- 1 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2022/12/30(金) 01:37:06.61 ID:dJPebMFS.net]
- 面白い数学の問題を紹介して解き合うスレです
質問スレではありません
出題者が答えを知らない問題はお控えください
統計学などはスレ違い、数学以外の話題は論外です
荒らし、煽りはスルー推奨
前スレ
面白い数学の問題おしえて～な 41問目
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1652369753/
過去ログ(1-16問目)
www3.tokai.or.jp/meta/gokudo-/omoshi-log/
まとめwiki
w.atwiki.jp/omoshiro2ch/
- 892 名前： 【大凶】 mailto:sage [2023/08/10(木) 00:26:37.20 ID:bEYy+Id6.net]
- 前>>857
>>845(1)
(0,0)と(1,1/2)の最短距離は√(5/4)=√5/2=1.1180339……
四分円ならぬ楕円の1/4でつなぐなら、
単位円の周の1/4に対して縦方向に1/2、横方向に1だから、
2π/4√｛(1/2)・1｝=π√2/4=1.1……
放物線なら√3√｛(1/2)・1｝=√6/2=1.2695……と推定される。
(2)
(1,1/2)におけるy=(1/2)x^2の接線の傾きは、
y'=(1/2)2x=xにx=1を代入しy'=1
(1,1/2)におけるy=(1/2)x^2の法線の傾きは-1
(1,1/2)は((2+√2)/2,(1-√2)/2)と、
(0,0)は(0,-1)と長さ1の直線でつなぐことができ、
端点(0,-1)と((2+√2)/2,(1-√2)/2)を放物線でつなぐと、
求める領域の面積は、
(0,3/2)を中心とした半径(5/2),中心角π/4の扇形から、
(0,3/2)を中心とした半径(3/2),中心角π/4の扇形を除いた面積だから、
半径(5/2)の八分円から半径(3/2)の八分円を引き、
(π/8)｛(5/2)^2-(3/2)^2｝
=(π/8)(4/2)^2
=π/2
=1.57079632679……
- 893 名前：イナ ◆/7jUdUKiSM mailto:sage [2023/08/10(木) 01:36:55.76 ID:blo/NRmJ.net]
- 前>>858扇形なわけない。訂正。
>>857で中点の軌跡の長さを√6/2にする。
- 894 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/08/10(木) 01:37:55.94 ID:hEpfXdNk.net]
- >>655
答え今ないのですが計算機で数えてみたらやはり(2m-1)/(3m)のようです
m=2のときA ∧ notB とA ∧ notB ∧ Cをリストアップしたリストもつけました
10/20 = 1/2 = (2×2-1)/(3×2)になってます
https://ideone.com/YxQvKP
- 895 名前：イナ ◆/7jUdUKiSM mailto:sage [2023/08/10(木) 01:47:58.64 ID:blo/NRmJ.net]
- 前>>859訂正。
>>845(2)
縦倍率と横倍率を掛け合わせ√ をとると、
√(15√2+18)/4=1.56551116723……
- 896 名前：イナ ◆/7jUdUKiSM mailto:sage [2023/08/10(木) 02:50:30.34 ID:blo/NRmJ.net]
- 前>>861
>>845
(1)
(0,0)と(1,1/2)の最短距離は√(5/4)=√5/2=1.1180339……
四分円ならぬ楕円の1/4でつなぐなら、
単位円の周の1/4に対して縦方向に1/2、横方向に1だから、
2π/4√｛(1/2)・1｝=π√2/4=1.1……
放物線なら√3√｛(1/2)・1｝=√6/2=1.2695……と推定される。
(2)
(1,1/2)におけるy=(1/2)x^2の接線の傾きは、
y'=(1/2)2x=xにx=1を代入しy'=1
(1,1/2)におけるy=(1/2)x^2の法線の傾きは-1
(1,1/2)は((2+√2)/2,(1-√2)/2)と、
(0,0)は(0,-1)と長さ1の直線でつなぐことができ、
端点(0,-1)と((2+√2)/2,(1-√2)/2)を放物線でつなぐと、
求める領域の面積は、PQの中点の軌跡の長さ×1すなわち
PQの中点の軌跡の長さそのものである。
(1)より縦1/2,横1の長方形内を充填する放物線の長さは√6/2と推定された。
PQの中点の軌跡は縦(2-√2)/4-(-1/2)=(4-√2)4
横(4+√2)/4の長方形内を充填する放物線だから、
y=x^2/2に対し、
x方向に(4+√2)/4(倍)
y方向に｛(4-√2)/4｝/(1/2)=(4-√2)/2(倍)
これらを掛けあわせて√ をとれば、
(√6/2)√[｛(4+√2)/4｝｛(4-√2)/2｝]
=√｛(3/2)(14/8)｝
=√(21/8)
=√42/4
=1.6201851746……
- 897 名前：イナ ◆/7jUdUKiSM mailto:sage [2023/08/10(木) 03:06:09.25 ID:blo/NRmJ.net]
- 前>>862
>>845(1)訂正。
√6/2=1.22474487139……
- 898 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/08/11(金) 12:34:42.03 ID:hY9SuugI.net]
- >>545
(2)計算機で出した近似値
- 899 名前：
https://ideone.com/y7Kiic
これが何かです [] - [ここ壊れてます]
- 900 名前：１３２人目の素数さん [2023/08/11(金) 13:28:36.63 ID:dvI2t9yX.net]
- それぞれ4本ずつ辺を持つ17点同士がその辺で結ばれている。2本以下の辺をたどることで任意の2点間を移動できるように辺を取ることはできるか？
- 901 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/08/11(金) 21:23:54.46 ID:2RK7qnbm.net]
- 正三角柱と正五角柱点と辺のなすグラフGとHを用意する
それぞれの頂点はA×{0,1}〜C×{0,1}の6点とD×{0,1}〜H×{0,1}の10点とする
