するというのは，さらにそれを標準的な変換IZι : IZMSpin2+d(X) → IZMString2+d(X) によってストリング同境ホモロジーのアンダーソン双対に送るとIZι◦αspin(T)=0 となるということである． 理論物理側からは，特定のd,X,T に対してこれを調べたくなる動機があり，私の技量ではもっとも簡単なd=2,X =ptでT が一般の場合に示すのが限界だった．そんな中，2021 年早春のオンライン研究会に参加した所，山下さんが関連しそうな話をしているのを見かけたので，数日逡巡した後に電子メールで相談をしてみたところ，興味をもってくださったのでしばらくメールのやりとりをした．すると，一ヶ月ほどの間に，上記コホモロジー作用素αspin の厳密な定義をしてくださった．そうこうしていると，なんと特定の物理的動機のあるd,X,T に対してだけではなく，勝手なd,X,T に対して 920 名前：IZι◦αspin(T)=0であることが証明されてしまったのである．これには私はびっくりしてしまった．そもそも，理論物理屋の癖として，特定の例について計算することに気を取られていたので，全ての場合に消えることが示せるなどとは思ってもいなかった．これは，考えている対象を素直に扱いうる中でなるべく一般的な設定を使うと，個別の問題を扱うより考察がむしろ簡単化することがある，という，数学の特徴を良く示しているのだと思う． しかし，そこに至るまでには，理論物理屋である私のいい加減な説明を理解して，証明すべき厳密な数学の主張を取り出さないといけない．私は過去の二十年ほどの理論物理屋としての研究の過程で，理論物理から生じた数学的問題に関して，幸いなことに複数の数学者に考えていただいたことがある．しかし，これまでは，まず問題を理解して定式化していただくのに数年かかり，さらにそれを証明していただくのにさらに数年かかる，というのが典型的なタイムスケールだった． そうすると，証明ができた頃には，移り気な私の興味は別の問題にあることが多く，証明ができたこと自体が私の研究に影響を与えるわけではなかった．それが，上記の研究からはじまる私と山下さんとの共同研究の場合は，数ヶ月の単位で進む．これは理論物理屋としての私の研究のタイムスケールと同程度であり，山下さんが定式化して証明してくださる結果が，私の理論物理における考察にリアルタイムで影響を与えてくれるのである．これは私にとってはじめての経験だった．今後も山下さんは私に限らずいろいろな理論物理屋の研究を助けてくださるだろうと思う．山下さん，ご受賞おめでとうございます．今後とも宜しくお願いいたします． (引用終り) 以上 [] [ここ壊れてます] 921 名前：童貞喰い mailto:sage [2024/12/28(土) 22:07:22.07 ID:DRoWkPoj.net] >>824-826 こんな文章コピペする暇があったら、空間XのK群の定義でも読んだほうがいいわね 922 名前：１３２人目の素数さん [2024/12/28(土) 23:02:46.01 ID:oa5Yr+V9.net] コピペは(慣れたら)一瞬なのでは？ 923 名前：１３２人目の素数さん [2024/12/28(土) 23:32:46.88 ID:aD5GuW9/.net] >>821 ・弘法も筆の誤りですな ・松本幸夫先生、4次元のトポロジーが大衆向け解説本です。その受け売り （インタビュー記事が面白かった。フリードマンがフィールズ賞を取った後、態度がでかくなったみたく書いてあったｗ） 　Casson handleという変なもの(微分可能でない)が、ホイットニーのトリックに使えて 4次元ポアンカレが解決されたので、微分可能でない結果だと ・滑らかな 4次元多様体で、「11/8 予想」に対し 古田幹雄氏の結果が最良（下記）も 　松本氏の本にあったと思います (参考) ja.wikipedia.org/wiki/%E5%BC%98%E6%B3%95%E3%82%82%E7%AD%86%E3%81%AE%E8%AA%A4%E3%82%8A 弘法も筆の誤りは、平安時代の日本からのことわざ 概要 その道に長じたような人であっても、その道において失敗をすることもあるということを意味する 歴史 弘法にも筆の誤りの弘法とは空海のことである。空海とは天皇と共に三筆と呼ばれる書の名人であった。そのような空海が応天門の扁額を揮毫して、掲げられた應の文字には点が1つ欠けていることに気が付いた。それから空海は下から筆を投げつけて点を打ったという伝説が今昔物語集などで語られている。空海は平安時代の人間なのであるが、弘法も筆の誤りということわざが最初に使われるようになったのは江戸時代中期である。このように伝説とことわざの初出で時代に隔たりがあるのは、伝説では空海は筆を誤って点を欠いたのではなく、なぜが剥落したかわざと欠けさせていたとされており、それから空海は超能力で点を補っていたというようなことが語られていたためである。それから900年ほど後の時代である江戸時代中期に弘法も筆の誤りということわざが使われだして、はじめて空海は筆を誤っていたと認識されるようになった 空海が筆を投げつけて点を打った際には、周りにいた人々は拍手喝采して感動した。空海は書の 924 名前：みならず、あらゆる分野において秀でた人物であったとされている。この伝説は、どんな名人でも間違いをすることがあるのみでなく、失敗をしてしまったことに対する処理の大切さを伝える逸話でもあった www.nippyo.co.jp/shop/book/7188.html 新版4次元のトポロジー 松本幸夫 2016 内容紹介 トポロジーの入門書。ポアンカレ予想の解決など近年の進展を加えた旧版に、低次元トポロジーについてのインタビューを加えて新版化 ja.wikipedia.org/wiki/%E5%B9%BE%E4%BD%95%E5%AD%A6%E7%9A%84%E3%83%88%E3%83%9D%E3%83%AD%E3%82%B8%E3%83%BC 幾何学的トポロジー 低次元トポロジーと高次元トポロジーの差異 次元が 4 は特別で、ある見方（トポロジックな）では次元 4 は高次元であることに対し、他の見方（微分同相として）では次元 4 は低次元である。この重なりによって、次元 4 では、たとえば、R4 上のエキゾチックな微分構造(exotic differentiable structures on R4)のような、例外的な現象が生み出される。このように、4次元多様体のトポロジー的な分類は原理上は簡単であり、重要な問題は、位相多様体は微分可能構造を持つか？と、もし微分可能構造を持つならばどのくらい持つのか？、である。次元が 4 の滑らかな場合は、重要な問題として一般ポアンカレ予想（英語版）が未だ解決されていないことが挙げられる。グルックのツイスト（英語版）(Gluck twist)を参照 つづく [] [ここ壊れてます] 925 名前：１３２人目の素数さん [2024/12/28(土) 23:33:14.58 ID:aD5GuW9/.net] つづき 次元 5 の場合との差異の詳しい理由は、手術理論の基礎となっている重要な技術的トリックであるホイットニーの埋め込み定理（英語版）(Whitney embedding theorem)が、2 + 1 次元を要求するからである。大まかにいうと、このトリックによって、結び目のある球面を"結び目なし"にすることができる。 ホイットニーのトリックの変形は、4 次元でも可能で、キャッソンハンドル（英語版）(Casson handle)と呼ばれる。十分な次元が存在しないため、ホイットニーの円板は新しい捩れ(kink)を発生させ、それを他のホイットニーの円板により解消させることができる。このことから円板の列（「塔」）が発生する。この塔の極限は、トポロジカルではあるが、微分可能ではない写像を得るので、4次元で手術はトポロジカルに機能するが、微分可能ではない。 ja.wikipedia.org/wiki/4%E6%AC%A1%E5%85%83%E5%A4%9A%E6%A7%98%E4%BD%93 4次元多様体 滑らかな 4次元多様体 交叉形式が不定値で、偶であると、必要ならば向き変えることにより非正の符号とすることを前提とすると、その場合には、ある m と n があり、'm 個の II1,1 のコピーと 2n 個の E8(−1) のコピーの和と同型となる。m ≥ 3n であれば（従って次元は少なくとも |符号| の 11/8 倍）、滑らかな構造が存在し、n 個のK3曲面と m − 3n 個の S2×S2 のコピーの連結和を取ることで与えられる。m ≤ 2n（従って次元は多くとも |符号| の 10/8 倍である）とすると、古田幹雄は滑らかな構造が存在しないことを証明した(Furuta 2001)。このことは 10/8 と 11/8 間にギャップがあり、そこでの答えは未解決である。（上の状態をカバーしていない最小の場合は、n = 2 と m = 5 の場合であるが、しかし、これも棄却されるので、現在知られていない最小の格子は、格子 II7,55 でランクは 62 であり、n = 3 であり m = 7 である。「11/8 予想」は、滑らかな構造は、次元が |符号| の 11/8 倍以下であれば、滑らかな構造は存在しないのではないかという予想である。 対照的に、向き付けされた 4次元多様体上の滑らかな構造を分類する第二の問題はほとんど分かっていない。実際、単独の滑らかな 4次元多様体で、答えが知られているものはない。ドナルドソンは、ドルガチェフ曲面（英語版）のような、単連結でコンパクトな 4次元多様体が存在し、可算無限個の異なる滑らかな構造が存在することを示し� 926 名前：ｽ。R4 上には非可算無限個の異なる滑らかな構造が存在する。エキゾチック R4を参照。 