- 342 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/03/15(水) 18:50:19.26 ID:mqaVCpoF.net]
- f(x):ℝ→ℝ と t>1 がf(f(x)) = x/t、f(x)は連続で原点で微分可能とする
(1) f'(0)≠0
(2) f'(0)>0ならばf(x)は一次式である
(3) f'(0)<0 でf(x)が一次式とならないものが存在する
(∵) (1) 1/t = f(f(x))' = f'(f(x))f'(x)なのでx=0を代入すればよい
(2) a>0を任意にとるとき
f'(0) = lim[n→∞] f(t⁻ⁿa)/(t⁻ⁿa)
= lim[n→∞] f(f(f(...f(a)))/(t⁻ⁿa) (2n+1回合成)
= lim[n→∞] t⁻ⁿf(a)/(t⁻ⁿa)
= f(a)/a
よりf(x)は一次式
(3) g(x) を0を含む開区間(-ε,∞)上定義された可微分狭義単調減少関数でg'(0)=-1/√t、lim[x→∞]g(x)=-∞であるものとする
g⁻¹(x)は0を含む開区間(-∞,ε')上定義されh'(0)=-√tである
そこでf(x)を
f(x) = g(x) (x ≧ 0 )
= h(x)/t ( x ≦ 0 )
で定めればf(f(x)) = x/t、狭義単調減少、可微分である
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