A×i-D×i、B×i-E×i、C×i-F×i、の6本の辺を追加すればこれら12点は全て分岐数4になる
頂点Iを追加してIとG×i、H×iの4点を結べば全ての頂点の分岐は4分岐になる
この時頂点IからB×iまでは4本の辺を渡らなければ移動出来ない
- 902 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/08/12(土) 01:09:51.62 ID:uL+D5RFs.net]
- もしかして
k正則グラフの直径が2以下なら頂点数は2ᵏ以下である事を示せ
かな？
k=4の場合は泥臭く場合わけして示せたけど一般に成り立つのかな
- 903 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/08/12(土) 01:25:38.26 ID:c6dnwQHQ.net]
- 違った
4正則グラフで直径2の頂点数の最大は15らしい
答え載ってる資料見つけたけどもちょっと考えたい人のためにあげるの保留
- 904 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/08/12(土) 02:00:07.80 ID:ZzOTLx8+.net]
- 問題を17点にしてるということは2^4以下だとキレイに示せたりするってことなんかな？
- 905 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/08/12(土) 02:13:05.99 ID:mr9Reb8o.net]
- 俺の見つけた資料によると
k正則グラフで直径2以下のグラフの頂点数の最大値をnₖとするとき
5(k-1) ≦ nₖ ≦ k²+1
らしいk = 2の時はn₂=5で正五角形のなすグラフ、k=3のときはnₖ=10でペーターセングラフというものになるらしい
k=4の時は15≦n₄≦17だけと正解はn₄=15
見つけた資料ではn₄≠17,16と順に示してるけどめっちゃ泥臭い
- 906 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/08/12(土) 02:23:02.84 ID:AEJqltte.net]
- なるほど
- 907 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/08/12(土) 02:24:24.55 ID:AEJqltte.net]
- ところで>>840は考えてくれてる人いるんかな？
- 908 名前：１３２人目の素数さん [2023/08/12(土) 12:07:19.44 ID:fSxIxjFN.net]
- >>865の想定解は、題意のような辺の取り方があると仮定すると
(1)17点のうちの任意の点について元の点に戻ってくる最短経路の辺の数がちょうど5に定まること(6以上だと対面の点に2辺以内で移動できず、4以下だと2辺の移動で自分以外の16点をカバー出来なくなる)
(2)(1)から、任意の1辺について、その辺を1辺に持つ五角形の総数が2×2=4で求まること
(3)(2)から、グラフ全体の中にある異なる五角形の数が(4×((17×4)/2))/5=27.2で整数でないことから仮定が矛盾する。
上の一般化で、1点の持つ辺の数がn,直径k,点の数N= (n×(n-1)^k-2)/(n-2)の場合について、N×(n/2)×(n-1)^kが2k+1で割りきれない時は題意の辺のとり方が存在しないことが分かります。
>>870 ペーターセングラフって言うんですね。これを見つけたので一般化した辺の結び方を探したけど上手く行きませんでした。せめてn=5,k=2,N=26の時だけでも分かるといいんですが。
- 909 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/08/12(土) 12:33:03.27 ID:JuBrRQ9d.net]
- それより>>865の問題文はない
もう少し他人にちゃんと伝わる文章が書けるようにならんとアカン
- 910 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/08/12(土) 22:48:38.81 ID:ZlXk3woI.net]
- >>841 の問題をこのスレ用に手直ししてみた
・xy座標で(0,0)からスタート
・1回毎に確率1/4で上下左右に1移動
・n回移動後に(k,k)に到着する確率をp[n,k]とする
このとき
Σ[n=0,∞](p[n,0]-p[n,1]) = 4/π
Σ[n=0,∞](p[n,0]-p[n,2]) = (4/π)(1+1/3)
......
Σ[n=0,∞](p[n,0]-p[n,k]) = (4/π)(1+1/3+1/5+...+1/(2k-1))
を示せ
- 911 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/08/13(日) 00:06:54.88 ID:448Vrj6Y.net]
- >>873
(2)の任意の1辺についてその辺を1辺に持つ五角形の総数が2×2=4というのがよくわからないので解説してほしい
- 912 名前：１３２人目の素数さん [2023/08/13(日) 17:10:49.01 ID:WMGNPiHq.net]
- >>876
すみません。3×3=9の間違いでした。5で割り切れるかどうかには影響出ません。
2点P,Qが辺で結ばれていて、Pと結ばれているQ以外の3点をP1,P2,P3、同様にQについてQ1,Q2,Q3とする。P´∈{P1,P2,P3}からQ´∈{Q1,Q2,Q3}への最短の移動経路について、距離が1と仮定すると四角形PP´Q´Qが存在して(1)に矛盾。また最短の移動経路が2つ以上あると仮定すると、その最短経路の組み合わせで四角形が作れるため矛盾するので、最短経路は距離が2でただ一つに定まる。よって辺PQを通る五角形の総数はは3×3=9。一般の場合も同じです。
- 913 名前：１３２人目の素数さん [2023/08/13(日) 18:42:43.78 ID:0+0ZU+iv.net]
- 「核の3本柱」強化を表明 プーチン大統領 新型ICBM「近く実戦配備」
ロシアのプーチン大統領はICBM=大陸間弾道ミサイルなど「核の3本柱」を
強化していく考えを示しました。
「最重要課題はロシアの安全と世界の安定を保証する、核の3本柱の発展である」
プーチン大統領は21日、モスクワのクレムリンで軍大学校の卒業生らを前に演説し、