フィンツシェル (Fintushel) とスターン (Stern) は、手術を使い、多くの滑らかな多様体の上で、互いに異なる大きな数の滑らかな構造をどのように構成するかを示し（任意の整数係数多項式をインデックスとする）、サイバーグ・ウィッテン不変量を使い、滑らかな構造は異なっていることを示した。これらの結果は、単連結でコンパクトな滑らかな 4次元多様体の分類は非常に複雑であることを意味している。現在、この分類が妥当であるというもっともらしい予想はない（いくつかの早い段階の予想は、すべての単連結な滑らかな 4次元多様体は、代数曲面、あるいは、シンプレクティック多様体の向きを保つ連結和かもしれないという予想があったが、否定された）。 en.wikipedia.org/wiki/4-manifold 4-manifold (引用終り) 以上 [] [ここ壊れてます] 927 名前：現代数学の系譜 雑談 [2024/12/28(土) 23:38:48.42 ID:aD5GuW9/.net] >>829 >コピペは(慣れたら)一瞬なのでは？ ・まあ、一つはミス防止です 　記憶で手打ちすると、ミスが多くなる ・また、コピペするときに、読んでます ；ｐ） ・>>824 の 立川裕二氏も原文はもっと長いのですが 　これで半分くらいにしています。重要部分に絞るために、読む必要があります 928 名前：現代数学の系譜 雑談 [2024/12/29(日) 08:56:12.75 ID:aRTKq65A.net] >>824-82 追加 >緒方芳子さんで，その業績に対してごく最近猿橋賞が授与されたのは記憶にあたらしい．緒方さんがポアンカレ賞を受賞なさったときの記事も『数学通信』の第26巻第4号にある 立川　裕二氏の記事は、下記「数学通信」第２９巻第３号 ２０２４年　１１月 Ｐ43 緒方芳子さん 猿橋賞の記事も同じ号にある 「数学通信」第２６巻第4号も貼っておきます www.mathsoc.jp/publications/tushin/backnumber/index29-3.html 「数学通信」第２９巻第３号目次　２０２４年　１１月 ・山下真由子さんの令和6年度科学技術分野の文部科学大臣表彰若手科学者賞受賞に寄せて 立川　裕二 ４３ ・www.mathsoc.jp/assets/file/publications/tushin/2903/ogata-tasaki.pdf 　緒方芳子さんの猿橋賞および令和6年度科学技術分野の文部科学大臣表彰科学技術賞受賞に寄せて 田崎　晴明 ２０ 　 www.mathsoc.jp/publications/tushin/backnumber/index26-4.html 「数学通信」第２６巻第4号目次 ・www.mathsoc.jp/assets/file/publications/tushin/2604/ogata-kawahigashi.pdf 　緒方芳子氏の Henri Poincaré Prize 受賞に寄せて 河東　泰之 ２９ ついでに ・www.mathsoc.jp/assets/file/publications/tushin/2604/mori-mukai.pdf 　森重文氏の文化勲章受章に寄せて―温故而知新，可以為師矣 向井　　茂 ２２ ・www.mathsoc.jp/assets/file/publications/tushin/2604/mochizuki-kawaguchi.pdf 　望月拓郎さんの Breakthrough Prize 受賞に寄せて 川口　　周 ３５ 929 名前：１３２人目の素数さん [2024/12/29(日) 08:58:57.26 ID:KD+soCAP.net] 田崎さんとはある結婚式で同席させてもらった 930 名前：１３２人目の素数さん [2024/12/29(日) 09:31:50.58 ID:u/SwZFyD.net] >>828 考えもせずに一瞬でできることに何の価値もない 931 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2024/12/29(日) 09:37:26.51 ID:u/SwZFyD.net] >>829 > 弘法も筆の誤りですな 　某教授はトポロジーに関しては素人なので弘法ではない > Casson handleという変なもの(微分可能でない)が、 > ホイットニーのトリックに使えて 4次元ポアンカレが解決されたので、 > 微分可能でない結果だと 　受け売りは所詮無理解の念仏だから頭に残らず間違える 　九九を理解しない子供が、しばしば間違えるのと同じ 　九九の値を確認する手段を知っていれば間違いを正すことができ 　結果として正しい値を覚えることになる　このこと算数において最も重要 　ただ念仏を丸暗記すればいい、とかいう態度では猿回しのサルと同じである 932 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2024/12/29(日) 09:42:02.17 ID:u/SwZFyD.net] ４次元微分可能ポアンカレ予想、というのは ４次元ホモトピー球面はＳ＾４と”微分同相” という予想 つまり４次元球面には異種球面は存在しない、という予想 これが正しいか否かは全く不明である ちなみに４次元ユークリッド空間には異種空間が存在する しかも非可算無限個 他の次元ではこのようなことは決して起きない しかし、多変数複素関数論の人にとってはどうでもいいことらしい 933 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2024/12/29(日) 09:44:20.62 ID:u/SwZFyD.net] 一般の数学者にとってゲーデルの不完全 934 名前：性定理はどうでもいいことらしい ただ、不完全性定理と同値である非決定性は、数学のあらゆる分野に現れる まあ大抵は、そんな難しい問題が非決定でも別に俺の研究に何も影響しない、という意味で無関心らしい [] [ここ壊れてます] 935 名前：１３２人目の素数さん [2024/12/29(日) 09:58:20.30 ID:KD+soCAP.net] >>836 多変数関数論でも異種構造は興味を持たれている long C^2とかshort C^2とか 936 名前：１３２人目の素数さん [2024/12/29(日) 10:00:29.10 ID:KD+soCAP.net] >>837 永田先生に一度連続体仮設関係の話題をふったところ 「それはどちらでもよいことだ」といわれたので それきりになってしまった 937 名前：１３２人目の素数さん [2024/12/29(日) 10:13:26.22 ID:KD+soCAP.net] 開球をshort C^2と呼んでいるわけではない 念のため 938 名前：１３２人目の素数さん [2024/12/29(日) 14:46:59.75 ID:u/SwZFyD.net] >>838 Q.　Exotic R^4には、通常のC^2とは異なる複素構造が入る？ 939 名前：１３２人目の素数さん [2024/12/29(日) 19:52:43.05 ID:KD+soCAP.net] それは未解決だと思う 940 名前：１３２人目の素数さん [2024/12/29(日) 22:05:32.84 ID:aRTKq65A.net] >>841-842 >Q.　Exotic R^4には、通常のC^2とは異なる複素構造が入る？ >それは未解決だと思う それは、ずいぶん面白い問いだと思う まず、Exotic R4とは？ SmallとLargeがあるらしい そのまえに、通常のC^2には、通常のR^4と微分同相か？ という問いがあるだろう。多分Yesかな とすると、C^2にも Exoticな（通常と非微分同相な）微分可能構造が入るか？ という問題設定かな？ 多分Yesかな Cをリーマン球に丸めて、C'と書く。C'^2 はどうか？ 頭が働かない・・ ；ｐ） ところで、exotic 4-sphereについて ”a counterexample to the smooth generalized Poincaré conjecture in dimension 4. Some plausible candidates are given by Gluck twists.” とあるね (参考) en.wikipedia.org/wiki/Exotic_R4 Exotic R4 Small exotic R4s Large exotic R4s Michael Hartley Freedman and Laurence R. Taylor (1986) showed that there is a maximal exotic R4, into which all other R4 can be smoothly embedded as open subsets. Related exotic structures Casson handles are homeomorphic to D2×R2 by Freedman's theorem (where D2 is the closed unit disc) but it follows from Donaldson's theorem that they are not all diffeomorphic to D2×R2. In other words, some Casson handles are exotic D2×R2. It is not known (as of 2024) whether or not there are any exotic 4-spheres; such an exotic 4-sphere would be a counterexample to the smooth generalized Poincaré