- 353 名前：率連続複利のドリフト率でσはその年率の上昇率の変化率の標準偏差ですが、f(S,t)=log Sとしてこれを偏微分すると、
∂f/∂S = S^-1, ∂^2f/∂S^2=-S^-2
になり、一方で
∂f/∂t=0
です。
伊藤レンマ
伊藤レンマを計算すれば、dfが計算できて、
df= (μ-σ^2/2)dt +σdB
が結論になります。ここで(dB)^2=dtとなるのが先生の発見だと思います。それでdtの係数にσ^2/2の項が出てくる。これが投資家にとって極めて重要なのです。
株価が時刻tから時刻Tへと移るときに、Δlog S = log S(T)- log S(t)=(μ-σ^2/2)Δt + σ dBと置けるのですから、
log(S(T)/S(t))が平均(μ-σ^2/2)(T-t)、標準偏差σ(T-t)^0.5の正規分布に従うことになるからです。( – – – A)
この算出は、(dB^2=dt)の部分はそんなに簡単ではありません。S^2が自由度１の平均１で分散２のカイ二乗分布に従い、じゃあ、なぜ、S^2がカイ二乗分布に従うのかという点については、比較的容易にガンマ関数の初歩的な計算と置換積分でわかります。 nF(n)=F(n+1) (nは本来複素数まで拡張できる)
このレンマがブラックショールズ方程式で活躍。金融工学の全盛期を支えました。 [] - [ここ壊れてます]
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