▼ICBM、▼核ミサイル搭載潜水艦、▼長距離爆撃機で構成される核の3本柱を
強化していく考えを示しました。
そのうえで、“10個以上の核弾頭を搭載可能とされる新型のICBM「サルマト」が
近く実戦配備される”としています。
- 914 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/08/13(日) 21:32:04.29 ID:ckn5vHuT.net]
- >>877
理解しました！
解説ありがとうございます
- 915 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/08/14(月) 01:57:58.90 ID:F+99PP7t.net]
- >>840
右辺-左辺 = (1/4)Σ[sym.](a-b)^2(2(a-c)^2(a-d)^2+(c-d)^4)
- 916 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/08/14(月) 02:03:33.67 ID:F+99PP7t.net]
- 訂正：左辺-右辺=(1/4)Σ[sym.](a-b)^2(2(a-c)^2(a-d)^2+(c-d)^4)
この問題、なんか背景とかあるん？
- 917 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/08/14(月) 05:04:15.44 ID:+q4+5tdd.net]
- >>881
おお、正解です！
背景というかキッカケは>>813のn=4のとき変数をa_i(1≦i≦4)として実際に判別式D≧0を計算してみたら
その過程で(a_i-a_j)^2の対称式たちの間の変な関係式がたくさん出てきて、そこからですね
- 918 名前：１３２人目の素数さん [2023/08/14(月) 08:35:54.74 ID:PlnTtXOql]
- 男のクセに歌とか歌う時点で身の毛か゛よた゛つほと゛キモチワルイものを枕営業がと゛うたら耳を疑うな，炎上商法た゛ろうけと゛．遠い国の争い同様
と゛うて゛もいい話だか゛．國連のショタコン担当か゛人権がと゛うたらノコノコ地球破壞しなか゛ら介入しにきて、そんなことだから国連はクソの役にも
立たない何ひとつ価値生産できない税金泥棒集団た゛と言われんた゛ろ．家て゛オ├ナしくしている者の生活どころか地球
- 919 名前：まて゛破壊しながら人を殺し
まくって私腹を肥やしてるテ囗リス├放置しておいて，わざわさ゛出向いて何か巻き込まれてるバ力の人権カ゛−とか救いようか゛ないな、力による
一方的な現状変更によって大量破壊兵器であるクソ航空機倍増させて閑静な住宅地から都心まで騒音まみれにして静音が生命線の知的産業壞滅
させて子供の学習環境破壞して，鉄道のз〇倍以上もの莫大な温室効果カ゛スまき散らして気侯変動させて海水温上昇させて．かつてない量の
水蒸気を曰本列島に供給させて土砂崩れ，洪水，暴風．突風，灼熱地獄にと住民の生命と財産を徹底的に破壞して世界最惡の脱炭素拒否のテ□
國家に送られる化石賞連続受賞にバ力丸出しプ□パガンダ放送て゛國民を洗脳し続けるテロ政府にΑΒСＤ包囲網のような制裁を科すのが先た゛ろ
創価学會員は．何百万人も殺傷して損害を与えて私腹を肥やし続けて逮捕者まで出てる世界最惡の殺人腐敗組織公明党を
池田センセ─がロをきけて容認するとか本気で思ってるとしたら侮辱にもほと゛があるそ゛！
ｈтｔＰｓ：／／ｉ、ｉｍｇｕｒ，соｍ／hnli1ga.jpeg [] - [ここ壊れてます]
- 920 名前：１３２人目の素数さん [2023/08/16(水) 17:52:16.28 ID:GxX9M8xR.net]
- xyz=(x^3+y^3+z^3-p^3)/3を満たす素数の組(x,y,z,p)を求めよ。
- 921 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/08/16(水) 19:21:42.12 ID:T1Z+MZvS.net]
- p^3=(x+y+z)((x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2)/2
p=2のとき、x,y,z=2,3,3
pが奇素数のとき、x,y,zすべてが奇素数だと右辺は偶数になり不適なので、そのうち2つは2となる
例えばy=z=2とすればp^3=(x+4)(x-2)^2
しかしx-2=1、x-2=pどちらも不適なのでこの場合は解なし
- 922 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/08/18(金) 18:24:32.45 ID:EAKbBUi9.net]
- >>875 を考えてくれている人いますか？
いないようなら想定解あげましょうか？
- 923 名前：イナ ◆/7jUdUKiSM mailto:sage [2023/08/20(日) 18:44:19.92 ID:17D84Wm+.net]
- 前>>863
>>845(2)
放物線の内側の面積は押しのけた長方形の面積の2/3だから、
大きい放物線部分に台形部分を足し、
小さい放物線部分を引くと、
(2/3)[1｛(1-√2)/2-(-1)｝]
+(1/2)｛1+(2+√2)/2｝｛1/2-(1-√2)/2｝
-(2/3)(1/2)1
=(3-√2)/3+(1+2√2)/4-1/3
=(2-√2)/3+(1+2√2)/4
=(8-4√2+3+6√2)/12
=(11+2√2)/12
- 924 名前：イナ ◆/7jUdUKiSM mailto:sage [2023/08/21(月) 01:44:44.58 ID:CVLFYpDG.net]
- 前>>887
>>845(1)は(2)と同じ値でいいんでしょうか？
放物線の長さと、放物線に挟まれた領域の面積、幅が1なら同じ値になるということでしょうか？
- 925 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/08/21(月) 07:22:45.41 ID:sMHHQRsn.net]
- >>845
(1)
∫[0,1]√(1+x^2)dx
= (1/2)(√2+log(1+√2))
(2)
線分PQの微小平行移動と微小回転の積分と考える
∫(微小平行移動の面積＋微小回転の面積)
= (曲線Cのx=0〜1までの長さ)×1 + (半径1角45°の扇形の面積)
= (1/2)(√2+log(1+√2)) + π/8
= 1.540492656...