conjecture in dimension 4. Some plausible candidates are given by Gluck twists. en.wikipedia.org/wiki/Exotic_sphere#4-dimensional_exotic_spheres_and_Gluck_twists 4-dimensional exotic spheres and Gluck twists In 4 dimensions it is not known whether there are any exotic smooth structures on the 4-sphere. The statement that they do not exist is known as the "smooth Poincaré conjecture", and is discussed by Michael Freedman, Robert Gompf, and Scott Morrison et al. (2010) who say that it is believed to be false. Some candidates proposed for exotic 4-spheres are the Cappell–Shaneson spheres (Sylvain Cappell and Julius Shaneson (1976)) and those derived by Gluck twists (Gluck 1962). Gluck twist spheres are constructed by cutting out a tubular neighborhood of a 2-sphere S in S4 and gluing it back in using a diffeomorphism of its boundary S2×S1. The result is always homeomorphic to S4. Many cases over the years were ruled out as possible counterexamples to the smooth 4 dimensional 941 名前：Poincaré conjecture. For example, Cameron Gordon (1976), José Montesinos (1983), Steven P. Plotnick (1984), Gompf (1991), Habiro, Marumoto & Yamada (2000), Selman Akbulut (2010), Gompf (2010), Kim & Yamada (2017). ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A8%E3%82%AD%E3%82%BE%E3%83%81%E3%83%83%E3%82%AF_R4 エキゾチック R4 [] [ここ壊れてます] 942 名前：１３２人目の素数さん [2024/12/29(日) 22:13:27.58 ID:KD+soCAP.net] >通常のC^2には、通常のR^4と微分同相か？ という問いがあるだろう。多分Yesかな 通常のC^2は通常のR^4と微分同相か？ という問いがある。当然Yesだ。 943 名前：１３２人目の素数さん [2024/12/29(日) 23:32:55.51 ID:aRTKq65A.net] "Exotic R4 and quantum field theory"か ”the spinor Φ as solution of the Dirac equation (18)”と関係しているのか？ https://iopscience.iop.org/article/10.1088/1742-6596/343/1/012011/pdf 7th International Conference on Quantum Theory and Symmetries (QTS7) Journal of Physics: Conference Series 343 (2012) 012011 Exotic R4 and quantum field theory Torsten Asselmeyer-Maluga and Roland Mader German Aerospace center, Rutherfordstr. 2, 12489 Berlin, Germany P14 As conclusion we can state that an immersed disk used in the construction of exotic R4 are described by a parallel spinor Φ. The correspondence goes further because the spinor Φ as solution of the Dirac equation (18) is not only generated by a propagator but also by the immersed disk itself. The Feynman path integral of this action can be rearranged by a simply reorganization of the perturbative series in terms of trees [65]. It should be especially emphasized that this method do not need any discretization of the phase space or cluster expansion. Then we obtain a close relation between trees and renormalization similar to approach of Connes and Kreimer [66]. We close this paper with these conjectural remarks. 944 名前：１３２人目の素数さん [2024/12/29(日) 23:49:40.07 ID:aRTKq65A.net] >>844 >>通常のC^2には、通常のR^4と微分同相か？ という問いがあるだろう。多分Yesかな >通常のC^2は通常のR^4と微分同相か？ という問いがある。当然Yesだ。 ありがとうございます お互い 通常の微分構造ならば 自明な 微分同相写像 C^2 ←→ R^4 が存在するってことか Exotic R4ね いまいち、イメージが掴みきれない （＾＾ ja.wikipedia.org/wiki/%E5%BE%AE%E5%88%86%E5%90%8C%E7%9B%B8%E5%86%99%E5%83%8F 微分同相写像 微分同相写像（びぶんどうそうしゃぞう、英: diffeomorphism）は滑らかな多様体の同型写像である。それは1つの可微分多様体を別の可微分多様体に写す可逆関数であって、関数と逆関数が両方滑らかであるようなものである。 定義 2 つの多様体 M と N が与えられたとき、可微分写像 f: M → N は全単射かつ逆写像 f−1: N → M も可微分なとき微分同相（写像） (diffeomorphism) と呼ばれる。この関数が r 回連続微分可能であれば、f は Cr（級）微分同相（写像） (Cr-diffeomorphism) と呼ばれる。 2 つの多様体 M と N が微分同相 (diffeomorphic) である（記号では通常 ≃）とは、M から N への微分同相写像 f が存在するということである。 945 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2024/12/30(月) 06:39:22.11 ID:KwOVbDpb.net] >>842 >>Q.　Exotic R^4には、通常のC^2とは異なる複素構造が入る？ >それは未解決だと思う だろうね 946 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2024/12/30(月) 06:46:31.29 ID:KwOVbDpb.net] >>843 >>>Q.　Exotic R^4には、通常のC^2とは異なる複素構造が入る？ >>それは未解決だと思う >それは、ずいぶん面白い問いだと思う 　数学者にとってはね 　ただ大学１年の微積と線型代数でつまづいた素人の君の人生には全く無関係な問いだけどね >まず、Exotic R4にはSmallとLargeがあるらしい 　定義を� 947 名前：曹ｫなよ An exotic R^4 is called small if it can be smoothly embedded as an open subset of the standard R^4. An exotic R^4 is called large if it cannot be smoothly embedded as an open subset of the standard R^4. エキゾチック R^4 は、標準 R^4 の開部分集合として滑らかに埋め込むことができる場合、スモール、そうでない場合、ラージと呼ばれる。 [] [ここ壊れてます] 948 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2024/12/30(月) 06:56:09.47 ID:KwOVbDpb.net] >>846 > 通常のC^2には、通常のR^4と微分同相か？ という問いがあるだろう。