- 926 名前：イナ ◆/7jUdUKiSM mailto:sage [2023/08/21(月) 23:29:51.09 ID:tcbB5L1p.net]
- 前>>888
y=x^2/2とy=-x+3/2のグラフを描くと、
放物線の0＜x＜1の部分をいくらx軸上にのばしても、
絶対に1.5まではのびない。
1.15236892706……が正しいと思う。
- 927 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/08/22(火) 01:08:36.27 ID:C1b/IKQY.net]
- >>845 をゴリゴリ計算してみた
Pの座標を(t,t^2/2)とするとQの座標は(t+t/√(1+t^2),t^2/2-1/√(1+t^2))と求まる
(Qの軌跡は放物線ではない)
(2)
(Pのt=0〜1の軌跡とx軸とx=1で囲まれる面積)
= ∫[0,1](t^2/2)dt
= 1/6
(Qのt=0〜1の軌跡とx軸とx=1+1/√2で囲まれる面積)
= ∫[0,1]|t^2/2-1/√(1+t^2)| d(t+t/√(1+t^2))
= ∫[0,1](-t^2/2+1/√(1+t^2))(1+1/(1+t^2)^(3/2))dt
= (1/24)(2+6√2+3π+12log(1+√2))
したがってPQの軌跡の面積はこの二つの値と二つの三角形の和と差で以下のようになる
1/6 + (1/24)(2+6√2+3π+12log(1+√2)) + (1/2)^2/2 - (1/√2-1/2)^2/2
= (1/8)(π+4√2+4log(1+√2))
= 1.54049265639504319...
- 928 名前：イナ ◆/7jUdUKiSM mailto:sage [2023/08/22(火) 12:25:10.21 ID:APjAbs4o.net]
- 前>>890訂正。
最初の大きいほうの長方形で横(2+√2)2を掛け忘れてた。
Qの軌跡が放物線だとしたら、
放物線の内側の面積は押しのけた長方形の面積の2/3だから、
大きい放物線部分に台形部分を足し、
小さい放物線部分を引くと、
(2/3)[｛(1-√2)/2-(-1)｝｛(2+√2)/2｝]
+(1/2)｛1+(2+√2)/2｝｛1/2-(1-√2)/2｝
-(2/3)(1/2)1
=｛(3-√2)+(3-√2)√2｝/6+(1+2√2)/4-1/3
=(3+2√2-2-2)/6+(1+2√2)/4
=(4√2-2+3+6√2)/12
=(10√2-1)/12
=1.09517796864……
Qの軌跡が放物線でないとしたら、これより少し広い。
P,Qの座標をPQ=1に代入し、Qの軌跡がわかれば、
面積はわかるはず。
- 929 名前：イナ ◆/7jUdUKiSM mailto:sage [2023/08/22(火) 13:55:06.49 ID:51BD1sqJ.net]
- 前>>892訂正。
(2) Qの軌跡が放物線だとしたら、
放物線の内側の面積は押しのけた長方形の面積の2/3だから、
大きい放物線部分に台形部分を足し、
小さい放物線部分を引くと、
(2/3)[｛(1-√2)/2-(-1)｝｛(2+√2)/2｝]
+(1/2)｛1+(2+√2)/2｝｛1/2-(1-√2)/2｝
-(2/3)(1/2)1
=(2/3)｛(3-√2)/2｝｛(2+√2)/2｝
+(1/2)｛(4+√2)/2｝(√2/2)
-1/3
=(3-√2)(2+√2)/6
+(1+2√2)/4
-1/3
=(4+√2)/6+(1+2√2)/4-1/3
=(2+√2)/6+(1+2√2)/4
=(4+2√2+3+6√2)/12
=(7+8√2)/12
=1.52614237492……
Qの軌跡が放物線でないとしたらこれよりやや広い。
- 930 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/08/23(水) 13:44:59.89 ID:qCa8qLKX.net]
- >>891
正解です。
想定解
一般に
定理 凸集合K,Lと正の実数a,bにたいして凸集合aK+bLを
aK+bL = { R | OR→ = aOP→+bOQ→ ∃P∈K, ∃Q∈L }
とするときある多項式P(x,y)が存在して
Area(aK + bL) = P(x,y)
をみたす、特にLが単位円のときP(1,t)は二次式
P(1,t) = at^2 + bt + c
とおくとき
a = π、b = Kの周長、c = Kの面積
である。
をもちいて
K = { 0≦x≦1、x^2/2≦y≦1-(1-x)^2 }、L:単位円
とすれば
求める面積は(Area(K+L)-3π/4)/2
= (π+√2 + sinh^(-1)(1) -3π/4)/2
= 1/sqrt(2) + π/8 + 1/2 sinh^(-1)(1)
= 1.540492656...
- 931 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/08/23(水) 22:36:10.05 ID:RsiKTYyX.net]
- >>875
誰も解答しないので想定解書きます(みんなくだらない問題と思ったのかな)
・想定解答
n回移動後に(j,k)に到着する確率をp[n,j,k]と置きなおす。仮定より
p[n+1,j,k] = (1/4)(p[n,j-1,k] + p[n,j+1,k] + p[n,j,k-1] + p[n,j,k+1])
そしてp[n,j,k]の特性関数
P[n,x,y] = Σ[j,k∈Z] p[n,j,k] e^(ijx+iky), i=√-1
を考えると
P[n+1,x,y] = (1/4)(e^(+ix) + e^(-ix) + e^(+iy) + e^(-iy))P[n,x,y]
= ((cosx+cosy)/2)P[n,x,y]
が成り立ち、これは簡単に解けて
P[n,x,y] = ((cosx+cosy)/2)^n
反転公式より
p[n,j,k] = 1/(2π)^2∫∫[-π,π]^2 ((cosx+cosy)/2)^n e^(-ijx-iky) dxdy
あとは計算するだけ
Σ[n=0,∞](p[n,0,0]-p[n,k,k])
= Σ[n=0,∞]1/(2π)^2∫∫[-π,π]^2 ((cosx+cosy)/2)^n (1-cos(kx+ky)) dxdy
= 1/(2π)^2∫∫[-π,π]^2 (1-cos(kx+ky))/(1-(cosx+cosy)/2) dxdy (x=u+v,y=u-v,積分領域は対称性から同じ)
= 1/(2π)^2∫∫[-π,π]^2 (1-cos(2ku))/(1-cosu cosv) dvdu
= 1/(2π)∫[-π,π](1-cos(2ku))/|sin u| du
= S[k],
S[0
- 932 名前：] = 0,
S[k+1]-S[k] = 1/(2π)∫[-π,π](cos(2ku)-cos(2ku+2u))/|sin u| du
= 1/(2π)∫[-π,π](2sin(2ku+u)sin u)/|sin u| du,
= (4/π)(1/(2k+1))
よって
S[k] = (4/π)Σ[m=1,k]1/(2m-1) [] - [ここ壊れてます]
- 933 名前：イナ ◆/7jUdUKiSM mailto:sage [2023/08/25(金) 22:48:38.80 ID:KpSSCLTN.net]
- 前>>892
>>845(1)
(1)y'=x
∫[x=0→1]√(1+x^2)dx
=[x√(1+x^2)](x=0→1)-∫[x=0→1]｛x(x/√(1+x^2)｝
※部分積分=[上げてそのまま]-∫(上げて下げる)dx
=√2-∫[x=0→1]｛x^2/√(1+x^2)｝dx
=√2-∫[x=0→1]｛(1+x^2)/√(1+x^2)｝dx+∫[x=0→1]｛1/√(1+x^2)｝dx
=√2-∫[x=0→1]√(1+x^2)dx+∫[x=0→1]｛1/√(1+x^2)｝dx
2∫[x=0→1]√(1+x^2)dx=√2+∫[x=0→1]｛1/√(1+x^2)｝dx
※同形出現→左辺に移行
x=tanθとおくとx=sinθ/cosθだから、
dx/dθ=｛(sinθ)'cosθ-sinθ(cosθ)'｝/cos^2θ
=｛cosθ・cosθ-sinθ(-sinθ)｝/cos^2θ
=(cos^2θ+sin^2θ)/cos^2θ
=1/cos^2θ
dx=(1/cos^2θ)dθ
∫[x=0→1]｛1/√(1+x^2)｝dx
=∫[θ=0→π/4]｛1/√(1+sin^2θ/cos^2θ)｝(1/cos^2θ)dθ
=∫[θ=0→π/4]｛1/(1/cosθ)｝(1/cos^2θ)dθ
=∫[θ=0→π/4](1/cosθ)dθ
※ここでなぜか=∫[θ=0→π/4]cosθdθとなったんで、
=[sinθ](θ=π/4)
=√2/2
2∫[x=0→1]√(1+x^2)dx=√2+∫[x=0→1]｛1/√(1+x^2)｝dx
2∫[x=0→1]√(1+x^2)dx=√2+√2/2
∫[x=0→1]√(1+x^2)dx=√2/2+√2/4
=3√2/4
=1.06066017178……
絶対に間違えてるんだけど、いい値なんだよこれ。
- 934 名前：イナ ◆/7jUdUKiSM mailto:sage [2023/08/25(金) 22:54:36.41 ID:KpSSCLTN.net]
- 前>>896却下。
(0,0)と(1,1/2)の距離が、
√｛1+(1/2)^2｝=√5/2
=1.11803398875
放物線のほうが弛んでるからこれより少し長い。
- 935 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/08/26(土) 06:02:51.05 ID:4IVC4qh8.net]
- ∫[0,1]√(1+x^2)dx
= ∫[1,1+√2] 1/2(t + 1/t) 1/2(1 + 1/t^2)dt
= 1/4∫[1,1+√2] (t + 2/t + 1/t^3)dt
= 1/4 [t^2/2+ 2log(t)-1/(2t^2) ) ]_1^(1+√2)
= 1/√2 + 1/2 log(1 + √2)
- 936 名前：イナ ◆/7jUdUKiSM mailto:sage [2023/08/26(土) 11:13:38.96 ID:4AUBl7mI.net]
- 前>>897
>>845
(1)y'=x
∫[x=0→1]√(1+x^2)dx
=[x√(1+x^2)](x=0→1)-∫[x=0→1]｛x(x/√(1+x^2)｝
=√2-∫[x=0→1]｛x^2/√(1+x^2)｝dx
=√2-∫[x=0→1]｛(1+x^2)/√(1+x^2)｝dx+∫[x=0→1]｛1/√(1+x^2)｝dx
=√2-∫[x=0→1]√(1+x^2)dx+∫[x=0→1]｛1/√(1+x^2)｝dx
2∫[x=0→1]√(1+x^2)dx=√2+∫[x=0→1]｛1/√(1+x^2)｝dx
x=tanθとおくとx=sinθ/cosθだから、
dx/dθ=｛(sinθ)'cosθ-sinθ(cosθ)'｝/cos^2θ
=｛cosθ・cosθ-sinθ(-sinθ)｝/cos^2θ
=(cos^2θ+sin^2θ)/cos^2θ
=1/cos^2θ
dx=(1/cos^2θ)dθ
∫[x=0→1]｛1/√(1+x^2)｝dx
=∫[θ=0→π/4]｛1/√(1+sin^2θ/cos^2θ)｝(1/cos^2θ)dθ
=∫[θ=0→π/4]｛1/(1/cosθ)｝(1/cos^2θ)dθ
=∫[θ=0→π/4](1/cosθ)dθ
=∫[θ=0→π/4]｛cosθ/(1-sin^2θ)｝dθ
=∫[θ=0→π/4](1/2)｛cosθ/(1-sinθ)+cosθ/(1+sinθ)｝dθ
=(1/2)log｛1+sin(π/4)｝-(1/2)log｛1-sin(π/4)｝
=(1/2)log｛(1+√2/2)/(1-√2/2)｝
=(1/2)log｛(2+√2)/(2-√2)｝
=(1/2)log｛(2+√2)^2/(2^2-2)｝
=(1/2)log｛(6+4√2)/2｝
=(1/2)log(3+2√2)
2∫[x=0→1]√(1+x^2)dx=√2+(1/2)log(3+2√2)
∫[x=0→1]√(1+x^2)dx=√2/2+(1/4)log(3+2√2)
=0.89849462385……
√｛1^+(1/2)^2｝=√5/2
=1.1180……
より短いのはおかしい。
- 937 名前：イナ ◆/7jUdUKiSM mailto:sage [2023/08/26(土) 14:23:55.86 ID:8zl+X33H.net]
- 前>>899
>>898
なんで1より短いの？
√5/2=1.118……より長いはずなのに。
- 938 名前：１３２人目の素数さん [2023/08/26(土) 15:20:00.74 ID:+h5LVyVk.net]
- log(2)=0.6931471805599453094172321214581765680755001343602552541206800094933936219696947156058633269964186875....