多分Yesかな >>通常のC^2は通常のR^4と微分同相か？ という問いがある。当然Yesだ。 > お互い 通常の微分構造ならば自明な 微分同相写像 C^2 ←→ R^4 が存在するってことか 　ちゃんと大学1年の線形代数と大学2年の複素関数論を理解していれば即答できる易問 　これできないんじゃ大学院入試は即落ちるね　御愁傷様 > Exotic R4ね いまいち、イメージが掴みきれない 　いまいちどころかまったくだろ　素人には 　あ、「おまえも素人だろ」とかいうツッコミは無用な 　素人にはわからん、という言葉を見て 　書いてる本人が「俺は素人じゃないけどな」といってると 　●想するのは、僻み根性の負け犬だけだから 　本当の素人はそんなことすら思わない　数学なんてハナクソだと思ってるから 949 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2024/12/30(月) 06:59:56.26 ID:KwOVbDpb.net] 数学者でないライターが書いた一般人むけの啓蒙書で 「普通の人には想像もできない」と書いてあったとき 著者自身が想像もできず、一般人に対して 「あなたもそうでしょ？」と言ってる と思ったほうがいい それはそれで余計なお世話だが、あたってるから仕方ない 950 名前：１３２人目の素数さん [2024/12/30(月) 07:15:49.17 ID:UCW3fghK.net] >数学者でないライターが書いた一般人むけの啓蒙書 そういうものを啓蒙書と呼んではいけない 951 名前：１３２人目の素数さん [2024/12/30(月) 08:01:31.35 ID:qdfGas+m.net] >>847-851 ID:UCW3fghKは、御大か 朝の巡回、ご苦労さまです 下記を見ると、微分同相の数学は長い歴史があるわけで エキゾチック R4 に辿り着くまで、半世紀くらい その間、これでフィールズ賞を取った人が何人かいる 素人がちょっと考えたくらいで想像できるものではないことが、よく分りました ”C^2にも Exoticな（通常と非微分同相な）微分可能構造が入るか？”>>843 下記＋複素多様体が、必要か エキゾチック R4が、全てC^2で実現できるとは思えないが、幾つかは実現できるかな (参考) en.wikipedia.org/wiki/Diffeomorphism Diffeomorphism ja.wikipedia.org/wiki/%E5%BE%AE%E5%88%86%E5%90%8C%E7%9B%B8%E5%86%99%E5%83%8F 微分同相写像 微分同相写像（英: diffeomorphism）は滑らかな多様体の同型写像である。それは1つの可微分多様体を別の可微分多様体に写す可逆関数であって、関数と逆関数が両方滑らかであるようなものである 多様体の部分集合の微分同相写像 多様体 M の部分集合 X と多様体 N の部分集合 Y が与えられると、関数 f: X → Y は次のとき滑らか (smooth) であると言われる。すべての p ∈ X に対して p のある近傍 U ⊂ M と滑らかな関数 g: U → N が存在して制限が一致する g|U∩X=f|U∩X （g は f の拡張であることに注意）。全単射、滑らか、かつ逆関数も滑らかなとき、f は微分同相写像 (diffeomorphism) であると言う。 局所的な記述 モデル例。 U, V が Rn の連結開部分集合であって V は単連結なとき、可微分写像 f : U → V が微分同相写像 (diffeomorphism) であるとは、それが固有写像であり微分 Dfx : Rn → Rn が各点 x ∈ U において全単射であるということである。 Remark 1. 関数 f が（その微分が各点で全単射という条件だけのもとでは）大域的に可逆であるためには V が単連結であることは本質的である。例えば、複素平方関数の「実化」 略す を考えよう。すると f は全射であり detDfx=4(x2+y2)≠0 を満たすので Dfx は各点で全単射だが f は可逆でない、なぜなら単射でないからだ、例えば f(1,0) = (1,0) = f(−1,0)。 つづく 952 名前：１３２人目の素数さん [2024/12/30(月) 08:01:50.64 ID:qdfGas+m.net] つづき Remark 2. （微分可能関数に対して）各点での微分 Dfx:TxU→Tf(x)V は線型写像であるから well defined な逆関数を持つことと Dfx が全単射であることは同値である。Dfx の行列表現は i-行目と j-列目の成分が ∂fi/∂xj であるような一階偏微分の n × n 行列である。しばしばこのいわゆるヤコビ行列を明示的な計算に対して使う。 Remark 3. 微分同相写像は同じ次元の多様体間でなければならない。 Remark 4. Dfx が x において全単射であれば f は局所微分同相写像 (local diffeomorphism) であるという（なぜならば連続性によって x に十分近いすべての y に対して Dfy もまた全単射になるからである）。 Remark 5. 次元 n から次元 k への滑らかな写像が与えられると、Df (resp. Dfx) が全射であれば、f は沈めこみ (submersion) (resp. 局所沈めこみ (local submersion)) と言い、Df (resp. Dfx) が単射であれば f ははめ込み (immersion) (resp. 局所はめ込み (local immersion)) と言う。 Remark 6. 可微分全単射は微分同相とは限らない、例えば f(x) = x3 は R から自身への微分同相ではない、なぜならば微分が 0 において消える（したがって逆関数が 0 において微分可能でない）からである。これは微分同相でない同相写像の例である。 Remark 7. （f が可微分多様体の間の写像であるとき）f が微分同相写像であることは f が同相写像であることよりも強い条件である。微分同相写像に対して f とその逆関数が可微分である必要がある。同相写像に対しては f とその逆関数が連続であることを要求するだけである。したがってすべての微分同相写像は同相写像であるが、逆は間違いである： すべての同相写像が微分同相写像であるわけではない。 さて f : M → N は座標チャートにおいて上の定義を満たすとき微分同相写像 (diffeomorphism) と呼ばれる。より正確には、協調的な座標チャートによって M の任意の被覆を選び、N についても同じことをする。φ と ψ をそれぞれ M と N 上のチャートとし、U を φ の像とし V を ψ の像とする。このとき条件は写像 ψfφ−1 : U → V が（意味を持つときにはいつでも）上の定義の意味で微分同相写像であるというものである。2つの与えられたアトラスのチャート φ, ψ のすべての対に対してそれを確認しなければならないが、一度確認されてしまえば、任意の他の協調的なチャートに対しても正しくなる。再び次元は一致しなければならないことがわかる つづく 953 名前：１３２人目の素数さん [2024/12/30(月) 08:03:18.78 ID:qdfGas+m.net] つづき 例 略す 微分同相写像の群 略す 微分同相写像の拡張 1926 年、Tibor Radó は単位円の単位円板への任意の同相写像（あるいは微分同相写像）の調和拡大 (harmonic extension) は開円板上の微分同相写像を生むかどうか問うた。エレガントな証明がすぐ後に ヘルムート・クネーザー (Hellmuth Kneser) によって提出され、全く異なる証明がギュスタヴ・ショケ (Gustave Choquet) によって 1945 年に、明らかに定理が既に知られていたことに気付かずに、発見された。 円の（向きを保つ）微分同相写像群は弧状連結である。 高次元の球面 Sn−1 の微分同相写像に対する対応する拡張問題はルネ・トム (René Thom)、ジョン・ミルナー (John Milnor)、スティーヴン・スメイル (Stephen Smale) の顕著な貢献とともに 1950 年代と 1960 年代に多く研究された。そのような拡張の障害は有限アーベル群 Γn 、"group of twisted spheres" によって与えられる。これは微分同相写像群のアーベル component group の、球 Bn の微分同相写像に拡張する類の部分群による商として定義される。 連結性 多様体に対して微分同相写像群は通常連結でない。その component group は写像類群（英語版）と呼ばれる。次元 2 において、すなわち曲面に対して、写像類群は有限表示群であり、Dehn twists によって生成される (Dehn, Lickorish, Hatcher) [要出典]。マックス・デーン (Max Dehn) と Jakob Nielsen はそれは曲面の基本群の外部自己同型群（英語版）と同一視できることを証明した。 ウィリアム・サーストン (William Thurston) は写像類群の元を分類することによって 3 つのタイプにこの解析を細分した： 周期的微分同相写像に同値� 954 名前：ﾈもの； 単純閉曲線を不変のままにする微分同相写像に同値なもの； pseudo-Anosov diffeomorphisms に同値なもの。トーラス S1 × S1 = R2/Z2 の場合には、写像類群は単にモジュラー群 SL(2, Z) であり分類は楕円型、放物型、双曲型行列の言葉の古典的なものに帰着する。サーストンは写像類群はタイヒミュラー空間（英語版）のコンパクト化上に自然に作用することを観察することによって彼の分類を達成した； この大きくされた空間は閉球に同相であるから、ブラウアーの不動点定理が適用可能になる。 M が向き付けられた滑らかな閉多様体であれば、スメイルによって、向きを保つ微分同相写像の群の単位元成分（英語版）は単純であることが予想された。これはまず Michel Herman によって円の積に対して証明されていた； サーストンによって完全に一般的に証明された。 つづく [] [ここ壊れてます] 955 名前：１３２人目の素数さん [2024/12/30(月) 08:03:39.82 ID:qdfGas+m.net] つづき ホモトピー型 略す 同相写像と微分同相写像 微分同相写像でない同相写像を見つけるのは容易だが、微分同相でない同相多様体の対を見つけることはより難しい。次元 1, 2, 3 において、同相で滑らかな多様体の任意の対は微分同相である。次元 4 かまたはそれより上において、同相だが微分同相でない対の例が見つかっている。最初のそのような例はジョン・ミルナー (John Milnor) によって 7 次元において構成された。彼は標準的な 7 次元球面に同相だが微分同相ではない（今ではミルナー球面（英語版）と呼ばれる）滑らかな 7 次元多様体を構成した。実は 7 次元球面に同相な多様体の向き付けられた微分同相類は 28 存在する（そのそれぞれは 3 次元球面をファイバーとして持つ 4 次元球面上のファイバー束の全空間である。 はるかに極端な現象は4次元多様体に対して起こる： 1980年代初頭、サイモン・ドナルドソン (Simon Donaldson) とマイケル・フリードマン (Michael Freedman) による結果を合わせてエキゾチック R4の発見が導かれた： それぞれが R4 に同相な R4 の開部分集合でどの 2 つも微分同相でないものが非可算個存在し、また、R4 に滑らかに埋め込めない R4 に同相などの 2 つも微分同相でない可微分多様体が非可算個存在する (引用終り) 以上 956 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2024/12/30(月) 13:15:01.67 ID:qdfGas+m.net] >>852 追加 (参考) ja.wikipedia.org/wiki/%E8%A4%87%E7%B4%A0%E5%A4%9A%E6%A7%98%E4%BD%93 複素多様体 微分幾何学で複素多様体（ふくそたようたい、英: complex manifold）とは、多様体上の各点の開近傍が、 Cn の中の単位開円板への正則な座標変換を持つ多様体のことを言う[注釈 1]。座標変換が正則である場合には、 Cnの中で、コーシー・リーマンの方程式の制約を受ける。 複素多様体という単語は、上の意味での複素多様体のほか、概複素多様体を意味するものとしても使われる(区別が必要なときは、前者を可積分複素多様体と呼ぶ)。 複素多様体の意味 正則函数は実数の上での滑らかな函数よりも強い条件を満たすから、微分可能多様体の理論と複素多様体の理論とでは大きな違いがある。また、コンパクトな複素多様体は、微分可能多様体よりも代数多様体に非常に近い多様体である。 例えば、ホイットニーの埋め込み定理（英語版）により、すべての n-次元微分可能多様体は R2n の中へ微分可能部分多様体として埋め込まれるが、複素多様体がCn の中へ正則に埋め込まれるようなことは『まれ』である。例えば、コンパクトな連結多様体 M を考えてみると、M 上の任意の正則函数は、リウヴィルの定理により局所定数となる。ここで、もしも Cn の中への M の正則な埋め込みがあったとすると、Cn の座標函数は M の上の定数ではない正則函数に限定されてしまう。これは、M が一点の場合を除き、コンパクト性と矛盾する。Cn へ埋め込むことができる複素多様体のことをシュタイン多様体[注釈 2]と言い、たとえば微分可能な複素アフィン代数多様体などを含む、非常に特別な多様体のクラスとなる。 複素多様体の分類は、微分可能多様体の分類よりも微妙である。例えば、次元が4以外では、与えられた位相多様体は高々有限個の微分可能構造（英語版）を持つのに対して、複素構造を持った位相多様体は非可算個の複素構造を持つことができる場合もよくある。リーマン面は複素構造を持った2次元の多様体のことを言い、種数で分類され、この現象の重要な例となる。与えられた向きづけ可能な曲面上の複素構造の集合は、双正則同値を同一視して、モジュライ空間と呼ばれる複素代数多様体を形成する。この構造は現在、活発に研究されている領域である。 座標変換は双正則であるので、複素多様体は微分可能であり、標準的に向きづけられている（複素多様体であれば、向き付け可能である：Cn （の部分集合）への双正則写像は、向きづけを保存する。) 957 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2024/12/30(月) 14:33:04.29 ID:qdfGas+m.net] >>856 追加 複素多様体が、分ってなかったことが、分った ；ｐ） (参考) https://www.mathsoc.jp/publications/sugaku/dbase/article008.html 日本数学会の出版物 「数学」− 電子版へのインターフェース 論説（数論） 大沢健夫 L2評価式とその幾何学への応用 53(2), pp. 157- https://www.jstage.jst.go.jp/article/sugaku1947/53/2/53_2_157/_article/-char/ja/ 大沢健夫 $L^2$ 評価式の複素幾何への応用 48(2), pp. 142- https://www.jstage.jst.go.jp/article/sugaku1947/48/2/48_2_142/_article/-char/ja/ 大沢健夫 完備Kähler 多様体と関数論 38(1), pp. 15- https://www.jstage.jst.go.jp/article/sugaku1947/38/1/38_1_15/_article/-char/ja/ 958 名前：１３２人目の素数さん [2024/12/30(月) 19:28:28.77 ID:qdfGas+m.net] >>857 追加 複素多様体論 辻元先生のPDF が見つかった これは 成書 別冊数理科学 複素多様体論講義 2012年 サイエンス社の下書きだろうか ”1.1 はじめに”の『これらの古典的な歴史を見て思うのは、物事を１つの側面からだけ見ていたのでは駄目だということである。　物事にはいろいろな側面があり、それらを総合しないと全体像は把握できない。　特に代数多様体の世界のように複雑な世界を探求するにはなお更である』 格調高いね。まさに至言です (参考) www5f.biglobe.ne.jp/~inamoto/dream/physics/index.html 稲本 直太 多様体 複素多様体論（辻元氏）(2007/4/18掲載) www5f.biglobe.ne.jp/~inamoto/math/manifold/complexmanifold.pdf 複素多様体論 辻 元 1 予備知識 1.1 はじめに 複素多様体論は、難しいと言われる。　実際、複素多様体論は実に広範な知識を必要とする。　可微分多様体論、多変数関数論、微分幾何学、偏微分方程式論、関数解析学、代数幾何学など全てを勉強しようとすると気が遠くなりそうに思う人も多いであろう。しかしながら、実は大半の部分は初等的であり、それ程広範な知識は必要としない。基本的には複素多様体から得られる、有限次元ベクトル空間に、複素多様体の性質を投影させることで大半の定理が得られているのである。つまり、コホモロジー群という多くの学生にとって苦手な対象さえ、自由に使いこなせれば、大半の理論は理解可能である。邪魔なコホモロジーを消したりするには、¯ ∂方程式を解くことになるが、これも、線形代数における連立方程式を無限次元に素直に一般化したものに過ぎない。例えばラプラス作用素が自己随伴であるということは、行列がエルミートであることと同じで、無限次元という鎧を着けているために立派な理論に見えているだけである。 近年の複素解析幾何学の発展により、複素多様体論の性質は、多重劣調和関数の理論や正則領域の理論に見られる凸性に多くの事柄が帰着することを指し示しているように見える。「全ての道はローマに通ず」ではなく、全ての道は擬凸性に通じるのである。実際、多変数関数論の研究は擬凸性の研究から始まったのであって、岡潔のレビ問題の解決(1954)などを見ても、表立ってコホモロジーの概念を使わずに議論がなされて来た。この頃は、積分公式により実質的に¯ ∂方程式を解いていたので、関数解析的な手法も使われていなかった。　それと同じ頃、調和積分論を複素多様体上に一般化する試みが小平邦彦により進められ、調和積分論の整備が始められた。 　特に、小平の消滅定理が証明され、代数多様体の特徴付けがなされたのは画期的な事件であった。その後、これら２つの手法は、岡潔の発見した層の理論を通じて１つの物になり、やがてGrothendiekによるスキーム論による代数幾何学の基礎付けが行なわれ、特に特異点を持つ代数多様体やさらには有限体上の代数多様体の研究などが強力に推し進められた。 また、モジュライの理論も、Mumford、Griffithなどにより幾何学的不変式論や、周期積分の観点から盛んに研究された。 しかしながら、その一方でヘルマンダーにより、小平理論の関数解析的な、非コンパクト多様体への拡張が行なわれ、著しい応用が見付けられた。　