log(10,2)=0.3010299956639811952137388947244930267681898814621085413104274611271081892744245094869272521181861720....
- 939 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/08/26(土) 17:00:07.70 ID:FrVsQoVC.net]
- >>900
google電卓はlogを常用対数、lnを自然対数として扱います。
>>なんで1より短いの？
あなたは√2/2+(1/4)log(3+2√2)の値を知りたくて電卓を使いましたが、
その電卓はlogを常用対数だと認識して誤った答えを返しました。
正しく電卓を使うためには√2/2+(1/4)ln(3+2√2)と入力しましょう。
なお、ここは電卓の使い方を学ぶスレではありません。
- 940 名前：イナ ◆/7jUdUKiSM mailto:sage [2023/08/26(土) 23:43:44.61 ID:ZEV1BuLc.net]
- 前>>900
>>845(1)底をeにしてみると、
√2/2+(1/4)log(3+2√2)=√2/2+(1/4)log(e)(3+2√2)
=1.3399202158……
- 941 名前： 【吉】 mailto:sage [2023/08/27(日) 00:20:12.36 ID:zHzL89Py.net]
- 前>>904修正。
>>845(1)
∫[x=0→1]√(1+x^2)dx=√2/2+(1/4)log(3+2√2)
=√2/2+(1/4)｛log(3+2√2)/log(e)｝
=1.1477935747……
- 942 名前： 【小吉】 mailto:sage [2023/08/27(日) 00:22:25.57 ID:zHzL89Py.net]
- 前>>904
アンカー訂正。
- 943 名前： 【大吉】 mailto:sage [2023/08/27(日) 00:26:34.00 ID:zHzL89Py.net]
- ∫[x=0→1]√(1+x^2)dx=√2/2+(1/4)log(3+2√2)
=√2/2+(1/4)｛log(3+2√2)/log(e)｝
=1.1477935747……＜1.18……=√5/2
違うな。1.18を少し超えなきゃ。
- 944 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/08/27(日) 00:36:17.48 ID:je6VS+wW.net]
- >>906
わざとですか？
〇√5/2 = 1.118……
×√5/2 = 1.18……
>∫[x=0→1]√(1+x^2)dx=√2/2+(1/4)log(3+2√2)
>=√2/2+(1/4)｛log(3+2√2)/log(e)｝
>=1.1477935747……
であなたの答えは正解です。
なお、ここはおかしな解答を競い合うスレではありません。
- 945 名前：イナ ◆/7jUdUKiSM mailto:sage [2023/08/27(日) 01:07:54.33 ID:zHzL89Py.net]
- 前>>904じゃあなかったことにします。
>>845(2)
(1)で求めた値に、
単位円の八分円の扇形を足すと、
√2/2+(1/4)(log(3+2√2)/log(e))+π/8
=1.5404926564……
- 946 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/08/27(日) 14:53:29.44 ID:ft8Rs1GN.net]
- まぁしかし面積が弧長×道幅＋π×道幅²になるとこまではわかてっるんやな
イナにしては上出来
- 947 名前：イナ ◆/7jUdUKiSM mailto:sage [2023/08/27(日) 20:06:06.16 ID:zHzL89Py.net]
- 道幅^2まではわかてっはいなかたかなぁ。
- 948 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/08/30(水) 22:10:28.19 ID:7YgCo3jF.net]
- >>841 関連で
2次元格子上で(0,0)スタート
一回毎に↑↓→←に1移動、確率1/4
n回移動
において(j,k)に到達する確率（n-j-kは偶数と仮定）を計算すると
p[n,j,k] = 1/(2π)^2∫∫[-π,π]^2 ((cosx+cosy)/2)^n e^(-ijx-iky) dxdy
= {1/(2π)∫[-π,π] (cosu)^n e^(-i(j+k)u) du}{1/(2π)∫[-π,π] (cosv)^n e^(-i(j-k)v) dv}
= (1/4)^n C[n,(n-j-k)/2] C[n,(n-j+k)/2]
になるけど、これを組合せ論的に示すにはどうすればいい？
- 949 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/08/31(木) 18:46:53.84 ID:Ph6D7dHa.net]
- >>911
A, B を位数 (n-j-k)/2, (n-j+k)/2 の I={1,…,n} の部分集合として、i番目の動きを
AかつBのとき←
AかつB^cのとき↓
A^cかつBのとき↑
A^cかつB^cのとき→
で定めると(j,k)に到達する経路になる
自分としては>>911の計算の詳細というかそれを計算すれば良いという理由が知りたい
- 950 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/08/31(木) 19:40:02.13 ID:BYJPeYT7.net]
- >>912
解答ありがとう。
> 自分としては>>911の計算の詳細というかそれを計算すれば良いという理由が知りたい
n回移動後に(j,k)に到着する確率をp[n,j,k]とすると漸化式
p[n+1,j,k] = (1/4)(p[n,j-1,k] + p[n,j+1,k] + p[n,j,k-1] + p[n,j,k+1])
が成り立ち、これを解けば答えが出る。
そこでp[n,j,k]の（確率）特性関数
P[n,x,y] = Σ[j,k∈Z] p[n,j,k] e^(ijx+iky), i=√-1
を考えると漸化式は
P[n+1,x,y] = (1/4)(e^(+ix) + e^(-ix) + e^(+iy) + e^(-iy))P[n,x,y]
= ((cosx+cosy)/2)P[n,x,y]
に置き換わり
P[n,x,y] = ((cosx+cosy)/2)^n
と解くことができて、特性関数の反転公式から
p[n,j,k] = 1/(2π)^2∫∫[-π,π]^2 ((cosx+cosy)/2)^n e^(-ijx-iky) dxdy
・・・
と求まる。