つまり、Grothendiek流の抽象論とは別の、謂わば量的な方法の進歩により、理論はより深化して行った つづく 959 名前：１３２人目の素数さん [2024/12/30(月) 19:29:00.02 ID:qdfGas+m.net] つづき これらの古典的な歴史を見て思うのは、物事を１つの側面からだけ見ていたのでは駄目だということである。　物事にはいろいろな側面があり、それらを総合しないと全体像は把握できない。　特に代数多様体の世界のように複雑な世界を探求するにはなお更である。というような訳で、盛り沢山の内容を如何に分かり易く読者に伝えるか、著者なりに気を使った。　是非通読して、複素幾何学の基礎を固めて欲しい。 www.saiensu.co.jp/preview/2020-978-4-7819-9970-8/SDB61_sample.pdf 複素多様体論講義 - サイエンス社 辻 元 2020電子版 アマゾン 別冊数理科学 複素多様体論講義 2012年 10月号 上位レビュー susumukuni 5つ星のうち4.0 複素幾何を学びたい方に薦められる格好の概説書 2012年11月16日 本書を学ばれる方に、小林昭七『複素幾何』と中野茂男『多変数函数論』を事前に或いは併せて学習される事を強くお薦めしたい 次に、ディーバー方程式の解のL2評価、正則ベクトル束の特異エルミート計量（特異ファイバー計量とも言う）と乗数イデアル層、バーグマン核などの重要性を本書で理解出来る所がとても良い。 かつてヘルマンダーの教科書を勉強した際に、擬凸領域でディーバー方程式を解く事ができ必然的に正則領域になる、というレヴィ問題解決への新機軸の素晴らしさに目を見張った記憶があるが、L2評価の新方式から「大沢-竹腰のL2拡張定理」が得られ、その美しい応用としてDemaillyの近似定理やSiuの構造定理などの新たな進展が見られる事に感激を覚える。この方面では主張が明瞭な大沢健夫『多変数複素解析』が個性的な書として薦められる (引用終り) 以上 960 名前：１３２人目の素数さん [2024/12/31(火) 06:34:19.07 ID:7a6M3386.net] 裳華房が数学選書で「複素多様体論」を出す予定だったが 961 名前：現代数学の守護天使　 mailto:sage [2024/12/31(火) 07:42:01.18 ID:ZIBhArJJ.net] ＞複素多様体が、分ってなかったことが、分った 　多様体なら分かってる、と思ってる時点で自分のレベルがわかってない 　君はそもそも実数Rの位相も、ｎ次元実ベクトル空間R^nも分かってないから 　それらの上にある実多様体が分かるわけなかろう 962 名前：現代数学の系譜 雑談 [2024/12/31(火) 08:43:49.99 ID:AlJH/MnG.net] >>680 ID:7a6M3386は、御大か 朝の巡回ご苦労さまです 複素多様体論 辻元先生 下記 格調高いですね。百回音読する価値がありますね （＾＾ ＜再録＞ 1.1 はじめに 複素多様体論は、難しいと言われる。　実際、複素多様体論は実に広範な知識を必要とする。　可微分多様体論、多変数関数論、微分幾何学、偏微分方程式論、関数解析学、代数幾何学など全てを勉強しようとすると気が遠くなりそうに思う人も多いであろう。しかしながら、実は大半の部分は初等的であり、それ程広範な知識は必要としない。基本的には複素多様体から得られる、有限次元ベクトル空間に、複素多様体の性質を投影させることで大半の定理が得られているのである。つまり、コホモロジー群という多くの学生にとって苦手な対象さえ、自由に使いこなせれば、大半の理論は理解可能である。邪魔なコホモロジーを消したりするには、¯ ∂方程式を解くことになるが、これも、線形代数における連立方程式を無限次元に素直に一般化したものに過ぎない。例えばラプラス作用素が自己随伴であるということは、行列がエルミートであることと同じで、無限次元という鎧を着けているために立派な理論に見えているだけである。 近年の複素解析幾何学の発展により、複素多様体論の性質は、多重劣調和関数の理論や正則領域の理論に見られる凸性に多くの事柄が帰着することを指し示しているように見える。「全ての道はローマに通ず」ではなく、全ての道は擬凸性に通じるのである。実際、多変数関数論の研究は擬凸性の研究から始まったのであって、岡潔のレビ問題の解決(1954)などを見ても、表立ってコホモロジーの概念を使わずに議論がなされて来た。この頃は、積分公式により実質的に¯ ∂方程式を解いていたので、関数解析的な手法も使われていなかった。　それと同じ頃、調和積分論を複素多様体上に一般化する試みが小平邦彦により進められ、調和積分論の整備が始められた。 　特に、小平の消滅定理が証明され、代数多様体の特徴付けがなされたのは画期的な事件であった。その後、これら２つの手法は、岡潔の発見した層の理論を通じて１つの物になり、やがてGrothendiekによるスキーム論による代数幾何学の基礎付けが行なわれ、特に特異点を持つ代数多様体やさらには有限体上の代数多様体の研究などが強力に推し進められた。 また、モジュライの理論も、Mumford、Griffithなどにより幾何学的不変式論や、周期積分の観点から盛んに研究された。 しかしながら、その一方でヘルマンダーにより、小平理論の関数解析的な、非コンパクト多様体への拡張が行なわれ、著しい応用が見付けられた。　つまり、Grothendiek流の抽象論とは別の、謂わば量的な方法の進歩により、理論はより深化して行った これらの古典的な歴史を見て思うのは、物事を１つの側面からだけ見ていたのでは駄目だということである。　物事にはいろいろな側面があり、それらを総合しないと全体像は把握できない。　特に代数多様体の世界のように複雑な世界を探求するにはなお更である。というような訳で、盛り沢山の内容を如何に分かり易く読者に伝えるか、著者なりに気を使った。　是非通読して、複素幾何学の基礎を固めて欲しい。 (引用終り) 963 名前：現代数学の系譜 雑談 [2024/12/31(火) 08:53:58.80 ID:AlJH/MnG.net] >>861 (引用開始) ＞複素多様体が、分ってなかったことが、分った 　多様体なら分かってる、と思ってる時点で自分のレベルがわかってない 　君はそもそも実数Rの位相も、ｎ次元実ベクトル空間R^nも分かってないから 　それらの上にある実多様体が分かるわけなかろう (引用終り) ふっふ、ほっほ （＾＾ 1）便所板の自称 964 名前：エスパーこと、アホなおサルさんか？ｗ 2）”分る”とは？ 「数学が分る」とは、いろんな段階がある 　あたかも、囲碁のレベルで 初心者、アマ有段者、アマ高段者、プロ、トッププロ 　などのレベルがあるごとく、数学でも同様だろう 3）数学科をお情け卒業したことが自慢の 　その実、数学科3年生からオチコボレさん 　ZFCの理解も怪しいおサルさん 　君が分っている程度も、所詮 初心者レベルｗ ；ｐ） [] [ここ壊れてます] 965 名前：現代数学の守護天使　 mailto:sage [2024/12/31(火) 09:28:44.36 ID:ZIBhArJJ.net] >>862 ＞百回音読する価値がありますね 　でも理解できないんなら君には無価値 　数学は念仏ではない 966 名前：現代数学の守護天使　 mailto:sage [2024/12/31(火) 09:36:29.48 ID:ZIBhArJJ.net] ＞数学科をお情け卒業したことが自慢の、その実、数学科3年生からオチコボレさん 　自慢したつもりは一度もないが、自慢に聞こえたならそれは 　工学部をお情け卒業したことが自慢の、その実、大学１年から数学オチコボレの 　君の僻みだな ＞ZFCの理解も怪しいおサルさん　君が分っている程度も、所詮 初心者レベル 　実数・連続写像も線型空間・線型写像も理解が怪しい君は高卒レベルだよ 　大学数学門前払いか 967 名前：現代数学の守護天使　 mailto:sage [2024/12/31(火) 09:39:23.89 ID:ZIBhArJJ.net] 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP　のレベルは高卒　軍隊でいえば兵隊 大学３年失格でも大学２年修了相当なら　軍隊で言えば下士官　やっぱ違うな 968 名前：１３２人目の素数さん [2024/12/31(火) 09:54:48.33 ID:7a6M3386.net] ＞　ZFCの理解も怪しいおサルさん　君が分っている程度も、所詮 初心者レベル ZFCの理解が怪しくても多変数関数論ならできる 969 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2024/12/31(火) 10:00:37.38 ID:ZIBhArJJ.net] >>867 > ZFCの理解が怪しくても多変数関数論ならできる 　多変数関数論ができても「箱入り無数目」がわかるとは限らない 　選択公理以は高校レベルの数学しか使わないのだが 970 名前：１３２人目の素数さん [2024/12/31(火) 10:10:46.92 ID:7a6M3386.net] >多変数関数論ができても「箱入り無数目」がわかるとは限らない 「高校生でもわかる箱入り無数目」がわからなくても 多変数関数論はできる 971 名前：現代数学の守護天使　 ◆0t25ybzgvEX5 mailto:sage [2024/12/31(火) 10:34:53.40 ID:ZIBhArJJ.net] >>869 はいはい、お爺ちゃん 972 名前：現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [2024/12/31(火) 10:49:39.37 ID:AlJH/MnG.net] >>867 >＞　ZFCの理解も怪しいおサルさん　君が分っている程度も、所詮 初心者レベル >ZFCの理解が怪しくても多変数関数論ならできる ID:7a6M3386は、御大か ご苦労さまです ZFCのスレでも議論しましたが、ZFCはあくまで数学の基礎で地下部分 ZFCの中で、地上の普通の数学をやろうという人はいません 不自由すぎる ZFCで地上に飛び出してきた唯一が、選択公理ですね それ以外で、順序数などは カントールの時代ですね 973 名前：１３２人目の素数さん [2024/12/31(火) 11:24:06.32 ID:7a6M3386.net] >>870 お爺ちゃんでも研究論文が国際誌に アクセプトされる 多変数関数論 974 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2024/12/31(火) 11:41:01.38 ID:ZIBhArJJ.net] >>871 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhPは 大学1年の実数の定義、関数の連続性の定義、線形空間の定義、線形写像の定義でも 「あくまで数学の基礎で地下部分 　これで地上の普通の数学をやろうという人はいません 　不自由すぎる」 とほざきそう　ブルバキが聞いたら嘆くぞ 975 名前：１３２人目の素数さん [2024/12/31(火) 11:43:15.97 ID:7a6M3386.net] >ブルバキが聞いたら嘆くぞ これには同意 976 名前：１３２人目の素数さん [2024/12/31(火) 11:44:23.25 ID:7a6M3386.net] 多変数関数論も100年後には数学の基礎 977 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2024/12/31(火) 14:41:43.47 ID:ZIBhArJJ.net] >>875 …となれば結構だが 100年後には人類は存在しないかもしれん 978 名前：１３２人目の素数さん [2024/12/31(火) 16:09:36.88 ID:AlJH/MnG.net] >>873 >「あくまで数学の基礎で地下部分 >　これで地上の普通の数学をやろうという人はいません >　不自由すぎる」 >とほざきそう　ブルバキが聞いたら嘆くぞ ふっふ、ほっほ 大学数学科2年で詰んで 3年からオチコボレさんなら、ブルバキ読んでないよねｗｗｗ ；ｐ） 実際、ZFCスレにも書いたけど ZFC内で、円周率πの近似値 3.14を、まともにノイマン順序数で書いたら 3 = {Φ, {Φ}, {Φ, {Φ}}} 1 = {Φ} 4 = {Φ, {Φ}, {Φ, {Φ}}, {Φ, {Φ}, {Φ, {Φ}}}} なので π≒{Φ, {Φ}, {Φ, {Φ}}} . {Φ} {Φ, {Φ}, {Φ, {Φ}}, {Φ, {Φ}, {Φ, {Φ}}}} となります ；ｐ） ことほどさように、ZFC内は全てが空集合Φから組み立てられて 基礎論としては、美しい しかし、数学の地上の部分は、ZFC以前に多くの部分が出来上がっているのです ガウスとかリーマンとかの活躍で、すでに多くの部分が出来上がっているのです それを全部 π≒ {Φ, {Φ}, {Φ, {Φ}}} . {Φ} {Φ, {Φ}, {Φ, {Φ}}, {Φ, {Φ}, {Φ, {Φ}}}} で書き直すアホは、おりません！！ ｗ ；ｐ） (参考) https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%84%E3%82%A7%E3%83%AB%E3%83%A1%E3%83%AD%EF%BC%9D%E3%83%95%E3%83%AC%E3%83%B3%E3%82%B1%E3%83%AB%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AB%96 ツェルメロ＝フレンケル集合論 選択公理を含むツェルメロ＝フレンケル集合論はZFCと略される。Cは選択 (Choice) 公理を[1] 、 ZFは選択公理を除いたツェルメロ (Zermelo)＝フレンケル (Fraenkel) 集合論の公理を表す。 7. 無限公理 最初のフォン・ノイマン順序数 0 = {} =Φ 1 = {0} = {Φ} 2 = {0, 1} = {Φ, {Φ}} 3 = {0, 1, 2} = {Φ, {Φ}, {Φ, {Φ}}} 4 = {0, 1, 2, 3} = {Φ, {Φ}, {Φ, {Φ}}, {Φ, {Φ}, {Φ, {Φ}}}} 979 名前：１３２人目の素数さん [2024/12/31(火) 16:18:23.69 ID:AlJH/MnG.net] >>877 補足 >それを全部 π≒ {Φ, {Φ}, {Φ, {Φ}}} . {Φ} {Φ, {Φ}, {Φ, {Φ}}, {Φ, {Φ}, {Φ, {Φ}}}} >で書き直すアホは、おりません！！ ｗ ；ｐ） 補足しておくと フォン・ノイマン順序数で、最初の無限集合自然数Nが構成できれば その後は、デデキントやカントールが行ったように Nを使って、整数Zを構成し 有理数Qを構成し 実数Rと複素数Cを構成し・・ そのあとは、微分積分や代数学などなど 地上の数学に繋がることが分る あとは、好みでしょ ブルバキ流が好きな人はそれでいい また、ブルバキ流が、ガチガチのZFCではない 980 名前：現代数学の守護天使　 [2024/12/31(火) 16:29:02.22 ID:ZIBhArJJ.net] >>877 ＞ZFC内で、円周率πの近似値 3.14を、まともにノイマン順序数で書いたら ＞π≒{Φ, {Φ}, {Φ, {Φ}}} . {Φ} {Φ, {Φ}, {Φ, {Φ}}, {Φ, {Φ}, {Φ, {Φ}}}}となります 　ならねえわ！ 　” . ”ってなんだよ●● 981 名前：１３２人目の素数さん [2024/12/31(火) 16:35:31.73 ID:ZIBhArJJ.net] >>878 Rをカントール流に有理コーシー列の同値類として定義する。このとき １．各同値類に属する１０進小数（何進でも同じだが）は１つないし２つである ２．２つ含まれる場合は、ある桁から先が全部０のものと、ある桁から先が全部９のものの場合に限られる 上記を証明せよ ※「実数＝小数」と考えてもおおむねかまわないが １つの実数が２つの小数表記を持つ場合があるので 小数表記に依存したゴタゴタした話を表に出さないために 有理コーシー列の同値類の考え方が有効 982 名前：現代数学の守護天使　 mailto:sage [2024/12/31(火) 16:41:04.51 ID:ZIBhArJJ.net] そもそも小数表記が実は特殊な有理コーシー列である そして実数のコーシー列の極限が実数だというのは 有理コーシー列の”コーシー列”の極限が 同値な有理コーシー列として存在するということ そして有理コーシー列と同値な小数も存在する 別に難しくもなんともないが 工学部当たりの連中は理論を蔑ろにするから こんな簡単なことが生涯理解できないままクタバル 983 名前：現代数学の系譜 雑談 [2024/12/31(火) 16:53:08.19 ID:AlJH/MnG.net] >>878 補足 いまや、古文書で 伝説と化した ブルバキ 検索でいつもの 下記 斎藤毅 ブルバキと「数学原論」がヒットします チラ見すれば、ブルバキがどんなものかが、分る！ ブルバキ流が、ガチガチのZFCではない もっとスケールの大きなものでした が、21世紀の数学は、そのスケールの大きなブルバキさえ 越えて広がってしまったのですｗ ；ｐ） （なので、斎藤毅先生自身が、『数学原論』を書いてしまいましたとさ （＾＾ ） (参考) https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~t-saito/jd.html 斎藤毅 https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~t-saito/jd/bourbakib.pdf ブルバキと「数学原論」数学セミナー2002年4月号 2. ブルバキの誕生. ブルバキは1934年A.ヴェイユとH.カルタンの間に生まれ,1939年に「数学原論」の最初の巻「集合論要約」を出版. 以後1950年代末までに「数学原論」のうち「集合論」, 「代数」,「位相」,「実一変数関数」,「位相線型空間」,「積分」からなる第1部を完結. その後もペースは落ちたものの,ひきつづき第2部の「リー群とリー環」,「可換代数」,「スペクトル論」,「多様体」と,第1部の改訂版の出版をつづける. この他, 毎年3回ブルバキ・セミナーを主催,というのがブルバキの略歴です ブルバキ誕生のいきさつは「A.ヴェイユ自伝」(稲葉延子訳,シュプリンガー・フェアラーク東京)などによると,次のようです. 1930年代, ストラスブール大で微積分を教えていたヴェイユとカルタンは,その教え方について議論を重ねていました. 何度となく繰り返される議論にケリをつけるため,彼らは,微積分をきちんと基礎付けた教科書を, 仲間を集めて書くことにしました. そのころの数学書には,厳密さがそれ以前よりずっときびしく求められるようになってきていたのですが,当時のフランスの微積分の教科書には,この要請をみたしているものがなかったのです.彼らの計画は, 微積分の基礎付けという最初の目的から, 数学全体の基礎付けへとすぐに大きくふくらんでいきました. 彼らの本の題は,ユークリッドの「原論」にちなんで,「数学原論」に決まりました. ユークリッドの「原論」は,内容はギリシャ数学全般にわたり, 記述は正確で厳密なことで知られます. 彼らは,現代の数学の「原論」を書くことにしたのです 3. 「数学原論」 はじめは微積分の教科書を書こうとしていたはずなのに,実数が登場するのは,「位相」の第4章,「集合論」から数えて12冊目の後半です. 