- 951 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/09/02(土) 09:07:41.75 ID:oSeqtTot.net]
- >>913
ありがとう。確率の特性関数勉強してみる。
- 952 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/09/05(火) 22:19:58.55 ID:oPk9i1yg.net]
- 次の条件を満たす多項式p(A,B,C,U,V,W)が存在することを示せ
(1)任意の四面体OABCに対して
vol(OABC)=p(OA,OB,OC,BC,CA,AB)
が成立する
(2) p(a,b,c,u,v,w) > 0である正の数a,b,c,u,v,wに対してあるし、ある四面体OABCで
(a,b,c,u,v,w) = (OA,OB,OC,BC,CA,AB)
を満たすものがとれる
- 953 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/09/05(火) 23:06:26.92 ID:xX2BMYj3.net]
- >915
p(x,√2,√2,2,√5,√5) = (√(x^2-1))/3 になったんだけどなんかミス？
- 954 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/09/06(水) 01:32:49.94 ID:k6rcFOYC.net]
- 失礼
p(〜)=体積^2
です
- 955 名前：１３２人目の素数さん [2023/09/06(水) 23:33:47.16 ID:fofhFXbt.net]
- (1)はまぁ有名な話ではあるけど(2)は知らなかった
かなり面白そう
一般次元でもそうなってるのかね？
- 956 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/09/07(木) 05:09:55.81 ID:inDHGvc0.net]
- 914は?
- 957 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/09/07(木) 05:11:56.28 ID:inDHGvc0.net]
- 914は嘘
- 958 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/09/07(木) 07:03:25.82 ID:nlCt1dpI.net]
- ん？
(1)は916で訂正されてるけど(2)が嘘ってこと？
- 959 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/09/07(木) 15:26:09.25 ID:s/jz/njx.net]
- p(x,√2,√2,2,√5,√5) = -(x^2-10x+9)/6のハズ
- 960 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/09/07(木) 15:29:33.70 ID:q9uk8fnI.net]
- p(x,√2,√2,2,√5,√5) = -(x^4-10x^2+9)/6のハズ
- 961 名前：915 mailto:sage [2023/09/07(木) 21:39:11.94 ID:AmBJmo29.net]
- 915は計算ミスった
そのままだと根号出てくるって言いたかっただけだから放っておいたけど
- 962 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/09/08(金) 08:00:00.
]
- [ここ壊れてます]
- 963 名前：87 ID:EWijtJoo.net mailto: p(1,1,3,1,5,3)>0. []
- [ここ壊れてます]
- 964 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/09/08(金) 09:51:08.43 ID:6mOWtUJI.net]
- >>925
ほんとだw
全然ダメじゃん
(2)が成り立つならかなり興味深い問題だったんだがテキトー出題だったのかな
- 965 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/09/08(金) 11:34:52.51 ID:9iPe1rQy.net]
- ホントですね
撤回します
- 966 名前：１３２人目の素数さん [2023/09/08(金) 11:37:51.39 ID:7F+hpkHG.net]
- それぞれが100と互いに素で、相異なる100以下の自然数からなる組で、和が100の倍数となるものは何通りか．
- 967 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/09/08(金) 11:50:21.35 ID:/XXO6ejH.net]
- なんだよ出題厨ここにも来るようになったのかよ…
- 968 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/09/08(金) 16:56:48.36 ID:DqN62kRc.net]
- >>925
なんで全角文字やめたの？
- 969 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/09/08(金) 18:37:36.11 ID:jVREaWZf.net]
- サトマイ（統計学専門家の女性）が真面目に「ウンコ」連発してる動画が笑える
【ひろゆきさんのツイート】ウンコ漏らしたことがある人の方が年収高いを解説
https://youtu.be/bIoxVkh8XVQ
- 970 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/09/09(土) 09:49:49.11 ID:E1ozKZjY.net]
- 複素数w,x,y,zが
(w+x+y+z)^2=4(w^2+x^2+y^2+z^2)
(w+x+y+z)^3=16(w^3+x^3+y^3+z^3)
|w-x|≦|w-y|≦|w-z|=2
をみたしているとき|y-z|を求めよ。
- 971 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/09/09(土) 15:11:15.95 ID:IrYMb4eb.net]
- >>1
>面白い数学の問題を紹介して解き合うスレです
>質問スレではありません
>出題者が答えを知らない問題はお控えください
- 972 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/09/09(土) 15:39:21.74 ID:q9bPC3PQ.net]
- pが正で二つの面の三角形が存在するなら四面体が存在する.