微分の定義は「実一変数関数」ですから,なんと16冊目です.ではなぜ彼らはこういう文体,構成をとったのでしょうか. それは,彼らが目標とした, 正確さ, 厳密さを確保するための方法によるものなのです. それがどういうものであるかは, 各分冊の最初のページにある,「この本の使い方」に書かれています. いくつか抜粋します.「この原論は数学をその第一歩から取扱い,完全な証明をつける」「叙述の仕方は公理的,抽象的であり,原則として,一般から特殊へと進む」「内容は原則として厳密に定められた論理的順序に従って配列される」「すでに広い知識を持合わせている読者にしかその効用がわからないような事柄も含まれている」完全な証明をつけるのですから,図などを使って読者の直観に訴えるのは反則なのです つづく 984 名前：現代数学の系譜 雑談 [2024/12/31(火) 16:54:09.14 ID:AlJH/MnG.net] つづき 定義の動機づけや,定理や命題のもつ意味の説明がないのも,それを厳密に述べようとすれば, 結局は理論を展開するほかないからでしょうか. とはいっても,こんなふうに突き放されてしまうと,初心者にはつらいものがありますね.彼らが「数学原論」の記述に採用したのは,公理的方法とよばれるものです. 例えば, 数直線,リー群,代数多様体,関数空間,p進体など,さまざまな数学的対象がある共通の位相的性質をもつことを証明したいとしましょう. そのときこの方法では,1つ1つの対象に対して同じような証明をくりかえすなどということはしません. そうではなく, まずこれらの対象が共通にもつ性質を抽出し,それを少数の命題からなる位相空間の公理としてまとめます. そして,この公理から問題となっている性質を導きだすことによって,いっぺんに証明をすましてしまうのです. 公理的方法は抽象的なものですが, 数学のさまざまな分野を結びつける力をもった強力なものです. 「数学原論」では,この方法が極端なまでに組織的に, そして厳格に貫かれています. 1つ1つの定義,命題が徹底的な検討を経て定式化され,そしてそれらが,論理的順序に従い,整然と秩序だって並べられています. 「集合論」,「代数」,「位相」,... という構成も, そうして定まったものなのです. 彼らは自分たちの原則に忠実にしたがい,考え抜かれた緻密な構成と, 明晰で厳密な論証をもつ数学書を,次々と作り出していったのです. 「数学原論」の数学的内容について,もう少しだけ立ち入ってみたいと思います. というと,「構造」についてふれるのがほとんど定番のようになっています. しかしここでは, ブルバキが線型代数を重視したことに注目したいと思います. このことは,彼らがモデルとしたに違いない,ファン-デル-ヴェルデン「現代代数学」と比べてみるとよくわかります. 「数学原論」では,線型代数と多重線型代数はそれぞれ,「代数」の巻の第2章, 第3章の主題です. 一方「現代代数学」では,線型代数は最後の巻である第3巻の後半,第15章になってようやく現れ,多重線型代数はでてきません. ブルバキは,数学全体の基礎を集合論に求めましたが,代数の基礎は線型代数においたのです. こうすることにより,「現代代数学」ではばらばらに扱われていた,イデアル,線型空間,拡大体, アーベル群, 線型表現などが体系的に扱われることになりました. 例えばガロワ理論は, 拡大体のテンソル積の構造から見通しよく導き出されますし,行列式も,外積代数を使って鮮やかに定義されます. ブルバキはこのように,線型代数は数学を支える大きな柱であることを主張しました. 線型代数は,当時勢いよく発展しつつあったホモロジー代数とともに,その占めるべき本来の位置を数学の中にとりもどしたのです. 40 年代,50年代に「数学原論」の各巻が次々と出版されると,それは数学界に大きな反響をまきおこしました. 反発を感じる数学者も多かったようですが, それ以上に,積極的に幅広く受け入れられていったのです. 数学全体を公理的集合論の上に厳密に基礎付ける, というヒルベルト以来の夢を現実にしたことも,その一因でしょう. しかし本当の理由は,そういうメタ数学的なものではないと思います. つづく 985 名前：現代数学の系譜 雑談 [2024/12/31(火) 16:54:26.76 ID:AlJH/MnG.net] つづき 数学はその頃, 関数解析,代数幾何,複素解析幾何やトポロジー,それらを支えるホモロジー代数やカテゴリーといった抽象的な方向へ爆発的に発展していました. ブルバキの1人1人も,それぞれの専門分野で大きな貢献をしています. カルタン-アイレンバーグ「ホモロジー代数」,シュヴァレー「リー群の理論１」,シュヴァルツ「超関数論」, ゴドマン「層の理論」,ヴェイユ「代数幾何の基礎」といった本は,いずれもこの時期にブルバキのメンバーによって,「数学原論」の文体で書かれたものです. 「数学原論」が, こうした発展の基礎となる理論の明解で確実な記述を与えていること,そしてそのかなりの巻が,それぞれの内容についてのまとまった最初の文献であること,こうしたことこそが,「数学原論」が高い評価をうけ,そして数学に大きな影響を与えていった本当の原因だと思います. 4. ブルバキと現在. 略す (引用終り) 以上 986 名前：現代数学の守護天使　 [2024/12/31(火) 17:03:35.10 ID:ZIBhArJJ.net] まーた、大学数学童貞◆yH25M02vWFhPがイキってコピペ荒らししとる だいたい、高校あたりで「ボクちゃん数学の天才」とかうぬぼれてる奴に限って 抽象数学の壁が乗り越えられない ・実数とは無限小数のことである ・線型空間とは数ベクトル空間のことである 確かに、 ・実数はほぼ無限小数で一意的に表せる ・有限次元線型空間は数ベクトル空間と同型である しかし、だからといって抽象数学の理論が不要ということにはならない 線型写像は行列という具体的な形で表せるので誤魔化せるだろうが 連続写像の連続性（いわゆるε-δ）はさすがにそういうわけにはいかない したがって、具体フェチは 実数の定義はスルーできてもε-δはスルーできないので落伍する 数ベクトルと行列の計算法は記憶できても線型独立の意味が分からん� 987 名前：ﾌでやっぱり落伍する 落伍する箇所は必ず抽象性が求められるところと決まってる 要するに発想の転換が必要なのだが、具体フェチはそれを嫌がってしたがらない 実に愚かなことである [] [ここ壊れてます] 988 名前：現代数学の守護天使　 [2024/12/31(火) 17:12:34.38 ID:ZIBhArJJ.net] さて、多様体論とかいうものがある これまた、オチコボレを増やす関門である 実にしばしば、コンパクトとかパラコンパクトとか出てきて なんでこんな性質を前提するのか初心者は分からず落ちこぼれる 実のところ、多様体論で何が大事か分かれば悩まない 何が大事か？　それは１の分割と（局所）有限被覆である 多様体論では被覆で多様体を形作るが、 １の分割を行うには重なりが有限である必要がある その性質を保証するのがコンパクトもしくはパラコンパクト 実にくだらんことなのである まあ、多様体論の真に悩ましいところは 多様体の定義だけみてもどんな多様体が存在し 何と何が微分同相か否か判定する方法が見当がつかない という点にあるが （実はそこが一番難しいので分からんのはむしろ当然 　しかも多様体論の本ではそんな究極の難問までたどりつかない） 989 名前：現代数学の守護天使　 mailto:sage [2024/12/31(火) 17:18:12.86 ID:ZIBhArJJ.net] 群でも多様体でもなんでも結構だが ある概念を考えた場合、 具体的に構成しかつ分類したい という欲求にかられる 当然のことだが 実数とか線型空間みたいに 小数とか数ベクトルとかいう 都合のいい回答が用意されてるわけではない 大体考えてはみたが全体像はわけわからんものである そこで一般人は落ちこぼれる 答えだけ知りたいだけだから そういう人は研究者には向かない 研究者というのはなんもかんも分からんとこで ノミと槌で岩に穴をあける努力を続けられる人 軽佻浮薄なミーハー受験勉強野郎には到底無理なのである （受験勉強が大変だというが、 　大体答えのあるものを記憶するだけなので 　思考してるわけではない 　有名大学卒の連中が実は”頭悪い”というのは 　思考しなくても記憶すれば試験に受かっちゃうから） 990 名前：現代数学の守護天使　 mailto:sage [2024/12/31(火) 17:23:03.03 ID:ZIBhArJJ.net] 別にオチコボレが悪いといってるわけではない 世の中の人の９割９分９厘９毛はどこかで落ちこぼれてる それが高尾山か富士山かの違いだけである どうしてオチこぼれたかを意識し、主体的に諦めを選択することが重要 先が見えないのに岩に穴をあける単調な作業なんてまっぴらごめん と思えば別に学者なんてうらやましいとも思わん でもオチこぼれた理由をひたすら他人のせいにすると 他人のせいで諦めさせられたとしか思わず いつまでも見当違いな夢をみつづけることになる それは人生でもっとも不幸というか残念なことである 991 名前：１３２人目の素数さん [2024/12/31(火) 17:33:05.27 ID:AlJH/MnG.net] 数学科2年で詰んで 3年からオチコボレたおサルさんの ご高説か 笑えるｗ ；ｐ） 992 名前：現代数学の守護天使　 [2024/12/31(火) 17:39:12.92 ID:ZIBhArJJ.net] >>889 大学１年の微積と線型代数で詰んだのに、それを認めたがらないエテ公の強がりかい？ まったく笑えんな　哀れすぎて

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