一つだと不明.
- 973 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/09/10(日) 08:00:00.18 ID:Fgq4CAGy.net]
- [w^2]=(1/4)[w]^2.
[w^3]=(1/16)[w]^3.
[w^2]=[w]^2-2[wx].
[w^3]=[w]^3-3[w][wx]+3[wxy].
[wx]=(3/8)[w]^2.
[wxy]=(1/16)[w]^3.
s=(1/4)[w].
[w]=4s.
[wx]=6s^2.
[wxy]=4s^3.
t^4=s^4-[wxyz].
[wxyz]=s^4-t^4.
(X-w)(X-x)(X-y)(X-z)=X^4-4sX^3+6s^2X^2-4s^3X+s^4-t^4=(X-s)^4-t^4.
{w,x,y,z}={s+t,s+ti,s-t,s-ti}.
- 974 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/09/10(日) 09:00:00.55 ID:Fgq4CAGy.net]
- (w-(w+x+y+z)/4)^4-(x-(w+x+y+z)/4)^4
=((w-x)(y+z)/8)((w+x+y+z)^2-4(w^2+x^2+y^2+z^2))
-((w-x)/48)((w+x+y+z)^3-16(w^3+x^3+y^3+z^3)).
- 975 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/09/11(月) 06:46:03.77 ID:B/xQsm4+.net]
- 集合
- 976 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/09/11(月) 06:46:23.90 ID:B/xQsm4+.net]
- 亜群
- 977 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/09/11(月) 06:46:39.01 ID:B/xQsm4+.net]
- 半群
- 978 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/09/11(月) 06:46:52.17 ID:B/xQsm4+.net]
- モノイド
- 979 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/09/11(月) 06:47:00.54 ID:B/xQsm4+.net]
- 群
- 980 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/09/11(月) 06:48:15.57 ID:B/xQsm4+.net]
- 可換群
- 981 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/09/11(月) 06:48:28.62 ID:B/xQsm4+.net]
- 加法群
- 982 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/09/11(月) 06:49:58.89 ID:B/xQsm4+.net]
- 環
- 983 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/09/11(月) 06:50:21.99 ID:B/xQsm4+.net]
- 単位的環
- 984 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/09/11(月) 06:51:04.55 ID:B/xQsm4+.net]
- 整域
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- 加法群
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- 単位的環
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- 整域
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- 体
- 1011 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/09/11(月) 06:59:05.68 ID:B/xQsm4+.net]
- 有限体
- 1012 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/09/11(月) 07:01:31.72 ID:B/xQsm4+.net]
- 有理席数環
- 1013 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/09/11(月) 07:01:49.90 ID:B/xQsm4+.net]
- 有理整数環
- 1014 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/09/11(月) 07:03:41.08 ID:B/xQsm4+.net]
- 除法の原理
- 1015 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/09/11(月) 07:04:36.28 ID:B/xQsm4+.net]
- 整除の一意性
- 1016 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/09/11(月) 07:05:33.52 ID:B/xQsm4+.net]
- Landauの記号
- 1017 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/09/11(月) 07:05:56.42 ID:B/xQsm4+.net]
- bはaで整除される
- 1018 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/09/11(月) 07:06:07.41 ID:B/xQsm4+.net]
- 割り切れる
- 1019 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/09/11(月) 07:06:22.16 ID:B/xQsm4+.net]
- a|b
- 1020 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/09/11(月) 07:07:02.50 ID:B/xQsm4+.net]
- 約数
- 1021 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/09/11(月) 07:07:12.96 ID:B/xQsm4+.net]
- 倍数
- 1022 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/09/11(月) 07:08:44.04 ID:B/xQsm4+.net]
- 公約数
- 1023 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/09/11(月) 07:08:55.49 ID:B/xQsm4+.net]
- 公倍数
- 1024 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/09/11(月) 07:09:05.39 ID:B/xQsm4+.net]
- 最大公約数
- 1025 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/09/11(月) 07:09:20.13 ID:B/xQsm4+.net]
- 最小公倍数
- 1026 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/09/11(月) 07:09:39.48 ID:B/xQsm4+.net]
- GCD
- 1027 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/09/11(月) 07:09:55.41 ID:B/xQsm4+.net]
- LCM
- 1028 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/09/11(月) 07:10:09.77 ID:B/xQsm4+.net]
- (a, b)
- 1029 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/09/11(月) 07:10:23.31 ID:B/xQsm4+.net]
- [a, b]
- 1030 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/09/11(月) 07:11:49.89 ID:B/xQsm4+.net]
- Euclidの互除法
- 1031 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/09/11(月) 07:12:00.61 ID:B/xQsm4+.net]
- 互いに素
- 1032 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/09/11(月) 07:12:22.86 ID:B/xQsm4+.net]
- 対ごとに互いに素
- 1033 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/09/11(月) 07:13:31.30 ID:B/xQsm4+.net]
- 割られる数と割る数
- 1034 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/09/11(月) 07:13:50.38 ID:B/xQsm4+.net]
- 割る数と剰余
- 1035 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/09/11(月) 07:14:08.36 ID:B/xQsm4+.net]
- 商は関係ない
- 1036 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/09/11(月) 07:14:41.92 ID:B/xQsm4+.net]
- 割る数と剰余は関係ある
- 1037 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/09/11(月) 07:15:47.25 ID:B/xQsm4+.net]
- 剰余は割る数より小さい
- 1038 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/09/11(月) 07:17:39.91 ID:B/xQsm4+.net]
- A=Bc+r、0≤r<B
とすると
- 1039 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2023/09/11(月) 07:18:09.93 ID:B/xQsm4+.net]
- (A, B)=(B, r)
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